第一讲：n阶行列式

线性代数第一讲

概论

线性代数是一门普通的基础理论课，它被广泛地应用于科技的各个领域，尤其在计算机日益普及的今天，求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题。

线性代数重点研究应用科学中常用的矩阵法，线性方程组的基本知识，另外行列式也是一个有力的工具，在讨论上述问题时都要用到。

本门课程的特点，既有繁琐和技巧性很强的数字计算，又有抽象的概念和逻辑推理，在学习中，需要特别加强这两个方面的训练。

第一章 行列式

§1定义

一、 二阶、三阶行列式 中学学过解二元一次方程组

⎩⎨

⎧=+=+221

1

21c y b x b c y a x a 如果有解，它的解完全可由他们的系数()212121,,,,,c c b b a a 表示出来。

⎩⎨

⎧=+=+)

2()1(2

211

21c y b x b c y a x a 1

1

)1()2(b a ⨯⨯⇒

⎩⎨

⎧=+=+)

4()3(2

12111112211c a y b a x b a b c y b a x b a

()()1

1211221)

3()4(c b c a y b a b a -=-⇒

-.

若01221≠-b a b a ，则2

1

212111

1

2211121b b a a c b c a b a b a c b c a y ∆

=

--=

（2）

同理 2

1

212221b b a a b c a c x =

（3）

其中

2

2

212

1

21

2111,

,b c a c b b a a c b c a 均称为二阶行列式

定义1.二阶行列式

bc

ad d

c

b a -= （4）

是一个数，主对角线两数之积减副对角线两数之积（对角线法则）

同样，在解三元一次方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++3333231

2

2322211131211b

z a y a x a b z a y a x a b z a y a x a （5）

时，要用到“三阶行列式”，这里可采用如下的定义。 定义2，三阶行列式

33

32

31

232221

13

1211

a a a a a a a a a D =32

31

222113

33

31

232112

33

32

232211a a a a a a a a a a a a a a a +-= （6）

行、列()3,2,1,3,2,1==j i a ij 称为D 的元素。

例1

00

5

04

10

603

10

6521

650432

+-=10

040352=⨯+⨯-⨯=

如果我们把ij a 所在的行（第i ）和列（第j ）()3,2,1,3,2,1==j i 划去后，所剩下的二阶行列式记为ij M ，那么有 ,33

32

232211a a a a M =

,33

31

232112a a a a M =

32

31

222113a a a a M =

故（6）式可写成：

13

1312121111M a M a M a D +-= （7）

ij M

称为元素ij a 的余子式，若令()

ij j

i ij M A +-=1，则（7）式又可写成

131312121111A a A a A a D ++=∑==

3

1

11k k

k

A a

（8）

ij

A 称为元素ij a 的代数余子式（注，这里的ij A 是一个二阶的）

二、n 阶行列式

以上，从二阶行列式到三阶行列式的定义。蕴含了一种规律，我们同样用之来定义更高的行列式。这种规律可由归纳法表现出来。

定义 3. 由2n 个数排成或n 行n 列的正方形数表，按照以下规律，可以得到

一个数：nn

n n n n a a a a a a a a a D

2

1

2222111211

=

∑==

+++=n

k k

k

n n A a

A a A a A a 1

111112121111 （9）

称为n 阶行列式，其中ij j i ij M A +-=)1(，ij M 表示D 划去第i 行第j 列

()n j i ,...,2,1,=后所剩下的n-1阶行列式。

行列ij a ——元素ij M 称为元素ij a 的余子式，ij A 成为元素ij a 的代数余子式。

注：1. 为了方便，定义一阶行列式1111a a =。

2. 按照定义式（9），从一阶行列式可以得到二阶行列式的

2112221122

21

1211a a a a a a a a -=（同对角线法）

。 例2. 证明对角行列式（其对角线上的元素是i λ未写出的元素都为0）

n n λλλλλλ

212

1

=

()

()n n n n

λλλλλλ

212

12

1

1--=

证：按定义式（9）

n

n λλλλλλλ

3

2

1

2

1

=n n

λλλλλλλ

212

13

===

()

n

n

n

λλλλλλλ

3

2

1

12

1

1+-=()

()n

n n

λλλλ

3

2

1111--=+

()

()n

n

n λλλλ

3

2

111++-=()

()n n n λλλ 212

11--==

例3. 证明下三角行列式

nn nn n n a a a a a a a a a D

22112

1

222111

==

按定义式（9）得

nn n n a a a a a a a D

3

2

333222

11

=nn n n a a a a a a a

4

3

433322

110

=nn

a a a 2211==

以上，n 阶行列式的定义（9）式，是利用行列式的第一行元素来定义行列式的，这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开是。我们可以证明。行列式按第一列元素展开也有相同的结果，即