刘徽数学成就
刘徽割圆术和定积分方法
刘徽割圆术和定积分方法刘徽是中国古代数学家、天文学家和地理学家，他的著作《九章算术》在中国数学史上有着非常重要的地位。
刘徽在数学领域的贡献众多，其中包括刘徽割圆术和定积分方法两个重要的成就。
刘徽割圆术是刘徽在几何学中的一项杰出成就。
在中国数学史上，刘徽被尊为“割圆术”之祖。
刘徽割圆术是指通过逐步不断地用正多边形来逼近圆周，从而求出圆周的长度。
刘徽发现，如果一个正多边形的边数不断增加，那么它的周长就会趋向于圆的周长。
这样，他便构造出一个近似于圆周长的方法，成为了一种割圆的技术。
刘徽在这一方法中首次提出了极限思想，也就是不断地逼近某个值。
这种思想在现代数学中被称为极限思想，极限思想被广泛应用于微积分和数学分析等学科领域。
刘徽在割圆术的发展过程中，提出了许多新的思想和概念，对后世的数学发展产生了深远的影响。
在数学中，刘徽的定积分方法是他在微积分领域的又一杰出贡献。
定积分是微积分的一个重要概念，是将一个函数在一个区间上的取值进行求和得到近似于该函数在整个区间上取值的一个方法。
刘徽在其著作中提出了用“无限小”思想来解决问题的方法，并且这种思想在现代数学中得到了广泛的运用。
刘徽的定积分方法为后世的微积分学发展提供了重要的理论基础。
通过刘徽的方法，人们可以将一个问题进行分割，然后逐步求和，得到最终的结果。
这种思想成为了微积分学中的核心思想之一，也被应用于多个领域，包括物理学、工程学和经济学等。
刘徽在割圆术和定积分方法的研究中，提出了许多开创性的思想和概念，为数学的发展作出了巨大的贡献。
他开拓了数学的新领域，丰富了数学的内涵，对后世的数学学科发展起到了关键的作用。
刘徽的割圆术和定积分方法不仅在当时产生了深远的影响，而且对现代数学学科的发展具有重要的启发作用。
刘徽小故事50字
刘徽小故事50字
刘徽，我国古代著名数学家，生于公元250年左右，他是魏晋时期的杰出人物。
在他的学术生涯中，刘徽为数学领域做出了许多重要贡献，特别是在几何学方面。
刘徽的数学成就举世瞩目。
他所著的《九章算术》是我国古代数学的经典之作，对后世产生了深远影响。
在《九章算术》中，他详细阐述了勾股定理及其在实际生活中的应用，进一步发展了勾股定理的理论体系。
此外，刘徽还首次提出了“极限”的概念，对后世数学的发展产生了重要影响。
关于刘徽的小故事有很多，其中最著名的要数“割圆术”。
故事中，刘徽为了求得圆的面积，采用了一种巧妙的方法：将圆割成无数个小三角形，然后计算这些小三角形的面积和。
通过这种方法，刘徽成功求得了圆的面积，并为后世留下了宝贵的数学财富。
刘徽的影响和地位不容忽视。
他的学术成果不仅在古代中国享有盛誉，还对近现代数学的发展产生了深远的影响。
如今，刘徽的名字已经成为了数学领域的一个象征，代表了我国古代数学家的聪明才智和创新精神。
总之，刘徽是我国古代数学领域的杰出代表，他的成就和贡献不仅为后世留下了宝贵的知识财富，还展现了中国古代数学家的智慧和才能。
刘徽的数学成果
刘徽的数学成果刘徽生于公元c.220年，他是中国东汉末年至三国时期的人物。
刘徽在数学领域的成就主要体现在他的著作《九章算术》中，这是一本集大成的数学著作，包含了中国古代数学的重要内容。
《九章算术》是刘徽集合了当时数学家们的研究成果，整理而成的。
这本著作共分为九章，分别是《术数》、《方程》、《几何》、《焉程》、《方田》、《精卫》、《雉尾》、《盈不足》和《杂》。
每章都涵盖了各个领域的数学问题，包括算术、代数、几何等。
在《九章算术》中，刘徽提出了许多重要的数学理论和方法。
例如，在《术数》章中，他介绍了一种解一元二次方程的方法，这被认为是中国古代数学中的一项重要突破。
他还提出了一种计算圆周率的方法，在《几何》章中详细描述了如何利用正多边形逼近圆，从而计算出圆周率的近似值。
这种方法在当时是非常先进的。
除了这些数学理论和方法，刘徽还在《九章算术》中介绍了许多实际应用的数学问题。
例如，在《焉程》章中，他提出了一种测量高度的方法，通过测量阴影长度和光线角度的变化来计算物体的高度。
这种方法在古代的土木工程中得到了广泛的应用。
刘徽的数学成果不仅在中国有着深远的影响，而且对世界数学的发展也起到了积极的推动作用。
他的数学思想和方法在中国古代数学的发展中起到了重要的引领作用，为后来的数学家们提供了宝贵的经验和启示。
刘徽是中国古代数学领域的重要人物，他的数学成果主要体现在他的著作《九章算术》中。
他在数学理论、方法和应用方面的贡献，对中国古代数学的发展起到了重要的推动作用，同时也对世界数学的发展产生了积极的影响。
刘徽的数学成果为后世的数学研究者们提供了宝贵的经验和启示，他的贡献将永远被人们铭记。
刘徽的数学贡献
刘徽的数学贡献刘徽（公元220年-280年），字叔度，中国东晋时期的数学家。
他是中国古代数学史上的杰出人物之一，被誉为“东晋数学之祖”。
刘徽一生致力于数学的研究和教育工作，为中国古代数学的发展做出了重要贡献。
他的数学成就不仅体现在理论上的探索，还广泛应用于实际问题的解决。
他的数学著作《九章算术注》被认为是我国古代数学的巅峰之作，至今仍然被广泛研究和应用。
首先，刘徽在数学理论的发展上作出了突出贡献。
他的《九章算术注》系统地总结了中国古代的数学知识，并进行了深入的解释和注解。
这部著作包括了算术方面的九个章节，如加减乘除、九章算术注等，凝结了大量的数学知识和技巧。
他对于数学的各种运算方法进行了分类整理，并对问题的解题思路进行了详细解析。
这些理论成果为后世数学家提供了重要的研究基础，并对中国古代数学的发展产生了深远影响。
其次，刘徽的数学成就还具有很强的实用性。
他的研究不仅限于理论，还涉及到了实际问题的解决。
他通过数学方法解决了很多实际生活和工程上的难题，如土木工程的测量、水利工程的设计等。
他提出了测量天体距离的方法，被称为“刘徽天文定位法”，成为古代航海和导航的重要工具之一。
他的实用性研究使得数学在日常生活和实际工程中得到广泛应用，促进了古代社会的发展和进步。
此外，刘徽注重数学教育的普及和推广，为数学在中国社会的发展做出了积极贡献。
他在教学中强调实践和交互，提倡学以致用。
据记载，他曾亲自执教并积极推动数学教育的发展。
他的教学方法注重培养学生的实际操作能力和问题解决能力，为后世的数学教育提供了借鉴与启示。
综上所述，刘徽是中国古代数学发展史上的重要人物，他的数学贡献不仅体现在理论的探索上，更体现在实际问题的解决和数学教育的推广上。
他的数学著作和研究成果为后世数学家提供了宝贵的研究资源，对中国古代数学的发展和应用产生了深远影响。
刘徽的数学思想和方法，为我们今天的数学研究和教育提供了重要的借鉴与启示，值得我们不断学习和探索。
简述刘徽的主要数学贡献
简述刘徽的主要数学贡献
刘徽是中国古代数学家之一，他的主要数学贡献包括以下几个方面：
1. 著作了《九章算术注》和《海岛算经》
刘徽为《九章算术》做了注释，在注释的过程中，他证明了大量几何问题的解法，其中包括一些重要的数学定理，如刘徽定理和刘徽体积公式等。
此外，他还著作了《海岛算经》，其中讨论了测量和几何问题。
2. 创新了数学方法
刘徽在数学方法上有很多创新，其中包括“齐同术”、“分数的通分”、“刘徽倍数术”等。
这些方法不仅为当时的数学研究提供了重要的工具，而且对于现代数学的发展也有很大的影响。
3. 证明了大量数学定理
刘徽在数学中证明了大量定理，其中包括“刘徽定理”、“刘徽体积公式”、“刘徽割圆术”等。
这些定理不仅在当时的数学研究中具有重要的意义，而且对于现代数学的研究也有很大的启示作用。
4. 提出了数学教育思想
刘徽在数学教育方面也有很大的贡献，他提出的“以筹为意”、“广引事例”、“审于接通，而精于证明”等教育思想，对于当时的数学教育产生了深远的影响，并且对于我们今天的数学教育也具有重要的启示作用。
总之，刘徽是中国古代数学史上的杰出人物之一，他的数学贡献对于中国数学的发展产生了深远的影响，并且对于我们今天的数学研究和实践也具有重要的启示作用。
刘徽数学成就ppt
05
刘徽数学精神
勤奋好学精神
注重打好数学基础
刘徽重视数学知识的基本概念和原理，强调对数学基础 的学习和掌握。
勤奋不辍
刘徽在学习数学的过程中，表现出极高的勤奋和努力， 他不断钻研数学难题，持续拓展数学知识。
求真务实精神
注重实践应用
刘徽的数学成就源于他关注实际应用，他致力于将数学知识 应用于实际问题中。
追求真理
刘徽在研究数学问题时，不断追求真理和准确性，他对数学 原理的证明和运用要求极高。
创新探索精神
创新思维
刘徽在解决数学问题时，拥有极高的创新思维和独特的见解，他的数学方法 和思想对后世影响深远。
勇于探索
刘徽不满足于已有的数学成果，他勇于探索新的数学领域和问题，他在代数 学、几何学等领域都有所建树。
04
刘徽数学方法
极限思想方法
极限思想是一种重要的数学思想， 是在研究变量的变化过程中，通过 观察变量在某一时刻的变化趋势， 得出变量在某一时刻的值。刘徽在 《九章算术注》中，提出了“不可 分量可积，而一毫不失”的观点， 这种观点就是现在所说的极限思想 。
VS
刘徽在证明圆的面积公式时，就运 用了极限思想。他通过圆内接正多 边形边数不断增加，正多边形的面 积也逐渐增大，最终趋近于圆的面 积，从而证明圆的面积公式。
3
隋唐时期
隋唐时期是中国数学发展的鼎盛时期之一，出 现了许多数学家和数学流派。
个人背景
刘徽出生
刘徽出生于魏晋南北朝时期的一个普通家庭。
教育背景
刘徽从小接受家庭教育，学习儒家经典和数学。
成长经历
刘徽在成长过程中，受到家庭和社会的支持和鼓励，得以深入研究数学领域。影Leabharlann 与贡献推动了中国古代数学的发展
数学史——刘徽对数学的贡献
刘徽对数学的贡献三国以前，我国数学要籍，首推《九章算术》。
刘徽在数学上的贡献，主要在其《九章算术注》一书。
《隋书》卷16《律历上》载：“魏陈留王景元四年刘徽注《九章》”。
是知《九章算术注》完成于景元四年（263年）。
《隋书》卷34《经籍志三》有《九章算术》十卷、《九章重差图》一卷，均注明系刘徽撰。
后《九章重差图》失传，唐人将《九章算术注》内有关数学用于测量的《重差》一卷取出，独成一书，因其中第一个问题系测量海岛，故改名为《海岛算经》。
刘徽这两个著作是我国数学史上宝贵的文献，即在世界数学史上也有一定的地位。
今述其主要贡献如下：1.极限观念与割圆术极限意识在春秋战国时已出现，实际加以应用的是刘徽。
刘徽已领悟到数列极限的要谛，故能有重要创获。
刘徽的杰出贡献首推他在《九章算术注》中创立的割圆术，其所用方法包含初步的极限概念和直线曲线转化的思想。
在一千五百年前能运用这种思想，是难能可贵的。
有了割圆术，也就有了计算圆周率的理论和方法。
圆周率是圆周长和直径的比值，简称π值。
π值是否正确，直接关系到天文历法、度量衡、水利工程和土木建筑等方面的应用，所以精确计算π值，是数学上的一个重要任务。
在刘徽以前，已有许多人计算过π值。
最早的π值是3，后来又发展到3.1547或√10。
但如何求得，从未有人加以科学的阐明。
刘徽建立的割圆术，是在圆内接正六边形，然后使边数逐倍增多，他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
这是因为，圆内接正多边形无限多时，其周长极限即为圆周长，面积即为圆面积。
他算到正192边形时，求得圆周率为3.14的近似值。
他又用几何方法把它化为。
后人即将3.14或叫作“徽率”。
刘徽以为还可继续求，唯他不曾再求。
以上圆周率是当时世界上的最佳数据。
公元前三世纪希腊数学家阿基米得曾提出圆周长于内接圆内多边形而小于圆外切多边形周长，算出了3＜π＜3的数值。
但阿基米得是用的归谬法，他避开了无穷小和极限，而刘徽应用了极限的概念，且只用圆内接正多边形的面积计算，而省去了计算圆外切正多边形的面积，从而收到了事半功倍之效。
浅谈刘徽在数学上的主要成就
浅谈刘徽在数学上的主要成就刘徽是中国古代著名的数学家、工程师和地理学家，他于三国时期被誉为“数学圣手”。
刘徽在数学上的主要成就可以从以下几个方面进行阐述。
一、数学体系的建立刘徽是中国古代数学体系建立的重要人物之一。
他所著的《九章算术》是中国古代数学最早的系统性著作之一，被誉为“中国数学史上的一座丰碑”。
这部著作最早已经流传于汉代，是汉代数学家张邱建立“术数学”之前的重要文献。
刘徽本人也对数学体系的建立有重要贡献，他的《九章算术集注》是一部对《九章算术》的注解和扩充，使得中国古代数学的体系更加完善。
此外，他还着力于推广“师子算术”，即用方程式解决实际问题的方法，这也为之后的数学发展奠定了基础。
二、数学理论的创新刘徽在数学理论方面也有一些创新的成就。
他创立了中国古代数学的“周天法”和“精细算法”，为以后的天文学和数学理论发展奠定了基础。
此外，他还提出了“勾股数学”理论，该理论被称为中国古代数学重要的代表性理论之一。
在其著作《九章算术集注》中，刘徽提出如下勾股定理：“直角三角形斜边上的正方形的面积等于两直角边上的两个矩形面积之和。
”这个定理对今天的几何学和三角学起到了至关重要的作用。
三、制图和工程设计刘徽还是一位出色的工程师和地理学家。
在地图制图方面，他主要为中国古代测量学和地图学的发展做出了巨大贡献。
他撰写了一本名为《黄土书》的著作，其中系统地介绍了地图制作方法和精度要求。
在工程设计方面，他曾经负责修建当时中国最先进的水利工程之一——灵渠，该工程极大地促进了当地的农业发展和经济繁荣。
总之，刘徽在数学上的主要成就是建立了中国古代数学体系，创新了数学理论，推广了勾股数学，同时在制图和工程设计方面也给中国古代科技的发展做出了巨大贡献。
刘徽是中国古代著名的通才，他的学识和成就影响至今。
历史趣闻魏晋时期的刘徽在数学方面有何成就？
如对您有帮助，可购买打赏，谢谢魏晋时期的刘徽在数学方面有何成就？导语：刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，对中国的古典数学理论的创立及发展做出了极其重要的贡献，在中国乃至时间的数学史上，都占据着重要的位置刘徽是魏晋时期最伟大的数学家，对中国的古典数学理论的创立及发展做出了极其重要的贡献，在中国乃至时间的数学史上，都占据着重要的位置。
下面，让我们一起去看一下刘辉的简介吧。
刘辉的出生日期，大约是在公元225年前后，他卒于295年，是当时世界上最杰出得到数学家。
他在这方面的著作，对后世数学的发展有着至关重要的影响，同时也奠定了他在数学界不可动摇的地位，也为数学界留下了最为宝贵的文化遗产。
刘辉思维敏捷又刻苦好学，在数学上有着许多的成就，而这些成就大致可以分为两个方面的内容。
其一是他研究了古代中国的数学理论，从而整理出了一套数学体系，而他这方面的这就从他的数学著作中就可以看出来。
他那一套比较完整的数学理论又包括了通分、约分以及各运算法则，同时又从理论方面证明了无理方根的存在;刘辉还给了率一个明确地定义，再通过“率”来定义“方程”;同时他对勾股理论也做出了一定的发展。
其二就是面积与体积理论。
他提出了刘徽原理，并将多种面积或体积的问题加以解决。
另外，他还在自己的著作中，给出了对幽州率的计算方法，使圆周率又成为“徽率”。
刘辉一直都在数学的海洋中遨游，不断地专研和学习，并提出新的见解和理论，对数学的发展做出了巨大的贡献。
刘徽是魏晋时期有名的数学家，他在数学上有着极大的成就，在数学界中占据着极其重要的位置。
他在十分简陋的环境中，冥思苦想，提出了一个又一个令人振奋的理论。
接下来，让我们来看一看与刘徽生活常识分享。
选择从古到今的中国数学家5-10个成就简要概括
选择从古到今的中国数学家5-10个成就简要概括1. 刘徽（公元前2世纪-公元后1世纪）刘徽东汉时期数学家、天文学家。
代表作《九章算术注》，是《九章算术》的第一个注本，对后世影响深远。
创立了“割圆术”，是中国古代最早的割圆术。
总结了“刘徽九章”的数学成就，包括正负数的运算、盈不足术、方程组的解法、勾股定理的证明等。
2. 祖冲之（公元429年-公元500年）祖冲之南北朝时期数学家、天文学家。
代表作《缀术》，是中国古代第一部系统的数学专著。
精确计算出了π的值在3.1415926和3.1415927之间，比西方早了1000多年。
创立了“祖冲之开方术”，是中国古代最先进的开方术。
在球体积、四面体体积等方面也有重要贡献。
3. 杨辉（1238年-1298年）杨辉南宋时期数学家。
代表作《杨辉算法》，是中国古代第一部系统的数学算法专著。
创立了“杨辉三角”，又称“帕斯卡三角”，比西方早了300多年。
在高次方程求根、组合数学等方面也有重要贡献。
4. 程大位（1533年-1606年）程大位明朝时期数学家。
代表作《算法纂要》，是中国古代集大成的数学专著。
总结了中国古代数学的成就，包括珠算、方程求解、几何、三角等。
在高次方程求根、垛积术等方面也有重要贡献。
5. 阮元（1764年-1849年）阮元清朝时期数学家、天文学家、经学家。
代表作《畴人传》，是中国古代第一部数学史专著。
系统整理了中国古代数学的成就，对后世影响深远。
在数学、天文学、地理学等方面也有重要贡献。
6. 华罗庚（1910年-1985年）华罗庚中国现代数学家、教育家。
被誉为“中国数学之父”。
在数论、矩阵论、多复变函数论等方面做出了重要贡献。
创立了“华罗庚不等式”、“华罗庚方法”等。
7. 陈景润（1930年-1996年）陈景润中国现代数学家。
被誉为“哥德巴赫猜想终结者”。
证明了“哥德巴赫猜想”的1+2，为世界数学难题增添了中国人的贡献。
在数论、解析数论等方面也有重要贡献。
伟大古代数学家—刘徽
（二）个人伟大的创见
①割圆术； ②刘徽原理用无限分割的方法解决锥体体积 术与圆周率； ③“牟合方盖”说引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型； ④在方程新术提出了解线性方程组的新方法； ⑤提出了重差术。
割圆术
牟合方盖
重差法
伟大数学精神
我国古代伟大的数学家—— 刘徽，在艰难落后的时代环境 中不断学习，整理前人丰富数 学学识，让更多的后世学人得 以更好的学习和专研，同时也 为推动中国古代数学的发展贡 献了巨大的力量，为了纪念刘 徽突出贡献，我国发行了相应 的邮票、、、等来纪念这位伟 大的学者。
伟大数学成就
（一）、在世期间主要整理和修注<九章算术》，得出了 ①阐述了
通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则； ②在筹式演 算理论方面先给率以比较明确的定义； ③在勾股理论方面逐一论证了 有关勾股定理与解勾股形的计算原理； ④在面积与体积理论方面用出 入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理。
伟大的数学精神
刘徽治学态度严谨、科学、认真，自幼 刻苦自励，对学识创作孜孜不倦地追求， 倾毕生精力，勤于数学研究探索。倾毕生 精力，勤于数学研究探索。 因此刘徽的数精神也是我们在学习数 学知识上探讨数学问题方面的榜样！为此 许多中学、大学学府都以刘徽的雕像作为 学术追求的楷模。
2014-9-3
目录
一、个人简介 二、主要数学成就： （一）、《九章算术》 （二）、个人伟大创建 三、伟大数学精神
刘徽个人简介
刘徽，魏晋时期山东人。出生在公元3 世纪20年代后期，主要生活在三国时代， 可能死于晋初。 在世期间主要整理和修注<九章算术》， 并撰有《重差》（《重差》单行，改称 《海岛算经》）、《九章重差图》，对 先秦至两汉时期中国数学的成就，做了 系统的阐发和理论总结，并提出了许多 创造性的见解——割圆术、圆周率近似 值、四棱锥体积公式证明等，都为古代 数学的发展做出了杰出的贡献。 刘徽为《九章》作注时年时已较长， 后来，宋徽宗为了表彰他的突出贡献， 在大观三年（1109）礼部太常寺追封他 为古代数学家爵位，封为“淄乡男”。
简述刘徽的主要数学贡献
简述刘徽的主要数学贡献刘徽是中国南北朝时期著名的数学家、天文学家、地理学家和制图学家，他是中国数学史上的杰出人物，被誉为“中国数学之父”。
他活动的时间大约是3世纪末到4世纪初，是《九章算术》以后，中国数学高度发展时期的代表人物之一。
刘徽在各个领域都有卓越的贡献。
其中最著名的莫过于《九章算术》中的“方程”，也就是横轴定位法。
横轴定位法是代数方程解法中的一种古老方法，被认为是中国数学史上的一个创举。
这种方法可以将方程转化为一条直线和一个曲线的交点问题，从而求出未知量。
在《九章算术》中，横轴定位法主要用于解决代数方程的根问题。
刘徽在《九章算术》中还发展了类似“勾股定理”的几何定理，通过几何形象的证明，使得许多在古代算法中不易理解的问题更加清晰易懂。
此外，刘徽还借鉴了古代埃及和巴比伦的数学知识，融入到中国数学中来，丰富了中国数学的内涵。
除了代数方程，刘徽在天文学、地理学和制图学方面也有很多重要的贡献。
在天文学方面，他在《太和历》中提出了较为准确的日、月、岁的等差数列和中气定位方法。
这些方法大大提高了天文学的准确性，促进了中国天文学的发展。
在地理和制图方面，刘徽曾编纂了《水经注》和《世经》等著作，对中国地理和制图的发展产生了深远影响。
同时，刘徽还是一位伟大的教育家和思想家。
他提倡数学教育，将数学视为一种重要的文化传承和技能培养。
在他的《九章算术》中，提出了“师必自深”，即“教师必须自己掌握深刻的知识和技能，才有资格向学生灌输知识”。
总之，刘徽是中国数学史上的巨匠，其贡献不仅体现在数学领域，而且广泛涉及天文学、地理学、制图学、教育学等多个领域。
他的成就为后世数学家提供了许多启示，对世界数学的发展也产生了深远的影响。
浅谈刘徽在数学上的主要成就
专题论 述
浅谈 刘徽在数学上昀主要成就
河南城 建 学院数理 系 王
［ 摘 要］ 刘徽 的主要数 学成就 。 ［ 关键词 ］ 九章算术 注 齐同术 方程新术 重差 刘徽 是中 国数学 史上一位非 常伟大的数学 家 ， 魏晋时代 人 ， 贯 、 籍 生卒年不详 。刘徽在数学上 的成就很多 ， 最突 出的有 以下三个方面 ： １刘徽的《 ． 九章算术注》 中国古代数学史 书 ， 传下来 的主要有十种 ， 称为“ 算经 十书 ”其 中 ， 最重要 的一种是《 九章算术》 全书共有九章。以《 ， 九章算术》 为代表的中 国古代传统数学 ， 与欧几里德《 几何原本 》 为代 表的西方数学 ， 表着两 代 种迥然不 同的体系。 九章算术》 《 着重应用和计算 ， 其成果往往以算法形 式表达 。《 几何原本》 着重概念和推理 ， 成果以定理形式表达 ， 而形 其 从 成东西辉映 、 大相经庭的两部数学名著。 刘辉在数学上的主要成就之一 ， 为《 是 九章算术》 了注释 ， 做 书名叫 《 九章 算术注》 此 书于魏景元 ４年（ ， 公元 ２ ３ ） ６ 年 成书 ， ９ ， 共 卷 现在有 传本可据 ， 是我国最可贵的数学遗产之一。 刘徽的《 九章算术 注》 整理了 《 九章算术》 中各种解题方法的思想体 系， 旁征博 引 ， 纠正 了其 中的某些 错误 ， 提高 了《 九章算术》 的学术水平。 《 九章算 术》 是一部 以问题为 中心形成体系 的著作 ， 由于这 部著作 是 经 过 较 长 的 历 史 时期 逐 渐 形 成 的 ， 内容 丰 富 ， 法 新 颖 。但 有 些 问题 方 和方法 缺乏史料 ， 不好理 解 ， 因而能注 释《 章算术 》 九 是一 项艰 巨 的工 作， 刘徽 承担 了这一历史 任务 ， 出色的并有创造 性的完成 了注疏工作 ， 这是一件 巨大的贡献 。他在注疏 中重点提 出了“ 齐同术 ， 令有 术 ， 图验 法 ” ， 例 叙述 如 下 ： 等 举 令有术 ： 粟未章 “ 今有术 日， 以所有 数乘所 有率 为事 ， 以所有 率为 法， 实如法而一。 刘徽注说 ：此都术也 ， ” “ —— 因物成率 ， 审辨各分 ， 平其 偏颇 ， 齐其参 差， 则终无不 归于此术也 。” 际上属于现在所谓 比例 问题 实 都可以依 照“ 令有术 ” 解决 ， 它的主要环节是分析 问题 中所 给的数字 ， 哪 个是所有数 ， 哪个 是 所 求 数 ， 个 是 所 有 率 ， 过 一 乘 一 除 就 得 出 所 求 哪 经 数来 。而相 似 勾 股 形 的想 当边 成 正 比例 ， 以勾 股 章 里 勾 股 测 望 问 题 的 所 解 法， 刘徽注都用 “ 令有术 ” 来说 明。 衰分章“ 日， 术 各置列衰 ， 副并为法 ， 以所分乘未并者各 自为实 ， 实如法而一” 刘徽注说 ：列衰各为所有率 ， 。 “ 副并 为所求率 ， 所分为所有数 ” 。一切 比例分配问题 的解法都被 理解为 “ 有术 ” 令 的应 用 。 （ 上接第 ３ ９页 ） 现 状 ， 必须在 大学英语 课堂 实施 文化教 学 ， 语 ６ 就 将 言教学与文化教学有机结合起来 ， 高学 习者的融人型动机 ， 而提高 提 从 学 习者的语言文化学习兴趣 ， 促进语言文化的习得 。 笔者从 课堂教学和 测试角度提 出了一些建议 ，但是 ，文化 教学 的实施还受到诸如课 程设 置 、 师素质 、 教 教材 内容等变量 的影响 ， 需要 在理论 和实践 中进行更深 入广泛的研究。
刘辉的数学成就
刘徽的数学成就
一是清理我国古代数学体系并奠定了它的理论基础;二是在继承的基础上提出了自己的创见。
刘徽在古代数学体系方面的成就，集中体现在《九章算术注》中。
此作实际上已经形成了一个比较完整的理论体系。
在数系理论方面，刘徽用数的同类与异类阐述了通分､约分､四则运算，以及繁分数化简等的运算法则;在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
在筹式演算理论方面，刘徽先给率以比较明确的定义，又以遍乘､通约､齐同等基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础。
他还用“率”来定义我国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。
魏晋时期刘徽的数学思想与成就探析刘光
兰台世界2012·10月下旬数学是人类自然科学发展中的一个重要分支，中国古代虽然经历了漫长的封建制下的思想禁锢，但是自然科学的发展在中国并没有停滞不前。
在数学科学领域，最为杰出的代表人物就是魏晋时期的数学家刘徽，他的数学成就不仅是中国古代数学科学的骄傲，从世界范围来看，也是人类数学史上取得的一次重大突破。
刘徽伟大著作《九章算术注》的成书年代被历史学家确定为263年，这是根据唐代数学家李淳风所作《晋书·律历志》和《隋书·律历志》[1]得出的。
除了以上证明外，还可以通过唐朝数学家王孝通的著作来证实。
唐代数学家王孝通在“上辑古算术表”中明确写道，九章算术作者为刘徽。
一、刘徽的数学成就介绍刘徽作为我国古代伟大的数学家，无论是《九章算术注》，还是对球体积的研究，还是最广为人知的割圆术，都对后世的数学发展作出了巨大的贡献。
1.刘徽的《九章算术注》。
我国古代数学成就非凡，留下来的著作主要有十种，其中最重要的当属《九章算术》。
《九章算术》共九章，它着重应用和计算，其理论成果最终往往以算法的形式表达，理论与实际的结合比较强，这也是它在后世得以流传和应用的主要原因。
《九章算术注》是刘徽对《九章算术》的注释，成书于263年，共九卷，流传到今天，成为我国最重要的数学遗产之一[2]。
刘徽的《九章算术注》所做的不仅仅局限于注释《九章算术》，还通过对《九章算术》的学习创造了许多解决实际数学问题的新方法，开辟了数学发展的新途径，这几种重要的数学方法为：关于圆周率和圆面积，圆锥体积和球体积，方程新术，十进位数等。
下面我们以球体积这一思想成果为例详细介绍刘徽的数学成就。
通过学习，刘徽发现《九章算术》中的球体积算法是错误的。
后来，刘徽又通过对“牟合方盖”的研究，运用“出入相补原理”，得出了计算球体积的基本模型和思路。
遗憾的是，刘徽最终还是没能得出球体积的计算公式，但是他的研究为后世学者的研究提供了基础。
2023年度浅谈刘徽在数学上的主要成就
2023年度浅谈刘徽在数学上的主要成就在中国数学史上，刘徽（约公元7世纪）被认为是唐代著名的数学家。
他的书《九章算术》是中国数学的标志性著作之一。
刘徽在数学领域的贡献被称为中国古代数学的瑰宝。
他的数学技能、技巧和方法在整个中国历史上都具有特殊的地位和价值。
在本文中，我们将讨论刘徽在数学领域的主要成就，包括他的代数学、几何学和数论等方面。
代数学方面，刘徽是中国古代代数学的奠基人之一。
他的代数学研究主要集中于解决二元二次方程和三元方程等问题。
刘徽在代数学上的最重要贡献是他的“割补术”，即现代代数学中的“配方法”。
该方法指导了如何提取二元二次式中的平方，并使得方程得以转化为一些易于解决的一元二次方程。
这种方法在中国古代数学中被广泛应用，并成为解决多元高次方程的重要工具。
几何学方面，刘徽也有着显著的成就。
他首次尝试计算角度速度比，也就是求解圆周率的问题。
他使用了多个不同的方法，包括计算圆的周长和直观测量，从而取得了圆周率的精确值。
另外，刘徽也是第一个使用解析几何来解决几何问题的数学家之一。
他的“能除尽方则可平之法”，是将一般的代数方程化为几何形式的重要方法之一。
数论方面，刘徽的“勾股数”在西方也被称为勾股三元数，是中国数学史上一项重要的成就。
勾股数有广泛的应用，包括在几何学、物理学和金融学中。
在勾股数的研究中，刘徽被认为是数论、代数和几何学的大师。
他发展了勾股数的基础理论，并为数学家提供了解决不同类型数学问题的工具。
除此之外，刘徽还发展了夹逼定理，即现代数分析中的“夹逼定理”，这是计算函数上限和下限的一种有效方法。
他还研究了象限比例、幂等元、立方体求根和二项式定理等诸多问题。
总的来说，刘徽在数学领域中的成就为中国古代数学的繁荣奠定了重要基础。
他的思想和方法在千年之后仍然被广泛运用和传承，为后来的数学家和科学家提供了源源不断的启示。
数学家刘徽的成就
32高师理科学刊第30卷The existence of the limit of bivariate function about the univariate formCAO Hui-zhen（Department of Science ，College of Oujiang ，W enzhou University ，Wenzhou 325035，China ）Abstract ：The limit questions o f biv ariate function about the univariate fo rm w ere explored ，so me co nclusions abo ut existence o f the limit and limit o peration w ere o btained through the comparison of definitio n of univariate and biv ariate functio n ．Key w ords ：bivariate function ；existence o f the limit ；limit operation数学家刘徽的成就江献提到圆周率π和球体积公式，人们首先想到的是祖冲之父子．其实，祖冲之父子这2项伟大的数学成就皆应归功于数学家刘徽．刘徽（公元225-295），魏晋时期中国最杰出的数学家[1]．他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上均有深远影响，对现代数学的发展具有重大贡献．1刘徽的割圆术割圆术是刘徽为《九章算术》方田章圆田术作注时引入的．《九章算术》提出了圆田术：半周半径相乘得积步．即圆面积公式Lr S 5.0=，其中：r L S ,,分别是圆面积、周长和半径[2]．刘徽指出圆周率“非周三径一之率也．周三者从其六觚之环耳”．就是说，周三仅是圆内接正六边形之周长，而不是圆周长[3]90．为此，刘徽提出了割圆术．从圆的内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积[4]78．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”[5]，也就是说，当分割的次数无限增加时，则存在圆内接正多边形面积的极限，此极限就是圆面积．刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径r 为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数后2位的近似值14.3π≈，化成分数为50/157，这就是有名的“徽率”．刘徽还进一步声明:“此率尚微少”[6]．200多年后，南北朝杰出的数学家、天文学家祖冲之（公元429-500）及其儿子祖暅一起利用刘徽的割圆术方法，一直算到正57624边形，得圆周率16592141.3，后经过艰辛的计算得出圆周率π的8位可靠数字：7592141.3π6592141.3<<．这不但在当时是最精密的圆周率，而且这个数字在全世界保持领先地位1000多年[7]．2刘徽关于球体积的研究刘徽首先指出了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径[4]82．他作球的外切立方体，同时用2个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿，这时球就被包含在2圆柱相交的公共部分中，而且与圆柱相切．刘徽只保留2圆柱的公交部分，给它取名为“牟合方盖”．将球和“牟合方盖”用水平截面去截，其面积之比恒为4:π[3]104，利用“出入相补原理”：一个平面图形从一处移置它处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系．立体的情形也是如此．刘徽得到球和“牟合方盖”的体积比也为4:π[8]，也就是说，只要求出“牟合方盖”的体积即可得到球的体积．然而，遗憾的是刘徽没有能够直接求出“牟合方盖”的体积．200多年后，祖冲之父子继续“牟合方盖”的研究，终于得到3)2)(3/2(r V =牟，并将刘徽的思想上升为理论，提出了祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异”，这里势指高，幂指截面积[9]．即2个等高立体如果在所有等高处的水平截面积相同，则2个立体的体积相同．将其代入刘徽的结论中即得到熟悉的球体积公式3π/34r V ）（球=．刘徽数学成就为祖氏父子以及后来数学的发展奠定了坚实的理论基础．然而由于刘徽对一些理论缺乏实际的应用，也使得他与一些重要理论的研究成果失之交臂，使得他在中国乃至世界数学史上的声名和地位远逊于祖氏父子．参考文献：[1]赵刊，周宝成．数学趣味史话[M]．成都：西南交通大学出版社，2006：1．[2]郭书春．关于刘徽的割圆术[J]．高等数学研究，2007（1）：118-120．[3]李迪．中国数学史简编[M]．沈阳：辽宁人民出版社，1984：90-104．[4]李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，1999：78-82．[5]王宗儒．古算今谈[M]．武昌：华中工学院出版社，1986：74．[6]朱家生．数学史[M]．北京：高等教育出版社，2004：60．[7]应六英．圆周率-π[J]．江西电力职业技术学院学报，2004（9）：5-8．[8]吴文俊．《九章算术》与刘徽[M]．北京：北京师范大学出版社，1982：59．[]李宇袆．“牟合方盖”研究[]．雁北师范学院学报，3（）：．（作者单位：曲靖师范学院教师教育学院，云南曲靖655）9J 20010108-109011。
刘徽的数学成就
刘徽的数学成就文章来源：现代教育报·思维训练作者：本报点击数：3994 更新时间：2008-5-18 15:52:4一、刘徽生平刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，称为“布衣”数学家．刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注．刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中传统数学理论研究的奠基之作．刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入堪称数学史上的一代楷模．二、《九章算术注》此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．1．算术(1)十进分数刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用表示无理根的近似值．这种记数法与现代刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理的十进小数近似值的方法一致，即其中a1，a2，…，an是0至9之间的一位整数．(2)齐同术《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．2．代数(1)对正负数的认识《九章术》成书后正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．(2)对线性方程组解法的改进《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改创立了互乘相消法．例如方程组刘徽是这样解的：(1)×2，(2)×5，得(4)-(3)，得21y＝20(下略)．显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．(3)方程理论的初步总结刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．3．几何(1)割圆术刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法---割圆术体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，而简化运算．他利用公式(ln 为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可得正12边形边长(图4．14)：TR＝OR-OT，后，便根据S192＜S＜S192＋(S192－S96)刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到π＝3．14、这种方法可以求得任意精度圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的．不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数．割圆术的创立是数学史上的一件大事．古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287---前212曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻一些．刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的．(2)几何定理的证明刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理．例如，他在证明三角形积公式时，思路如下：把三角形的高h二自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂．”可惜的是原图失所以不知刘徽怎样“出入相补”．刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居不易之率也”．即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图4·16中ABCDE)和一个鳖臑(图4·中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一．”为叙述方便，我们称之为阳马定理．刘从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式．另外，他发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数则这两立体的体积之比也等于该常数．这一原理可称为“刘徽原理”．在《九章算术注》中刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积π∶4．书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的．(3)对球体积的研究刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积式．他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4．17)是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切．刘徽只保留两圆柱的公共部分，名“牟合方盖”．(图4．18)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体体积，整个问题就迎而解了．刘徽没有成功，只好“以俟能言者”．但他的思路正确，为后人解决这一问题打下基础．4．刘徽的极限观念从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想．他把极限用于代数和几何研究取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展．例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上．他说：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时正多边形面积的极限便是圆的面积．他还把割圆术用于求弓形面积．如图4．19，刘徽在弓内为弓形面积．显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度．刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到值，只能根据需耍，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度．刘徽正是在这种极限观念基础上创立十进分数的．他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算．三、刘徽的重差术重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和高，写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其者必用重差．”全书只有九道题，但很有代表性．例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前对齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？按题意画图如下：因当时1步为6尺，故标杆高5步．由刘徽术文，得若用字母表示，则因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比，所以叫重差术．这是书中最简单一题，只须测望二次．其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同．刘徽曾著《重图》和《重差注》，可能是用来推导术文的，已佚．估计刘徽的推导方法不外两种，一是利出入相补，二是利用相似三角形．如果用三角知识去解重差问题，结果也是一样的．中国传统数学无三角，重差术便着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一．四、刘徽的学术思想刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的．概括起来，他的术思想有如下特点．1．富于批判精神．刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而有自己的主见．他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失．”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》．2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这思想．例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体3．注意把数学的逻辑性和直观性结合起来．刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用．他认为只有这样才能使数学既简又明．实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重数学概念，都给出明确定义．他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密．例他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的．另一方面，徽也很注意数学的直观．他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)．有时，他还在证明过中辅之以剪贴和涂色的方法．总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段所以他的理论明白易懂．五、与刘徽同时代的数学家---赵爽赵爽是三国时代吴国数学家．他与刘徽一南一北，各自独立地进行数学研究，刘注《九算术》而赵注《周髀算经》．虽然《周髀算经注》没有《九章算术注》那样精采，但其中也不少独到见解．尤其是一段名为“勾股圆方图”的论文，是数学史上的珍贵文献．文中给出股定理的证明，并导出勾、股、弦及其和差互求的24条命题．令人惊讶的是，这样丰富的容，竟包含在仅五百余字的论文中，可见语言之精炼．下面便根据赵爽的弦图及注文，介绍证明勾股定理的方法．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形(图4．21)，其面积称为弦实．图中包含四个全的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称朱实、黄实．因为勾×股=朱实，所以2×勾×股=4朱实，又因为(股-勾)2=黄实，所以2×勾×股+(股-勾)2＝4朱实+黄实=弦实．化简，得勾2+股2=弦2．另外，赵爽在《周髀算经注》中还给出并证明了日高术，构思十分巧妙．其术为：在地上立两根高为h的表(标杆)AB和CD，它们之间距离为d，太阳照表，得影长a1，a2，则赵爽画日高图如图4．22，证明思路如下：由出入相补原理，得□HC=□CN，□GC=□AN(□表矩形面积)．相减，得□HJ=□CB，∴(a1-a2)×HI＝dh，赵爽的这种出入相补方法对后世有一定影响，只是由于日高术假定大地是平面，所以不可能得日高的正确数值．</DIR< p>文章来源：现代教育报·思维训练作者：本报点击数：4161 更新时间：2008-5-18 15:52:49/math/ShowArticle.asp?ArticleID=389&Page=1/AMuseum/math/4/46/4_46_1009.。
刘徽的数学成就
第三节刘徽的数学成就一、刘徽生平刘徽是中国古代最伟大的数学家之一．他是三国时代魏国人，籍贯山东，生卒年不详，约死于西晋初年．刘徽出身平民，终生未仕，被称为“布衣”数学家．刘徽在童年时代学习数学时，是以《九章算术》为主要读本的，成年后又对该书深入研究，于公元263年左右写成《九章算术注》，刘徽自序说：“徽幼习《九章》，长再详览．观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注．”刘徽在研究《九章算术》的基础上，对书中的重要结论一一证明，对其错误予以纠正，方法予以改进，并提出一些卓越的新理论、新思想．《九章算术注》是刘徽留给后世的十分珍贵的数学遗产，是中国传统数学理论研究的奠基之作．刘徽还著有《重差》一卷，专讲测量问题．他本来把《重差》作为《九章算术注》的第十卷，唐代初年改为单行本，并将书名改作《海岛算经》，流传至今．从刘徽著作来看，他学风严谨，实事求是，而且富于批判精神，敢于创新，理论研究相当深入，堪称数学史上的一代楷模．二、《九章算术注》此为刘徽的力作，反映了他在算术、代数、几何等方面的杰出贡献．1．算术(1)十进分数刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值．这种记数法与现代刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母．退之弥下，其分弥细．”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致，即其中a1，a2，…，a n是0至9之间的一位整数．(2)齐同术《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善．他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”．前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变．另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及盈不足问题．2．代数(1)对正负数的认识《九章算术》成书后，正负数的运算越来越广泛，但究竟应该如何认识正负数，却很少有人论及．刘徽在《九章算术注》中首次给出正负数的明确定义：“今两算得失相反，要令正负以名之．”就是说以正负数表示得失相反的量．他还进一步阐述正负的意义：“言负者未必负于少，言正者未必正于多．”即负数绝对值未必少，正数绝对值未必大．另外，他又提出筹算中表示正负数的两种方法：一种是用红筹表正数，黑筹表负数；再一种是以算筹摆法的正、斜来区别正、负数．这两种方法，对后世数学都有深远影响．(2)对线性方程组解法的改进《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法．例如方程组刘徽是这样解的：(1)×2，(2)×5，得(4)-(3)，得21y＝20(下略)．显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法．(3)方程理论的初步总结刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件．若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例．刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．对于方程组的性质，刘徽总结出如下诸条：“令每行为率”，即方程各项成比例地扩大或缩小，不改变方程组的解；“每一行中，虽复赤黑异算，无伤”，即方程各项同时变号，不改变方程组的解；“举率以相减，不害余数之课也，即两方程对应项相减，不改变方程组的解．很明显，刘徽对于线性方程组的初等变换，已经基本掌握了．不过，他没有考虑交换两个方程的位置，因为不进行这种变换亦可顺利求出方程组的解，而且调换算筹的位置是不方便的．3．几何(1)割圆术刘徽以前，一般采用周三径一的圆周率，这是很不精确的．刘徽在《九章算术注》中指出：周三径一的数据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值，不是圆周与直径的比值．他认为圆内接正多边形的边数越多，其面积就越接近圆面积．他从这一思想出发，创立了科学的求圆周率方法---割圆术．具体来说，就是以1尺为半径作圆，再作圆内接正六边形，然后逐渐倍增边数，依次算出内接正六边形、正12边形乃至正192边形的面积．刘徽之所以选半径为1，是为了使圆面积在数值上等于圆周率，从而简化运算．他利用公式(l n为内接正n边形边长，S2n为内接正2n边形面积)来求各正多边形面积．至于正多边形边长，他是反复利用勾股定理来求的．例如，由以下三式即可求得正12边形边长(图4．14)：TR ＝OR -OT ，后，便根据S 192＜S ＜S 192＋(S 192－S 96)刘徽舍弃分数部分，取圆面积为314平方寸，从而得到π＝3．14、这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值，刘徽对这一点是很清楚的．不过，他根据当时的需要，运算中只取到两位小数．割圆术的创立是数学史上的一件大事．古希腊的阿基米德(Archimedes ，公元前287---前212)也曾用割圆术求圆周率，他的方法是以圆内接正多边形和外切正多边形同时逼近圆，比刘徽的方法麻烦一些．刘徽的成就晚于阿基米德，但是独立取得的．(2)几何定理的证明刘徽采用出入相补原理，证明了《九章算术》中许多几何公式和定理．例如，他在证明三角形面积公式时，思路如下：把三角形的高h 二自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂．”可惜的是原图失传，所以不知刘徽怎样“出入相补”．刘徽在研究立体几何时，发现“邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．即“过对角面分割堑堵为一个阳马(图4·16中ABCDE)和一个鳖臑(图4·16中DEFC)，则阳马与鳖臑的体积之比恒为二比一．”为叙述方便，我们称之为阳马定理．刘徽从长方体体积公式出发证明了这一定理，然后用它证明了各种多面体的体积公式．另外，他还发现了一条重要原理：对两个等高的立体，若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数，则这两立体的体积之比也等于该常数．这一原理可称为“刘徽原理”．在《九章算术注》中，刘徽多次运用了这一原理，例如，圆台体积∶外切正四梭台体积=圆面积∶外切正方形面积=π∶4．书中对圆锥、圆台等旋转体体积公式的推导，都是以刘徽原理为依据的．(3)对球体积的研究刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确，试图利用刘徽原理求出正确的球体积公式．他首先作球的外切立方体，然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图4．17)．于是，球便被包在两圆柱相交的公共部分，而且与圆柱相切．刘徽只保留两圆柱的公共部分，取名“牟合方盖”．(图4．18)根据刘徽原理，球体积与牟合方盖体体积，整个问题就迎刃而解了．刘徽没有成功，只好“以俟能言者”．但他的思路正确，为后人解决这一问题打下了基础．4．刘徽的极限观念从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想．他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展．例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上．他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积．他还把割圆术用于求弓形面积．如图4．19，刘徽在弓形内为弓形面积．显然，用此方法可使弓形面积达到任何需要的精确度．刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需耍，求到“虽有所弃之数，不足言之也”的程度．刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的．他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算．三、刘徽的重差术重差术是中国古代的一种重要测量方法，用以测量不可到达的距离．刘徽对这一理论进行了总结和提高，写出重差术专著---《海岛算经》(即《重差》)．他在序言中说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”全书只有九道题，但很有代表性．例如第一题(译为今文)：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐．从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？按题意画图如下：因当时1步为6尺，故标杆高5步．由刘徽术文，得若用字母表示，则因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比，所以叫重差术．这是书中最简单的一题，只须测望二次．其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同．刘徽曾著《重差图》和《重差注》，可能是用来推导术文的，已佚．估计刘徽的推导方法不外两种，一是利用出入相补，二是利用相似三角形．如果用三角知识去解重差问题，结果也是一样的．中国传统数学无三角，重差术便起着与西方平面三角类似的作用，这是中国数学的特色之一．四、刘徽的学术思想刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的．概括起来，他的学术思想有如下特点．1．富于批判精神．刘徽在数学研究中不迷信权威，也不盲目地踩着前人的脚印走，而是有自己的主见．他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观点，还批评了那种泥守古人“周三径一”的踵古思想，说：“学者踵古，习其谬失．”刘徽正是因为有这种可贵的批判精神，才在研究《九章算术》时发现许多问题，从而深入探讨，写出名垂千古的《九章算术注》．2．注意寻求数学内部的联系．刘徽在《九章算术注》的序言中说：“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已．”不难看出，他的整个数学研究都贯穿了这一思想．例如，他把许多平面几何问题归为出入相补，把许多体积公式的推导归为刘徽原理，把各种比例问题归为今有术，以及用重差术的一般方法解决各种测量问题，都是这一思想的体现．3．注意把数学的逻辑性和直观性结合起来．刘徽主张“析理以辞，解体用图”，就是说问题的理论分析要用明确的语言表达，空间图形的分解要用图形显示，也就是理论和直观并用．他认为只有这样才能使数学既简又明．实际上，他对原书和《九章算术注》中提出的重要数学概念，都给出明确定义．他对定理、公式的证明基本上采取演绎法，推理相当严密．例如，他从长方体体积公式出发，运用极限观念，证明了阳马定理，又用阳马定理证明了棱锥、棱台的体积公式，然后根据刘徽原理推出圆锥、圆台的体积公式，是一环扣一环的．另一方面，刘徽也很注意数学的直观．他常借助图形来证明平面几何定理，称为图验法；借助立体模型来研究开立方和推导体积公式，称为棋验法(刘徽称特定的立体模型为棋)．有时，他还在证明过程中辅之以剪贴和涂色的方法．总之，他在数学研究中既注意逻辑推理，又注意运用直观手段，所以他的理论明白易懂．五、与刘徽同时代的数学家---赵爽赵爽是三国时代吴国数学家．他与刘徽一南一北，各自独立地进行数学研究，刘注《九章算术》而赵注《周髀算经》．虽然《周髀算经注》没有《九章算术注》那样精采，但其中也有不少独到见解．尤其是一段名为“勾股圆方图”的论文，是数学史上的珍贵文献．文中给出勾股定理的证明，并导出勾、股、弦及其和差互求的24条命题．令人惊讶的是，这样丰富的内容，竟包含在仅五百余字的论文中，可见语言之精炼．下面便根据赵爽的弦图及注文，介绍他证明勾股定理的方法．弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形(图4．21)，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称朱实、黄实．因为勾×股=2朱实，所以2×勾×股=4朱实，又因为(股-勾)2=黄实，所以2×勾×股+(股-勾)2＝4朱实+黄实=弦实．化简，得勾2+股2=弦2．另外，赵爽在《周髀算经注》中还给出并证明了日高术，构思十分巧妙．其术为：在地面上立两根高为h的表(标杆)AB和CD，它们之间距离为d，太阳照表，得影长a1，a2，则赵爽画日高图如图4．22，证明思路如下：由出入相补原理，得□HC=□CN，□GC=□AN(□表矩形面积)．相减，得□HJ=□CB，∴(a1-a2)×HI＝dh，赵爽的这种出入相补方法对后世有一定影响，只是由于日高术假定大地是平面，所以不可能得到日高的正确数值．。
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刘徽在研究立体几何时,发现"邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑, 阳马居二,鳖臑居一,不易之率也".即"过对角面分割堑堵为一个 阳马(图416中ABCDE)和一个鳖臑(图416中DEFC),则阳马与鳖臑 的体积之比恒为二比一."为叙述方便,我们称之为阳马定理.刘徽 从长方体体积公式出发证明了这一定理,然后用它证明了各种多面体 他还发现了一条重要原理: 的体积公式.另外,他还发现了一条重要原理:对两个等高的立体, 他还发现了一条重要原理 对两个等高的立体, 若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数, 若用平行于底面的平面截得的面积之比为一常数,则这两立体的体积 之比也等于该常数.这一原理可称为"刘徽原理" 之比也等于该常数.这一原理可称为"刘徽原理".在《九章算术注》 中,刘徽多次运用了这一原理,例如,圆台体积:外切正四梭台体积= 圆面积:外切正方形面积=:4.书中对圆锥,圆台等旋转体体积公 式的推导,都是以刘徽原理为依据的.
对于方程组的性质,刘徽总结出如下诸条:"令每 行为率",即方程各项成比例地扩大或缩小,不 即方程各项成比例地扩大或缩小, 即方程各项成比例地扩大或缩小 改变方程组的解; 改变方程组的解 "每一行中,虽复赤黑异算,无伤",即方程各项 方程各项 同时变号,不改变方程组的解; 同时变号,不改变方程组的解; "举率以相减,不害余数之课也,即两方程对应项 两方程对应项 相减,不改变方程组的解. 相减,不改变方程组的解. 很明显,刘徽对于线性方程组的初等变换,已经基 本掌握了. 不过,他没有考虑交换两个方程的位置,因为不进 行这种变换亦可顺利求出方程组的解,而且调换算 筹的位置是不方便的.
2.代数 .
(2)对线性方程组解法的改进 《九章算术》中用直除法解线性方程组,比较麻 烦.刘徽在方程章的注释中,对直除法加以改进,创立了 互乘相消法.例如方程组
刘徽是这样解的: (1)×2,(2)×5,得
(4)-(3),得 21y=20(下略). 显然,这种方法与现代加减消元法一致,不过那时用 的是筹算.刘徽认为,这种方法可以推广到多元,"以小 推大,虽四,五行不异也."他还进一步指出,"相消" 时要看两方程首项系数的同异,同则相减,异则相加.刘 徽的工作,大大减化了线性方程组解法.
这种方法可以求得任意精度的圆周率近似值,刘徽对 这一点是很清楚的.不过,他根据当时的需要,运算 中只取到两位小数. 割圆术的创立是数学史上的一件大事.古希腊的阿基 米德(Archimedes,公元前287---前212)也曾用割圆 术求圆周率,他的方法是以圆内接正多边形和外切正 多边形同时逼近圆,比刘徽的方法麻烦一些.刘徽的 成就晚于阿基米德,但是独立取得的.
3.几何 几何
(1)割圆术 刘徽以前,一般采用周三径一的圆周率,这是很不精 确的.刘徽在《九章算术注》中指出:周三径一的数 据实际是圆内接正六边形周长和直径的比值,不是圆 周与直径的比值.他认为圆内接正多边形的边数越 他认为圆内接正多边形的边数越 其面积就越接近圆面积.他从这一思想出发, 多,其面积就越接近圆面积.他从这一思想出发, 创立了科学的求圆周率方法---割圆术 割圆术. 创立了科学的求圆周率方法 割圆术.具体来说, 就是以1尺为半径作圆,再作圆内接正六边形,然后 逐渐倍增边数,依次算出内接正六边形,正12边形 乃至正192边形的面积.刘徽之所以选半径为1,是 为了使圆面积在数值上等于圆周率,从而简化运算.
(2)几何定理的证明 几何定理的证明
刘徽采用出入相补原理,证明了《九章算术》中许多几何公式和 定理.例如,他在证明三角形面积公式时,思路如下:把三角形的高 在证明三角形面积公式时, 在证明三角形面积公式时 思路如下: h二等分,以盈补虚拼成一个长方形,其面积为 二等分, 二等分 以盈补虚拼成一个长方形,其面积为1/2ah,正好是原三角 , 形的面积,他证明勾股定理的方法是,"勾自乘为朱方,股自乘为青 形的面积, 方,令出入相补,各从其类,因就其余不移动也,合成弦方之幂."
2.代数 .
(3)方程理论的初步总结 刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上,提出 了比较系统的方程理论.刘徽所谓"程"是程式或关系式 的意思,相当于现在的方程,而"方程"则相当于现在的 方程组.他说:"二物者再程,三物者三程,皆如物数程 之.并列为行,故谓之方程."这就是说:"有两个所求 之物,需列两个程;有三个所求之物,需列三个程.程的 个数必须与所求物的个数一致.诸程并列,恰成一方形, 所以叫方程."这里的"物",实质上是未知数,只是当 时尚未抽象出未知数的明确概念.定义中的"皆如物数程 之"是十分重要的,它与刘徽提出的另一原则"行之左右 无所同存",共同构成了方程组有唯一组解的条件.
按题意画图如下:
因当时1步为6尺,故标杆高5步.由刘徽术文,得
若用字母表示,则
因公式中用到d(两杆与岛的距离差)和a1-a2两差之比, 重差术. 所以叫重差术.这是书中最简单的一题,只须测望 重差术 二次.其他问题往往要测望三次或四次,但原理与本 题相同.刘徽曾著《重差图》和《重差注》,可能是 用来推导术文的,已佚.估计刘徽的推导方法不外两 种,一是利用出入相补,二是利用相似三角形. 如果用三角知识去解重差问题,结果也是一样的.中 国传统数学无三角,重差术便起着与西方平面三角类 似的作用,这是中国数学的特色之一.
二,《九章算术注》 九章算术注》
1.算术 (1)十进分数 在刘徽之前,计算中遇到奇零小数时,就用带分数表 示,或者四舍五入.刘徽首创十进分数,用以表示无 理根的近似值.这种计数与现代
刘徽用忽来表示,但a后各位就不必再命名了,刘徽 称它们为"微数",说:"微数无名者以为分子,其 一退以十为母,其再退以百为母.退之弥下,其分弥 细."这种方法,与我们现在开平方求无理根的十进 小数近似值的方法一致,即
(3)对球体积的研究
刘徽发现了《九章算术》中球体积公式不正确,试图利用 刘徽原理求出正确的球体积公式.他首先作球的外切立方 体,然后用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿 (图4.17).于是,球便被包在两圆柱相交的公共部分, 而且与圆柱相切.刘徽只保留两圆柱的公共部分,取名 "牟合方盖". (图4.18)根据刘徽原理,球体积与牟合 方盖体积之比等于圆的面积与外切正方形的面积体积,只 要求出牟合方盖整个问题就迎刃而解了.刘徽没有成功, 只好"以俟能言者".但他的思路正确,为后人解决这一 问题打下了基础.
四,刘徽的学术思想
刘徽所以能在数学上取得卓越成就,是与他先进 的学术思想分不开的.概括起来,他的学术思想有如 下特点. 1.富于批判精神.刘徽在数学研究中不迷信权 .富于批判精神. 威,也不盲目地踩着前人的脚印走,而是有自己的主 见.他曾一针见血地指出张衡关于球体积的不正确观 点,还批评了那种泥守古人"周三径一"的踵古思想, 说:"学者踵古,习其谬失."刘徽正是因为有这种 可贵的批判精神,才在研究《九章算术》时发现许多 问题,从而深入探讨,写出名垂千古的《九章算术 注》.
4.刘徽的极限观念 .
从《九章算术注》可以看到,刘徽具有 明确的极限思想.他把极限用于代数和几何 研究,取得重要成果.这说明极限思想从春 秋战国时期萌芽以后,到这时已有较大发 展.
例如,刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上.他说: "割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与 圆合体而无所失矣."就是说当圆内接正多边形的边数无 就是说当圆内接正多边形的边数无 限增加时,正多边形面积的极限便是圆的面积. 限增加时,正多边形面积的极限便是圆的面积.他还把 割圆术用于内作以 a1为底,h1为高的等腰三角形,求出其面积,再以此三 角形的两腰为底作小弓形的内接等腰三角形,每个小三角 形的面积为,如此类推,刘徽把这些等腰三角形面积之和 的极限定义为弓形面积.显然,用此方法可使弓形面积达 到任何需要的精确度. 刘徽在研究开方不尽的问题时,认为求出的位数越多,就 越接近真值,但永远不会达到真值,只能根据需耍,求到 "虽有所弃之数,不足言之也"的程度.刘徽正是在这种 极限观念的基础上创立十进分数的.他在征明有关体积的 定理(如阳马定理)时也用到极限,并深刻地指出,极限问 题"谓以情推,不用筹算",就是说研究极限靠思维和推 理而不靠具体计算.
若译成现代数学语言,这两条即:方程个数必须与 方程个数必须与 未知数个数一致, 未知数个数一致,任意两个方程的系数不能相同或 成比例. 成比例. 刘徽还认识到,当方程组中方程的个数少于所求物 当方程组中方程的个数少于所求物 个数时,方程组的解不唯一;如果是齐次方程组, 个数时,方程组的解不唯一;如果是齐次方程组, 则方程组的解可以成比例地扩大或缩小, 则方程组的解可以成比例地扩大或缩小,即"举率 以言之" 以言之".
其中a1,a2,…,an是0至9之间的一位整数.
1.算术 算术
(2)齐同术 《九章算术》中虽有分数通分的方法,但没有形 成完整理论,刘徽提出齐同术,使这一理论趋于完 善.他说:"凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同." 又进一步提出通分后数值不变的理论依据,即"一乘 一除,适足相消,故所分犹存"法实俱长,意亦等 也". 前句话的意思是,一个分数用同一个(非零)数一乘一 一个分数用同一个(非零 一个分数用同一个 非零)数一乘一 其值不变;后句话的意思是,分数的分子,分 分数的分子, 除,其值不变 分数的分子 母扩大同一倍数,分数值不变. 母扩大同一倍数,分数值不变.刘徽指出,"同" 即一组分数的公分母,"齐"是由"同"而来的,是 为了使每个分数值不变.