小学六年级奥数 第十三章 进位制
小学六年级奥数 第13讲 代数法解题～例2
举一反三练习
3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件
比昨天少
1 10
，生产的乙种零件比昨天增加
3 20
，两种零件共生产了2065个。
昨天两种零件共生产了多少个？
设昨天生产的乙种零件 个，则生产甲种零件（ +700）个。
（1+ 230） +【（ +700）×（1 - 110）】=2065 解得： = 700
知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算 术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时 我们可根据题中的等量关系列方程解答。
经典例题
【例题2】
阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生
减少
1 4
，女生减少
1 6
，剩下的男、女生人数相等，原来
一共有多少名学生在阅览室看书？
经典例题
设女生有 人，则男生有（ +10）人
（1-
1 6
）
＝（
解得：
+10）×（1-
1 4
）
= 90
90+（90+10） = 190（个） 答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
举一反三练习
1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学 多数5减人少。11今0，年这参样加，无两线个电组小的组同的学同一学样减多少。15去，年参两加个航小模组小各组有的多人 少人？
等量关系
今年参加无线电小组的同学=今年参加航模小组的同学
设去年参加航模小组有 人，则参加无线电小组有（ +5）人
（1- 110）
＝（
+5）×（1-
1 5
）
小学六年级数学竞赛讲座第4讲进位制与位值原理
第四讲进位制与位值原理（二）模块一、进制的互化与计算:一、认识进制n进制：“逢n进一，借一当n”，如：十进制的特点是“逢10进一，借一当十”。
N进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制转换n进制化十进制：位值原理法。
十进制化n进制：倒取余数法。
n进制化m进制：先把n进制化成十进制，在把十进制化成m进制。
特别地，n进制化n a进制：从低位到高位，取a合一；n a进制化n进制：从低位到高位，取一分a，不足位补0.三、进制判断判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠下列两个方法：1．数字特征：在n进制下，每个数字都不能大于(n−1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制；2．尾数特征：观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。
（1）把下列各数转化为十进制数。
(大写英文字母表示10以上进制中的数，如：A表示10，B表示11，……)例1．(463)8= ；(2BA)12= ；(5FC)16= .（2）(1001101010111100)2=( )4=( )8=( )16.（3）请将十进制数90转化成七进制数是；(125)7转化为八进制数是。
解：（1）(463)8=4×82+6×8+3=307；(2BA)12=2×122+11×12+10=430；(5FC)16=5×162+15*16+12=1532.（2）(1001101010111100)2=(21222330)4=(115274)8=(9ABC)16.（3）90=72+5×7+6=(156)7，(125)7=72+2×7+5=68=82+0×8+4=(104)8.例2．（1）计算：(231)5+(124)5= ，(251)6+(434)6= ；（2）计算：(11000111)2−(10101)2÷(11)2=( )2；（3）计算：(45)8×(12)8−(456)8=( )8.解：（1）(231)5+(124)5=(410)5，(251)6+(434)6=(1125)6.（2）(11000111)2−(10101)2÷(11)2=(11000111)2−(111)2= (11000000)2.（3）(45)8×(12)8−(456)8=(562)8−(456)8=(104)8.例3．（1）算式1534×25=43214是进制的乘法。
小学奥数进位制
进位制把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据系数写出这个二进制数；也可以用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。
这两种方法同样适用于其他的进制换算。
将二进制数变成十进制数，可以采用方幂法来求解。
例把(37)10改写成二进制数。
解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二(37)10＝(100101)21.把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。
3 把二进制数(11001010011)2改写成八进位制数。
6. 把三进制数201012化为八进制的数。
7. 在什么进位制里，十进位制数71记为47？8. 一架天平，两边都能放砝码。
要称出1~80克的所有整数克重，最少需要几个砝码？分别是什么？9 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
求这个自然数。
10 计算：(1)(110101)2＋(11101)2； (2)(1101101)2－(1011110)2。
(3)(101110)2×(101)2； (4)(110011)2÷(1001)2。
11 有229人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。
为了尽量减少比赛场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。
此次安排比赛有几人轮空？12. 若5×6＝26，则6×6＝?13. 250个鸡蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都可以用几只盒子凑齐，而不必再打开盒子？14. 把(354)6改写成十进制数。
小学六年级-同步奥数-6年级下第二讲进位制与取整符号
（1）n 进制中，不可能出现数字 n 以及比 n 更大的数：如五进制中不可能出现数字 5、6、
ࣱᴓᛪ 2
4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 68 69 70 71 76 77 78 79 84 85 86 87 92 93 94 95 100 101 102 103 108 109 110 111 116 117 118 119 124 125 126 127
我爸爸的年龄在表 １、４、６中出现， 你说他今年几岁了？
下册第 2 讲
这还不容易，相应表 格的第一个数加起来，
1+8+32=41 岁．
这表格里面怎么没有 我的年龄啊……
第一部分 进位制
有这样一个笑话：请问“1 + 1”在什么样的情况下等于 10，答：“在算错的情况下等 于 10 ！”笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把1 + 1算错的情况．不过学习完 今天的知识，同学们就知道，不用算错，1 + 1也是可以等于 10 ！说起来很奇怪，但在二 进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位 制说起． 一、什么是进位制
所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法 则——逢十进一．由于它规定逢十进一，所以这一进位法又称“十进制”．生活中最常用 的就是十进制，例如 10 分钱就是 1 角，10 角钱就是 1 元；10 毫米等于 1 厘米，10 厘米 等于 1 分米，10 分米等于 1 米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是 六十进制的：60 秒等于 1 分钟，60 分钟等于 1 小时．再比如西方国家常用的单位“打”， 所谓一“打”就是指 12 个，这就是一种十二进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就 是十六进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是 16 两……像 这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子． 二、怎么表示进位制
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十三讲 关于个位数字与完全平方数
第十三讲 关于个位数字与完全平方数在整数的各种问题中,确定个位数字是十分重要的.下面我们专门讨论整数乘方的个位数字.一、整数乘方的个位数字整数的个位数字只有 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十种.下面我们列出表格,看一看经过不同次数的乘方之后,个位数字如何变化.a 01 2 3 4 5 6 7 8 9a 2 a 3 a 4 a 5 …………从表中可以看出：（1）平方数的个位数字只可能是 0,1,4,5,6,9,而不可能是 2,3,7,8.（2）三次方的个位数字从 0,1 到 9 都有可能.（3）四次方的个位数字只可能是 0,1,6,5,不可能是 2,3,4,7,8,9.（4）五次方的个位数字与一次方的个位数字完全相同.于是,六次方的个位数字与0 1 4 9 6 5 6 9 4 10 1 8 7 4 5 6 3 2 90 1 6 1 6 5 6 1 6 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9二次方的个位数字完全相同；七次方的个位数字与三次方的个位数字完全相同；八次方的个位数字与四次方的个位数字完全相同.不难看出：a1,a5,a9,……的个位数字相同；a2,a6,a10,……的个位数字相同；a3,a7,a11,……的个位数字相同；a4,a8,a12,……的个位数字相同.（5）个位为0,1,5,6 的数无论多少次乘方,其个位数字保持不变.例1 求31993＋41995＋51995 的末位数字分析：只要分别求出31993,41994,51995的个位数字,再相加即可求出31993＋41994＋51995的个位数学解：∵51995 的个位数字为5,从各个数字乘方后的个位数字表中可以看到,4 的奇次方的个位数字为4,偶次方的个位数字为 6,∴41994 的个位数字为6；又34k＋1 的个位数字为3,34k＋2 的个位数字为9,34k＋3 的个位数字为7,34k 的个位数字为1,而1993＝4×498＋1,∴31993 的个位数字与31 的个位数字相同.故31993＋41994 ＋51995 的个位数字与3＋6＋5＝14 的个位数字相同,即31993＋41994＋51995 的个位数字为4.例2 从1,1,3,3,5,5,7,7,9,9 中取出5 个数,其中至少有三个数不重复,且它们的乘积的个位数字是1.问这5 个数的和应是多少？分析与解：要求取出的5 个数乘积的个位数字是1,显然所取的5 个数中不能有数字5,只能从1,3,7,9 中取,由于要求至少有三个数不重复,那么只能有一个数重复取两次.即只可能有1×1×3×7×9,1×3×3×7×9,1×3×7×7×9,1×3×7×9×9 四种情形.经检验上述四个乘积的个位数字分别为9,7,3,l.故所取的五个数为1,3,7,9,9.这五个数的和为29.例3 我们把从1 开始若干个自然数的连乘积用简单的符号表示,如1×2×3×4×5 记作5！,读作5 的阶乘；1×2×3×……×100 记作100！,读作100 的阶乘；1×2×3×……×n,1 记作n！,读作n 的阶乘.求N＝1！＋2！＋3！＋……＋1992！＋1993！的个位数字.分析：只要将1！,2！,3！,……,1992！,1993！的个位数字一一求出后相加,就可得出各个阶乘的和的个位数字.但要求出各个阶乘的个位数字,需计算1993 项,且每一项几乎都是一大串数字之积,工作量是否会太大？解：∵1！＝1,2！＝1×2＝2,3！＝1×2×3＝6,4！＝1×2×3×4＝24,5！＝1×2×3×4×5＝120,可以看出6！直至1993！的个位数字都是0.因此,N＝1！＋2！＋3！＋4！＋5！＋……＋1993！的个位数字就是1＋2＋6＋24＋0＋……＋0 的个位数字.即N 的个位数字为3.例4 求14＋24＋34＋……＋19924＋19934 的个位数字.分析与解：1,2,3,……,1992,1993,这些数的个位数字不过是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.其四次方的个位数字依次为1,6,1,6,5,6,1,6,1,0,…….前十个数字和为 1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33,个位数字为3.这样就可将14＋24＋34＋44＋……＋19924＋19934 分为十项一组,每组的个位数字均为3.即（14＋24＋34＋……＋104）＋（114＋124＋134＋…＋204）＋…＋（19814＋19824＋19834＋…＋19904）＋19914＋19924＋19934.前 1990 项的和的个位数字与3×199 的个位数字相同,即为 7.而 19914 的个位数字为1,19924 的个位数字为6,19934 的个位数字为1.所以14＋24＋……＋19924＋19934 的个位数字与7＋1＋6＋1＝15 的个位数字相同,即为5.下面我们来研究两个相邻的自然数乘积的个位数字.二、相邻自然数乘积的个位数字由于仅考虑个位数字,相邻的自然数之积1×2＝2,2×3＝6,3×4＝12,4×5＝20,5×6＝30,6×7＝42,7×8＝56,8×9＝72,9×10＝90,10×11＝110的个位数字只可能是0,2,6 三种.因此,若一个自然数的个位数字不是0,2,6,那么,这个自然数不可能是两个相邻自然数的乘积.例5 是否存在自然数n,使得n2＋n＋7 是35 的倍数？分析与解：分别取n＝1,2,3,4,5,依次得到n2＋n＋7 的值为9,13,19,27,37,显然它们都不是35 的倍数.但是这样一个个试下去,即使试到n＝100,n2＋n＋7 都不是 35 的倍数,也不能说不存在自然数 n,使得 n2＋n＋7 为 35 的倍数.因为自然数有无穷多个,不可能每个都试到.注意到n2＋n＝n×（n＋1）是两个相邻自然数的乘积,n2＋n＝n×（n＋1）的个位数字只可能是0,2,6,所以n2＋n＋7 的个位数字只可能是7,9,3.由于个位数字是7,9,3 的自然数不可能是5 的倍数,当然更不可能是35 的倍数.例6不论n是怎么样的自然数,3×（5n＋1）都不可能是两个连续自然数的乘积.解：由于5 的任何次方的个位数字总是5,5n＋1 的个位数字为 6,3×（5n＋1）的个位数字是8.而相邻的两个自然数的乘积的个位数字只能是0,2,6.故3×（5n＋1）不可能是两个连续自然数的乘积.例7 若n！＋4 是两个相邻自然数的乘积,你能找出所有这种自然数n 吗？分析：要想成为两个相邻自然数的乘积,至少其个位数字应为0,2,6 之一.我们已经知道5！＝120,个位数字为0,当 n 大于 5 时,n！的个位数字都是0,此时 n！＋4 的个位数字为 4,故这时n！＋4 不可能是相邻自然数的乘积.于是只要对n≤4 的自然数分别讨论n！＋4 即可.当n＝1 时,11＋4＝5；当n＝2 时,2！＋4＝6；当n＝3 时,3！＋4＝10；当n＝4 时,4！＋4＝28.由于10,28 都无法表为两个相邻自然数的乘积.而 6＝2×3,所以,只有当n＝2 时,n！＋4 是两个相邻自然数的乘积.三、关于完全平方数我们已经知道,个位数字为2,3,7,8 的自然数不可能是完全平方数.其实,一个整数是否为完全平方数,还可以用其它方法来判断.例如,我们可以将完全平方数逐个列出：1,4,9,16,25,36,49,64,81, 100,121,……10000,……在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数.即如果 n2＜a＜（n＋1）2,那么a 不是完全平方数,下面将给出完全平方数应满足的条件,若这些条件之一不满足,则决不可能是完全平方数.1．任何偶数的平方必为4 的倍数,可表为4k 形式；任何奇数的平方必为4 的倍数加1,可表为4k＋1 形式；任何整数被4 除,只有四种可能性,即余数为0,1,2,3.或者说整数只有4k,4k＋1,4k＋2,4k＋3 四种形式.显然形如4k＋2,4k＋3 的整数不是完全平方数.2．（k 为整数）任何整数被3 除,只有三种可能性,即余数为0,1,2.或者说整数只有3k,3k＋1,3k＋2 三种形式.形如3k 的整数平方后仍是3 的倍数；形如3k＋1 的整数平方后仍是3 的倍数加1；形如3k＋2 的整数平方后必为3 的倍数加1.即任何整数平方后只可能是3n 或 3n＋1 的形式.因此,形如 3n＋2 的数不可能是完全平方数.3．（n,k 为整数）任何整数被5 除的余数有0,1,2,3,4 共五种情形.形如5k的整数平方后仍是5 的倍数；形如5k＋1 和5k＋4 的整数平方后必为5 的倍数加1；形如5k＋2,5k＋3 的整数,平方后必为5 的倍数加4.所以任何整数平方后只可能是5n,5n＋1,5n＋4 的形式.即形如5n＋2,5n＋3 的数,不可能是完全平方数.（这就是说完全平方数个位数字不可能是2,3, 7,8）.同理可知,形如8n＋2,8n＋3,8n＋5,8n＋6,8n＋7 的数不是完全平方数；形如9n＋2,9n＋3,9n＋5,9n＋6,9n＋8 的数不是完全平方数.4．（n,足为整数）考察完全平方数的个位和十位上的数字.由42＝16,62＝36,82＝64,102＝100,122＝144,52＝25,72＝49,92＝81,112＝121,132＝169,可以发现：完全平方数个位数字是奇数时,其十位上的数字必为偶数.完全平方数的个位数字为6 时,其十位数字必为奇数（证明从略）.例8 用300 个2 和若干个0 组成的整数有没有可能是完全平方数？分析：由 300 个 2 和若干个 0 组成的整数,其位数至少是301 位,除首位为 2 外, 各数位上都有可能是2 和0.但不可能逐个检查.由于各数位上的数字和为600（这是所有由300 个 2 和若干个 0 组成的数的共同特性）,所以组成的整数一定能被3 整除.但600 并非32＝9 的倍数.解：设由300 个2 和若干个0 组成的数为A,则其数字和为600.∵3｜600, ∴3｜A.即A 中只有3 这个约数,而无32＝9 作为约数,所以A 不是完全平方数.150151 却是奇数 1.我们知道,奇数的平方必为 4 的倍数加 1,即 4k ＋1 的形式. 但 4k ＋3 形式的数不是完全平方数.从其个位为 1 可知,它必为 10k ＋1 或 10k ＋9 形式的数平方而得.（1）式两边同除以 10 得显然,此式左边为偶数,右边为奇数,两边不相等.152（2）式两边同除以 10 得：显然,此式左边为偶数,右边为奇数,两边不相等.习题十三1．求 71993＋81994＋91995 的个位数字.2．求 1111990 ×1121991×1131992×1141993 的个位数字.3．求 110＋210＋310＋410＋510＋610＋710＋810＋910＋1010 的个位数字.4．一箱水果,如果将它们每五个（一份）分装在小圆盒内,最后还剩下两个. 问这箱水果的总个数是否可能是完全平方数？5．求 1！＋2！＋……＋100！的个位数字.6．对于任何自然数 n,n （n ＋1）都不可能是完全平方数.7．证明不能被 3 整除的数的平方与 1 的差能被 3 整除.8．若a 不能被5 整除,则a4－1 能被5 整除.9．求一个四位数,使它的前两位数字相同,后两位数字相同,且这个四位数为完全平方数.10．证明 6,66,666,……这串数中,没有完全平方数.。
奥数讲义数论专题：6 进位制
华杯赛数论专题|：6 进位制我们平常熟悉的十进制：（2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2其他进制转化为十进制：（a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e例题：例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？【答案】24【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。
又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。
所以A＋B最小值是9＋15＝24。
例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A和B在十进制中各是多少？【答案】50、150，或者55，165【解答】设A在十进制中表示是（），由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m，可见m是5的倍数，因此m＝0或5。
相应的计算出R＝30或32。
所以A和B分别是50、150，或者55，165。
例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？【答案】212【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。
则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。
又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。
（1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。
所以，a＝0。
但是a在首位，a又不能等于0。
所以，这样的数字不存在。
（2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。
所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。
六年级奥数训练第12讲进位制与取整符号
六年级奥数训练第12讲进位制与取整符号内容概述掌握进位制的概念及相关计算，掌握自然数在不同进位制之间的转化方法，并学会恰当利用进位制解决一些数论问题．掌握取整符号[]与取小数部分符号{}的定义与基本性质，学会求解包含这两种符号的算式与方程．典型问题兴趣篇1．将下面的数转化为十进制的数：(1111)，(1010010)，(4301)，225 (B08)．162．请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数．3．请将七进制数(403)化成五进制的数，将五进制数(403)化成七75进制的数．4．(1)在二进制下进行加法：(101010)＋(1010010)；22(2)在七进制下进行加法：(1203)＋(64251)；77(3)在九进制下进行加法：(178)＋(8803).995．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果(ade)，59．计算：[16 ⨯1] + [16 ⨯ 2 ] + + [(adc ) ， (aab ) ，是由小到大排列的连续正整数，那么 (ade ) 所表示的5 55整数写成十进制的表示是多少？6．记号(25) 表示七进制的数，如果(52) 是(25) 的 2 倍，那么，(123)k kkk在十进制表示的数是多少？7．一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也 是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反．请问：这个 自然数的十进制表示是多少？8．计算： [27 ⨯ 25 ] - {27 ⨯ 25} + [3.14] ⨯{3.14}.262616 ⨯15 16 ⨯16 ] + [ ] ⋅1717 17 1710．求方程 2[x] – 9{x}=0 的解的个数．拓展篇1．(1)请将下面的数转化为十进制的数：(2011) 、(7C1) ；3 16(2)请将十进制数 101 转化为二进制的数，641 转化为三进制的数，1949 转化为十六进制的数．2．请将三进制数(12021) 化成九进制的数，将八进制数 (742) 化成3 8二进制的数．3．(1)在七进制下计算：(326)＋(402)、(326)×(402)；7777(2)在十六进制下计算：(35E6)＋(78910).16164．算式(4567)＋(768)=(5446)是几进制数的加法？(534)×(25) m m m n n =(16214)是几进制数的乘法？n5．自然数x=(abc)化为二进制后是一个7位数(1abcabc)．请问：x102等于多少？6．一个自然数的七进制表达式是一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
(小学奥数)进制的应用
1. 瞭解進制；2. 會對進制進行相應的轉換；3. 能夠運用進制進行解題一、數的進制1.十進位：我們常用的進制為十進位，特點是“逢十進一”。
在實際生活中，除了十進位計數法外，還有其他的大於1的自然數進位制。
比如二進位，八進制，十六進制等。
2.二進位：在電腦中，所採用的計數法是二進位，即“逢二進一”。
因此，二進位中只用兩個數字0和1。
二進位的計數單位分別是1、21、22、23、……，二進位數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進位中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二進位的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：對於任意自然數n ,我們有n 0=1。
3.k 進制：一般地，對於k 進位制，每個數是由0，1，2，，1k -（）共k 個數碼組成，且“逢k 進一”．1k k >（）進位制計數單位是0k ，1k ，2k，．如二進位制的計數單位是02，12，22，，八進位制的計數單位是08，18，28，．知識點撥教學目標5-8-2.進制的應用4.k 進位制數可以寫成不同計數單位的數之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十進位表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二進位表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；為了區別各進位制中的數，在給出數的右下方寫上k ，表示是k 進位制的數 如：8352（），21010（），123145（）,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數．5.k 進制的四則混合運算和十進位一樣先乘除，後加減；同級運算，先左後右；有括弧時先計算括弧內的。
二、進制間的轉換：一般地，十進位整數化為k 進制數的方法是：除以k 取餘數，一直除到被除數小於k 為止，餘數由下到上按從左到右順序排列即為k 進制數．反過來，k 進制數化為十進位數的一般方法是：首先將k 進制數按k 的次冪形式展開，然後按十進位數相加即可得結果．如右圖所示:模組一、進制在生活中的運用【例 1】 有個吝嗇的老財主，總是不想付錢給長工。
小学六年级奥数第13讲 代数法解题(含答案分析)
第13讲 代数法解题一、知识要点有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有54合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？练习1：1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的43得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？2、有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的52是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有31的人、乙班有41的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少41，女生减少61，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？练习2：1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。
今年参加无线电小组的同学减少51，参加航模小组的人数减少101，这样，两个组的同学一样多。
去年两个小组各有多少人？2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加85，乙书架上的书增加103，这样，两个书架上的书就一样多。
原来甲、乙两个书架各有图书多少本？【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的51比乙校参加人数的41少1人，甲、乙两校各有多少人参加？练习3：1、学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？2、某小有学生465人，其中女生的23比男生的45少20人，男、女生各有多少人？【例题4】甲书架上的书是乙书架上的65，两个书架上各借出154本后，甲书架上的书是乙书架上的74，甲、乙两书架上原有书各多少本？练习4：1、儿子今年的年龄是父亲的61，4年后儿子的年龄是父亲的41，父亲今年多少岁？2、某校六年级男生是女生人数的32，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的43。
小学奥数数论专题--数位与进制(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数数论专题--数位与进制（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx 分）【题文】某三位数和它的反序数的差被99除，商等于______与______的差；【答案】a-c【解析】本题属于基础型题型。
我们不妨设a＞b＞c。
(-）÷99=[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99=(99a-99c)÷99=a-c；【题文】与的差被9除，商等于______与______的差；【答案】a-b【解析】(-）÷9=[(10a+b)-(10b+a)]÷9=(9a-9b)÷9=a-b；【题文】与的和被11除，商等于______与______的和。
【答案】a+b【解析】 (+）÷11=[(10a+b)+(10b+a)]÷11=(11a+11b)÷11=a+b。
【题文】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【答案】94【解析】设原来的两位数为，交换后的新的两位数为，根据题意，，，原两位数最大时，十位数字至多为9，即，，原来的两位数中最大的是94．【题文】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．【答案】1099【解析】设原数为，则新数为，．根据题意，有，．推知，，得到，，，，原数为1099．【题文】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。
例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。
六年级奥数-进制与进位(学生版)
第十讲进制与进位我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：二进制的运算法则：注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：进制间的转换：1.掌握进制之间的转换方法。
2.能用进制互化的方法解题。
例1:① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③ 4710(3021)(605)()+= ；④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；⑤ 若(1030)140n =，则n =________．例2:在几进制中有413100⨯=？例3:将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？例4:现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？例5:在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少?例6:试求(22006-1)除以992的余数是多少?例7:已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N =，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？A1.①852567(((=== ） ） ）；②在八进制中，1234456322--=________；③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．2.在几进制中有12512516324⨯=？3.二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？4.算式153********⨯=是几进制数的乘法？5.将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
B6.某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l 位数字是几?7.在7进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？8.一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄．9.N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b ，使得N 是十进制整数的四次方．10.计算2003(31)-除以26的余数．C11.计算2003(21)-除以7的余数．12.在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？13.现有1斤、2斤、4斤、8斤、16斤的白糖各一袋，白糖整袋地卖，问顾客可买的斤数有多少种？14.求证：1821-能被7整除.15.一个自然数的六进制与九进制均为三位数, 并且它们各位数字的排列顺序恰好相反, 请问这个自然数是几?1.计算下列结果（仍用二进制表示）：（1）()()221101101⨯（2）()()22100111110⨯2.把下列十进制的数写成数码与计数单位乘积的和的形式:(1)()10732 (2)()101869 (3)()10976553.请你制造一个7进制的乘法表。
六年级奥数进制的应用学生版
1. 六年级奥数进制的应用学生版2. 会对进制进行相应的转换；3. 能够运用进制进行解题一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。
在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制,八进制,十六进制等。
2.二进制：在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。
因此,二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……,二进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地,对于k 进位制,每个数是由0,1,2,,1k -（）共k 个数码组成,且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ,1k ,2k ,．如二进位制的计数单位是02,12,22,,八进位制的计数单位是08,18,28,．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数,在给出数的右下方写上k ,表示是k 进位制的数如：8352（）,21010（）,123145（）,分别表示八进位制,二进位制,十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除,后加减；同级运算,先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：知识点拨 教学目标5-8-2.进制的应用一般地,十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数,一直除到被除数小于k为止,余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数．反过来,k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开,然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、进制在生活中的运用【例1】有个吝啬的老财主,总是不想付钱给长工。
小学六年级奥数系列讲座：进位制问题(含答案解析)
进位制问题内容概述本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．典型问题1．在几进制中有4×13=100．【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．也就是说已经将12全部进到上一位．所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．所以，n只能是6．2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?【分析与解】我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12 0l20 11 01 10 12 11 21 3进制5 5 l6 4 1 3 5 47 9进制所以，首位为5．评注：若原为n进制的数，转化为n k进制，则从右往左数每k个数一组化为n k 进制．如：2进制转化为8进制，23=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．10 100 001 101 2进制2 4 1 5 8进制(10100001101)2=(2415)8．3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?【分析与解】(abc)6=a×62＋b×6+c=36a+6b+c；(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，b=0或5．①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a =16，c =7：但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．②当b =5，则35a =3×5+80c ；则7a =3+16c ；mod 7后，3+2c ≡0 所以c =2或者2+7k (k 为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c =2．于是，35a =15+80×2；a =5．于是(abc )6 =(552)6=5×62+5×6+2=212． 所以．这个三位数在十进制中为212．4．设1987可以在b 进制中写成三位数xyz ，且x y z ++=1+9+8+7，试确定出所有可能的x 、y 、z 及b ．【分析与解】 我们注意2()19871987b xyz b x by z x y z ⎧=++=⎨++=+++⎩①②①-②得：(2b -1)x +(b -1)y =1987-25． 则(b -1)(b +1)x +(b -1)y =1962， 即(b -1)[(b +1)x +y ]=1962． 所以，1962是(b -1)的倍数． 1962=2×9×109：当b -1=9时，b =10，显然不满足；当b -1=18时，b =19，则（b -1)[(b +1)x +y ]=18×(20x +y )=1962；则20x +y =109，所以，545,(929911b x x x y y y z ⎧⎪===⎧⎧⎪⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎪=⎩=19不满足),......则 显然，当b =109不满足，b =2×109不满足，当b =9×109也不满足． 于是为(59B)19=(1987)10，B 代表11．5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A 、B 、C 、D 的和为多少? 【分析与解】于是，我们知道n =4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l 的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制： (1024)10=210=(10000000000)2．于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况． 并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如502111...10000...0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5个1个或以上912111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个=9120111...1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个则，10* * * * * * * * * *⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个位置可以含2个l ，4个1，6个1，8个l ，10个1．于是为2268101010101010C C C C C ++++ =10910987109876510987654312123412345612345678⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋ =45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.7．计算：2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个26的余数． 【分析与解】2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个=2003331000...01⎛⎫⨯-⎪ ⎪⎝⎭个=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个226=(222)3所以，2003333 3...31⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭个÷26=20033222...2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭个2÷(222)3 (222)3整除(222)3，2003÷3：667……2，所以余(22)3=8． 所以余数为8．8．一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数．老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个?【分析与解】 我们设(3ab )10=(4cd )9=(5ef )8；我们知道(4cd )9 在(400)9～(488)9之间，也就是4×92～5×92-1，也就是324～406；还知道(5ef )8 在(500)8～(577)8之间，也就是5×82～6×82-1，也就是320～383；又知道(3ab )10 在(300)10～(399)10之间．所以，这样的三位数应该在324～383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和．①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? ②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天?【分析与解】①我们注意到每天 1 2 3 4 8 16 32 64 …前若干天的和…210<2004<211前1天为1，前2天为21，前3天是22，所以前11天为210，前12天是211,也就是说不够第11天拿的，但是根据题中条件知．所以共需12天.②每天 1 1 2 4 8 16 32 64 …前若干天的和1 2 4 8 16 32 64 128 …改写为2进制111010001000100000100000010000000…2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1) =11+10+9+8+7+5+3=53天．。
1.3.3 进位制
§1．3进位制【学习目标】：（1） 了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.（2） 学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律.【学习重点】各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换【学习难点】除k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计 【学法与学习用具】：学法：学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k 取余法. 学习用具:计算机，TI-voyage200图形计算器【课堂过程】 引入我们常见的数字都是十进制的,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制，旧式的称是十六进制的，计算一打数值时是12进制的......那么什么是进位制?不同的进位制之间又又什么联系呢?进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.一般地，若k 是一个大于一的整数，那么以k 为基数的k 进制可以表示为：110()110...(0,0,...,,)n n k n n a a a a a k a a a k --<<≤<，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数如：把二进制数110011(2)化为十进制数.110011=1*25+1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51把八进制数(8)7348化为十进制数.3210(8)73487*83*84*88*83816=+++=例4 把二进制数110011(2)化为十进制数.解:110011=1*25+1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=32+16+2+1=51 请利用TI-voyage200图形计算器操作：运行程序为：把程序稍做更改，怎样把八进制数化为十进制数？例5 把89化为二进制数.解:根据二进制数满二进一的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后去余数. 具体的计算方法如下: 89=2*44+1 44=2*22+0 22=2*11+0 11=2*5+1 5=2*2+1所以:89=2*(2*(2*(2*(2*2+1)+1)+0)+0)+1=1*26+0*25+1*24+1*23+0*22+0*21+1*20 =1011001(2)这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)上述方法也可以推广为把十进制化为k 进制数的算法,这种算法成为除k 取余法. 请利用TI-voyage200图形计算器操作：运行程序为：注意：可以把“inputstr ”是输入字符串的意思，"mid ” 是表示对应字符串的记数字符。
六年级进位制与位值原理通用版(奥数拓展)-第9讲
进位制与位值原理（奥数拓展）知识点进位制进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数）。
对于任何一种进制---X 进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。
十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。
1)二进制二进制有两个特点：它由两个数码0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。
为区别于其它进制，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加B表示，其中B是英文二进制Binary的首字母。
例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2，或写成10110011B。
对于十进制数可以不加标注，或加后缀D，其中D是英文十进制Decimal的首字母D。
计算机领域我们之所以采用二进制进行计数，是因为二进制具有以下优点：1）二进制数中只有两个数码0和1，可用具有两个不同稳定状态的元器件来表示一位数码。
例如，电路中某一通路的电流的有无，某一节点电压的高低，晶体管的导通和截止等。
2）二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。
二进制数的加法和乘法基本运算法则各有四条，如下：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=100×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=12)八进制由于二进制数据的基数R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。
八进制的基数R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。
八进制用下标8或数据后面加O表示例如：二进制数据（ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 对应八进制数据 (352.264)8或352.264O。
3)十六进制由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，所以又提出了十六进制数。
小学奥数之进制的计算(含详细解析)
1. 了解进制；2. 会将十进制数转换成多进制；3. 会将多进制转换成十进制；4. 会多进制的混合计算；5. 能够判断进制.一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
[数学《133进位制》课件
布置作业：
P45练习：3. P48习题1.3A组：3，4.
P41思考
补充1:设计一个算法，把k进制数a（共有n位） 化为十进制数b.
第一步，输入a，k和n的值. 第二步，令b=0，i=1. 第三步，b=b+aiki-1，i=i+1. 第四步，判断i>n 是否成立.若是，则执行第五步； 否则，返回第三步. 第五步，输出b的值.
=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).
例2:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余数 从下到上排列,得到
89=1011001(2).
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
例3:把89化为五进制的数.
解:以5作为除数,相应的除法算式为:
5 89 余数
5 17
4
53
2
0
3
∴ 89=324(5).
[问题5]你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗? 解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
那么二进制数与十进制数之间是如 何转化的呢?
例1:把二进制数110011(2)化为十进制数. 分析:先把二进制数写成不同位上数字与2
的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算 规则计算出结果. 解:110011(2)
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第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。
类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。
进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。
例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。
一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。
如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。
一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系：十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。
例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。
例如：(1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10＝(8＋4＋1)10＝(13)10学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。
例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。
解 (3568)10＝3×103＋5×102＋6×101＋8×100说明像此题这样，利用数码和它的排列位置就可以写出任意大的整数。
例2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。
点拨任何一个二进制的数，都可以用“0”和“1”两个数码来表示。
它按照“满二进一”的原则记数。
十进制数“10”表示十，二进制数“10”表示二，读作“一零”。
为了加以区分，我们用(10)10，(10)2分别表示这两种不同进位制中的数。
对于二进制的整数，从右向左计数单位分别是1(20)，21，22，23…解 (101011)2＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝25＋23＋2＋1说明二进制的数和十进制的数一样，也可以用各位上的数码与所在数位上的计数单位的乘积的和来表示。
所不同的是，十进制的计数单位都是“10”的形式，而二进制的计数单位都是“2”的形式。
例3 把(37)10改写成二进制数。
点拨把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据例2写出这个二进制数；也可以根据二进制“满二进一”的原则，用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。
解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二(37)10＝(100101)2说明“解法一”中要注意37写成2的次幂形式中没有24，23，21，那么用0来代替。
“解法二”中最后一步1÷2商0余1，这样做是为了使所得二进制数各数位上的数全部用“余数”表示，来达到“二除取余法”的要求；另外，注意最后把余数自下而上写出来。
例4 把二进制数(110 011)2改写成十进位制数。
点拨因为一个二进制的数就是各位数字与2的幂的乘积的和，其中幂指数比相应数字所在的位数少1。
所以先把这个二进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，然后计算即可。
解 (110011)2＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝25＋24＋21＋1＝32＋16＋2＋1＝(51)10说明 (110011)2转化为十进位制数，从左数第三、四位都是0，我们在熟练掌握方法后，可以不必写出0×23和0×22；另外，要注意幂指数比相应数字所在的位数少1。
例5 把(394)10写成八进制数。
点拨把十进制数改写成八进制数和十进制数改写成二进制数的方法类似，可以采用“方幂法”和“八除取余法”。
解法一 (394)10＝6×82＋1×81＋2×80＝(612)8解法二(394)10＝(612)8说明把一个十进制数改写成N进制数，可根据N进制数“满N进一”的原则，用N连续除十进制数，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序依次写出来，就是所求的N进制数。
例6 把(354)6改写成十进制数。
点拨把六进制数改写成十进制数和把二进制数改写成十进制数的方法类似。
先把这个六进制数写成数码与计数单位乘积的和的形式，然后计算即可。
解 (354)6＝3×62＋5×61＋4×60＝108＋30＋4＝(142)10说明对于任意一个N进制数与十进制数的换算规律是：若把一个N进制数改写成十进制数，只要把N进制数改写成不同数位的数与N的幂的乘积，然后再相加，就可以写成十进制数。
例7 把三进制数201012化为八进制的数。
点拨要想把三进制数化为八进制的数，首先将三进制的数化为十进制的数，再将此十进制的数化为八进制的数。
解 (201012)3＝2×35＋0×34＋1×33＋0×32＋1×31＋2×30＝486＋27＋3＋2＝(518)10(518)10＝1×83＋0×82＋0×81＋6×80＝(1006)8例8 在什么进位制里，十进位制数71记为47？点拨设这种进位制的基数为x，列方程求解。
解设这种进位制的基数为x，则有(47)x＝4×x1＋7×x0＝4x＋7于是有 4x＋7＝71解得 x＝16答：在十六进制里，十进位制数71记为47。
例9 计算：(1)(110101)2＋(11101)2；(2)(1101101)2－(1011110)2。
点拨二进制加、减法与十进制加、减法十分相似，区别在于，十进制是“满十进一”，“借一当十”，二进制是“满二进一”，“借一当二”解 (1)(110101)2＋(11101)2＝(1010010)2(2)(1101101)2－(1011110)2＝(1111)2说明二进制的加减法要注意“满二进一”、“借一当二”，也可以扩展到其他进位制的加、减法。
例10 计算：(1)(101110)2×(101)2；(2)(110011)2÷(1001)2。
点拨二进制乘、除法与十进制乘、除法十分相似，试商时不够商1要商O，不够减时注意“借一当二”。
解 (1)(101110)2×(101)2＝(11100110)2(2)(1100111)2÷(1001)2＝(1011)2余(100)2例11 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
求这个自然数。
点拨一个自然数的七进制数和九进制数的表达式都是三位数并且数码顺序相反，因此可设未知数，列方程分析解答。
解设这个自然数n＝(abc)7＝(bca)9。
则有a×72＋7b＋c＝c×92＋9b＋a整理得b＝8×(3a－5c)由于0≤b＜7，因此b＝0，即3a－5c＝0此时a＝5，c＝3所以(503)7＝(305)9＝(248)10。
答：这个自然数为248。
说明解这道题时要注意a，b，c出现在七进制中，故它们只能取O，1，2，3，4，5，6。
例12 有229人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。
为了尽量减少比赛场次，规定只有在某一论参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。
此次安排比赛有几人轮空？点拨 229人不是2的正整数次幂，一定有人轮空。
如果用229依次除以2看每次的余数，若有余数即为轮空，这样较麻烦。
我们可以这样分析，如果有256(28)人就不会有人轮空。
假设补上27名假选手，每轮比赛尽可能安排真对真，只有在真选手剩一人时，才安排真假选手对阵，当然真选手必胜，如同轮空一样。
这样，假选手碰真选手的人数和真选手轮空的人数是一样的。
下面我们来计算假选手碰真选手的人数。
解假设补上27名假选手。
27÷2＝13……1(1人碰真选手)13÷2＝6……1(又1人碰真选手)6÷2＝33÷2＝1……1(又1人碰真选手)1÷2＝0……1(又1人碰真选手)因此，共有4人碰真选手，即有4人轮空。
说明上面计算假选手碰真选手的过程，与把27表示成二进制数的过程完全相同，而碰真选手人数就是27的二进制数(11011)2中所含1的个数。
所以我们可以得出：用不小于选手人数的最小的2的正整数次幂减去选手人数，差的二进制记数法中的1的个数，就是比赛中轮空的人次数。
解题技巧在进位制这章内容中，同学们要熟练掌握十进制和二进制之间的转化方法，这是学习其他进位制的基础。
同时，需理解并掌握以下几点：1.N进位制与十进位制的换算方法：若把一个N进位制数改写成十进制数，只要把N进制数改写成不同数位的数与N的幂的乘积，然后再相加，就可以写成十进制数。
2.十进制数改写成N进制数，可根据N进制数“满N进一”的原则，用N连续除十进制数，然后将每次除得的余数，按自下而上的顺序写出来，就是所求的N进制数。
在此基础上要善于把进位制知识灵活加以运用，把问题转化到最合适的进位制中解决。
竞赛能级训练A 级1.把下列十进制数化为二进制数。
(1)(261)10 (2)(3568)10 (3)(2078)102.把下列各数化为十进制数。
(1)(1110101)2(2)(22011)3(3)(11202)43.计算：(1)(110)2×(1011)2－(11011)2(2)(11111)2－(1101001)2÷(111)24.把三进制的20102化为八进制的数。