《线段的垂直平分线性质定理》教学设计

《线段的垂直平分线性质定理》教学设计

教学目的：

（1）通过面向真实世界问题设计，强化现实世界是问题源泉的理念，同时，让学生体验数学的真实和内在魅力。

（2）在数学认知发展要求上，要让学生掌握线段垂直平分线定理、逆定理，能够进行有关应用。

（3）有意识渗透数学的研究方法，渗透集合思想，促进学生数学认知的科学建构。

（4）通过引导学生进行基于案例、基于问题以及基于项目的学习，促进学生认识规律、发现规律的积极性，激发学生的数学审美情感；同时，提供机会支持学生的探索、思考，为所有学生成为学习的主体创造更多可能和空间。

教学重点：线段垂直平分线定理、逆定理

教学难点：线段垂直平分线定理与逆定理关系

教学过程：

（一）基础性诊断练习问题1：同学们座位之间有没有关系？有哪些关系？问题2：在公路的同侧有两个村庄，现要在公路上建一车站，使车站距两村的距离相等，如何确定车站的位置？[问题1是面向真实世界问题设计，旨在提供机会支持学生的探索、思考，以诊断学生思维的深度和广度，为促进

其持续发展提供依据。问题2引导学生进行基于案例的学习、基于问题的学习把现实问题数学化。] 1．讨论分析让学生充分讨论，把问题数学化。建立数学模型。把公路命名为L，把两村分别命名为A、B，待建的车站为C，并画岀草图。根据讨论，不难得出站址应同时满足两个条件：（1）车站C 在公路L上；（2）车站C到A、B两村的距离相等。解决问题的关键在于满足条件（2）。

2．展示问题的分析思路：找出所有满足条件（1）的点组成的图形两个图形的公找出所有满足条

件（2）的点组成的图形共点就是C

（二）优化新授

归纳总结，证明定理[问题1：线段垂直平分线上所有点是否能够做为以这条线段为底的等腰三角形的顶点？（除线段中点外，其它各点都能）问题2：线段垂直平分线上所有点有什么共性？（到线段两端距离相等）让学生总结分析得到的结论：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。]（1）

归纳命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。（2）证明定理（让学生共同探讨并完成证明）此时穿插复习线段垂直平分线的画法，让学生找出C点，解决问题。

（三）矫治评讲

问题1：如果在证明过程中“已知MN是AB的中垂线，P在MN上，求证：PA=PB”行不行？（应该说是可以的，但已知条件表达不够明了，不利于流畅地证明）

（四）优化评讲

1．介绍数学研究的一般方法：（1）把现实问题数学化；（2）化归的思想……（化陌生为熟悉，化无限为有限，化一般为特殊）。

2．证明逆定理由刚才得到的定理，我们知道线段垂直平分线上的点，无一例外的满足“和一条线线段两个端点距离相等”，问题1：能否在线段垂直平分线外找到一个点满足“到线段两个端点距离相

等”呢？也就是说，满足条件的点是否一个不漏的都在线段的垂直平分线上。引导学生讨论，请学生介绍各自的思考思路和结果，教师帮助完善。出示投影：和一条线两个端点距离相等的点有两种情况：点在线段上和点不在线段上点在线段上，点为线段中点，该点也在线段的垂直平分线上；点不在线段上，点为以线段为底的等腰三角形顶点，该点也在线段的垂直平分线上。归纳出逆命题：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。让学生完成逆定理证明。教师归纳：从定理与逆

定理可知：线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等所有点的集合。

（五）发展性诊断练习

问题1：能否找到一个点，使它到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等？这样的点若存在，有几个？如何找？在什么位置？引导学生运用集合的思想，采用交轨方法展开讨论，交流学生相互讨论的结果，教师完善。利用投影（图略）展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中这个点的作法和位

置。进而再问，通常“求作一点”的问题，我们的思路是什么？了解学生对运用集合的思想，采用交轨方法作图的理解程度，教师帮助归纳：出示投影：找出满足各个条件的所有点组成的图形→找出这些图形的公共部分

（六）理解性诊断与矫治

1．DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，CEBDA若BD=3，则AD=______若∠B=40

度，∠BAC=70度，则∠CAE=______度……；若AC=4，BC=5，则△AEC的周长为_______ 2．已知线段AB（1）、若CA=CB，问：过C点的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？（找出反例即可）（2）、若CA=CB，DA=DB，问过C和D两点的直线是不是线段AB的垂直平分线？为什么？

3．已知：如图△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P。求证：PA=PB=PCAMXPNBCY

（七）自主性学习诊断

1．作业选择：习题3•8A组、B组（同学自由选择习题完成）。

2．思考题：已知：∠AOB和∠AOB内两点C、D，求作：（1）∠AOB的平分线（2）求作：点P，使PC=PD，且P点到∠AOB两边距离相等。（注意讨论）

（八）共同小结

今天我们学习了线段的垂直平分线的性质，认识了两个重要的朋友：它可以帮助我们解决一些“点

的位置”等问题，增强我们解决面临的现实问题的能力。同时，我想告诉同学们，尽管经过处理的数学问题是乎有点枯燥，然而我们一旦知道其丰富的现实背景之后，就能体验到数学的真实和趋于无限的内在魅力。