2014山东省高考压轴卷 理科数学试题及答案

2014山东省高考压轴卷

理科数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=2a ，a ∈A}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

2. 复数21i z ()i

=-，则复数1z +在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件

4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a 3=5，S k+2﹣S k =36，则k 的值为（ ）

5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）

6.一个算法的程序框图如图所示，如果输入的x 的值为2014，则输出的i 的结果为（ ）

7.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）

A.[6K-1，6K+2](K∈Z)

B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)

C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)

D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)

8. ．在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）

B

9．已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点F 与双曲22

145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与

x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则A 点的横坐标为

(A)10.已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x+6）+f （x ）=2f （3），y=f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则f （2013）=（ ）

A.10

B.-5

C.5

D.0

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11.（3x+

）6的展开式中常数项为 （用数字作答）．

12. 若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足，则= ． 13. 设x ，y 满足约束条件，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为12，则+的最小值为（ ）

14.设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意x ∈[a ，a+2]，不等式f （x+a ）≥f （3x+1）恒成立，则实数a 的取值范围是 ________ ．

15. 已知集合A={f （x ）|f 2（x ）﹣f 2（y ）=f （x+y ）•f （x ﹣y ），x 、y ∈R}，有下列命题： ①若f （x ）=，则f （x ）∈A ； ②若f （x ）=kx ，则f （x ）∈A ；

③若f （x ）∈A ，则y=f （x ）可为奇函数；

④若f （x ）∈A ，则对任意不等实数x 1，x 2，总有成立．

其中所有正确命题的序号是 ______ ．（填上所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16．在△ABC 中，已知A=

4π，cos B =． (I)求cosC 的值；

(Ⅱ)若D 为AB 的中点，求CD 的长．

17.如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E ．

（Ⅰ）求证：PC ⊥DE ；

（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．

18. 在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为(2,)x x y --，记2

OP ξ=．

（I ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线312y x =

-上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，

求数列1n d ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭

⎩的前n 项和n T ，并求使-184055327n n n T +≤⨯成立的正整数n 的最大值. 20. 给定椭圆C ：，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是

椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是

． （1）若椭圆C 上一动点M 1满足||+||=4，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；

（2）在（1）的条件下，过点P （0，t ）（t ＜0）作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为2

，求P 点的坐标； （3）已知m+n=﹣（0，π）），是否存在a ，b ，使椭圆

C 的“伴随圆”上的点到过两点（m ，m 2），（n ，n 2）的直线的最短距离

．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．

21.已知函数f （x ）=ax 2﹣（2a+1）x+2lnx （a ＞0）．

（Ⅰ） 若a ≠，求函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）当＜a ＜1时，判断函数f （x ）在区间[1，2]上有无零点？写出推理过程．