图及其应用
统计图及应用
统计图及应用统计图是一个可视化的工具，用于呈现和展示数据的不同方面和关系。
统计图的应用范围广泛，适用于各个领域，包括商业、科学、社会科学等。
在下面的文章中，我将介绍几种常见的统计图及其应用。
1. 条形图：条形图是一种以长方形的长度为基础的图表，用于比较不同类别间的数据。
条形图可以明确地展示不同类别的数值大小，便于直观地比较数据的差异。
条形图常用于展示销售额、人口统计、学生成绩等信息。
举个例子，一家公司可以用条形图来比较不同地区的销售额，以便于了解各个地区的销售情况。
2. 折线图：折线图通过连接不同的数据点来展示数据的变化趋势。
折线图可以很好地展示数据的变化关系，特别适用于表达时间序列数据。
折线图通常用于展示股票走势、气温变化等信息。
例如，一个气象学家可以通过折线图来显示一年中每个月份的平均气温，以便于分析季节性变化。
3. 饼图：饼图通过将一个圆形区域划分为不同的扇形，用于表达数据在整体中的比例关系。
饼图常用于展示组成部分的比例，例如市场份额、人口结构等信息。
举个例子，一家公司可以使用饼图来显示不同产品的市场份额，以便于了解产品在市场上的竞争情况。
4. 散点图：散点图以笛卡尔坐标系为基础，通过在坐标平面上绘制离散的数据点来展示数据的分布情况。
散点图可以显示变量之间的相关性和趋势，特别适用于观察两个变量之间的关系。
散点图通常用于研究变量之间的相关性，例如考察身高和体重之间的关系。
5. 柱状图：柱状图和条形图类似，但是柱状图的长方形是竖直方向的。
柱状图常用于展示不同类别间的数据比较，和条形图一样，它可以很好地比较不同类别的数值大小。
柱状图通常用于展示经济数据、人口统计等信息。
举个例子，一个城市可以使用柱状图来比较不同年份的人口增长情况。
统计图在现实生活中有很多应用。
在商业领域，统计图可以帮助企业了解市场需求、销售趋势和客户满意度。
在科学领域，统计图可以帮助研究人员可视化和分析实验结果。
在社会科学领域，统计图可以用来展示人口统计、民意调查等数据。
图论及其应用
图和子图 图和简单图图 G = (V, E)， 其中 V = {νv v v ,......,,21} V ---顶点集， ν---顶点数E = {e e e 12,,......,ε}E ---边集， ε---边数例。
左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。
真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。
不过今后对两者将经常不加以区别。
称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。
也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。
称顶点a 与e 相邻。
称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。
环（loop ，selfloop ）：如边 l 。
棱（link ）：如边ae 。
重边：如边p 及边q 。
简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。
一条边的端点：它的两个顶点。
记号：νε()(),()().G V G G E G ==。
习题1.1.1 若G 为简单图，则εν≤⎛⎝ ⎫⎭⎪2 。
1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。
同构在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ⇔ V （G)=V(H), E(G)=E(H)。
图G 同构于图F ⇔ V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间各存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。
记为 G ≅F 。
注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。
de f G = (V, E)y z w cG =(V , E )w cyz H =(V ’, E ’)’a ’c ’y ’e ’z ’F =(V ’’, E ’’)注 判定两个图是否同构是NP-hard 问题。
完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） ⇔ E = ∅ 。
图论及其应用
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
地形图及其应用(12)
（4）山谷。指两山脊间的低凹部分。
山谷等高线的特点与山脊正好相反，是一 组向高处突出且两侧对称的曲线。山谷按 形状可分为尖形谷（V形）、圆形谷（U形） 和槽形谷三种。 V形谷等高线过谷底处呈V字形转折， 谷坡上均匀密集。 U形谷等高线特点是在谷底处呈U字 形转折，在谷坡上比较密集，且由谷缘向 谷底等高线逐渐变稀。 槽形谷等高线特点是过谷底是在其两 侧呈近于直角形，谷坡谷底转化明显。 表示山谷各等高线凸出部分的顶点的 连线叫集水线。
（二）地貌识别
1、六种基本形态的识别 （1）山顶。是山的最高部分。山顶的等高线均是闭合形式。示坡线指向 外侧。示坡线是垂直于等高线的短线，指示斜坡的方向。 山顶按形状可分为尖山顶、圆山顶和平山顶。 尖山顶等高线特点是顶部间 距较密，环圈小，棱角明显的封 闭曲线，从山顶向下，等高线逐 渐由密变稀。 圆山顶等高线特点是顶部间 距较稀，圆滑的封闭曲线，环圈 较大，由山顶向下等高线逐渐密 集。 平山顶如黄土塬、桌状山等 特点是山顶平坦，山坡陡峭，等 高线特点是，等高线环圈大，呈 较宽的空白，顶部向下等高线骤 然变密。
（三）后方交会法
当站立点附近没有明显地形点时，可采用本法。
（１）标定地图。 （２）在远方找到两个以上实地和图上都有的明显地形点。 （3） 用直尺分别切于两个以上明显地形符号的主点上。并转动直尺另一端， 瞄准实地地物，不得破坏地形图定向，瞄准后沿直尺向后划方向线，两个或 两个以上方向线的交点为站立点在图上位置。
四、圈定汇水界线
当修建水库或研究水文状 况时，要知道有多大范围的降 水向谷底汇集，这可以用等高 线地形图确定。 为了确定汇水区，就要划 出谷底周围的分水线，这条线 往往是谷地周围相邻山顶鞍部 山脊等的连线，而又必定是闭 合的线，它和等高线直交，常 与山脊线一致，只有到了山顶 才会突然改变方向。勾绘时， 要注意他的这些特性。 从河口或河道指定的断面 开始，将相邻的山脊线和作为 分水线的鞍部的界线，汇水界 线包围的范围叫汇水区。
图论及其应用PPT课件
图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
-29-
图论及其应用第一章
v1
(i=1,2,3,4,5,6)下是同构的。
x1
y1
v6
y3
x2
v2
x3
y2
v4
v3
-31-v5
图论及其应用第一章 画出所有的阶数不大于4，大小为3的所有非同构 简单图：
-32-
图论及其应用第一章 画出阶数为5大小为3的所有非同构简单图
G1
G2
G3
G4
-33-
图论及其应用第一章
无标号的图 注：判断两个图是否同构目前没有好算法。
图论起源于18世纪的一个游戏----俄罗斯的哥尼斯堡七桥问 题。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
-2-
图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
图论及其应用(25)
u
N (u ) k 1
u
N (u)
12
设п 是G的k着色方案，因为 u N (u ) k 1 ，所以， 在п 下，至少有一种颜色u及其邻域均没有用到，设该色 为m,改变u的颜色为m,其余点的着色不变，这样得到G的k 着色方案п 1.显然，п 与п 1导出的G的顶点划分不同，这 与G是唯一可着色图矛盾。 (2) 若不然，则存在G的k着色方案п 和G的两个色组C1 与C2,使得H=G[C1∪C2]不连通。设H1与H2是H的两个分支。 因为G是唯一可着色图，所以，对任意点u和其邻域 N(u), 它们在п 下，必然用完了k种颜色，否则，由(1)的 证明，得到G是非唯一可着色图。 这样，H1与H2中同时含有C1和C2中的顶点。
由于 H 也是某偶图的补，所以只需要证明 (G) cl (G)
25
证明：在 G 的正常着色方案下，每个色组对应G的一 (G ) 应该是G的最小点覆盖中包含 个顶点或者K2。这样， 的点数和边数。由补充定理：它等于G中最大独立集包含 的顶点数，即等于 G 的团数。所以有：
10
(2) 对于G2来说，G2的任意3正常着色方案导出的顶点 划分均是｛｛v1｝, ｛v2，v4｝｛v3,v5｝｝，所以，G2是 唯一3可着色图；例如：
v1 v2 v3 G2 v5 v2 v3 G2 v1 v5 v2 v3 v1 v5
v4
v4
v4
G2
(3) 对于G3来说，G3不是唯一3可着色图；因为：
设Hi=G[Vi∪｛v｝], (1≦i≦r)。则Hi是k-1可正常点着色 的，现对每个Hi进行k-1正常点着色，且v都分配同一种颜色， 那么，将着色后的Hi合在一起，得到G的k-1正常点着色方 案，这与G是k色图矛盾。所以临界图没有割点。
图论及其应用习题答案
图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。
下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。
1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。
解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。
连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。
2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。
如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。
3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。
如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。
4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。
解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。
我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。
5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。
解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。
6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。
解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。
这些算法会根据边的权重来计算最短路径。
第3章地形图及其应用2
三、百分比尺和坡度尺
百分比尺使用
• （一）百分比尺 是地图缩小旳比率，（图上某线段与实地相应 水平距离之比）。百分比尺分三种：数字百分比尺、直线百分比 尺（图解百分比尺）、文字百分比尺（阐明百分比尺）。例“十 万分之一”、“图上1cm代表实地1km”
• 侧视符号：按地物旳侧面形状设计。符号与地物侧视 形状相像。
• 象征符号：有些地物既不宜用正形符号表达又不宜用 侧视符号表达，而用一种象征地物含意旳图形表达旳。
按地物符号旳图形特征分类
2.符号与地物旳百分比关系分 类
• 依百分比符号：又叫轮廓符号或面状符号，即实地上面积较大旳地物，依百 分比尺缩小后，仍能保持与实地形状相同、图形清楚旳符号叫依百分比符号， 如居民地、森林、大旳河流湖泊等，外部轮廓是依百分比旳，周界以实线或 虚线表达，地物旳意义、性质、数量、质量等特征采用轮廓线内加绘排列或 散列旳填充符号和阐明注记表达。
2.符号与地物旳百分比关系分 类
３.按符号旳定位情况分类
• 定位符号：指图上有拟定旳位置，一般不能任意移动旳符 号，图上符号大部分属于这一类，他们都能够根据符号旳 位置，拟定其所代表旳地物及实地位置。
• 阐明符号：指为了阐明事物旳质量和数量特征而附加旳一 类符号，它一般依附定位符号而存在，如森林树种旳符号、 果园符号等，他们在图上配置于地类界范围内，呈规则或 不规则排列，但无定位意义。
• （二）坡度尺 用来在图上量测地面沿某一方向旳倾斜角。
利用坡度尺量取地面坡度
四、三北方向线
• （一）三种基本方向线 • 真北 过地面上任意一点，指向
北极旳方向，叫真北。其方向 线叫真北方向线或真子午线。 地图上东西内图廓就是真子午 线。 • 磁北 过地面上任意一点，磁针 所指旳北方，叫磁北。其方向 线叫磁方向线或磁子午线。地 图上P、P′点或磁北、磁南点旳 连线叫磁子午线。 • 坐标纵线北 地图上坐标纵线所 指旳北方，叫坐标纵线北。
地形图及其应用(1)
5万和1：1万地形图图号（旧） 求点所在地1：100万比例尺地形图图号，以列行形式表达，并注
出该图幅四角点的经纬度； 列数=φN/4 ° （有余数，则加1） 行数=30+λE/6° （有余数，则加1）
以经差Δλ=30′，纬差Δφ=20′，将1：100万图幅分成12行12列， 计144幅1：10万图幅，，确定1：10万图幅序号
2 cm
2 km
三、地形图的分幅与编号（旧）
为了保管和使用方便，每一种基本比例尺地形图都规定有 一定的图廓大小，每一幅图都具有相应的号码标志，这项 工作叫地形图的分幅和编号
（我国1：10万 7000幅） 地形图分幅方法：一是矩形分幅，一是经纬线分幅（也叫
梯形分幅）。我国基本比例尺地形图采用经纬线分幅。
外图廓平行于分度带之外，可集中视觉，增强效果，起装饰作 用，其颜色，宽度和图形应与地图内容相协调。小比例尺挂图 图廓，常用图案花边，花边的宽度视图幅的大小而定，一般不 超过图廓边长的1—1.5%，内外图廓间的间隔，常为图廓边长 的0.2—1.0%。
二、图名和图号
（一）图名 是地形图的名称，图名一般选用图幅内最大的居 民地名称，在无居民地的图幅上，以一著名地理事物的名称定 名。
图”，作为国家、省总体规划和全国性的各种专 题图的底图。军事上，用作战略规划和编绘军事 态势图。
第二节 地形图的数学基础
为了保证地形图具有良好的精度，对地形图的数学基础， 特别是地图投影的要求很高：方向正确，没有角度变形， 以保证图上景物形状与实地相似；地物之间的距离和位置 关系正确，以便于量测。
高 斯 克 吕 格 投 影 演 示
图论及其应用
Prim算法及思想
• • • • • 首先我们将V分成两部分U,S U∩S=∅ U∪S=V 一开始S中只有任意以个节点 每次我们枚举每条U，S之间的边权最小的边S中 这条边的端点 删除并加入U • 我们可以每次更新S中点的这个值不需要每次枚 举边复杂度O(n^2) • 如果使用堆优化可以做到O(nlogn+nlogm)
tarjan算法
tarjan算法
拓扑排序
• 每次选择一个入度为0的点加入队列，然后 删掉这个点的所有出度
小试身手
• APIO2009 atm • 有一个城市有若干条有向道路 • 一个小偷从一个点出发想偷这个城ATM机， 他从一个点出发，最后偷完之后需要到一 个酒吧庆祝，给定道路情况，每个路口atm 的钱数和有没有酒吧，求最多能偷多少钱。 • n<=100000
小试身手
对于n<=1000我们依然可以直接暴力建出图 来进行Dijsktra算法但是对于n<=10000的测 试点，所有边一共有10^10条，我们无法存下 来但是我们发现，只有x坐标相邻和y坐标相 邻的边才有意义(为什么？)，然后就可以建出 图来用堆优化的Dij或者spfa过掉
小试身手
• 给你一个n个点的图，小Q有q个询问，每次 询问任意两点之间的最短路 • n<=200,q<=4000000
Байду номын сангаас
最短路算法
• 如果我们需要知道所有的点对之间的最短 路，可以使用floyed的传递闭包方法。 • floyed算法思想： • 我们每次选择一个中间点，然后枚举起点 和终点，用通过中间点的最短路径更新起 点和终点之间的最短路径时间复杂度O(n^3)
floyed代码实现
• 代码非常简单 • 注意枚举顺序
图的概念和应用
图的概念和应用一、引言随着时代的发展和科技的进步，图的概念和应用也越来越广泛。
图是一种抽象的数学模型，可以代表不同的现实问题，如社交网络、道路交通状况、电子电路等等。
图的应用已经渗透到日常生活中的方方面面，为人类生活和工作带来了很多方便和便利。
本文将讨论图的概念和应用，探索其在现实生活中的重要作用。
二、图的概念图是由边和顶点组成的一种抽象数学模型，通常用G(V,E)表示，其中V表示一些点的集合，E表示一些边的集合。
边连接两个点，代表它们之间的关系。
由于图可以很好地表示实际问题，因此在很多领域都有广泛的应用。
以下是有关图的一些基本概念：1.有向图和无向图有向图是一种图，其中边有一个方向，只能从一个顶点到另一个顶点。
而在无向图中，边没有方向，可以从一个顶点到另外一个顶点，也可以反向。
例如，社交网络就可以表示为无向图，因为连接两个用户的关系是相互的，而不是单向的。
2.权值图在一些实际问题中，边不仅表示顶点之间的关系，还可以表示它们之间的距离、费用等。
这种图就被称为带权图或权值图。
例如，在路径规划中，边可以表示两个地点之间的距离，这样可以找到最短路径，以便尽快到达目的地。
3.连通图如果一个图中每个顶点都可以通过一些边连接到其他顶点，则称该图为连通图。
在社交网络中，如果每个用户都有至少一个朋友，则该社交网络是连通的。
如果存在某些顶点无法通过边连接到其他顶点，则称该图为非连通图。
4.带环图和无环图如果图中存在至少一条边形成了一个闭合的环，则称该图为带环图。
带环图常见于电子电路中，因为信号可以沿着电路循环。
而如果图中没有形成环，则称该图为无环图。
例如，家族关系图通常是一个无环图，因为不存在类似于"表亲婚姻"这样的关系会导致一个闭合的环。
三、图的应用图在现实生活中有广泛的应用，这里只列举了一些例子：1.社交网络如前所述，社交网络可以表示为无向图。
用户可以表示为顶点，而他们之间的关系可以表示为边。
图论及其应用—典型图
4.3Hamilton图
定理4.3.2：设G是p(G)≥3的图，如果G中任意 两个不相邻的顶点u和v，均有 dG(u)+dG(v)≥p(G)， 则G是若G是Hamilton图。
推论4.3.3：若G是具有p(≥3)个顶点的简单图， 且每个顶点的度至少是p/2,则G是Hamilton图 。
定理5.2.5：对k≥1,2k-正则图G有2-因子。 注：若H是G的k-正则生成子图，则称H是G的 k-因子。
5.3二分图最大对集算法
匈牙利算法。
k
w(C)定 义 为 w(ei)。 i 1
w(C)包 含 两 部 分 权 和 ，
一 部 分 是 w(C),即 每 条 边 的 和 ； eE (G)
另 外 一 部 分 是 重 复 走 的街 道E E(G),即 w(e)。 eE
因 此 ， 对 于G的 人 一 个 环 游C, w(C) w(C), eE (G )
图论及其应用—典型图
4.1Euler环游 4.2中国邮路问题 4.3Hamilton图 4.4旅行售货员问题 5.1对集 5.2二分图的对集 5.3二分图最大对集算法
4.1Euler环游
定义4.1.1：经过G的每条边的迹称为G的Euler迹，如
果这条迹是闭的，则称这条迹为G的Euler环游。 一般情况下，我们把不是Euler环游的迹称为G的Euler 通路，而把含有Euler环游的图称为Euler图。
推论4.3.9：设图G的度序列为（d1,d2,…,dp） ,d1≤d2≤…≤dp,p≥3。若对任何k，1≤k<(p-1)/2 ，均有dk>k，若p为奇数，更有d(p+1)/2>(p-1)/2, 则G是Hamilton图。
电子科技大学图论及其应用 第1章
例 判断下面两图是否同构。
u1
v1
解 两图不同构。 若两图同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1与v1一定 相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不同，u1 邻接有4度点，而v1没有。 所以，两图不同构。
例 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。 解 (a) (b) (c)
四、顶点的度、度序列
设v为G 的顶点，G 中以v为端点的边的条数(环计算两次)称 为点v的度数，简称为点v的度，记为dG (v)，简记为d(v)。 相关术语和记号
G ： 图G 的顶点的最小度
G ：图G 的顶点的最大度
奇点：度数为奇数的顶点 偶点：度数为偶数的顶点 k-正则图: 每个点的度均为k 的简单图 例如，完全图和完全偶图Kn, n 均是正则图。
完全偶图是指具有二分类(X, Y )的简单偶图，其中X的 每个顶点与Y 的每个顶点相连，若 |X|=m，|Y|=n，则这 样的偶图记为Km,n。
例
偶图
不是偶图
例
G1
G2
K1, 3
K3, 3
四个图均为偶图
K1, 3, K3, 3为完全偶图
偶图是一种常见数学模型。
例 学校有6位教师将开设6门课程。六位教师的代号分别是 xi (i=1,2,3,4,5,6 )，六门课程代号是yi (i=1,2,3,4,5,6 )。已知教 师x1能够胜任课程y2和y3；教师x2能够胜任课程y4和y5；教师 x3能够胜任课程y2；教师x4能够胜任课程y6和y3；教师x5能够 胜任课程y1和y6；教师x6能够胜任课程y5和y6。请画出老师和 课程之间的状态图。 解
dG (v) dG (v) n 1 。
图论基础：图的基本概念和应用
图论基础：图的基本概念和应用图论是数学中的一个分支领域，研究的是图的性质和图上的问题。
图被广泛应用于计算机科学、电子工程、运筹学、社交网络分析等领域。
本文将介绍图论的基本概念和一些常见的应用。
一、图的基本概念1. 顶点和边图是由顶点和边组成的，顶点代表图中的元素，边则代表元素之间的关系。
通常顶点表示为V，边表示为E。
2. 有向图和无向图图可以分为有向图和无向图。
在无向图中，边是没有方向的，顶点之间的关系是双向的；而在有向图中，边是有方向的，顶点之间的关系是单向的。
3. 权重在一些应用中，边可能具有权重。
权重可以表示顶点之间的距离、成本、时间等概念。
有权图是指带有边权重的图，而无权图则是指边没有权重的图。
4. 路径和环路径是指由一系列边连接的顶点序列，路径的长度是指路径上边的数量。
环是一种特殊的路径，它的起点和终点相同。
5. 度数在无向图中，顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。
在有向图中分为出度和入度，出度是指从该顶点出去的边的数量，入度是指指向该顶点的边的数量。
二、图的应用1. 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它研究如何在图中找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题有许多实际应用，例如在导航系统中寻找最短驾驶路径，或者在电信网络中找到最短的通信路径。
2. 最小生成树最小生成树是指一个连接图中所有顶点的无环子图，并且具有最小的边权重之和。
这个概念在电力网络规划、通信网络优化等领域有广泛的应用。
3. 路由算法在计算机网络中，路由算法用于确定数据包在网络中的传输路径。
图论提供了许多解决路由问题的算法，如最短路径算法、Bellman-Ford 算法、Dijkstra算法等。
4. 社交网络分析图论在社交网络分析中起着重要的作用。
通过构建社交网络图，可以分析用户之间的关系、信息传播、社区发现等问题。
这些分析对于推荐系统、舆情监测等领域具有重要意义。
5. 电路设计图论在电路设计中也有应用。
通过将电路设计问题转化为图论问题，可以使用图论算法解决电路布线、最佳布局等问题。
图论及其应用复习
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一、重要概念
1、图、简单图、图的同构、度序列与图序列、补图与自补 图、两个图的联图、两个图的积图、偶图；
(1) 图：一个图是一个序偶<V,E>，记为G=(V,E),其中： 1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。
用|V|表示顶点数；
注：要求掌握自补图的性质。
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(7) 联图
设G1,G2是两个不相交的图，作G1+G2，并且将G1中每个顶点和G2 中的每个顶点连接，这样得到的新图称为G1与G2的联图。记为 ：
G1 G2
(8) 积图
设 G1 (V1, E1), G2 (V2 , E2 ), 是两个图。对点集 V V1 V2
2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称 为边，且同一点对在E中可以重复出现多次。用|E|表示边数。
(2) 简单图：无环无重边的图称为简单图。
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(3) 图的度序列：
一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数组(d1, d2,…, dn) 称为G的度序列 。
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(4) 因子分解
所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不重的因子 之并。
注：要弄清楚因子分解和完美匹配之间的联系与区别。
图论及其应用ppt22
(一)、平面图的判定 (二)、涉及平面性的不变量
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(一)、平面图的判定
在本章第一次课中，我们已经明确：对于3阶以上的 具有m条边的单图G来说，如果G满足如下条件之一： (1)m>3n-6; (2) K5是G的一个子图；(3) K3,3是G的一个 子图，那么，G是非可平面图。
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定理1 (库拉托斯基定理) 图G是可平面的，当且仅当 它不含K5或K3,3同胚的子图。
例1 求证：下面两图均是非平面图。
图 G1
图 G2
证明：对于G1来说，按G1在2度顶点内收缩后，可得 到K5。所以，由库拉托斯基定理知G1是非可平面图。
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图论及其应用
任课教师：杨春 Email: yc517922@
数学科学学院
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本次课主要内容
平面图的判定与涉及平面性的不变量
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注：该定理是由数学家巴特尔、哈拉里和科达马首先 得到。然后由托特(1963)给出了一个不太笨拙的证明，他 采用枚举法进行验证。还不知道有简洁证明，也没有得 到推理方法证明。
《图论及其应用》课件
图像处理
探索图论在图像处理领域的应用，如图像分割 和模式识别。
七、总结
图论的重要性
强调图论在计算机科学和现实 世界中的重要性和广泛应用。
现实中的应用价值
讨论图论在实际问题中解决方 案的应用价值和优势。
对于未来的展望
探索图论在未来可能的发展方 向和应用领域，如人工智能和 物联网。
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Floyd算法
介绍Floyd算法的原理和使用方法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
四、最小生成树算法
Prim算法
解释Prim算法的工作原理和应用，用于寻找图中的 最小生成树。
Kruskal算法
讨论Kruskal算法的概念和实现，用于生成图的最小 生成树。
五、网络流算法
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最大流
介绍网络流问题和最大流算法，用于解
《图论及其应用》PPT课 件
本PPT课件将带您深入了解图论及其应用。图论是一门关于图的性质及其应用 的学科，将为您揭开图论的奥秘。
一、图论基础
图的定义及术语
介绍图的基本定义以及相关的术语，为后续内 容打下基础。
无向图与有向图
解释无向图和有向图的区别，并介绍它们之间 的关系和应用。
图的表示方法
讲解图的常用表示方法，如邻接矩阵和邻接表， 并比较它们的优缺点。
连通性和路径
讨论图的连通性概念以及如何找到两个节点之 间的最短路径。
二、图的遍历算法
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广度优先搜索（BFS）
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介绍广度优先搜索算法的工作原理和常 见应用。
深度优先搜索（DFS）
深入探讨深度优先搜索算法的原理和应 用场景。
三、最短路径算法
1
Dijkstra算法
详细讲解Dijkstra算法的步骤和应用，用于寻找图中两个节点间的最短路径。
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姓名
学号Leabharlann 实验编号07实验名称
图及其应用
实验成绩
1、实验目的及要求
（1）通过完成本实验，掌握图的两种基本的存储结构（邻接矩阵、邻接表），以及图的基本算法实现（建立、遍历），并能运用图结构分析解决一些实际问题。
（2）本实验训练的要点是：图的两种基本存储结构，及各种操作的算法实现（建立、遍历、图的典型应用）。
广度优先遍历：
从某个顶点出发，首先访问这个顶点，然后找出这个结点的所有未被访问的邻接点，访问完后再访问这些结点中第一个邻接点的所有结点，重复此方法，直到所有结点都被访问完为止。
可以看到两种方法最大的区别在于前者从顶点的第一个邻接点一直访问下去再访问顶点的第二个邻接点；后者从顶点开始访问该顶点的所有邻接点再依次向下，一层一层的访问。
2、实验内容
（1）建立图的邻接矩阵（或邻接表）存储表示，并实现深度优先或广度优先对图进行遍历。
3、实验主要流程、基本操作或核心代码、算法片段等
（1）头文件
Com_def.h
Maraphdef.h
Maraphapp.h
（2）源文件
4、实验结果的分析与评价
结果：
有向图DG
无向图UDG
有向网DN
无向网UDN
分析：
通过本次实验，对图有了一定认识。图是由顶点集合及顶点间的关系集合组成的一种数据结构，包括顶点结点和边，分为有向图和无向图；而当边有了权值后，则成了网，网也分为有向和无向。
深度优先遍历：
从某个顶点出发，首先访问这个顶点，然后找出刚访问这个结点的第一个未被访问的邻结点，然后再以此邻结点为顶点，继续找它的下一个新的顶点进行访问，重复此步骤，直到所有结点都被访问完为止。