第一章课堂例题

p1

365
364
(365 36564

64

1) .
故64 个人中至少有2人生日相同的概率为
p

1
365 364
(365 36564

64

1)

0.997.
说明
随机选取n( 365)个人,他们的生日各不相同的概
率为
p

365

364 (365 365n
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
中去接待站是等可能的.
17 27
37
47
172
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712种.
12 2
32
42
122
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212种.
则有
P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4,
A包含B
P( AB) P(B),
所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 . P( A) 0.8 2
抓阄是否与次序有关?
例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?
解 设 Ai (i 1,2,3,4) 为事件“第 i 次取到红球”
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 )P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 ) ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? （P17例7）
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:

15 5

10 5
3. 古典概型的基本模型:摸球模型（类似P13例2）
(1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率.
解 设 A {摸得 2 只球都是白球},
基本事件总数为
6

2

A 所包含基本事件的个数为 故 P( A) 4 6 2 .
概率.
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型（类似例3）
(1)杯子容量无限
问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34种,
故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
p 212 712

0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p

p44 p140
4321 10 9 8 7
1. 210
课堂练习（属于球放入杯子模型）
1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.
(答案 : 2 9)
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率. (答案 : p 2010 36520 )
A 所包含基本事件的个数为 6 6 4,
故
P( A)
664 103

0.144.
课堂练习
1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位
不能为0，求数字0出现3次的概率.
(答案 : p 9 6 13 93 9 106 ) 1 3
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的

n

1) .
而n个人中至少有两个人生日相同的概率为
p

1

365

364

( 365n
365

n

1)
.
例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只 二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽 样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(B|A).（P20例2） 解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得
P(B A) P( AB) P( A)
6 12 2 . 9 12 3
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
以 (i, j) 表示第一次、第二次分别取到第 i 号、第 j 号产品, 则试验的样本空间为
S {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) , , (4,1), (4,2), (4,3)},
A {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4)},
2! 5! 5!
因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
(3 12!) (2! 5! 5!) 种, 因此所求概率为
3 12! p2 2! 5! 5!
15! 6 . 5! 5! 5! 91
例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. （P18例8）
54 54 5 P( A3 ) P( A3S) P( A3( A1 A2 A1 A2 A1 A2 )) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
P(B1 ) 0.3, P(B2 ) 0.5, P(B3 ) 0.2, P( A B1 ) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P( A B3 ) 0.01,
故 P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 )
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
解 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破",
10 10
二、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件 A1 为“恰有一
次出现正面”, 求 P( A1). (2) 设事件 A2 为“至少有一 次出现正面”, 求 P( A2（) P13 例1）
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面.
则 S {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
解 设事件 A 为“任取一件为次品”,
事件 Bi 为“任取一件为i 厂的产品”, i 1, 2, 3.
B1 B2 B3 S,
Bi Bj , i, j 1,2,3.
30% 2% 1% 1%
20%
50%
S
由全概率公式得
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ).

5 5

15! . 5! 5! 5!
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有
3！ 4！142！！4！种.
因此所求概率为
p1

3!12! 4! 4! 4!
15! 25 . 5! 5! 5! 91
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 12! 种.
而 A1 {HTT , THT , TTH }. 得 P( A1 ) 3 8.
(2) A2 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.
因此 P( A2 ) 7 8.
例2 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?（P15例4）
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
231 321 322 2, 543 543 543 5
依此类推
P( A4 )

P( A5 )

2 5
.
故抓阄与次序无关.
摸球试验
例4 设袋中装有 r 只红球、t 只白球.每次自袋中 任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入 a 只 与所取出的那只球同色的球, 若在袋中连续取球 四次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取 到白球的概率. ( p21例3)

4种 2
2种 2
2个Βιβλιοθήκη Baidu
2个
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p 4 2 34 2 .
2 2
27
(2) 每个杯子只能放一个球（与顺序有关） 问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能 放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率. 解 第1至第4个杯子各放一个球的概率为
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A3 A1 A2 )P( A2 A1)P( A1)
(1 9 )(1 7 )(1 1) 3 . 10 10 2 200
例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少?
解 设 Ai 表示“第i 人抓到有字阄”的事件,
i 1,2,3,4,5.
则有
P( A1 )

2, 5
P( A2 ) P( A2S) P( A2 ( A1 A1))
P( A1A2 A1A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A1 )P( A2 A1 ) 21 32 2,
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
例7 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元 件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 :
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
4

2

2 2 5
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A {前 2次摸到黑球 , 第3次摸到红球 } 第3次摸到红球 4种 第12次摸到黑球 6种
第123次摸球 10种
基本事件总数为 101010 103,
解 在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 N 种, n
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法
共有
D N D种, k n k
于是所求的概率为 p D N D N . k n k n