换元积分法

2018/8/1
20
1
三角代换
2 2
例13 求 a x dx
(a 0).
dx a cos tdt
2
解
x a sin t ,
2 2

2
t
2

2
2
a x a a sin t a cos t
a x dx a cos t a cos tdt
x ln a
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x a a
2
2
C.
x
t a
x a
2
2
22
例15 求

1 dx (a 0). 2 2 x a
2
解 令 x a tan t dx a sec tdt

1 1 2 dx a sec tdt 2 2 a sec t x a
正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂齐次幂拆开 d 放在微分号 后面。
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1 (1 cos x )d cos x (cos x cos3 x ) C 3
2
11
1 dx. 例8 求 x 1 e
x
1 e 1 dx dx dx 解 (1 e )e 1 e 1 e
2 4 6
1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
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例12 求 cos 3 x cos 2 xdx .
解 利用三角学中的积化和差公式，得

1 cos 3 x cos 2 x (cos x cos 5 x ), 2 1 cos 3 x cos 2 xdx 2 (cos x cos 5 x )dx 1 1 sin x sin 5 x C . 2 10
利用复合函数，设置中间变量.
1 令 t 2 x dx dt , 2 1 1 1 cos 2 xdx 2 cos tdt 2 sin t C 2 sin 2 x C .
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利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不 定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分 法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换， 得到复合函数的积分法，称为换元积分法。
tan 4 x sec 2 x sec x tan xdx
(sec 2 x 1) 2 sec 2 xd sec x
(sec 6 x 2 sec 4 x sec 2 x )d sec x 1 2 5 1 3 7 se c x se c x se c x C 7 5 3
将t e x 回代
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x e C. 原 式 2 ln e x 1
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当被积函数含有两种或两种以上的 根式 k x ,, l x 时，可采用令 x t n （其中 n为各根指数的最小公倍数） 例17 求

1 dx . 3 x (1 x )
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13
1 例10 求 dx. 1 cos x 1 dx 解 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx 2 dx 2 1 cos x sin x 1 1 2 dx 2 d (sin x ) sin x sin x 1 cot x C. sin x
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1 例5 求 2 dx. 2 a x 1 1 dx 2 解 2 2 a x a
1 a
1 2 dx x 1 2 a
1 x x 1 arctan C . 2d a x a a 1 a
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10
f ( x )dx化为积分 f [ (t )] (t )dt
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定理2 设 x ( t ) 是单调的、可导的函数， 并且 ( t ) 0，又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数，
其中 ( x ) 是 x ( t ) 的反函数.
x
dx.
考虑到被积函数中的根号是困难所在，故 1 令 t e x x 2 lnt , dx t dt, 1 2 1 1 dx dt 1 e x t (t 2 1) 2 t t 1 dt
2[lnt ln(t 1)] C
则有换元公式 f ( x )dx
f [ (t )] (t )dt
t ( x )
证
( t ) 的原函数, 设 ( t ) 为 f [ ( t )]
令F ( x ) [ ( x )]
d dt 1 则 F ( x ) f [ ( t )] ( t ) , dt dx ( t )
例14 求
1 dx (a 0). 2 2 x a
解 令x a sec t
dx a sec t tan tdt

1 a sec t tan t dx dt 2 2 x a a tan t
t 0, 2
sec tdt ln(sec t tan t ) C
例6
求 cos xdx
2
2
解 cos
xdx
1 cos 2 x dx 2
x sin 2 x 1 1 C ( dx cox2 xd ( 2 x )) 2 4 2 2
例7
3 2 sin x dx sin 解 x sin xdx
3 sin xdx
x2 2
e u du e u c
e
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x2
c
6
例2 求
解
1 3 2 x dx.
1 1 1 (3 2 x ), 3 2x 2 3 2x
1 1 1 3 2 x dx 2 3 2 x (3 2 x )dx
u 3 2x
2 2
2 2 2
a
t
a x
2
1 cos 2t a cos tdt a dt 2 a a t sin t cos t C x 2 2 x t arcsin a a2 x 1 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
2 2
2
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21
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例13 求
1 sin x csc xdx 解 dx sin x sin2 x dx 1 d (cos x ) 2 1 cos x 1 1 1 1 du du 2 2 1 u 1 u 1 u 1 1 u 1 1 cos x ln C ln C. 2 1 u 2 1 cos x ln(cscx cot x ) C .
即将
f [ ( x)] ( x)dx拼凑成 ( ( x))d ( x)
第一类换元法又称为凑微分法。
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例1
求
2 xe
x2
dx
x2
解
被积函数中的一个因子 为e
eu , u x2 ,
剩下的因子2 x恰好是u x 2的导数，于是有
2 xe
x2
dx e d ( x )
x 1 x dx ? 令 x sin t
2 2
x 1 x dx (sin t ) 1 sin t cos tdt
2 2
2
2
sin t cos tdt
2 2
目的是去掉根式。
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二 第一类换元法
若 F ( u) f ( u), 则 设
f (u)du F (u) C .
u ( x )（且可微，根据复合函数微分法，）
dF [ ( x )] f [ ( x )] ( x )dx

f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
[ f (u)du]u ( x )
于是可得下述定理
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4
定理1
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f [ ( t )] f ( x ).
说明F ( x ) 为 f ( x ) 的原函数,

f ( x )dx F ( x ) C [( x)] C ,
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
t ( x)
三角代换 第二类积分换元法 分为两种基本类型 根式代换
t , 2 2
sec tdt ln(sec t tan t ) C
x ln a
注
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x a C. a
2 2
x2 a2 t
x a
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三角代换的目的是化掉根式.
2
根式代换
例16 求 解
1
1 e
类似地可推出
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csc xdx .
sec xdx ln(sec x tan x ) C .
17
三
第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x ) 将积分
f [ ( x )] ( x )dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替 换 x ( t ) 将积分
第二节
换元积分法
(Substitution
Rules)
一 问题的提出 二 第一类换元法（凑微分法）
三 第二类换元法
四 小结
五 思考与判断题
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一
我们知道 但是 解决方法
问题的提出
cos xdx sin x C cos 2 xdx sin2 x C , (sin2 x C ) cos2 x
熟练以后就不需要进行
u ( x)
转化了
8
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x 例4 求 dx. 2 (1 x )
解
x (1 x )2 dx
x 11 (1 x)2 dx
1 1 [ ]d (1 x ) 2 (1 x ) (1 x ) 1 ln(x 1) C1 C2 (1 x ) 1 ln(x 1) C (1 x )
20Leabharlann Baidu8/8/1 14
例11 求 sin 2 x cos5 xdx . 解
2 5 2 4 sin x cos xdx sin x cos xd (sin x ) 2 2 2

sin x (1 sin x ) d (sin x ) (sin x 2 sin x sin x )d (sin x )
x x x x
e 1 d ( x ) de 1 e 1 e 1 d (1 e ) 1 e
x x x
x
x
x
ln( 1 e ) C .
x
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例9
解
求 tan 5 x sec 3 xdx
5 3 tan x sec xdx
设 f ( u) 具有原函数， u ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 注意

使用此公式的关键在于将
f [ ( x )] ( x )dx f ( ( x ))d ( x ) F ( ( x )) C

1 ln(3 2 x ) C . 2
1 1 1 du ln u C 2 u 2
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例3 求
解
1 x(1 5 ln x )dx.
1 1 x(1 5 ln x )dx 1 5 ln x d (ln x )
1 1 d (1 5 ln x ) 5 1 5 ln x u 1 2 ln x 1 1 du 5 u 1 1 ln u C ln(1 5 ln x ) C 5 5