矩阵分析史荣昌魏丰第三版第一章-第四章期末复习总结

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矩阵分析的重点(升级版)

第一章线性空间与线性变换1、充分理解抽象线性空间的概念,掌握向量的线性表出,线性相关,线性无关的判断与性质.P5,例1.1.82、掌握线性空间的基,维数,坐标的定义与求法,掌握基变换与坐标变换,明确过渡矩阵必可逆,会求过渡矩阵.P12,例1.2.63、理解线性子空间的概念,重点掌握齐次线性方程组的解空间与生成子空间,理解线性子空间的交与和以及维数公式,了解子空间的直和与补子空间.P19,例1.3.54、掌握线性映射(变换)的概念, 线性映射(变换)的矩阵表示以及一个线性变换在不同基下矩阵之间的(相似)关系.P30,例1.4.8,P35,例1.6.15、会求线性映射的核与值域,理解秩与零度定理P33,例1.5.16、理解线性变换不变子空间的定义与性质.7、会求矩阵(线性变换)的特征值与特征向量,理解矩阵(线性变换)的特征值与特征向量的性质8、掌握矩阵可对角化的条件,理解矩阵族同时可对角化的含义.第二章 λ-矩阵与矩阵的Jordan 标准形1、会求λ-矩阵的Smith 标准形2、会求λ-矩阵的不变因子,行列式因子和初等因子.明确三者之间的关系(特别是:初等因子+矩阵秩可决定不变因子) .P72,例2.2.1, 例2.2.23、理解λ-矩阵等价的几个充分必要条件.4、掌握矩阵Jordan 标准形的定义,会求矩阵的Jordan 标准形及其相似变换矩阵. P79例2.3.3第三章内积空间, 正规矩阵, Hermite 矩阵1、掌握欧氏空间和酉空间的定义与性质,掌握Hermite 矩阵的定义与性质,会求欧氏(酉)空间的度量矩阵(P94),明确欧氏空间的度量矩阵为实对称阵, 酉空间的度量矩阵为Hermite 矩阵. 例:在线性空间[]3x R 中定义内积()⎰-=11)()()(),(dx x g x f x g x f(1) 、证明[]3x R 是欧氏空间;(2) 、求基1,2,x x 的度量矩阵; (3) 、求21)(x x x f +-=与2541)(x x x g --=的内积.2、掌握线性无关向量组的Schmidt 正交化与单位化方法P100,例3.2.13、掌握酉矩阵和正交矩阵的定义与性质,理解酉变换与正交变换的定义与性质4、掌握Schur 引理的内容及实现过程,掌握正规矩阵的定义与性质P114,例3.5.1第四章矩阵分解1、掌握矩阵满秩分解的定义以及具体分解方法,明确矩阵满秩分解表达式不唯一,及其应用于求矩阵广义逆.2、掌握矩阵正交三角分解的定义以及具体分解方法,理解矩阵正交三角分解与Schmidt 正交化与单位化方法之间的关系.P148,例4.2.1例:求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011110A 的正交三角(UR)分解.第五章向量与矩阵范数1、理解向量范数的定义,会判断所给定义是否可作为向量范数,会求向量的p-范数,1-范数,2-范数, ∞-范数,学习指导上例5.12、理解矩阵范数的定义,会判断所给定义是否可作为矩阵范数3、理解矩阵范数与向量范数的相容性,掌握诱导范数的定义,会求矩阵的1-范数(列和范数), 2-范数(谱范数),∞-范数(行和范数),谱半径,学习指导上例5.6,例5.7 4、理解矩阵序列极限与矩阵序列敛散性的含义,会求矩阵序列极限,会判断矩阵序列敛散性,学习指导上例5.185、掌握矩阵幂级数敛散性的含义,会判断矩阵幂级数的敛散性,并会求收敛幂级数的和,学习指导上例5.20,例5.21,例5.22。

矩阵论第一章内容总结

定理(展开定理) 行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
第一章内容总结
推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1Aj1 ai2Aj2 ain Ajn 0, i j. ai1Aj1 ai2Aj2 ain Ajn D, i j.
定理定理
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．一个排列经过奇数次对换改变排列的奇偶性，偶数次对换不改变奇偶性。
n 2 时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，
各为 n!2 个。
第一章内容总结
6. n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
( j1 j2 jn )
(Байду номын сангаас) a a a 1 j1 2 j2
nj n
j1 j2 jn
an1 an2 ann
7. 上三角、下三角、对角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
第一章内容总结
8、行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.
如果齐次线性方程组(Ⅱ)有非零解，则它的系数行列式等于零．
11. 拉普拉斯展开
an1 ani ann an1 an i ann
4
第一章内容总结
推论如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成 m个数(m为大于2的整数)的和, 则此行列式可以写成m个行列式的和.

史荣昌魏丰版矩阵分析第一章(1)

矩阵分析主讲教师：张艳霞矩阵理论的应用微分方程、概率与统计、优化、信号处理、控制工程、经济理论等等。

工程经济理论等等如需更深入地学习和了解在自己专业的应用，可如需更深入地学习和了解在自己专业的应用可参考：《矩阵分析与应用》，张贤达著，清华大学出版社；《Matrix Analysis for Scientists & Engineers》:Alan J. Laub，SIAM.第章第一章线性空间和线性变换线性空间的基本概念及其性质线性空间的基底，维数, 坐标变换线性空间的基底维数线性空间的子空间，交与和线性映射及其值域、核线性变换及其矩阵表示矩阵（线性变换）的特征值与特征向量矩阵的可对角化条件第一节第节线性空间一：线性空间的定义与例子线性间的义定义设是一个非空的集合，是一个数域，V F 在集合中定义两种代数运算,一种是加法运算,来表示另种是运算用来表示V 用来表示; 另一种是数乘运算, 用来表示, +i并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律αββα+=+（2）加法结合律()()αβγαβγ++=++（3）零元素: 在中存在一个元素，使得对于V 0任意的都有V α∈0αα+=（4）负元素: 对于中的任意元素都存在一V α个元素使得β0αβ+=（5）i =1αα（6）()()k l kl αα=（7）()k l k l ααα+=+（8）()k k k αβαβ+=+为数域F 称这样的上的线性空间。

V例1全体实函数集合构成实数域上的线性空间。

R 例2复数域上的全体型矩阵构成的集C m n ×合为上的线性空间。

m n × C C 例3实数域上全体次数小于或等于的多项式R n 集合构成实数域上的线性空间;1[]n R x +R 实数域上全体次数等于的多项式集合不构成实数域上的线性空间;R n R二：线性空间的基本概念及其性质定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩向量组的极大线性无关组向量组的秩R例1实数域上的函数空间中，函数组2x x1,cos,cos2是线性相关的函数组。

矩阵分析

矩阵分析
教材：矩阵分析史荣昌等编
参考书矩阵分析引论矩阵论
罗家洪编程云鹏编
矩阵理论是一门最有实用价值的数学理论。在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和发展。
本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。它是线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特别向量、矩阵、二次型的相关内容。
定义2 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
定理3 向量组 1,2 , ,（m当 m 时2 ）线性相关
的充分必要条件是 1 ,2 , ,m中至少有一个向
的集合。即
R

[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0
,
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1

关于矩阵分析第4章

(AH(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2Hnn)
拟讲满秩分解,正交三角分解,奇异值分解和极分解.
初等变换与初等矩阵(p73)
三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) ①将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)=
1 1 0 1 1 1 0 1 1
引理4.3.1:对任意矩阵ACrmn有 rank(AA*)=rank(A*A)=rank A*=rank A=r. 证:因方程组Ax=0的解空间维数等于n-rank A,故为了证明 rank(A*A)=rank A (*) 只须证明下列两个方程组 Ax=0 ⑴ A*Ax=0 ⑵ 有相同的解空间即可. 显然,x满足⑴ x满足⑵. 反之,x满足⑵ x*A*Ax=0, 即 (Ax,Ax)=0 Ax=0, 即x满足⑴. 注:利用A的任意性以A*代A由(*)得 rank A=rank A*=rank((A*)*A*)=rank(AA*)
m=3,n=4,r=2. 注:可能存在不仅是常数差别的两个实质不同的满秩分解.
矩阵满秩分解的存在定理
定理4.1.1:任意矩阵ACrmn,都有满秩分解: A=BC,BCrmr,CCrrn. 证:由初等矩阵性质知:存在可逆阵PCmmm和 Er 0 Er nn 使 QCn PAQ= 0 0 0 Er 0 从而
证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的(1,1)元0.再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1;最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1.因前2列线性无关,故新的第2列与e1不线性相关且0,故用第一类行变换可使(2,2)元0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元。

矩阵分析第四章.

将上两式代入BC = B1C1，得： B1(θ1θ2)C1 = B1C1 因此有: B1HB1(θ1θ2)C1C1H = B1HB1C1C1H 其中B1HB1, C1C1H都是可逆矩阵, 因此 θ 1θ 2 = E ⇒ θ 2 = θ 1− 1 (2) 将(1)的结果代入CH(CCH)−1(BHB)−1BH即可得到.
第四章矩阵分解矩阵分解
第一节矩阵的满秩分解
定理：设定理：设A∈Crm×n, 则∃B∈Crm×r, C∈Crr×n使 A = BC 证明：设证明：设A的前r个列线性无关, 则∃P∈Cmm×m, 使
⇒
Er D PA = (即对A做初等行变换 ) 0 0 D −1 E r −1 E r A=P 0 0 =P 0 (E r D ) = BC
−1
Er m× r r×n ( ) 其中 : B = P ∈ C , C = E D ∈ C r r r 0
若A的前r个列线性相关, 则∃P∈Cmm×m, Q∈Cnn×n使
D −1 E r −1 ( ) ⇒ A = P E D Q = BC r 0 0 −1 E r m× r −1 r ×n ( ) 其中 : B = P ∈ C , C = E D Q ∈ C r r r 0
2 2 1 2
1 3 0 − 1 / 3 10 / 3 r ←r − 2r → 0 0 1 2 / 3 1 / 3 0 0 0 0 0
1 1 2
取第1列和第3列构成E2, 则B由A的第1列和第3列构成, 即
1 2 B = 2 1 , 3 3
⇒
′ k11 A = (α 1 , α 2 , L, α r ) = (ν 1 , ν 2 , L, ν r )

矩阵分析知识点总结

矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。

矩阵可以用大写字母表示。

1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。

- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。

行和列的个数分别称为行数和列数。

1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。

- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。

1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。

- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。

1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。

- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。

- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。

其秩等于不为零的行数。

- 同样列最简形矩阵都是列等价的。

其秩等于不为零的列数。

- 行秩等于列秩。

1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。

非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。

- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。

- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。

1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第四章课后习题答案

第四章矩阵分析4-1．(1)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵82100-55212311125141010551312114001-5582100-5521211251,0105513114001-55A B C A BC ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(2)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵1101010-10-1011110111123131000001110-10-101,0111123A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(3)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵12101212101212213300112124314500000048628100000001112121012,2300112146A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式(4)对矩阵A 只做初等行变换得到行简化阶梯形矩阵120111012011036142360011-1024022270000016121757300000010101201103136,0011-1020270000016173A B C A BC ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=取于是即为其满秩分解表达式4-2．解：首先注意到A 的秩为1，同时计算出HAA 的特征值12=6=0λλ，，所以A 的奇异值1=6.σ然后分别计算出属于12λλ，的标准正交特征向量.]] []121211112121,1-1,1,.3111111=[,]T TH HU UV A UVV V VAηηηηη-====⎡⎤⎢⎥=∆==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦，记，现在计算取于是r000003333HrA U V⎤⎥⎤=⎥⎥⎢⎣⎦⎥⎦⎥⎢⎥⎣⎦=∆=⎦⎥⎦或者4-3．解：(1)容易验证H H H HAA A A BB B B==,所以A,B是正规矩阵.(2)下面求A的谱分解：[][]21231123232323111(+1)(-2)=2==-1.=2=.==-1=10-1=1-0.=0=.TTTTTH E A A G λλλλλλλξλλααααξξξξ-===故的特征值为：，对于特征值，其对应的特征向量对于特征值，其对应的特征向量，，，，1，将，正交化和单位化得，，于是2223311133311133311133300111110636221210003331110226H H G ξξξξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢=+=+⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎢⎣⎢⎥⎣⎦-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦122113331213331111236333=2A G G ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-因此即为其谱分解.矩阵B 的谱分解参照矩阵A 的谱分解方法. 4-4．解：已知矩阵024102211042A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[][][]21231212331231231(+1)(+2),==-1=-2==-1=-2,1,0,4,0,1=-2=4,2,1.244[,,]102011T TTE A A A P P AP λλλλλλλλααλααααααα--==---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=求得所以其对应的特征值为：，对应于特征值，其对应的特征向量对应于特征值，其对应的特征向量为：，，线性无关，所以矩阵可对角化，所以矩阵是单纯矩阵于是而且有：11231112223311161212100211010,()366002221333122112111=--=-=6331263126322433312263311212632T TTTT TT P G G βββαβαβαβ-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦==取：，，，，，，，，令122433312263311212632A G G A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-+故即为矩阵的谱分解表达式.4-5．解：[][][]12312i 20000-i 0000500000,=5==0000=51,0,02001,0,0,=1,0,0-i 00100H H H H TT T H HHA A AA AA AA U V A U A V λλλδληηη-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢=∆=⎢⎢⎣⎦，求出的特征值为，所以的奇异值为：求出对应于的特征根：==H⎡⎤⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎣⎦4-6．解：()()()1231212112204002000i ,0100-i 000000(-1)(-4)=4,=1,=02=2,=1,14=1,0,04=0,1,010,0100H H H H T H TH A A AA E AA AA AA AA U λλλλλλλααμμμμ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=⇒⎡⎤∆=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥==⎢⎢⎣⎦，所以的奇异值为：特征值为的单位特征向量为：特征值为的单位特征向量为：于是1111100-i 102100110-i 00H H H HV A U A U V -⎥⎥⎡⎤=∆=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=∆=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦因此所以4-7．解：(1) 首先求出矩阵A 的特征多项式212322082(+2)(-6)06=-2==6A (6E-A)=14204206E-A=8400000000E A aa a λλλλλλλλλ---=--=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以其特征值为：，由于是单纯矩阵，从而r 有此可知：a=0;(2) 由上知a=0；()21231212331112223220=820-(+2)(-6)006==6;=-2,==6=0 =001=-2=0125524551TT T H H A E A A G G λλλλλλλλααλαααααα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⇒⎫⎪⎭⎫⎪⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以，求出对应于的单位正交特征向量为：，，，求出对应于的单位特征向量为：因此，的投影矩阵，31212552455062H A G G α⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=-4-8．解： (1)3i -13i -1-i 0i -i 0i -1-i 0-1-i 0,.HH H A A AA A A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=，所以是正规矩阵 (2)()()())()()()212311223312312314122 1.2==-1=0,-i,1,,=0.8801,0.3251i,0.3251,=0.4597,0.6280i 0.6280,=TTTTTE A λλλλλλλλαλαλααααηηη-=+-+=+==-===求出与求出与求出与对应的特征向量为：将单位化得到单位特征向量为：，111222333112233,,=TH H HG G G A G G G ηηηηηηλλλ⎛ ⎝⎭===++所以4-9．解：对矩阵A 只作初等行变换100071415610290102000147712401525001772655700000310007141102901020077,1245250017726500000.A ABC BC A -⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦= 的秩为，且前三个列向量线性无关，故容易验证：4-10.解：对矩阵A 只作初等行变换110130-331321421=261070013339311100000211012130-3321,210013333.2113210-361,93A A B C BC A A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的秩为，且第一，第三个列向量线性无关，故容易验证：的秩为，且第二，第三个列向量线性无关，故10992100133.BC A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=容易验证：4-11.解：()()1231231231231===0=00=0004400TTTH A Schmidt U R U A R ααααααυυυυυυ-⎛ ⎝⎛⎝⎛⎝⎡⎢⎢⎢==⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦将，，的列向量，，用方法标准正交化得，命，，，则111335---1444420111==-=--2222-1131=.H x R U b Ax b -⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦不难验证4-12.解：5000000005,0,0A H H AA AA ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为的特征值为，故4-13.解：2123111111202000202(-4),=4==0A=2=2.=4==,10111012HH HT T HHHAAE AA AAAA UV A Uλλλλλλαλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=∆=⎡⎤=∆=∙=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥所以的特征值，，的奇异值为，的特征值的单位特征向量u u因此：不难验1122124.3.443301001HHHHH HA U VAAUA AU A A VU=∆=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎢⎢=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=证这是定理表达形式.下面介绍定理..表述形式.又的零特征值所对应的次酉矩阵的零特征值所对应的次酉矩阵V于是AA的酉矩阵与的酉矩阵分别为V⎤⎥⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎥⎦⎥⎦，且2000000HD A UDV ⎡⎤∆⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=不难验证4-14. 解：()()()12312111121111400010(1)(4),000=4=1=02=2=1=14=1001=01010==010010010=U V 010H HH H H H H H AA E AA AA A AA u AA u U u u V A U i A λλλλλλλαα-⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤∆⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∆=⎢⎥⎣⎦∆=，的特征值，，所以的奇异值，，的特征值为的单位特征向量的特征值为的单位特征向量于是因此所以3222121010043300=0=110010(,)=010,V=V 0001100201001001000100HH Hi AA u U U U U i A UDV i ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若要写成定理..形式还得计算U,V.特征值为的单位特征向量故所以4-15.解：242-24-2422-4-2-2-2252-2-5H i i A i i i i A i i i i -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由于所以A 是反Hermite 矩阵.2123121233111222-424+22==(+6i)(-3i)-22A ==-6i =3i.==-6i =0==3i 221=i -33354i2i -999-TTT H H iE A i i iA G λλλλλλλλλλλααλααααα+-=⎛ ⎝⎛⎫ ⎪⎝⎭=+= 的特征值，属于特征值的正交单位特征向量，属于特征值的正交单位特征向量，，因此的正交投影矩阵为233124i529992i 2899944i 2i 9994i 429992i 219996i 3i H G A A G G αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦=-所以的谱分解式为：+4-16..解：130i 2202031-i 022HA A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于所以A 是Hermite 矩阵.()21231212331112213--i 220-20==(-2)(+1)31-i 0-22A ==2=-1.==2=010=0=-1=01i 022010i 1-022TTTH H E A A G G λλλλλλλλλλλααλααααα-=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的特征值，属于特征值的正交单位特征向量，，，属于特征值的正交单位特征向量因此的正交投影矩阵为233121i 0-22010i 10222-H A A G G αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：4-17. . .解：先求A 的特征值和特征向量，由21234-603+50=(-1)(+2)36-1==1=-2.E A A λλλλλλλλλ--=故的特征值为：，()()()()1231212331123=1-3-60360=0360=2-1,0=0,0,1=-2-3-60360=0360=-11,1201111,,101()=122011010TTT Tx x x x x x P P λααλαααα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣当时，由方程组求得特征向量为：，，当时，由方程组求得特征向量为：，所以，()()()1231112223312=1,1,0,=-1,-2,1,=1,2,022*******,1201211202TTTT TT G G A A G G βββαβαβαβ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=-因此于是所求投影矩阵为的谱分解表达式为4-18.解：因为()()1122r r 1122r 20112012012r 11122r r 1122r r 220111011201=+++=++++=++++=(G +G ++G )+()++()=(++++)G +(++++)G ++(+k k k k r s s ss s s s s s A G G G A G G G f a a a a f A a E a A a A a A a a G G G a G G G a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ=+++++++++ 若则()()()211122+++)=G +G ++s s r ra a f f f G λλλλλ 4-19.解：方法一：A 是单纯矩阵()()()()()31234123123441234-1-11-11-1=(-1)(+3)-11-11-1-1===1=-3.===1=1100=101,0=-100,1=-3=1-1-1,111-11100-1,,,=010-10011T T TTE A A P λλλλλλλλλλλλλλαααλααααα-=⎡⎤⎢⎢=⎢⎢⎣故的特征值为：，属于特征值的正交单位特征向量，，，，，，，，，属于特征值的正交单位特征向量，，所以1123411122331111-44443111--4444,()=1311--44441131444413111131=-=-4444444411131111=-=--44444444314+T TTT TT TT P A G ββββαβαβαβ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=因此，，，，，，，，，，，，，，因此的正交投影矩阵为11444131144441131444411134444⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦244121111-4444111144441111--444411114444-3H G A A G G αβ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：方法二：A 是正规矩阵.由方法一中已知A 的特征值1234===1=-3λλλλ，，把1234αααα，，，Schmidt 方法标准正交化得123441112233244=00=0=1111=--22223111444413114444+113144441113444411-44T T TTT T TH G G υυυαυυυυυυυυυ⎫⎫⎛⎪⎪ ⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦-==，，，把单位化得，，，正交投影矩阵121144111144441111--444411114444-3A A G G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=所以的谱分解式为：。

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案第1章线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间.同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.方法二应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++=1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一（用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.方法一设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===L ，于是21,(),(),,()k -ξξξξL A AA 线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξL A AA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]00000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L LA A A AA A A A AAA A A 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξL A AA下矩阵表示为n 阶矩阵00001000010000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M M L L评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξL A A A是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα 设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:对k 用数学归纳法证。

矩阵分析复习知识点整理

一、定义设V 是一个非空集合， F 为数域．上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域 F 上的线性空间．[ V, F, “+”, “.”, 8 ]判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．R[X]n 是次数不超过n 的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……, X n ]。

P[X]n 是次数不超过n-1的多项式，构成了向量空间，其基是[1,X,X 2,……,X n-1]。

Q[X]n 是次数不超过n 的多项式，其中an 不等于0，不构成了向量空间,。

Ax=0的解空间，称为矩阵A 的核（零）空间，记N （A ）设A 为实数（或复数）m*n 矩阵，x 为n 维列向量，则m 维列向量集合V={y ∈R m (C m )|y=Ax,x ∈R n (C n ),A ∈R m*n (C m*n)}构成实（或复）数域R （或C ）上的线性空间，称为A 的列空间或A 的值域，记R （A ）。

线性相关与无关略所有二阶实矩阵组成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域上的一个线性空间．对于中的矩阵例 1.1.11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ,4321224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++k k k k E k E k E k E k 有,0000 224213122111⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+++O E k E k E k E k 因此 03321====⇔k k k k .,,,22211211线性无关即E E E E()(),,,,,,, 2121P n n αααβββ =基变换公式矩阵P 称为由基n ααα,,,21到基n βββ,,,21 的过渡矩阵．坐标变换公式 ,'''2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x P x x x 例1.2.6略P11设V l ，V 2是线性空间V 的两个子空间，可以验证: 21V V 构成V 的线性子空间．称为 21V V 为V l 与 V 2 的交空间．可以验证: 21V V + 构成V 的线性子空间．称21V V +为 V l 与 V 2 的和空间例1.3.5◆{}{}2122112121,span ,,span ,1,3,5,1,1,3,5,4,1,31,1,131,2ββααββαα==-=-=--==V V T TT T ）（）（），（），，（试求；(1)V l +V 2的基与维数；(2) 21V V 的基与维数● [解] (1)由定理3知{}212121,,,span ββαα=+V V 121,,βαα是极大无关组．故它是V 1+V 2的基，维数＝3，于是且，即）设（21212V V V V ∈∈∈ααα 24132211ββαααk k k k +=+=把2121,,,ββαα的坐标代入上式，解之得4342132,35,0k k k k k -===于是. 35,5,35,35214的向量表示为V V k T⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α其维数=l线性映射：设V1，V2是数域F 上的两个线性空间，映射T ：V1->V2,如果对于任何两个向量a1,a2∈V1和任何数Ｋ∈Ｆ，都有T （a1+a2）=T(a1)+T(a2)；T （Ka1）=KT(a1)便称为映射。

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后知识题目解析

第1章线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.方法二应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一（用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP 计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ. 方法一设1212{,}{,}span span ∈ξααββ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T-.方法二不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T-，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span ααα的基底就是12,,,nααα的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n ααα.1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββ就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基,解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==,则11,,,,,k l ααββ的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξA AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA 可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξA AA②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===，于是21,(),(),,()k -ξξξξA AA线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξAAA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]0000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξA A A AA A A A AAA AA 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξA AA 下矩阵表示为n 阶矩阵0000100001000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξA AA是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==设11,,,,,,r r s ξξξξξ是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s ααααα是的极大无关组.1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证.1-18证:对k 用数学归纳法证。

矩阵分析复习

第一章线性空间与线性变换维数公式，直和，值域空间，核空间，线性变换的矩阵，过渡矩阵。

第二章内积空间正交补空间，正交变换，最小二乘法，正规矩阵（厄米特矩阵，反厄米特矩阵，酉矩阵），厄米特二次型。

第三章矩阵的标准形行列式因子，不变因子，初等因子，约当标准形，零化多项式，最小多项式，smith 标准形，多项式矩阵对角互质性和既约性，有理分式矩阵的史密斯－麦克米伦标准形，舒尔定理，QR 分解，奇异值分解。

第四章矩阵函数及其应用向量范数，矩阵范数，向量和矩阵的极限，矩阵幂级数，矩阵函数，矩阵的导数，常微分方程组。

第五章特征值的估计与广义逆矩阵矩阵的分解，特征值的估计，圆盘定理，谱半径的估计，广义逆，线性方程组的解。

1．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=420021A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=201B 求B AX =的最小范数解。

解：做初等行变换，把A 化成行最简形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000021 因此，A 的满秩分解为[]CD A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21201 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--+402201251)()(11H H H H C C C DD D A B AX =的最小范数解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==+5251B A X 2．求⎩⎨⎧=+=+32212121x x x x 的极小最小二乘解。

解：对系数矩阵A 做初等航变换，化成行最简形⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011A 的满秩分解为[]1121⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+212110121512111A ，极小最小二乘解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡77101312121101 3．用最小二乘法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+22213213121x x x x x x x 解：显然方程组为矛盾方程组，记方程组为b Ax =，则最小二乘解为b A x +=系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000110101000110011112101011A A 的满秩分解为CD A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110101120111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==--+15414521191)()(11H H H H C C C DD D A 最小二乘解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==+81791b A x 。

高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习

4. 设 A ∈ P n×n, 且 A2 = 2A, 证明 E − A, E + A 都可逆，并求 (E − A)−1, (E + A)−1. 5. 设 A2 = A, 但 A ̸= E, 证明 A 不可逆.
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.

矩阵分析-(1)(终)

第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
《矩阵分析》
1.教材：
《矩阵分析》史荣昌编，北京理工大学出版社
2.参考书：
《矩阵分析学习指导》魏丰，史荣昌等编，北京理工大学出版社
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
难点: 求线性映射的值域、核的基与维数
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
首先, 我们回忆一下《线性代数》中的向量.
向量的运算及性质
负向量：向量 ( a1 , a2 ,, an ) 称为向量的负向量
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
向量的差： ( )
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16
第一章线性空间和线性映射
《矩阵分析》 · 徐赐文
2014-3-16

第一章线性空间和线性变换概况

若为Rn的子空间，求出其维数与一组基。
V1是子空间，dimV1=n-1，一组基为： (-1,0,…,0,1),(0,-1,…,0,1),…,(0,0,…,-1,1)。
例2 微分方程 y3y2y0的解集为 Y{ae2xbex|a,b R }, 则dimY=2。例3 所有n阶实矩阵的集合Rn×n是n2维线性空间， Eij=eiejT是一个最大线性无关组。
(b) 基与坐标
给定数域F上的线性空间V，x1,x2,…,xr是V中的r个向量。如果满足：1. x1,x2,…,xr线性无关；2. V中任意一个向量都可以由x1,x2,…,xr线性表出，则称 x1,x2,…,xr是V的一组基(base)，并称xi为基向量。线性空间的维数就是基中所含基向量个数。
[3]《Foundations of Data Science》，John Hopcroft ，Ravindran Kannan，Version 11/4/2014
❖ 预习、听课、复习、练习(每章至少5题)、阅读相关文献、考试
主要内容
1. 线性空间与线性变换 2. 矩阵与矩阵的Jordan标准形 3. 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵 4. 矩阵分解 5. 范数、序列、级数 6. 矩阵函数 7. 函数矩阵与矩阵微分方程 8. 矩阵的广义逆 9. Kronecker积
❖ 矩阵的广义逆：将逆矩阵的概念在矩阵不可逆的情形正在推广就得到了广义逆或伪逆矩阵的概念，从而使矩阵的求逆运算推广到了更广的场合。
❖ Kronecker积：Kronecker积是矩阵的另一种乘法，有广泛的应用。
第一章线性空间与线性变换
第一章线性空间与线性变换
1.1 线性空间 1.2 基与坐标、坐标变换 1.3 线性子空间 1.4 线性映射 1.5 线性映射的值域、核 1.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算 1.7 n维线性空间的结构 1.8 线性变换的特征值与特征向量 1.9 线性变换的不变子空间 1.10 矩阵的相似形

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定义：若v1 ∩ v =0，则称v1与v 2 的和空间v1 + v 2 是直和，用记号v1 ⊕ v 2 表示
交
定理：设v1与v 2 是线性空间 v 的两个子空间，则下列命题是等价的
与
和
1) v1 + v 2 是直和
直和
2) dim(v1 + v 2 )= dim v1 + dim v 2
3)
设
α1， αn1
α α α 定理：(1) R(T)=span{T( 1 ),T( 2 ),……T( n )} (2)rank(T)=rank(A)(A 为线性映射在基下的矩阵表示)
值
域
性质:
设 A 是 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间V2 的线性映射，α1，α2， αn
是V1
的一组基，β1,
β
2
,
,βm
是V2 的一组基。线性映射 A 在这组基下的矩阵表示是 m*n 矩阵 A=( A1，A2， An
特征子
空间
V 性质：特征子空间 λi 是线性变换 T 的不变子空间。
定义：设v1和v 2 是数域 F 上的两个线性空间，映射 A:v1 → v 2 ,如果对任何两个向量 α1,α2 ∈ v1和任何数λ ∈ F
有 A（ α1 + α2 ）=A（ α1 ）+A（ α2 ），A（ λα1 ）= λ A（ α1 ），便称映射 A 是由v 1到v 2 的线性映射
α1,α
2
,
αr
生成的子空间为
T
的不变子空间。
0 0 an,r +1 ann
λ α λ λ λ 定义：设 T 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换，如果 V 中存在非零向量α，使得 T(α)= 0 , 0 ∈F.那么称 0 是 T 的一个特征值，称α是 T 的属于 0 的一个特征向量。
是 v1
的一组基，
β1,β2
,
βn2
的一组基，则
α1， αn1
,
β1,
β
2
,
βn2
是v
1
+ v 2 的一组基
定义：设w 1,w 2,w 3 是线性空间 V 的三个子空间，且 w=w 1 ⊕ w 2 。则称 w 有一个直和分解。
补子空间
特别的，若 w=v=w 1 ⊕ w 2 ,便称w 1和w 2 是线性空间 v 的一对互补子空间。或称w 1是w 2
向
量
计算线性变换 A 的特征值和特征向量变成计算矩阵 A（线性变换在某一个基底下的矩阵）的特征值和特征向量。
方法
定理:相似矩阵有相同的特征多项式
推论 1：相似矩阵有相同的谱。
p α p Ap −1
−1
推论 2：设α是 A 的特征值λ对应的特征向量，则
是矩阵 B=
的特征值λ对应的特征向量
λ λ V 定义: n 阶方阵 A 有 n 个特征值，对于每个特征值 i 代入（ i E-A）X=0 可以得到相应的特征向量，这些特征向量加上零向量构成 n 维向量空间的一个子空间，称为特征子空间，记为 λi
a1n
a2n a3n
=(
β1,β2
,
βm
)A,矩阵 A 称为线性映射 A 在基( α1，α2， αn
)与（
β1,β2
,
βm
）下的矩阵表示
am1 am 2 amn
定理
1:设v 1 的基为(α1，α2， αn
),v 2
的基为(
β1,β2
,
βm
)，给定
m*n
矩阵
A=( aij
)
m
*n
)
a12(λ )
a1n(λ
)
A(λ )
=
a21(λ )
a22(λ )
a2n(λ
)
为多项式矩阵或者λ矩阵
am 1(λ )
a m
2(λ
)
amn(λ )
定义：如果λ矩阵 A(λ)中有一个(r≥1)阶子式不为零，而所有的 r+1 阶子式全部为零，则称 A(λ)的秩 r。
λ
逆矩阵：一个 n 阶λ矩阵称为可逆的，如果有一个 n 阶λ矩阵 B(λ)满足 A(λ) B(λ)= B(λ) A(λ)=E，其中 E 为 n
称 W 为线性空间 V 的一个线性子空间．简称子空间. 平凡子空间：零子空间和线性空间本身定理：线性空间 V 的非空子集 W 构成子空间的充分必要条件是：W 对于 V 中的线性运算封闭．
线
定义：非空子集 span( α1，α2，α3， αs )是由向量 α1，α2，α3，，αs 生成的生成子空间，
)，
其中
Ai
是
m
行列矩阵。于是
A( α1，α 2，
αn
)=(
β1,β2
,
,βm
)A,故
A( αi
)=(
β1
,β2
,
,βm
)
Ai
。A
的值域和
A
的值域是一样的。
v v 定义：使 T(α)=0 的α的全体 N(T)={ α|α∈ 1 ,T(α)=0,}是 1 的子空间, N(T)称为线性映射 T 的核子空间。Dim(N(T))称为 T 的零度。
性质：（1）线性变换 T 的和与交仍然是 T 的不变子空间
（2）设
W=span（
α1,α
2
,
αn
），则
W
是线性变换
T
的不变子空间的充分必要条件是
T（ αi
）∈W
（3）V 的任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间
不
定理：设
W
是
T
的
不
变
子
空
间
，
α1,α
2
,
αr
是
W
的
一
组
基
，
α1,α2
,
α
r
，
αr
+1
线矩性阵映表射示
m
∑ 定义:设α1，α2， αn
是v
1
的一组基，
β1,
β
2
,
βm
v 是 2 的一组基，A
是v1到v 2
的一个线性映射则
A（ αj
）
=
αij
βi
α (j=1,2,3,…n)=(A( 1
),A( α2
), A( αn
))=(
β1,β2
,
βm
)
i =1
a11 a21
a12 a22
(1)A（0）=0；A（-a）=-A(a)
s
s
∑ ∑ 性 (2) A( kiαi )= ki A(αi )
质
i =1
i =1
(3)设
α1,α
2
,
αs
∈
V1,线性相关，则
A(α1 ),A(α 2
),
A(αs
)也线性相关。注意若
α1,α
2
,
αs
线性无关，则
A(α1
),A(α2
),
A(αs
)不一定线性无关
,则存在唯一的线性映射，它在这俩个基下的矩阵表示为
A.(In
another
word,在给定基以后，A
与矩阵表示是
一一对应的。)
定理
2：设
A
是v
1到v
2
的一个现行映射，α1，α2，
αn
和
α1',α2',
α
' n
是v
1
的两组基，从
αi
到 αi'
的过度矩阵是
P。
β1,β2
,
βm
和
β1',β2',
βm'
是v
2
的两组基，从
βi
到
βi'
的过度矩阵是
Q，线性映射
A
在基 α1，α 2，
αn
和基
β1,β2
,
βm
下的矩阵表示为
A，在基 α1',α2',
α
' n
和
β1',β2',
β
' m
下的矩阵表示为
B,则
B= Q
−1
AP
y1 a11
向量坐标变换公式：
y
2
= a21
a12 a22
a1n a2n
x1
等定理：对一个 m*n 的λ矩阵 A(λ)的行作初等行变换，相当于用相应 m 阶初等矩阵左乘 A(λ)。对 A(λ)作初等
变
列变换，相当于用相应的 n 阶初等矩阵右乘 A(λ)
定义 :给定数域 P 上的线性空间 V 到线性空间 V 的线性映射，称线性变换
a11
定义：设
T
是线性空间
V
的线性变换，
α1,α2
,
αn
是
V
的一组基，若
T(
α1,α2
,
αn
)=(
α1,α
2
,
αn
)
a21
a12 a21
a1n
a2n
=(
α1,α2
,
αn
)A
an1 an2 ann
子
空
定理 1:设v1 = span(a1，a2，a3， as ),v 2 = span(β1,β2,β3 βt ),则v1 + v 2 =span(
间
α1，α2，α3， αs , β1,β2,β3 βt )