浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷

浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷
注意：(1) 试卷共有三大题35小题，满分200分，考试时间150分钟.
(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.
一、 选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.
1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2
x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上
2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )
(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则a
a a a 1,
,,33
一定是 ( ) (A) a 1最小，3a 最
大 , (B) 3a 最小，a 最大 (C)
a 1最小，a 最大 , (D) a
1
最小， 3a 最大 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）
(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1
(C) AF 2
= FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC
5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44
6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 448
7、下列图中阴影部分面积与算式2
1
31242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
的结果相同的是【 】
8、下列命题中正确的个数有…【 】
① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，
非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 9、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。

甲旅行社告知：父母
买全票，女儿按
半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。

若这两家旅行社每人的原标价相同，那么…【 】
A 、甲比乙更优惠
B 、乙比甲更优惠
C 、甲与乙相同
D 、与原标价有关
10、如图，∠ACB ＝60○
，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右
滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为【 】
A 、2π
B 、π
C 、32
D 、 4
11、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，
则m n 等于…【 】
A 、36
B 、37
C 、38
D 、39
二、填空题（本题有14个小题，每小题4分，共56分）
12．若4sin 2
A – 4sinAcosA + cos 2
A = 0, 则tanA = ___ ___ . 13．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A 、
B 两艘船相会之后，A 船以每小时12海浬的速度往南航行，B 船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形. 14. 如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别
为4、2，则通过A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 . 15．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。

已知大球的半径为20cm ，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.
16.物质A 与物质B 分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动，物质B 按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐
是 .
17．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个
2
3
相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则 (1) 圆2C 的半径长等于
(用a 表示)；
(2) 圆k C 的半径为 ( k 为正整数，用a 表示，不必证明) 18、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。

19、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 。

20、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。

甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）
如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。

21、已知点A 是一次函数x y =的图像与反比例函数x
y 2
=
的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OB OA =（O 为坐标原点），则AOB ∆的面积为 。

22、如果多项式2
12x px ++可以分解成两个一次因式的积，那么整数p 的值是 。

23、如右图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足。

延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP =x （01x ≤≤），△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ，把y 表示为x 的函数是 。

24、已知12x x ，为方程2420x x ++=的两实根， 则3121455x x ++= 。

25、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做
中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。

三、解答题（本题有10个小题，共111分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

笔试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙
90
88
90
26.（本小题满分10分）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，且AD 是圆O 的直径，DC 与AB 的
延长线相交于E 点，OC ∥AB. (1) 求证AD = AE ；
(2) 若OC=AB = 4，求△BCE 的面积.
27.（本题满分10分）已知抛物线y = x 2
+ 2px + 2p –2的顶点为M ，
(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；
(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A ，B ，求实数p 的值使△ABM 面积达到最小.
28 （本小题满分12分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：
胜一场
平一场 负一场 积分 3 1 0 奖励（元/每人）
1500
700
当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A 队共积19分。

(1) 试判断A 队胜、平、负各几场?
(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W （元），试求W 的最大值.
29.（本小题满分16分）已知：矩形ABCD ，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy 中，使AB 在x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =
2
3
x －1经过这两个顶点中的一个. （1）求出矩形的顶点A 、B 、C 、D 的坐标；
（2）以AB 为直径作⊙M ，经过A 、B 两点的抛物线，y = ax 2
＋bx ＋c 的顶点是P 点. ① 若点P 位于⊙M 外侧且在矩形ABCD 内部，求a 的取值范围；
② 过点C 作⊙M 的切线交AD 于F 点，当PF ∥AB 时，试判断抛物线与y 轴的交点Q 是位于直
线y =3
2
x －1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.
30、（10分）在ABC ∆中，AC AB =， 45=∠A 。

AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E 两点，连结CD ，如果1=AD ，求：BCD ∠tan 的值。

31、（11分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。

现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。

经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。

⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？ ⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不
能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？
32、（10分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中2=AF ，1=BF 。

为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

甲 乙 价格（万元／台） 7 5 每台日产量（个） 100 60
33、（10分）如图所示等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD CB =,对角线AC 与BD 交于O ,60ACD ∠=, 点S P Q 、、分别是OD OA BC 、、的中点。

求证：△PQS 是等边三角形。

34、（10分）如右图，直线OB 是一次函数2y x =的图像，点A 的坐标是（0，2），点C 在直线OB
上且△ACO 为等腰三角形，求C 点坐标。

35、（12分）已知关于x 的方程018)13(3)1(2
2
=+---x m x m 有两个正整数根（m 是整数）。

△ABC 的三边a 、b 、c 满足32=c ，0822=-+a m a m ，082
2=-+b m b m 。

求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积。