2.5直线与圆的位置关系(2)切线的判定和性质

B
O d
l E
D A
B
O
l AE
切线的判定定理
经过半径外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
应用格式： 因为OD是圆的半径， 且OD⊥l， 所以l是圆O的切线.
判定定理的2个条件： ①经过半径外端； ②直线垂直于这个半径．
请你想一想
直线l与⊙O相切于点A，你能得到哪些结论？ 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
A
O
B
D
C
2．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝45°，AB＝AC．判断直线 AC与⊙O的位置关系，并说明理由．
B
O
A
C
拓展提升
如图：在△ABC中AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交 于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
求证：直线DE是⊙O的切线．
拓展：如果AB不是直径，其余条件不变，上面的结论还 成立吗？
典型例题
例2 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠ABC，过点D的切 线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？
课堂练习
1．如图，O是∠ABC的平分线上的一点，OD⊥BC于D，以O 为圆心、OD为半径的圆与AB相切吗？为什么？
2.5直线与圆的位置关系(2)
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数 圆心到直线的距离 d 与
半径 r 的关系 公共点的名称
直线名称
Ｏ
r d ┐A
相离
0 d＞r
．ｏ
r d┐
P
相切
O r ┐d
B
C
相交
1
2
d＝r
d＜r
切点 切线
探索切线的判定条件
如图，AB是圆O的直径，直线l过点A，l与AB的夹角为α， 当l绕点A旋转时，随着α的变化，观察l与圆O的交点的 个数，以及O到l的距离d与半径r的数量关系，当α等于 多少度时，d=r,此时直线l与圆O有何位置关系？
反证法：
（1）假设直线l与OA不垂直．
（2）作OB⊥ l，垂足为点B．
O
（3）OB＜OA，即d ＜ r．
（4）直线l与圆相交Fra Baidu bibliotek与
l
A
“直线l与圆相切”矛盾．
B
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
应用格式： 因为l是圆O的切线， 且OD是圆的半径， 所以OD⊥l。
典型例题
例1.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝ ∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．