Riccati微分方程特解的向量场分析法
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证 明可 参考 ［ ］ １． 对 （） ３ 的特解 用 向量 场方 法逐 步进行 分析 ， 有
，． ｙ ）
定２ 于程）果ｙＩ， ， 若 ≥ ， 曲ｙ± 上各 理 对方（如设 ＝０么 ０ 位 线＝ 的 ３ ≠那 当 ， ｊ ｝ 时于 √
点处都 有着斜 率相 同的斜切 向量． 证明 在（） ， ３ 中 当 ＝ ≠０时 ， ｐ ） ＋ （ ， 于实值 函数 ） 有且仅 有 当 有 （ ）＝ 对 ， ， ≥０时 ，
第 ｌ 第 ４期 ３卷
２１ ０ ０年 １ ０月
西安文理学院学报 ： 自然科学版
Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｎＵ ｉ ｒ ｔ ｏ ｒ ｏ ｒ ｌ ｆ ’ ｎｖ ｓ ｙ ｆ ｔ Ｓｉｎ ｅ Ｎ ｔ ｃ Ｅ ） ｎ Ｘ ａ ｅ ｉ Ａ ｓ＆ ｃ ｃ （ ａ Ｓ ｉ ｄ ｅ
Ｖ０ ． ３ Ｎ ． １１ ｏ ４
Ｏ 引 言
法 国数 学家 Ｌｏｖｌ ｉ ｉｅ于 １４ ｕ ｌ ８ １年 已证 明 ： 般地 ， 线性 Ｒｃａｉ 分 方程 一 非 ｉｃｔ微
Ｙ ＝Ｐ ） ＋ｇ ） （ Ｙ （ Ｙ＋ｒ （ ） （） １
（ 中 ｐ ｘ 、（ 、（ 是 ［ ， ］ 的 连续 可微 实 值 函数 ， ｐ ） （ ≠Ｏ 一 般 没 有 初 等 积 分解 其 （ ）ｑ ） ｒ ） Ⅱ ｂ 上 且 （ ｒ ） ） 法．但是 由于式 （ ） 但 在理论 方 面具 有很 强 的重 要性 ， １不 而且 它 还有 着许 多 的实 际 背景 ， 近几 十年 来 ， 许 多学 者对 式 （ ） １ 的求 解 方法 仍然 有着 新 的研 究．文 ［ ６ 直 接利 用 公 式 法 ， 巧用 一 阶 微分 系 统 ， ２～ ］ 或 或借 助 Ｅ ｌｒ 程 的形式 解求 得几 类 Ｒｃａｉ ｕｅ 方 ｉｃｔ方程 的特 解 ， 者 作初 等 变换 再 求 其 特 解 ．方 法 有 一 定 的 实 用 或
场 的分析方法对其特解进行 逼近 ， 最后得 到 Ｒｃａ 方程 的特解 ， ｉ ｔ ｃｉ 并讨论 了特解的周期性 和稳定性 ． 关键词 ： ｉｃｔ微分方程 ； Ｒｃａ ｉ 向量场 ； 在惟 一性 ； 存 周期解 ； 稳定性 ．
中 图 分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ类 号 ： １５ ５ Ｏ ７ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ
上 连续 ， 且在 其上 有 Ｉ（ （ ＋ ： Ｉ 并 ｐ ）Ｙ Ｙ） ≤ （ 为正 数 ） 即右 端 函数 关 于 Ｙ有 不等 式 Ｉ ） Ｙ ＋Ｙ）Ｉ Ｙ ， ｐ（ （ ， ： ， Ｉ
收 稿 日期 ：０ ００ —５ ２ １ － ２ ４
基金项 目： 河南省教育厅 “ 十五 ” 教育科 学规划重点课题项 目（ ｏ ３ Ｋ ＨＡ ｌ３ ２ ０ 一Ｊ ｃ — ６ ） 作者简 介 ： 胡博 （９ Ｏ ） 女 ， １８ 一 ， 河南荥 阳人 ， 河南工业大学理学 院讲师 ， 硕士． 究方 向： 研 常微分方程
Ｏｃ ．２ ０ ｔ ０１
文 章 编 号 ：０ ８５ ６ （０ ０ ０ －０ ３０ １０ － ４ ２ １ ）４０ ３ －３ ５
Ｒｃａ 微 分 方 程 特 解 的 向量 场 分 析 法 ｉ ｔ ｃｉ
胡 博 王 明建 ，
（１ 河 南工 业大学 理学院 ， ． 河南 郑州 ４ ０ ５ ；． ５ ０ ２ ２ 郑州师范 学院 数 学 系，河 南 郑 州 ４ ０ ４ ５ ０４） 摘 要： 对一 般的 Ｒｃａｉ ｉ ｔ微分 方程 ， ｃ 首先 给出了在初值条件 下解 的存 在惟一 性定 理 ， 后利用 向量 然
价值 ， 但用 的都是代数方法．本文 旨在利用向量场的分析法 ， 结合讨论函数的极值 、 凸凹、 拐点和渐近线 等性 质 ， 逐 步逼 近 Ｒｃａ 方程 的特解 ．这 种 方法 比起 原 有 的代 数 方 法 ， 但 减 少 了一 些 不 必 的 繁杂 来 ｉ ｔ ｃｉ 不
计算 ， 而且 又 有形 象直 观 、 易于 掌握 等优 点．
位曲ｙ± 于线＝√ 上各处有斜相的切量 的点都着率同斜向．
同 ， （解 线 水 切 量 析有 果 ＝，当 著 ０ ，于 线，± 理 于３ 曲 的 平 向 分 ，如 ｙ ０ ≤时位 曲 ） 对 ） ＝ 则 ＝
√／ Ｊ 的 点 都 着 平的 量 、ｏ 各 处 有 水 切向 ． ／ｌ 上
３ ４
一
西安 文理 学 院学报 ： 自然科 学版
第１ ３卷
Ｙ Ｉ ｌ ｌ ｌ 立 ， 中 是 Ｌｐ ｃｉ 常数 ， 么式 （ ） 在惟一 解 Ｙ ２≤ 一 成 Ｙ 其 ｉｓｈｔ ｚ 那 ３存 （ ， ） 它在 Ｉ Ｘ ≤＾上 连 ｘ— ０ Ｊ
续 满 初 条 ｙ （） 里 ＝ｉ ｎ ） Ｍ （ 且 足 值 件 。 ， ｈｍ （薷 ， 。这 ｎ， 而
１ 主要 结 果 及 证 明
引理 １ 如 果一 阶微 分 方程 为
ｙ ＝ 一
那 （有 解（ ＝ ． 么２ 特 ｙ）一署 ）
引理 ２４ 方程（ ） ［ １ 通过初等变换 ， 总可以化为方程
＝ （ ＋（ ｐ ） ｓ ） （） ３
的形式 ， 里 ｓ ）＝ ｐ （ ｒ ｘ ｐ ） ）＋ ［ （ ｑ （ 这 （ ） （ ）一 （ ｇ （ ４ ２ Ｐ ） ）一 ） （ Ｐ（ ｑｘ ４ ） ｐ（ 定理 １ 如果 式 （ ） 端 的 函数 ， ） 包含 点 ｘ ，ｏ 的矩 形域 Ｒ： 一 ｌ ， Ｙ 一 ｏ ≤６ ３右 ）在 ， ０Ｙ ） ｌ ≤０ Ｉ １ Ｙ Ｉ
定 理 ３ 对 于方程 （ ） ３ 的解 曲线 的极 值和拐 点 ， 有
① ｐ）， ＜ ， 线＝ 的方 ｙ一 的方函取 当（＞ ｓ） 时 曲） 上， ＝ 下解数 。 （ 。在 ， 且 √ 或 √
得极 小值 ．
② ｐ）， ＞ ， 线： 等 的方 ｙ一 的方函取 当（＜ ｓ） 时 曲ｙ 亏 下， ＝ 亏 上解数 。 （ 。在 √ 且 或 √
，． ｙ ）
定２ 于程）果ｙＩ， ， 若 ≥ ， 曲ｙ± 上各 理 对方（如设 ＝０么 ０ 位 线＝ 的 ３ ≠那 当 ， ｊ ｝ 时于 √
点处都 有着斜 率相 同的斜切 向量． 证明 在（） ， ３ 中 当 ＝ ≠０时 ， ｐ ） ＋ （ ， 于实值 函数 ） 有且仅 有 当 有 （ ）＝ 对 ， ， ≥０时 ，
第 ｌ 第 ４期 ３卷
２１ ０ ０年 １ ０月
西安文理学院学报 ： 自然科学版
Ｊｕ ａ ｏ ｉ ｎＵ ｉ ｒ ｔ ｏ ｒ ｏ ｒ ｌ ｆ ’ ｎｖ ｓ ｙ ｆ ｔ Ｓｉｎ ｅ Ｎ ｔ ｃ Ｅ ） ｎ Ｘ ａ ｅ ｉ Ａ ｓ＆ ｃ ｃ （ ａ Ｓ ｉ ｄ ｅ
Ｖ０ ． ３ Ｎ ． １１ ｏ ４
Ｏ 引 言
法 国数 学家 Ｌｏｖｌ ｉ ｉｅ于 １４ ｕ ｌ ８ １年 已证 明 ： 般地 ， 线性 Ｒｃａｉ 分 方程 一 非 ｉｃｔ微
Ｙ ＝Ｐ ） ＋ｇ ） （ Ｙ （ Ｙ＋ｒ （ ） （） １
（ 中 ｐ ｘ 、（ 、（ 是 ［ ， ］ 的 连续 可微 实 值 函数 ， ｐ ） （ ≠Ｏ 一 般 没 有 初 等 积 分解 其 （ ）ｑ ） ｒ ） Ⅱ ｂ 上 且 （ ｒ ） ） 法．但是 由于式 （ ） 但 在理论 方 面具 有很 强 的重 要性 ， １不 而且 它 还有 着许 多 的实 际 背景 ， 近几 十年 来 ， 许 多学 者对 式 （ ） １ 的求 解 方法 仍然 有着 新 的研 究．文 ［ ６ 直 接利 用 公 式 法 ， 巧用 一 阶 微分 系 统 ， ２～ ］ 或 或借 助 Ｅ ｌｒ 程 的形式 解求 得几 类 Ｒｃａｉ ｕｅ 方 ｉｃｔ方程 的特 解 ， 者 作初 等 变换 再 求 其 特 解 ．方 法 有 一 定 的 实 用 或
场 的分析方法对其特解进行 逼近 ， 最后得 到 Ｒｃａ 方程 的特解 ， ｉ ｔ ｃｉ 并讨论 了特解的周期性 和稳定性 ． 关键词 ： ｉｃｔ微分方程 ； Ｒｃａ ｉ 向量场 ； 在惟 一性 ； 存 周期解 ； 稳定性 ．
中 图 分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ类 号 ： １５ ５ Ｏ ７ ． 文 献 标 识 码 ： Ａ
上 连续 ， 且在 其上 有 Ｉ（ （ ＋ ： Ｉ 并 ｐ ）Ｙ Ｙ） ≤ （ 为正 数 ） 即右 端 函数 关 于 Ｙ有 不等 式 Ｉ ） Ｙ ＋Ｙ）Ｉ Ｙ ， ｐ（ （ ， ： ， Ｉ
收 稿 日期 ：０ ００ —５ ２ １ － ２ ４
基金项 目： 河南省教育厅 “ 十五 ” 教育科 学规划重点课题项 目（ ｏ ３ Ｋ ＨＡ ｌ３ ２ ０ 一Ｊ ｃ — ６ ） 作者简 介 ： 胡博 （９ Ｏ ） 女 ， １８ 一 ， 河南荥 阳人 ， 河南工业大学理学 院讲师 ， 硕士． 究方 向： 研 常微分方程
Ｏｃ ．２ ０ ｔ ０１
文 章 编 号 ：０ ８５ ６ （０ ０ ０ －０ ３０ １０ － ４ ２ １ ）４０ ３ －３ ５
Ｒｃａ 微 分 方 程 特 解 的 向量 场 分 析 法 ｉ ｔ ｃｉ
胡 博 王 明建 ，
（１ 河 南工 业大学 理学院 ， ． 河南 郑州 ４ ０ ５ ；． ５ ０ ２ ２ 郑州师范 学院 数 学 系，河 南 郑 州 ４ ０ ４ ５ ０４） 摘 要： 对一 般的 Ｒｃａｉ ｉ ｔ微分 方程 ， ｃ 首先 给出了在初值条件 下解 的存 在惟一 性定 理 ， 后利用 向量 然
价值 ， 但用 的都是代数方法．本文 旨在利用向量场的分析法 ， 结合讨论函数的极值 、 凸凹、 拐点和渐近线 等性 质 ， 逐 步逼 近 Ｒｃａ 方程 的特解 ．这 种 方法 比起 原 有 的代 数 方 法 ， 但 减 少 了一 些 不 必 的 繁杂 来 ｉ ｔ ｃｉ 不
计算 ， 而且 又 有形 象直 观 、 易于 掌握 等优 点．
位曲ｙ± 于线＝√ 上各处有斜相的切量 的点都着率同斜向．
同 ， （解 线 水 切 量 析有 果 ＝，当 著 ０ ，于 线，± 理 于３ 曲 的 平 向 分 ，如 ｙ ０ ≤时位 曲 ） 对 ） ＝ 则 ＝
√／ Ｊ 的 点 都 着 平的 量 、ｏ 各 处 有 水 切向 ． ／ｌ 上
３ ４
一
西安 文理 学 院学报 ： 自然科 学版
第１ ３卷
Ｙ Ｉ ｌ ｌ ｌ 立 ， 中 是 Ｌｐ ｃｉ 常数 ， 么式 （ ） 在惟一 解 Ｙ ２≤ 一 成 Ｙ 其 ｉｓｈｔ ｚ 那 ３存 （ ， ） 它在 Ｉ Ｘ ≤＾上 连 ｘ— ０ Ｊ
续 满 初 条 ｙ （） 里 ＝ｉ ｎ ） Ｍ （ 且 足 值 件 。 ， ｈｍ （薷 ， 。这 ｎ， 而
１ 主要 结 果 及 证 明
引理 １ 如 果一 阶微 分 方程 为
ｙ ＝ 一
那 （有 解（ ＝ ． 么２ 特 ｙ）一署 ）
引理 ２４ 方程（ ） ［ １ 通过初等变换 ， 总可以化为方程
＝ （ ＋（ ｐ ） ｓ ） （） ３
的形式 ， 里 ｓ ）＝ ｐ （ ｒ ｘ ｐ ） ）＋ ［ （ ｑ （ 这 （ ） （ ）一 （ ｇ （ ４ ２ Ｐ ） ）一 ） （ Ｐ（ ｑｘ ４ ） ｐ（ 定理 １ 如果 式 （ ） 端 的 函数 ， ） 包含 点 ｘ ，ｏ 的矩 形域 Ｒ： 一 ｌ ， Ｙ 一 ｏ ≤６ ３右 ）在 ， ０Ｙ ） ｌ ≤０ Ｉ １ Ｙ Ｉ
定 理 ３ 对 于方程 （ ） ３ 的解 曲线 的极 值和拐 点 ， 有
① ｐ）， ＜ ， 线＝ 的方 ｙ一 的方函取 当（＞ ｓ） 时 曲） 上， ＝ 下解数 。 （ 。在 ， 且 √ 或 √
得极 小值 ．
② ｐ）， ＞ ， 线： 等 的方 ｙ一 的方函取 当（＜ ｓ） 时 曲ｙ 亏 下， ＝ 亏 上解数 。 （ 。在 √ 且 或 √