等边三角形PPT优秀课件
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等边三角形优秀PPT课件
数学研究中
等边三角形是数学研究中的重要对 象之一，与三角函数、数列等领域 有密切联系。
03
等边三角形面积与周长计算
面积计算公式推导
等边三角形面积公式
S = (a^2 * sqrt(3)) / 4，其中a为等边三角形的边长。
公式推导
等边三角形可以划分成两个等腰直角三角形，每个直角三角形的面积为(1/2) * a * (a * sqrt(3) / 2)，因此等边三角形面积为2 * (1/2) * a * (a * sqrt(3) / 2) = (a^2 * sqrt(3)) / 4。
05
等边三角形相关数学问题探讨
等腰直角三角形与等边三角形关系探讨
定义与性质 等腰直角三角形是两边相等的直角三角形，等边三角形则 是三边都相等的三角形。两者都属于特殊三角形，具有一 些独特的性质。
关联与转化 等腰直角三角形可以通过添加辅助线转化为等边三角形， 从而利用等边三角形的性质解决问题。反之，等边三角形 也可以转化为等腰直角三角形进行求解。
三边相等判定法
定义
判定方法
三边长度相等的三角形称为等边三角 形。
通过测量三角形的三边长度，判断是 否相等来确定是否为等边三角形。
判定定理
若三角形三边长度分别为a、b、c， 且满足a=b=c，则该三角形为等边三 角形。
两角相等判定法
定义
有两个内角相等的三角形 称为等腰三角形，若这两 个内角均为60度，则为等 边三角形。
特点
等边三角形的三个内角均为60°， 具有对称性。
与其他三角形关系
01
02
03
与等腰三角形关系
等边三角形是特殊的等腰 三角形，其中两腰长度相 等且等于第三边。
与直角三角形关系
等边三角形是数学研究中的重要对 象之一，与三角函数、数列等领域 有密切联系。
03
等边三角形面积与周长计算
面积计算公式推导
等边三角形面积公式
S = (a^2 * sqrt(3)) / 4，其中a为等边三角形的边长。
公式推导
等边三角形可以划分成两个等腰直角三角形，每个直角三角形的面积为(1/2) * a * (a * sqrt(3) / 2)，因此等边三角形面积为2 * (1/2) * a * (a * sqrt(3) / 2) = (a^2 * sqrt(3)) / 4。
05
等边三角形相关数学问题探讨
等腰直角三角形与等边三角形关系探讨
定义与性质 等腰直角三角形是两边相等的直角三角形，等边三角形则 是三边都相等的三角形。两者都属于特殊三角形，具有一 些独特的性质。
关联与转化 等腰直角三角形可以通过添加辅助线转化为等边三角形， 从而利用等边三角形的性质解决问题。反之，等边三角形 也可以转化为等腰直角三角形进行求解。
三边相等判定法
定义
判定方法
三边长度相等的三角形称为等边三角 形。
通过测量三角形的三边长度，判断是 否相等来确定是否为等边三角形。
判定定理
若三角形三边长度分别为a、b、c， 且满足a=b=c，则该三角形为等边三 角形。
两角相等判定法
定义
有两个内角相等的三角形 称为等腰三角形，若这两 个内角均为60度，则为等 边三角形。
特点
等边三角形的三个内角均为60°， 具有对称性。
与其他三角形关系
01
02
03
与等腰三角形关系
等边三角形是特殊的等腰 三角形，其中两腰长度相 等且等于第三边。
与直角三角形关系
等边三角形PPT课件
03
02
特点
04
三个内角均为60°。
任意两边之和大于第三边。
05
06
任意一边都小于另外两边之和。
与其他三角形关系
03
与等腰三角形的关系
与直角三角形的关系
与其他三角形的比较
等边三角形是特殊的等腰三角形，其中两 条等腰边长度相等且等于第三边。
等边三角形不是直角三角形，因为其三个 内角均为60°，不满足直角三角形的定义 （有一个90°的内角）。
相比于其他三角形，等边三角形的三边长 度相等，三个内角也相等，具有独特的对 称性和稳定性。
性质总结
对称性
等边三角形具有轴对称性，即关于其三 条中垂线（同时也是角平分线和高线） 中的任意一条都具有对称性。
稳定性
由于三边长度相等，等边三角形在几何 形状中具有很高的稳定性，不易变形。
内角和
等边三角形的内角和为180°，每个内角 均为60°。
根据三角形面积公式 $S = frac{1}{2} times text{ 底} times text{高}$，代 入底和高，得到 $S = frac{1}{2}a times frac{sqrt{3}}{2}a = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$ 。
周长计算公式推导
01
等边三角形周长公式：$P = 3a$，其中 $a$ 为等边三角
形的边长。
02
推导过程
03
由于等边三角形的三条边长 度相等，因此周长等于边长
乘以3，即 $P = 3a$。
典型例题解析
01
例题1
已知等边三角形的边长为 4 cm，求其面积和周长。
02
解析
根据等边三角形面积公式 $S = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$ 和周长 公式 $P = 3a$，代入 $a = 4$
《等边三角形的判定》证明课件ppt文档
在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知),B
CD
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
又∵ ∠ACB=900, (已知),
∴∠ACD=900(平角意义).
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）,
∠ACB=∠ACD（已证）,
AC=AC（公共边）, ∴△ABC≌△ADC（SAS）.
驶向胜利 的彼岸
具体做法.
600
C
我能行 1
命题的证明
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600. A 求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知), 600
∴∠C=∠B=600.(等边对等角). B
C
∴∠A=600(三角形内角和定理).
等的三角形是等边三角形).
600
C
这又是一个判定靠边三角形的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
我能行 3
命题的猜想
1 操作:用两个含有300角的三角
尺，你能拼成一个怎样的三角形？
300
300 300 300
300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的 直角边与斜边有怎样的大小关系？
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形 意义).
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
A
∵AB=AC,∠B=600(已知).
人教版等边三角形 (2) PPT
等边三角形的对称轴是各边高线（中线，或 者所对角的角平分线）所在的直线。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
总结： 等边三角形的性质
1 . 等边三角形三边相等
2. 等边三角形的内角都相等,且等于60 °
3. 各边上的三线互相重合.（三线合一） 4. 等边三角形是轴对称图形，且有三条 对称轴.
思考
一个三角形满足什 么条件就是等边三 角形?
判定1： 三个角都相等的三角 形是等边三角形。
A
已知： ∠A=∠B=∠C
求证： AB=AC=BC
证明：
B
C
判定2： 有一个角是60。的等腰三角 形是等边三角形
A
已知： AB=AC，∠A=60。
求证： AB=AC=BC
证明：
B
C
一般三角形
等边三角形
人教版 八年级上册
等腰三角形
性质1 等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴
性质2 等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角) 性质3 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，
底边上的高互相重合 （三线合一)
我们一起学习
用数学画图软件---玲珑画板演示 等腰三角形的性质
腰
腰
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形.
等腰三角形
等边三角形
⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形.
讨 等边三角形是一种特殊的等腰三角 论 形，你能述说等边三角形与等腰三角
形在定义，性质和判定的异同吗?
有二条边 相等
有三条边 相等
1、两个底角相等 2、三线合一 3、对称轴一条
1、根据定义 2、等角对等边
等边三角形优质PPT课件
形中的美妙性质。
THANKS
感谢观看
图形展示
通过PPT动画展示等边三角形面积计算公式的推导过程，帮助学生 理解并掌握。
周长计算方法及实例
周长计算公式
P = 3a，其中a为等边三角形的边 长。
计算实例
给出一个具体的等边三角形边长， 让学生计算其周长，并展示计算过 程。
图形展示
通过PPT展示一个具体的等边三角 形及其周长计算过程，帮助学生理 解周长的概念及计算方法。
03
02
特点
04
三个内角均为60°
任意两边之和大于第三边
05
06
任意一边都小于另外两边之和
性质与定理
01
性质
02
等边三角形的三个内角都是60°。
03
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
04
定理
05
等边三角形的三个内角平分线、三条中线、三条高线、三 条边的垂直平分线都交于一点，这个点称为等边三角形的 中心。
06
等边三角形外接圆的半径等于其边长与√3的比值，内切 圆的半径等于其边长与2√3的比值。
与其他图形关系
与等腰三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，其 中两条腰的长度与底边相等。
与直角三角形的关系
与其他多边形的关系
等边三角形可以作为构建其他正多边 形的基本单元，如正六边形可以由6 个等边三角形组成。
斐波那契数列与等边三角形联系
斐波那契数列定义
斐波那契数列是一个自然数数列，它的定义是后一个数是前两个数的和，且前两个数分 别为0和1。
与等边三角形的联系
斐波那契数列与等边三角形有着密切的联系。在等边三角形中，可以构造出斐波那契数 列的图形表示。例如，将等边三角形的每一边按照斐波那契数列的比例进行分割，可以 得到一系列相似且不断缩小的等边三角形。这种构造方式展示了斐波那契数列在几何图
THANKS
感谢观看
图形展示
通过PPT动画展示等边三角形面积计算公式的推导过程，帮助学生 理解并掌握。
周长计算方法及实例
周长计算公式
P = 3a，其中a为等边三角形的边 长。
计算实例
给出一个具体的等边三角形边长， 让学生计算其周长，并展示计算过 程。
图形展示
通过PPT展示一个具体的等边三角 形及其周长计算过程，帮助学生理 解周长的概念及计算方法。
03
02
特点
04
三个内角均为60°
任意两边之和大于第三边
05
06
任意一边都小于另外两边之和
性质与定理
01
性质
02
等边三角形的三个内角都是60°。
03
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
04
定理
05
等边三角形的三个内角平分线、三条中线、三条高线、三 条边的垂直平分线都交于一点，这个点称为等边三角形的 中心。
06
等边三角形外接圆的半径等于其边长与√3的比值，内切 圆的半径等于其边长与2√3的比值。
与其他图形关系
与等腰三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，其 中两条腰的长度与底边相等。
与直角三角形的关系
与其他多边形的关系
等边三角形可以作为构建其他正多边 形的基本单元，如正六边形可以由6 个等边三角形组成。
斐波那契数列与等边三角形联系
斐波那契数列定义
斐波那契数列是一个自然数数列，它的定义是后一个数是前两个数的和，且前两个数分 别为0和1。
与等边三角形的联系
斐波那契数列与等边三角形有着密切的联系。在等边三角形中，可以构造出斐波那契数 列的图形表示。例如，将等边三角形的每一边按照斐波那契数列的比例进行分割，可以 得到一系列相似且不断缩小的等边三角形。这种构造方式展示了斐波那契数列在几何图
等边三角形PPT课件
2.请同学用一句话来概括大家找到的结论.
等边三角形的各个角都相等，并且每一个 内角都等于60°.
3.若在等边三角形ABC中，AD⊥BC，
你能找到新的结论吗？
A
∠BAD＝∠CAD ＝30°；
┓
AB＝2BD＝2DC.
B
D
C
4.如果将图中右边部分中的AC、CD擦掉，你
有新的想法吗？
A
┓
B
D
C
在直角三角形ABD中，30°角所 对的直角边等于斜边的一半.
三等分点， △AED是等边三角形，则
∠BAC为（
）度？
A
B
D
E
C
A
因为 ∠A+∠B+∠C＝180°，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
B
C
试用推理格式写出整个推理过程
推理过程:
∵ AB＝AC (已知)
A
∴∠B＝∠C (等边对等角)
同理 ∠A＝∠B
∴ ∠A＝∠B＝∠C
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C＝180°
(三角形内角和为180°) ∴ ∠A＝∠B＝∠C ＝ 1830°＝ 60°.
1、等边三角形是_______对称图形，它有 _______条对称轴，是_________________。
2、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm 则△ABC的周长________
3、 △ABC是等腰三角形，周长为15cm且 ∠A=60°，则BC=_______
４、如图， △ABC中，D、E是BC边上的
一、创设情境 1.有两边相等的三角形是等腰三角形，有 三边相等的三角形是等边三角形也称正三 角形.(如图)
2.①等腰三角形是轴对称图形. ②等腰三角形平分线，底边上的 中线和底边上的高互相重合.
等边三角形PPT课件
回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。 （节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改） 致中国读者的信 亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
所以∠B=600
2
从而∠B=300
B
C
6
逆定理
在直角三角形中锐角是30°。
A
∵ AC⊥BC ， BC= 1AB
2
∴ ∠A= 30°
B
C
2021/4/8
7
例1 如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁
AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m ∠A= 30°,立柱BC、DE要多长？
；单创:/c/7radcKIT9fA
；
本文以小红包为线索，两次设置悬念，把小说情节推向高潮；小说的结尾安排巧妙，出人意料却又在情理之中，引人入胜． 【点评】本题考查对文本、故事情节的理解分析能力和对句子含义、作者感情的理解分析能力．其中第（2）题是重点题目，学生解答时，在理解文章内容主旨的基础上，结合
2
如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起。 你能借助这个图形，找到Rt △ABC的直角 边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
A
另证：在BA上截取BE=BC，连接EC
30 ° 30 °
则△BCE是等边三角形，所以
《等边三角形》PPT优质课件
∴∠DBE= 1 ∠ABC=30°.
2
∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.
B
D CE
∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.
探索新知
知识点1 等边三角形的性质 【变式】如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE的长.
知识点1 等边三角形的性质
A
BC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
AB边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
B
C AC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重 合，即“三线合一”.
探索新知
知识点1 等边三角形的性质
思考3 把等腰三角形的对称性用于等边三角形，能得到什么结 论？
知识点1 等边三角形的性质
图形 性边 质角
三线 合一
等腰三角形
两条边相等 两个底角相等
底边上的中线、高和顶角 的平分线互相重合
对称 性
1条对称轴
等边三角形
三条边都相等 三个角都相等， 且都是60º 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合
3条对称轴
探索新知
知识点1 等边三角形的性质 例1 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使 得CE=CD．求证：BD=DE．
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形.
探索新知
知识点2 等边三角形的判定
例2 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.
等边三角形的性质和判定PPT课件(华师大版)(1)
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°， ∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， ∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°. 同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°. 即△DEF各个内角的度数都是60°.
例5 AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB，AE⊥AC. (1)∠C＝________，∠B＝________； (2)求证：△ADE是等边三角形．
导引：(1)由AB＝AC，∠BAC＝120°， 可求出∠B，∠C 的度数为30°. (2)三个角都是60°的三角形是等 边三角形．
解：(1)30°；30°. (2)∵AD⊥AB，AE⊥AC(已知)， ∴∠BAD＝∠EAC＝90°(垂直的定义)． ∴∠B＝∠C＝30°(已知)， ∴∠ADB＝∠AEC＝60°(直角三角形的两个锐角 互余)． ∴∠ADB＝∠AEC＝∠EAD＝60°. ∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是 等边三角形)．
要点精析：(1)它是特殊的等腰三角形，具备等腰三 角 形的所有性质；(2)它是特殊的等腰三角形，任意两边都 可作为腰，任意一个角都可以作为顶角．
（来源于教材）
2．等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边 都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有 三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的 高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
例1 如图13.3-5， △ABC是等边三角形，D，E，
F分别是三边AB，AC，BC上的点，且
DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF
各个内角的度数．
等边三角形PPT课件
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.
第34页/共50页
• 探究2
操 作探 究
①当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的角）摆在一起，
新得到的三角形是特殊的三角形吗？请说明理由；
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.
第35页/共50页
验证：我们可以用两个同样大小的三角尺
二、 等边三角形的判定
1．三个边都相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
第31页/共50页
• 探究1
操 作探 究
用直尺量一量含30°角的直角三角板的最短直角边(即300 角所
对的直角边)与斜边，记录下数据，你有什么发现？
第14页/共50页
（3）等边三角形各边上中线,高
A
和所对角的平分线都三线合一. D
E
O
（4）等边三角形是轴对称 B F C
图形，有三条对称轴.
A
B
C
第15页/共50页
△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到 E,使CE=CD, 求证:BD=DE A
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ AB=AC=BC，
B
C
第25页/共50页
1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）
A ∵AB=BC=AC
一般三角形
∴△ABC是等边三角形 等边三角形
B
C
2. 三个角都相等的三角形是 ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
等边三角形.
A
∴△ABC是等边三角形
等腰三角形
等边三角形
B
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∵ DE∥BC
B
图13.3-7
C
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴∠A=∠ADE=∠AED
∴⊿ADE是等边三角形
试一试
课本的证明是用判定方法二证明的，你能用判 定方法三来证明例4吗？（提示：先证明有一个 角是60 °，再证明它是等腰三角形）
巩固练习
１．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指
出它的对称轴．
等边三角形PPT优秀课件
☻等边三角形的定义：
三边都相等的三角形叫等边三角 形（也叫正三角形） 。
☻等边三角形的性质
等腰三角形是有两边相等的三角形，而 等边三角形是一种三边都相等的特殊的等 腰三角形。
等边三角形性质与等腰三角形性质有紧 密的联系，可以从中类比而得出。采用类 比这种方法学习新知识，可以进一步了解 新旧知识的联系，更加方便于理解、记忆 和应用。
B
等边 三角形
C
求证：有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形。
假若AB=AC.则∠ B= ∠ C （1）当顶角∠A=60 °时,∠ B= ∠ C= 60 ° ∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形.（判定方法2）
（2）当底角∠ B= 60°时,∠ C=60 °, ∠A=180 -60 °x2=60 ° ∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形. （判定方法2）
归纳：怎样判断一个三角形是等边三角形？
A
方法一：三角形的三边相等；
方法二：三角形的三角相等；
B
C
方法三：有一个角等于60°的等腰三角形 是等边三角形。
例4:如图，⊿ABC是等边三角形，DE∥BC，
交AB、AC于D、E，
A
求证： ⊿ADE是等边三角形。
证明： ∵ ⊿ABC是等边三角形， D
E
∴∠A=∠B=∠C
是60°
顶角的平分 线、底边上 的中线和底 边上的高线
互相重合
是轴对称 图形， 有三条 对称轴
（三线合一）
☻等边三角形的判定方法
一个三角形满足什么条件 就是等边三角形?
我们仍然把等边三角形和等腰三角形进行 类比的方法来探究。
类比探究二：等边三角形的判定
名称
等 腰 三 角 形
图形
等
A 60°
边
三
角
形
60°
B
判定方法(从边看） 判定方法(从角看）
1.有两边相等的三 2.有两个角相等的三角
角形是等腰三角形 形是等腰三角形
（定义）
（等角对等边）
1.三边都相等的 三角形是等边三
2.三个角都相等的三 角形是等边三角形
角形 （定义）
3.有一个角是60°的 等腰三角形形
一个内角为60 °
类比探究一：等边三角形的性质
名
图形
称
定 义边 角
性质
重要线段
对称性
等
有两边 两 两底角 顶角的平分线、 是轴对称
腰
相等的 腰 相等 底边上的中线和 图形，
三
三角形 相 （等边 底边上的高线 有一条
角
等 对等角） 互相重合
对称轴
形
（三线合一）
等 边 三 角 形
三边 都相 等的 三角
形
三 三个内
边 角都相 相 等，每 等 个角都
２．如图，等边三角形⊿ABC中，AD是BC边
上的高，∠ＢDE＝∠ＣDＦ＝６０°图中与
ＢD相等的线段有哪些？
A
E
Ｆ
BＤ C