数值分析期末复习要点总结

x 的绝对误差，简称误差.
*
e( x ) x x
* *
(1-2)

x * 的绝对误差限，简称误差限. 为近似值
设x
*
称绝对误差与 为准确值 x 的近似值，
准确值之比为近似值
即
ex * x x * er x* x x
x
*
er ( x* ) 记为 的相对误差，
(1-3)
n n
N n ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x xi )
i 1
n1
其中
a0 f ( x0 ), ai f [ x0 , , xi ], i 1, 2, , n
… …
ƒ[x0, x1,…, 27 xn ]
差商举例
例：已知 y = (x) 的函数值表，试计算其各阶差商
i xi f(xi) xi 0 -2 5 ƒ(xi) 1 -1 3 2 1 17 3 2 21 二阶差 商 三阶差商
解：差商表如下 一阶差 商 -2 7
-2 -1 1
5 3 17
3
28
Newton 插值公式 = N (x) + R (x) f (x)
设 z0(x), z1(x), ... , zn(x) 构成 Zn(x) 的一组基，则插值多项式
P(x) = a0z0(x) + a1z1(x) + · · anzn(x) ·+
通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法
基函数法基本步骤
① 寻找合适的基函数 ② 确定插值多项式在这组基下的表示系数
插值余项
设 f(x) Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，有
f ( n1) ( x ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
其中 x(a, b) 且与 x 有关, n1 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
22
插值误差举例
例：已知函数 y = lnx 的函数值如下 x lnx 解 线性插值
f ( 2) ( ) R1 ( x ) ( x x0 )( x x1 ) 2
f ( 2) ( ) 2 4
23
0.4 -0.9163
0.5 -0.6931
0.6 -0.5108
0.7 -0.3567
ln 0.54 的精确值为：-0.616186·· ·
可见，抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
19
Lagrange插值
lk(x) 的表达式
由构造法可得
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
3
3
绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值 x 总是未知的， 故一般取相对误差为
e x * x x * er x* * * x x
*
如果存在正数 r 使得
*
ex er x * x r为 x * 的相对误差限. 则称

r
(1-4)
4
绝对误差、相对误差和有效数字
两种特殊情形
n=1
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 l0 ( x ) y1l1 ( x ) y0 y1 x0 x1 x1 x0
线性插值多项式（一次插值多项式）
n=2
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) L2 ( x ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
定理1.1 若x的近似值
x 0.a1a2 an 10 ,
* m
1 10 n 1 为其相对 则 (a1 0) 有n位有效数字， 2a1
误差限. 反之，若 x 的相对误差 r 满足
*
1 n 1 r 10 2a1 1
则 x 至少具有n位有效数字.
*
7
7
x x0 x x1 L1 ( x ) y0 y1 0.1823 x 1.6046 x0 x1 x1 x0
将 x=0.54 代入可得： ln 0.54 L (0.54) =-0.6202 1
18
抛物线插值：取 x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, 可得 ln 0.54 L2(0.54) =-0.6153
21
插值余项
几点说明
余项公式只有当 f(x) 的高阶导数存在时才能使用 x 与 x 有关，通常无法确定, 实际使用中通常是估计其上界 如果 f
( n 1)
( x ) M n 1
M n1 n ，则 Rn ( x ) x xi ( n 1)! i 0
计算插值点 x 上的近似值时，应选取与 x 相近插值节点
25 k 阶差商
差商的性质
k 阶差商与 k 阶导数之间的关系：若 f (x) 在 [a,b] 上 具有 k 阶导数，则至少存在一点 (a, b)，使得
f ( k ) ( ) f [ x0 , x1 , , xk ] k!
26
如何巧妙地计算差商
差商表
xi ƒ(xi) 一阶 差商
x0 x1 x2 x3 xn
数值分析
期末复习要点总结
1
第一章 误差
一. 误差的来源: 1.模型误差
2.观测误差
3.截断误差 4.舍入误差 二. 绝对误差、相对误差和有效数字
2
第一章 误差
2
绝对误差、相对误差和有效数字
定义1 设 x 为准确值x的一个近似值，称
*
e( x ) x x
*
*
(1-1)
为近似值 若 通常称 定义2
( 2 x 1 2 x 1)( 2 x 1 2 x 1) 2x 1 2x 1
2 2x 1 2x 1
12
12
第二章插值
插值区间
已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上有定义，且已经测得在点
a x0 < x 1 < · < xn b · · 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn)
例
设近似数 a 1.557 是某真值 x 经四舍五入
所得, 试求其绝对误差限和相对误差限.
解 由于a经四舍五入得到,故
e (a ) 1 103 2
e (a ) a
er (a )
1 10 3 2 1.577
3.170577 104
9
9
数值计算中误差的传播
6 的近似值的相对误差限小于0.1%,应取 例2: 要使 取几位有效数字
15
Lagrange插值
Lagrange插值基函数
设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足
1, lk ( x j ) 0,
jk jk
则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上的拉格朗日插值基函数
16
线性与抛物线插值
f [ xi , x j , xk ]
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
f(x) 关于点 xi , xj , xk 的 二阶差商
差商的一般定义
f [ x1 , , xk ] f [ x0 , , xk 1 ] f [ x0 , x1 , , xk ] xk x0
17 抛物线插值多项式（二次插值多项式）
例：已知函数 y = lnx 的函数值如下
x lnx
0.4 -0.9163 0.5 -0.6931 0.6 -0.5108 0.7 -0.3567 0.8 -0.2231
试分别用线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的近似值
解： 为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点 线性插值：取 x0=0.5, x1=0.6 得
解决办法
设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即 n 次插值多项式 可以通过 n-1 次插值多项式生成 —— Newton 插值法
24
什么是差商
设函数 f(x)，节点 x0 , … , xn
f [ xi , x j ]
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
f(x) 关于点 xi , xj 的一阶差商
如果存在一个简单易算的函数 P(x)，使得
插值节点
P(xi) = f(xi)，i = 1, 2, ... , n
则称 P(x) 为 f(x) 的插值函数 插值条件
插值节点无需递 增排列，但必须 确保互不相同！
14
求插值函数 P(x) 的方法就称为插值法
基函数法
记
n+1 维线性空间
Zn(x) = {次数不超过 n 的多项式的全体}
x* 1.4142136 1 2 1.4142136 107 2
1.414有4位有效数字. 1.4142136有8位有效数字.
5
绝对误差、相对误差和有效数字
x * 的规格化形式为 一般地，如果近似值
x * 0.a1 a 2 a n 10 m
如果
Fra Baidu bibliotek
(1-5)
a 其中m为整数， 1 0, ai i 1,2, 为0到9之间的整数.
二阶差商
三阶差商
…
n 阶差商
ƒ(x0) ƒ(x1) ƒ[x0, x1] ƒ(x2) ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2] ƒ(x3) ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3] ƒ(xn) ƒ[xn-1, ƒ[xn-2, xn-1, ƒ[xn-3, xn-2, xn-1, xn ] xn ] xn ]
11
数值计算中的一些原则 1.避免两个相近的数相减
2.避免大数“吃”小数的现象
3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 4.要简化计算，减少运算次数，提高效率 5. 要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播 例如 为提高数值计算精度, 当正数x充分大时,应将 2 2 x 1 2 x 1 改写为 2x 1 2x 1
解: 2
6 3,
6 的首位数是2, a1 2
即
设近似数
x
*
有n位有效数字,只须取n使
1 10 n 1 0.1% 2a1
1 10 n 1 0.1% 2 2
10
n 1
10 , 0.4%, 10 0.4%
n
10 n lg 3.3979 0.4%
11
取n=4, 即取4位有效数字,近似值的相对误差限小于0.1%.
有效数字
x * 的误差限是 1 10 n 则称* x 如果近似值 2
准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到 这一位的所有数字均称为有效数字.
x 例如， 2 1.414213562 , 取前四位数得
x* 1.414. 取前八位数得近似值
1 2 1.414 103 , 2
1 x x 10 mn 2 则称近似值 x * 有n位有效数字.
*
(1-6)
例如
x 1.414 0.1414 10 . 1 1 3 2 1.414 10 1014 2 2
* 1
*
6
故 x 1.414 有4位有效数字.
6
绝对误差、相对误差和有效数字
0.8 -0.2231
试估计线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的误差
x0=0.5, x1=0.6, (0.5, 0.6)
R1 (0.54) 2(0.54 0.5)(0.54 0.6) 0.0048
Newton 插值
为什么 Newton 插值
Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函 数 lk(x) 都需重新计算，不太方便。
j 1, j k

n
x xj xk x j
性质 注意
l0(x) , l1(x) , … , ln(x) 构成 Zn(x) 的一组基 l0(x) , l1(x) , … , ln(x) 与插值节点有关， 但与函数 f(x) 无关
20
误差估计
如何估计误差
定理
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x )