人教版数学必修五正弦定理和余弦定理一
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成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
第一章 解三角形
第一章 解三角形
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题， “遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家 没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用 什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的 距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应 用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方 法．阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球．”但 实际情况是根本找不到这样的支点．全等三角形法有时就像这 样，你根本没有足够的空间去构造出全等三角形，所以每种方 法都有它的局限性．其实上面介绍的问题是用以前的方法所不 能解决的，从本节我们开始学习正弦定理、余弦定理以及它们 在科学实践中的应用，看看它们能解决这个问题吗？
第一章 1.1 第1课时
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∴B＝60°或 120°， 当 B＝60°时，C＝90°，c＝assiinnAC＝2 s3ins3in09°0°＝4 3； 当 B＝120°时，C＝30°，c＝assiinnAC＝2 s3ins3in03°0°＝2 3； 综上，B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c ＝2 3.
课前自主预习
第一章 1.1 第1课时
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“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰 的慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如 何测出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下 方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助 已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.
第一章 1.1 第1课时
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在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC 等于( )
A．3－ 3
B． 2
C．2
D．3＋ 3
[答案] A
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
第一章 1.1 第1课时
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B．2
C．3
D．4
第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
[答案] B [解析] 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．故选B.
第一章 1.1 第1课时
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1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之 和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定 理，即________．
第一章 1.1 第1课时
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[方法总结] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用 正弦定理求解，但要注意判定解的情况．在利用定理过程中， 要注意灵活使用三角公式及正弦定理的变形，如：c＝bssiinnBC＝ assiinnAC等．
第一章 1.1 第1课时
第一章 1.1 第1课时
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当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示，也可类似证明．
第一章 1.1 第1课时
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对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角 的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数 量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关 系的转化．
第一章 1.1 第1课时
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②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为 半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三 角形的个数，解的个数见下表：
A 为钝角 A 为直角 A 为锐角
a>b 一解
一解
一解
a＝b 无解
2R＝sincC＝sin145°＝
2，得
R＝
2 2.
所以，b＝
22，△ABC
外接圆的半径
R＝
2 2.
第一章 1.1 第1课时
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3．解三角形 (1)定义：一般地，把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形． (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角． ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而 进一步求出其他的边和角)． (3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方 法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判 断解的个数．
第一章 解三角形
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第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理
第一章 解三角形
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1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
第一章 1.1 第1课时
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第一章 1.1 第1课时
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[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
第一章 1.1 第1课时
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2．正弦定理的变形形式 (1)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA， b＝assiinnAB＝cssiinnCB， c＝assiinnAC＝bssiinnBC. (2)sinA＝asbinB＝asicnC， sinB＝bsainA＝bsicnC， sinC＝csianA＝csibnB.
60°<B<90°.
∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以
△ABC 有两解．
第一章 1.1 第1课时
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课堂典例探究
第一章 1.1 第1课时
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3 2<
23，
∴△ABC 有一解．
(2)sinB＝bsina150°＝1，∴△ABC 无解．
第一章 1.1 第1课时
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(3)sinB＝bsina60°＝190×
23＝5
9
3，而
35 2<
9
3<1，
∴当 B 为锐角时，满足 sinB＝593的 B 的取值范围为
(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：
第一章 1.1 第1课时
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不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°.
[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
已知在△ABC 中，a＝2 3，b＝6，A＝30°，解 这个三角形．
[分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可运 用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[解析] ∵A 为锐角，bsinA＝6sin30°＝3<a<b， ∴本题有两解， ∵sinB＝bsainA＝ 23，
[答案] 1.180° 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2 ＋b2＝c2
第一章 1.1 第1课时
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1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理的向量法证明： 证明：(向量法) 当△ABC 是锐角三角形时，如图(1)所示， 过点 A 作单位 向量 i 垂直于 AB，因为A→C＝A→B＋B→C，所以 i·A→C＝i·A→B＋i·B→C， 所以 b·cos(90°－A)＝c·cos90°＋a·cos(90°－B)，即 bsinA＝asinB， 得sianA＝sibnB.同理可得sianA＝sincC，所以sianA＝sibnB＝sincC.
∴sinB＝bsainA＝4 3×4sin30°＝ 23， 又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或 120°.
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第一章 1.1 第1课时
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(3)a b c＝sinA sinB sinC． (4)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．
(5)角化边公式：sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. (6)sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC＝2R.其中，R 为△ ABC 外接圆的半径．
第一章 1.1 第1课时
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在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1. 由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R， 所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
已知两角和一边解三角形
在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c＝2，解 三角形．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[解析] 在△ABC 中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°) ＝75°.
sin75°＝sin(45°＋30°) ＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
无解
一解
a>bsinA 两解
a<b 无解
无解 a＝bsinA 一解
a<bsinA 无解
第一章 1.1 第1课时
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图示已知a、b、A，△ABC解的情况． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
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(2013·广东东莞市第五高级中学高二期中测试)已知△ABC
中，a＝4，b＝4 3，∠A＝30°，则∠B 等于( )
A．30°
B．30°或 150°
C．60°
D．60°或 120°
[答案] D [解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB，
第一章 1.1 第1课时
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＝ 22× 23＋ 22×21＝
2
3＋1 4.
根据正弦定理，得 a＝cssiinnCA＝2ssiinn7650°°
＝ 22×3＋23 1＝ 6( 3－1)， 4
b＝cssiinnCB＝2ssiinn7455°°＝ 22×3＋221＝2( 3－1)． 4
第一章 1.1 第1课时
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有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是
定值；
④在△ABC 中，sinA B C＝a b C．
其中正确的个数是( )
A．1
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第一章 解三角形
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在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题， “遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家 没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用 什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的 距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应 用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方 法．阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球．”但 实际情况是根本找不到这样的支点．全等三角形法有时就像这 样，你根本没有足够的空间去构造出全等三角形，所以每种方 法都有它的局限性．其实上面介绍的问题是用以前的方法所不 能解决的，从本节我们开始学习正弦定理、余弦定理以及它们 在科学实践中的应用，看看它们能解决这个问题吗？
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∴B＝60°或 120°， 当 B＝60°时，C＝90°，c＝assiinnAC＝2 s3ins3in09°0°＝4 3； 当 B＝120°时，C＝30°，c＝assiinnAC＝2 s3ins3in03°0°＝2 3； 综上，B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c ＝2 3.
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“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰 的慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如 何测出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下 方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助 已学的三角形的边角关系解决类似于上述问题的实际问题.
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在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC 等于( )
A．3－ 3
B． 2
C．2
D．3＋ 3
[答案] A
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
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B．2
C．3
D．4
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[答案] B [解析] 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正 确．故选B.
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1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之 和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定 理，即________．
第一章 1.1 第1课时
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[方法总结] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用 正弦定理求解，但要注意判定解的情况．在利用定理过程中， 要注意灵活使用三角公式及正弦定理的变形，如：c＝bssiinnBC＝ assiinnAC等．
第一章 1.1 第1课时
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当△ABC是钝角三角形时，如图(2)所示，也可类似证明．
第一章 1.1 第1课时
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对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角 的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数 量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关 系的转化．
第一章 1.1 第1课时
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②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为 半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三 角形的个数，解的个数见下表：
A 为钝角 A 为直角 A 为锐角
a>b 一解
一解
一解
a＝b 无解
2R＝sincC＝sin145°＝
2，得
R＝
2 2.
所以，b＝
22，△ABC
外接圆的半径
R＝
2 2.
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3．解三角形 (1)定义：一般地，把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形． (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角． ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而 进一步求出其他的边和角)． (3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方 法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判 断解的个数．
第一章 解三角形
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第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理
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1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
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第一章 1.1 第1课时
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[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
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2．正弦定理的变形形式 (1)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA， b＝assiinnAB＝cssiinnCB， c＝assiinnAC＝bssiinnBC. (2)sinA＝asbinB＝asicnC， sinB＝bsainA＝bsicnC， sinC＝csianA＝csibnB.
60°<B<90°.
∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以
△ABC 有两解．
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3 2<
23，
∴△ABC 有一解．
(2)sinB＝bsina150°＝1，∴△ABC 无解．
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(3)sinB＝bsina60°＝190×
23＝5
9
3，而
35 2<
9
3<1，
∴当 B 为锐角时，满足 sinB＝593的 B 的取值范围为
(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：
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不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°.
[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
已知在△ABC 中，a＝2 3，b＝6，A＝30°，解 这个三角形．
[分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可运 用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[解析] ∵A 为锐角，bsinA＝6sin30°＝3<a<b， ∴本题有两解， ∵sinB＝bsainA＝ 23，
[答案] 1.180° 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2 ＋b2＝c2
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1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理的向量法证明： 证明：(向量法) 当△ABC 是锐角三角形时，如图(1)所示， 过点 A 作单位 向量 i 垂直于 AB，因为A→C＝A→B＋B→C，所以 i·A→C＝i·A→B＋i·B→C， 所以 b·cos(90°－A)＝c·cos90°＋a·cos(90°－B)，即 bsinA＝asinB， 得sianA＝sibnB.同理可得sianA＝sincC，所以sianA＝sibnB＝sincC.
∴sinB＝bsainA＝4 3×4sin30°＝ 23， 又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或 120°.
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(3)a b c＝sinA sinB sinC． (4)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．
(5)角化边公式：sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR. (6)sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC＝2R.其中，R 为△ ABC 外接圆的半径．
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在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1. 由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R， 所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
已知两角和一边解三角形
在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c＝2，解 三角形．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[解析] 在△ABC 中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°) ＝75°.
sin75°＝sin(45°＋30°) ＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
无解
一解
a>bsinA 两解
a<b 无解
无解 a＝bsinA 一解
a<bsinA 无解
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图示已知a、b、A，△ABC解的情况． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
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(2013·广东东莞市第五高级中学高二期中测试)已知△ABC
中，a＝4，b＝4 3，∠A＝30°，则∠B 等于( )
A．30°
B．30°或 150°
C．60°
D．60°或 120°
[答案] D [解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB，
第一章 1.1 第1课时
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＝ 22× 23＋ 22×21＝
2
3＋1 4.
根据正弦定理，得 a＝cssiinnCA＝2ssiinn7650°°
＝ 22×3＋23 1＝ 6( 3－1)， 4
b＝cssiinnCB＝2ssiinn7455°°＝ 22×3＋221＝2( 3－1)． 4
第一章 1.1 第1课时
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有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是
定值；
④在△ABC 中，sinA B C＝a b C．
其中正确的个数是( )
A．1