材料力学动载荷交变应力

惯性力引起的动应力
横截面C处上下边缘（危险点） 的正应力为
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
d max
M max Wz
2436.6 21.2 106
A
C
B
Nq
N
114.9 MPa
欲使工字钢的max减至最小，
可将吊索向梁跨中点C移动，以
x
N
增加负弯矩而减小正弯矩，最后
使梁在吊索处的负弯矩等于中点
C处的正弯矩，此时，工字钢梁
M (x) qx2 , 0 x 2 2
M (x) N (x 2) qx2 , 2 x 10 2
M (x) q(12 x)2 , 10 x 12 2
从而，弯矩图为
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
A
C
B
Nq
N
xN
N
于是，最大弯矩在梁跨的中
⊕
点C处的横截面上，其值为
Mmax 2436.6 N m
精确分析——弹性体内的应力波理论 粗略估算——简单而偏与安全的分析和计算
冲击应力的计算
在冲击应力的估算中，通常假定：
在冲击过程中，冲击物不变形，并且 冲击物与被冲击物接触后无弹回，形 成一个运动系统
被冲击物的质量与冲击物相比很小， 可忽略不计，而冲击应力瞬时传遍被 冲击物，并且材料服从虎克定理
冲击过程中，声、热等能量损耗很小， 可忽略不计，即外力功、动能全部转 化为被冲击物的应变能
解 根据动静法，当工字
钢以加速度a匀速上升时，工
字钢惯性力的集度为
qd
Ag
g
a
qst
a g
其中，qst=Ag 为工字钢每单位
长度的重量。
于是，工字钢上的总均布 力的集度为
q
qst
qd
qst (1
a) g
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
A
C
B
Nq
N
根据对称性，钢 索中的轴力为
N ql 2
惯性力引起的动应力
xdx
x
g
N
可见，最大轴力发生在截面B
处，其值为Nmax=N(D/2)
惯性力引起的动应力
截面B处（危险截面）的应力为
max
N
(
D 2
)
A
l
D 2
gw 2
xdx
gw 2
(l 2
lD)
Biblioteka BaiduD 2
g
2g
当l >>D时，有近似
max
gw2 l 2
2g
x
可见，对于等截面直杆，动应
力的大小与横截面面积无关，并且，
当材料给定时，直杆转动的角速度
w 有一极限值。
惯性力引起的动应力
例 钢索以等加速度a提升重量为P 的重物M，钢索的横截面面积为 A，其重量与重物相比甚小而可 忽略不计，确定钢索的动应力。
解 由于重物以加速度a提升，故钢索除 受重物的重力P作用外，还受到重物 的惯性力作用。
于是，钢所承受的拉力为
N P Pa g
例 长l=12m的16号工字钢，用横截面面 积为A=108mm2的钢索吊起，并以等加速度 a=10m/s2上升。若只考虑工字钢的重量而不计 吊索的重量，试求吊索的动应力，以及工字钢
在危险点处的动应力max。欲使工字钢的max
减至最小，吊索的位置如何安置？
2m ~ 4m
a
4m ~ 2m
z y
惯性力引起的动应力
n=1000r/m旋转。现因在轴的另一端施加了制
动力偶（其力矩为md）而在t=0.01s内停止。 若圆轴的质量与飞轮质量相比很小而忽略不
计，确定圆轴内的最大动应力。
n
解 若飞轮在制动时作匀
d
D
减速转动，则角加速度为
w 2 n
t 60t
惯性力引起的动应力
在制动过程中，飞轮的惯性力矩为
md
I0
第十三章
动载荷、交变应力
概述
概述
动载荷——
随时间作急剧变化的载荷 作加速运动或转动的系统中构件的惯性力
构件在动载荷作用下产生的应力称之为动 应力 动应力
冲击载荷作用下产生的应力称为冲击应力 随时间作交替变化的载荷作用下产生的应力 称为交变应力
概述
疲劳破坏——构件在交变应力的长期作用下， 虽然最大工作应力远低于材料的屈服强度， 并且没有明显的塑性变形，但材料往往发生 突然断裂，这种破坏成为疲劳破坏
对16号工字钢，有
qst 201.1 N/m
从而
q
qst (1
a g
)
201.1 (1
10 ) 9.81
406.1 N/m N ql 1 406.112
22 2436.6 N
于是，钢索上的动应力为
d
N A
22.6
PMa
2m ~
a
4m
4m
~ 2m
A
C
B
Nq
N
惯性力引起的动应力
工字钢梁的弯矩为
n
30t I0
根据静动法，圆轴在两端
md
d
D
力偶md的作用下处于平衡。于
是，任一横截面上的扭矩为
md
Td
md
I0
n
30t I0
从而，圆轴的最大剪应力为
Td Wt
n
30t
I0
d3
8nI0 15d 3t
8n PD2 8g
15d 3t
nPD2 15gd 3t
65.2 MPa
16
惯性力引起的动应力
的最大弯矩减至最小，其吊索位
置见图所示。
2.484m
N
⊕
⊕
2.484m
构件受冲击荷载作用时的 动应力（冲击应力）计算
冲击应力的计算
当一运动的物体碰到一静止的构件时，前 者的运动将受到阻碍而在瞬间停止运动， 这时构件受到了冲击作用 在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物， 而阻止冲击物运动的构件称为被冲击物 分析被冲击物中产生的冲击应力和变形的 方法
匀速转动直杆的动应力
设均质等截面杆AB绕轴以角速
度w旋转，杆长为l，横截面面积为A，
计算杆的最大动应力
惯性力引起的动应力
设杆的比重为g，则杆的线质量密度为 gA/g，根据静动法，可将惯性力视为作用在
杆件上的分布力，其集度记为qd，即
qd
Ag
g
w 2 x
x
横截面x处的轴力为
qd
N(x)
l
D 2
Agw 2
交变应力作用下的构件还应进行疲劳强度校 核
动应力的严格分析和研究应采用应力波的理 论和方法，这里只讨论若干简化的分析方法 动应力分析的简化方法——修正的静载荷方 法
构件作等加速直线运动或等速转 动时的动应力
惯性力引起的动应力
构件作等加速直线运动或等速转动时， 构件由于各质点上的惯性力产生动应力，此 时，动应力的分析多采用静动法，即除外载 荷外，构件内各质点处应加上惯性力，然后 按静载荷问题进行分析和计算。
a M
N
N P Pa g
惯性力引起的动应力
从而，钢索横截面上的正应力为
d
N A
P (1 A
a) g
Kd st
a
其中，
st
P A
M
为P作为静荷载作用时 钢索横截面上的静应力
a
Kd
(1
) g
动载荷系数，反映了动 载荷的效应
N
惯性力引起的动应力
例 直径d=100mm的圆轴，一端有重量
P=0.6kN、直径D=400mm的飞轮，以均匀转速