小学奥数进位制

进位制

例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。

解(3568)10＝3×103＋5×102＋6×101＋8×100

例2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。

解(101011)2＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝25＋23＋2＋1

例3 把(37)10改写成二进制数。

点拨把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据例2写出这个二进制数；也可以用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。

解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二(37)10＝(100101)2

例4 把二进制数(110011)2改写成十进位制数。

(110011)2＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20

＝25＋24＋21＋1 ＝32＋16＋2＋1＝(51)10

例5 把(394)10写成八进制数。

点拨把十进制数改写成八进制数和十进制数改写成二进制数的方法类似，可以采用“方幂法”和“八除取余法”。

解法一 (394)10＝6×82＋1×81＋2×80＝(612)8

解法二

(394)10＝(612)8

例6 把(354)6改写成十进制数。

(354)6＝3×62＋5×61＋4×60＝108＋30＋4＝(142)10

例7 把三进制数201012化为八进制的数。

点拨要想把三进制数化为八进制的数，首先将三进制的数化为十进制的数，再将此十进制的数化为八进制的数。

(201012)3＝2×35＋0×34＋1×33＋0×32＋1×31＋2×30＝486＋27＋3＋2＝(518)10

(518)10＝1×83＋0×82＋0×81＋6×80＝(1006)8

例8 在什么进位制里，十进位制数71记为47？

设这种进位制的基数为x，则有

(47)x＝4×x1＋7×x0＝4x＋7 于是有 4x＋7＝71 解得x＝16

例9 计算：(1)(110101)2＋(11101)2； (2)(1101101)2－(1011110)2。

点拨：二进制是“满二进一”，“借一当二”（0+0=0，0+1=1，1+1=10，0 进位为1）。

解(1)(110101)2＋(11101)2＝(1010010)2 (2)(1101101)2－(1011110)2＝(1111)2

例10 计算：(1)(101110)2×(101)2； (2)(110011)2÷(1001)2。

点拨：试商时不够商1要商O，不够减时注意“借一当二”。

(1)(101110)2×(101)2＝(11100110)2 (2)(1100111)2÷(1001)2＝(1011)2余(100)2

例11 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。求这个自然数。

解设这个自然数n＝(abc)7＝(bca)9。则有a×72＋7b＋c＝c×92＋9b＋a

整理得b＝8×(3a－5c)。因为a，b，c出现在七进制中，故它们只能取O，1，2，3，4，5，6。由于0≤b＜7，因此b＝0，即3a－5c＝0，此时a＝5，c＝3

所以(503)7＝(305)9＝(248)10。答：这个自然数为248。

例12 有229人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。为了尽量减少比赛场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。此次安排比赛有几人轮空？

第一轮229=114×2+1 轮空一人，淘汰114人；第二轮114+1=57×2+1 轮空一人，淘汰57人；第三轮57+1=29×2 不轮空淘汰29人；第四轮29=14×2+1 轮空一人淘汰14人；

第五轮14+1=7×2+1 轮空一人淘汰7人；第六轮7+1=4×2 不轮空淘汰4人；第七轮4=2×2 不轮空淘汰2人；第八轮2=1×2 不轮空淘汰1人决出冠军；既有4人轮空。

1.若5×6＝26，则6×6＝?

设（26）x这种进位制的基数为x，则（2x+6）10=(30)10， 2x+6=30, x=12。

6×6=（36）10=（30）12

2.250个鸡蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都

可以用几只盒子凑齐，而不必再打开盒子？

1+2+4+8+16+32+64+128=255＞250，所以至少需要8个盒子，即n的最小值是8．盒子里分别装1，2，4，8，16，32，64，123个鸡蛋。

3.一个十进位制三位数(abc)10，其中a，b，c代表数码，它的二进制表达式是(1abcabc)2，求(abc)10。

因为a，b，c出现在二进制的表达式内，所以这三个字母只能是是0或1，

又因为a出现在十进制表达式最高位上，所以a≠0，则a=1，因为（abc)10=(1abcabc)2，则1×100+10×b+c=1×26+1×25+b×24+c×23+1×22+b×2+c，

得8b+8c=0，所以b=c=0．则三位数abc=100。答：这个数是100。

4.某一个从“长寿”村来的少年自称现年101岁，小聪明断定“长寿村”的101岁不是十进制的。小聪明出了几道算术题给这个少年做：1＋1＝？1＋1＋1＝？1＋1＋1＋1＝？少年解答如下：1＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝10。小聪明立即算出了少年的十进制数的年龄，你能算出吗？

根据1＋1＋1＋1＝10，可知是4进制，（101）4=（17）10，该少年17岁。

5.用a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果ade，adc，aab是由小到大排列好的连续自然数，那么(cde)5所表示的整数化成十进制应是多少？

因为（adc)5-（ade)5=1，所以c-e=1，又因为（aab)5-(adc)5=1，即25a+5a+b-(25a+5d+c)=1，所以（5a+b）-（5d+c）=1，所以5（a-d）+（b-c）=1；由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数，从而可以推知：a-d=1，c-b=4。经检验，得 c=4，b=0，e=3，a=2，d=1，于是有 (cde)5=（413）5=4×52+1×51+3×50=4×25+5+3=100+5+3=108。

6.设1，3，9，27，81，243是六个给定的数，从这六个数中每次取若干个数求和(每个数只能取一次)，可以得到一个新数，这样共得到63个新数。如果把它们从小到大依次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，那么第39个数是多少？

1=30，3=31,9=32,27=33,81=34,243=35，，且每个数都大于前面所有数的和，因为这六个数每个数都有取和不取两种可能，于是取若干个数求和所得新的一列数中最小的是

000001，最大的是111111.这样我们就把取数和二进制数建立起一个联系。

因为（39）10=（100111）2，所以第39个数应是35+32+3+1=256。

7.(3051)

8－(2127)

8

＝( )

8

。 8.(2102)3×(1202)3＝( )3。