n阶行列式
n 阶行列式的定义与性质
a a
12
1n
a a
n
22
2n
a a ...a a . 11 22
nn
ii
i1
a a a
n1
n2
nn
例 2 计算 n 阶行列式
a a a
11
12
1n
0 a a
22
2
n
.
0 0 a nn
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1,
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
a j1 a j2 a jn
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
证明 根据行列式的定义及定理 1.1
左端
(1)
(
a j1 ji j j jn ) 1 j1
an1 an2 ann
设 n 阶行列式 D 的第 i 行与第 k 行相同，于 是将第 i 行与第 k 行互换,行列式不变;但由性 质 4个知，它们又应当反号即有 D=-D ，即 2 个 D=0个，故 D=0.。
性质 6 如果行列式中两行（两列）的对应元 素成比例，那么行列式为 0 ．
证明 a11 a12 a1n
an1 an2 ann
右端
说明
利用行列式的性质可简化行列式的计算，基 本思路是根据性质把行列式化成为上三角形 行列式，它等于变换后的行列式的主对角元 素的乘积。
例5 解
计算行列式
1 9 13 7 2 5 1 3 3 1 5 5 2 8 7 10
n阶行列式的定义及性质
注 在计算行列式 中, 经常需要用初等 变换来“打洞”, 可 以看出“打洞”中 起主要作用的是性 质5.
•命题
(1) A 初 B, 则|A|与|B|要么同时为0, 要么同时不为0.
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
a2n
an1 an2 ann
简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 ∑表示对所有排列p1p2 pn取和.
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元.
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.
❖三阶行列式的结构二：
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
(2) ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin .
an1
an2 ann an1 an2 ann an1 an2 ann
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则Hale Waihona Puke 6AT 23
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
0 9 51 2 41 2 41 2 4
7 1 6,7 1 6,0 9 5,0 9 5
2 1 32 1 32 1 37 1 6
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零. 即
n阶行列式的三种等价定义
n阶行列式的三种等价定义
1、行列式有很多等价定义。
等价定义就是你可以拿其中一个作为定义，而另外的就是他的充分必要条件。
我可以举出三个。
2、第一个应该是大部分国内教材用的。
用a{i，j}表示行列式第i行j列元素，p=（p1，p2…pn）表示1到n的排列，tp代表排列p的逆序数。
n阶行列式的值等于对全部的排列p，（-1）
^tp*a{1，p1}*a{2，p2}*。
*a{n，pn}的和。
3、第二个是递归定义，一阶行列式｜a｜=a，高阶行列式按第一行展开，即行列式等于a｛1，k｝*A｛1，k｝对全部k=1，2，。
，n求和。
其中A｛1，k｝为a｛1，k｝的代数余子式。
可以证明这种定义可以推广成按任意行或列展开且展开的值相等。
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
n阶行列式计算方法
n阶行列式计算方法
在线计算n阶行列式的方法是一种重要的数学运算方法，可以用于解决线性方
程组、矩阵求逆和矩阵计算等问题。
本文将介绍几种常见的计算n阶行列式的方法。
1. 代数余子式法：该方法通过利用代数余子式的性质来计算行列式。
首先选择
第一行或第一列的元素，利用它们构成代数余子式，并对代数余子式进行计算，最后将代数余子式乘以对应元素的符号，并相加得到最终的行列式值。
2. 二阶、三阶行列式法：对于二阶行列式，可以直接利用相应元素的乘积进行
计算。
而对于三阶行列式，可以利用Sarrus定理进行计算。
Sarrus定理是通过构造
辅助矩阵，以及利用矩阵元素之间的关系进行计算的方法。
3. 初等变换法：该方法通过对行列式进行初等行变换来将行列式化为上三角行
列式或下三角行列式，并通过对角线元素的乘积来计算行列式的值。
4. Laplace展开法：Laplace展开法是一种递归的方法，通过逐步将n阶行列式
分解为n-1阶行列式，再进一步分解为n-2阶行列式，直到最后分解为1阶行列式。
每一步的分解都利用代数余子式的计算方法，最后将每一步的行列式值相加，即可得到n阶行列式的值。
需要注意的是，由于行列式的计算规模较大，当n超过一定的阶数时，上述方
法可能会出现计算速度较慢的情况。
因此，在实际应用中，可以使用计算机编程来实现行列式的计算，以提高计算效率。
综上所述，以上是几种计算n阶行列式的常见方法。
在实际应用中，可以根据
具体情况选择适合的方法进行计算。
行列式的计算对于数学和工程领域都具有重要的意义，它在解决线性方程组和矩阵运算等问题中发挥着重要作用。
§12n阶行列式
n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列 证： 有q个。 将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部 变为偶排列，于是有 排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有 。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换 （ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原 排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排 列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二 、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排 列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.
n阶行列式的定义
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和． p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律．下面将行列式推广到一般的情形．
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM an1 an2 L
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
ann
简记作 det(aij)，
1. 等号的右边一共有 n! 项． 其中 aij 为行列式 D 的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积．
注意：当n = 1时，一阶行列式 |a| = a，注意不要与绝对值的
记号相混淆．例如：一阶行列式 1 1．
例：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项．
解： a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 .
例：计算行列式
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0
0 0 0 a44
a a11 22 ann
(2)
D
ann
由列标排列的奇偶性
决定符号
a1n
a2,n1 N
n( n1)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 0）
a11 a12
0a
D
22
a1n
a 2n
a a11 22 ann
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
线性代数 n阶行列式
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
t n 1 n 2 2 1
a11 a12 a22 a1 n
0 0
a2 n 1 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 ann
1 2 3 4
例5
0 4 2 1 D ? 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 4 0 0 3 2 5 0 4 1 1 4 5 8 160. 6 8
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
5、 a1 j1 a2 j2 anjn 的符号为 1 j1 j2 jn
其中 j1 j2 jn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列.
D
a11 a21 an1
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 设排列为 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm a1 al ab b1 bm 除 a,b 外，其它元素的反序数不改变. 当a b 时
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
3、n阶行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
p1 p2 pn
1
p1 p2 pn
a1 p1 a2 p2 anpn
7
线性代数
n阶行列式
说明 1、行列式是一种运算符，它是根据求解方程个 数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义 的；
元素在行列式ij中的余子式仍然是在行列式ij39线性代数n阶行列式ijijnnijijijijij所以命题得证40线性代数n阶行列式4443424133242322211413121144424124222114121133例如动画演示41线性代数n阶行列式行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和即1112njnj定理定理利用行列式的性质4拆分原理有44行列式按行行列式按行列列展开展开42线性代数n阶行列式nn121112111211行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即njni推论推论命题得证43线性代数n阶行列式把行列式行展开有detjnjn把行列式中的换成可得jknjni44线性代数n阶行列式55关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质kjkijkik其中45线性代数n阶行列式66应用举例应用举例46线性代数n阶行列式66应用举例应用举例按第二行展开得1356352747线性代数n阶行列式48线性代数n阶行列式1所以245351225184410319631849线性代数n阶行列式41按第4行展开5a413a422a432a444450线性代数n阶行列式第四行各元素余子式之和为分析41424344表示中元素的余子式则有ij1186851线性代数n阶行列式52线性代数n阶行列式53线性代数n阶行列式54线性代数n阶行列式解法一55线性代数n阶行列式56线性代数n阶行列式57线性代数n阶行列式58线性代数n阶行列式解法二59线性代数n阶行列式三小结三小结32211331231233221133211232231131221311121122122121221112212211121321222331323360线性代数n阶行列式余子式与代数余子式余子式与代数余子式ij划去后留下来的阶行列式叫做元素的余子式阶行列式中把元素所在的第ijij叫做元素的代数余子式
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
n阶行列式及其计算
an2 ann
j 1,2, n
an1
bn
ann
(1) D ? 怎样算？ (2) 当D 0 时，方程组⑵是否有唯 一解？
(3) 当D 0 时，若方程组⑵有唯一 解，解是否
可以表示成
xi
Di D
,
i 1,2, , n
克莱姆 法则！
由n2个数aij构成的n行n列的一个数表，称为n阶行列式， 它表示一种运算法则，结果是一个数值，其中的数aij称 为元素，二、三阶行列可用对角线法则来计算
a11 a21 an1
D a21
a22
a2n
DT a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
2020/11/18
11
2.两行（列）互换值变号
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
a j1 a j2 a jn
或 j1
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
注意两者有什么不同？
1 1 3 2
n
aij Aij i 1
j 1,2,, n
找相应 Aij
3 4 试试：按第一行和第三列计算上述行列式的值
3
D a1 j A1 j a11A11 a12 A12 a13 A13 6
或 j1
按第一行展开
3
D ai3 Ai3 a13 A13 a23 A23 a33 A33 6 按第三列展开
2020/i111/18
7
走试试别的行与列 找有零的有行或列
0 D 2
1 1 现按第一行展开
3
2
2
A12
1.2 n阶行列式的定义
(1)
a14a23a32a41
4 3 2 1 24
【例2】计算行列式p5
a11 a12 a13 0 a22 a23
a1n1 a2 n1 a3 n1 0
a1n a2 n a3 n ann
上三角 行列式
D= 0
0 0
0 a33 0 0 0 0
第一行 第二行
第n 行
称为n 阶行列式。
aij
位于行列式中第i行第j列的元素
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
= n!项的代数和，每一项是行列式不同行不同 列的n个元素的乘积，每一项都有一定符号。
j1 j2 jn
1
20032004 2
a1, 2004a2, 2003 a2004,1a2005, 2005
1 2 32004 2005
200 5 !
定理1· 3 ：n阶行列式的展开式又可表示为
a11 a21 an 1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
第一章
§1.2
行列式
n阶行列式的定义
本节要点： n阶行列式的定义 几种特殊行列式的结论
一、
二、三阶行列式
a11 a12 a11a22 D a21 a22 ＋ －
－ ＋ －
a12 a21
a11 a21
－
a12 a22 a32
＋
a13 a23 = a a a a a a a a a 11 22 33 13 21 32 12 23 31 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
递推法解n阶行列式
递推法解n阶行列式
行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所对应的一个标量值。
在实际应用中，行列式经常被用来求解线性方程组的解、计算矩阵的逆等问题。
对于一个n阶行列式，我们可以使用递推法来求解。
我们需要了解行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，定义为：
det(A) = Σ(-1)^(i+j) * a(i,j) * det(A(i,j))
其中，i和j分别表示A的第i行和第j列，a(i,j)表示A的第i行第j列的元素，A(i,j)表示去掉A的第i行和第j列后所得到的(n-1)阶方阵。
接下来，我们可以使用递推法来求解n阶行列式。
具体步骤如下：
1. 对于1阶行列式，直接返回该元素的值。
2. 对于n阶行列式，选择其中一行或一列，将该行或列的元素乘以它们所在的代数余子式的值，然后将这些乘积相加，得到该行或列所对应的代数余子式的值。
3. 将该行或列所对应的代数余子式的值乘以该行或列的元素的符号(-1)^(i+j)，然后将这些乘积相加，得到该行或列的余子式的值。
4. 将该行或列的余子式的值乘以该行或列的元素的值，然后将这些乘积相加，得到该行或列所对应的代数余子式的值。
5. 将所有行或列所对应的代数余子式的值相加，得到n阶行列式的值。
通过递推法求解n阶行列式的时间复杂度为O(n!)，因此对于较大的n，递推法的效率较低。
在实际应用中，我们通常使用高斯消元法等更高效的方法来求解行列式。
递推法是一种求解n阶行列式的有效方法，它可以帮助我们更好地理解行列式的定义和性质。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来求解行列式，以提高计算效率。
n 阶行列式及性质
1 j1 2 j2
njn
an1 an2 ann
注：⑴ n 阶行列式共有 n2个元素，排成 n 行 n 列；
⑵从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从
右上角到左下角的对角线称为次（副）对角线；
⑶主对角线上的元素 aii (i 1,2,, n) 称为主对
角元；
⑷取正号的项与取负号的项各占一半，即为 n! 项； ⑸每项中同一行或一列的元素不可能乘在一起2； ⑹行列式常用大写字母D表示或 aij ，特别规定一阶
0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
r4 r3 0 2 1 5 0 0 1 1
3
2 2
0 0 0 1 0 0 0 2 2 2
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3 r5 2r3 0 0 1 1 2
0 0 0 1 0 4
0 0 0 4 6
1 1 2 3 1
0 2 1 5 3
r5 4r4 0 0 1 1 2 216
85
75
78
0 32 0 32
注：（1）此法也可与行列式的其它5条性质结合使用.
例5：计算下列行列式.
70 40
①
1 D
0
5
2
3 1 1 6
80 50
3 1 1 2
② D 5 1 3 4
2 0 1 1 1 5 3 3
解： ①
70 40 10 52 D 3 1 1 6 80 50
按第2
(1) A32
ci c j 表示将行列式的第i列与第j列互换
推论1：若行列式有两行（列）完全相同，则此行列 式的值为零. 即：
性质3：把行列式某一行（列）的所有元素都乘以 k， 等于用数 k 乘此行列式.
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
N阶行列式的计算方法
N阶行列式的计算方法行列式是矩阵的一个特征值，在线性代数中占有重要地位。
它可以帮助我们解决求解线性方程组和矩阵的逆等问题。
其中，N阶行列式的计算方法是非常重要并且复杂的。
在这篇文章中，我们将详细解释N阶行列式的计算方法，包括定义、性质和计算公式等内容。
一、定义行列式是一个正方形矩阵的一个数值特征，用来描述该矩阵的线性无关性和相似性，在代数中被广泛应用。
假设A是一个N阶方阵，即A为一个N×N的矩阵。
那么A的行列式用det(A)或者，A，表示，它可以通过递归定义来求解。
当N=1时，det(A)=，A，=a11，即一个1×1矩阵的行列式为这个元素本身。
当N=2时，det(A)=，A，=a11×a22-a12×a21，即一个2×2矩阵的行列式为主对角元素的乘积减去副对角线元素的乘积。
当N>2时，行列式的定义是一个递归定义，如下所示：det(A)=，A，=Σ（-1）^i+ja1i·det(M[ij])其中M[ij]是A删去第i行第j列后得到的N-1阶子式，i表示剩下的元素里的其中一行，j表示剩下的元素里的其中一列，i+j为奇数时前面带负号。
二、性质1.如果矩阵A的两行（列）互换位置，那么行列式的值取相反数。
det(A)=，A，=-，A2.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都分别是两个矩阵B和C对应行（列）的元素之和，那么行列式的值是这两个矩阵行列式之和。
det(A)=，A，=，B，+，C3.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都等于一个数k与另一个矩阵B对应行（列）的元素相乘，那么行列式的值等于k乘以矩阵B的行列式。
det(A)=，A，=k，B4.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都是同一个矩阵B对应行（列）的元素的倍数，那么行列式的值等于矩阵B的行列式的N次方。
det(A)=，A，=，B，^N5.如果矩阵A的其中一行（列）是两个矩阵B和C对应行（列）相加或者相减，那么行列式的值是这两个矩阵的行列式之差。
n阶行列式
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排列: 排列 32514 1的前面比 大的数有 个,故逆序数为 的前面比1大的数有 故逆序数为3; 的前面比 大的数有3个 故逆序数为 4的前面比 大的数有 个,故逆序数为 的前面比4大的数有 故逆序数为1; 的前面比 大的数有1个 故逆序数为 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为 的逆序数为 于是排列
解
(2k ) 1 (2k − 1) 2 (2k − 2 ) 3 (2k − 3)L(k + 1) k
↓
↓
↓
↓
↓
0 1
1
2
2
t = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + L + ( k − 1) + ( k − 1) + k
L
↓
k
2 为偶数时，排列为偶排列， 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
为奇数时，排列为奇排列. 当 k 为奇数时，排列为奇排列
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例4
计算上三角行列式 计算上三角行列式
a11
a12 L a1n a 22 L a 2 n O M a nn
.
0
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解
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 Lanpn .
n
若 pn ≠ n, 则 anp = 0, 所以只有 pn = n. 同理可得 pn−1 = n − 1, 因而展开式中不为零的项只有 a11a22 Lann .
2 2 1 3
共有
3 3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法 种放法. 3 × 2 × 1 = 6 种放法
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第三节 n阶行列式的定义
思考题
x1 1 2
已知 f (x) = 1 x 1 − 1
32 x3 的项有两项,即 x1 1 2
f (x)= 1 x 1 −1
32 x 1 1 1 2x 1 对应于
( ) ( ) − 1 t a11a22a33a44 + − 1 t(1234)a11a22a34a43
p1 p2L pn
∑( ) 故 D1 =
− 1 t ( p1 p2L pn )a1 p1a2 p2 L anpn = D2 .
p1 p2L pn
三、小结
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的.
2、 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排
=
−1
a a L t (12L n) 11 22
ann
LLLLLLL
0 0 L ann = a11a22 L ann .
1234
0421
例3 D =
=?
0056
0008
1234
0421
D= 0
0
5
6 = a11a22a33a44 = 1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
0008
同理可得下三角行列式
记作 D = a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann 简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素．
其中 p1 p2 L pn 为自然数 1，2，L ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 L a1n D = a21 a22 L a2n
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ki k 1
D
ki
ij
0,当
j.
或
a A n ik k 1
D,当i j;
D
jk
ij
0,当
j.
; j.
８、克拉默法则
如果线性方程组
,
a x a x a x b a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
,
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b n1
,
其中t是排列 p1 p2 pn的逆序数。
D (1) a b a b a b 2
t
( 1p
1
p 1
)(
2p
2
p 2
)(
np
n
p n
)
1
2
n
(1) a a a b
t
1p
2p np
p p p (12n)( )
, 1 2
n
1
2
n
其中t是排列 p1 p2 pn的逆序数。
而
p１ p2 pn 1 2 n,
n
n
( x ai) ( x ai).
i 1
i 1
评注：本题利用行列式的性质，采用 “化零”的方法，逐步将所给行列式化为三 角形行列式。化零时一般尽量选含有１的 行（列）及含零较多的行（列）；若没有 １，则可适当选取便于化零的数，或利用 行列式性质将某行（列）中的某数化为1； 若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质， 以达到化为三角形行列式之目的。
５ 用拆成行列式之和（积）计算 例７ 证明
sin 2 sin( ) sin( ) sin( ) sin 2 sin( ) 0. sin( ) sin( ) sin 2
证 sin 左边 sin
sin
cos cos cos
0 cos 0 • sin
00
cos sin
(a b c d )(a b c d )
• (a b c d )(a b c d )
评注：本题是利用行列式的性质将所给行 列式的某行（列）化成只含有一个非零元素， 然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式 的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列 式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列 式）。这种方法对阶数不高的数字行列式比较 适用。
3
3 3 2
n1 .
1
n
n n 2
n1
上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式， 由范德蒙行列式知
Dn n! ( xi x j) ni j1 n!(2 1)(3 1)(n 1) • (3 2)(4 2)(n 2)[n (n 1)] n!(n 1)!(n 2)!2!1!.
n1
i
a2
x
an .
i1
1 a2 a3 x
将第1列的( a1)倍加到第2列，将第1列的
( a２)倍加到第3列，,将第1列的( an)倍加到
最后一列，得
1
0
0
0
n
1 x a1 0
0
D a (x n1
)1
i
a2 a1 x a2
0
i 1
0
1 a2 a1 a3 a2 x an
it is ，则称这两个数组成一个逆序。
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数。
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为 偶数的排列称为偶排列
３、计算排列逆序数的方法
方法1
分别计算出排在1,2,,n 1,n前面比它大的 数码之和，即分别算出 1,2,,n 1,n 这 n 个元 素的逆序数，这 n 个元素的逆序数之总和即为所
例４ 计算 1 1 1
2 22 2n Dn 3 32 3n .
n n2 nn
解 Dn中各行元素分别是一个数的不同方幂，
且方幂次数自左至右按递升次序排列，但不是
从0变到n 1,而是由1递升至n。若提取各行的
公因子，则方幂次数便从0增至n 1，于是得到
1 1 1 1
1
2
2 2 2
n1
Dn n! 1
４ 用降阶法计算
例６ 计算 abcd
bad c
D4 c
d
a
. b
d c ba
解 将 D4的第2、3、4行都加到第1行，并从第
1行中提取公因子a b c d，得
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
再将第2、3、4列都减去第1列，得
1 b
D4 (a b c d ) c
……………
k-1的前面比k-1大的数有k-1个(2k,2k-1,…, k+2)，故逆序数为k-1；
k+1的前面比k+1大的数有k-1个(2k,2k-1,…, k+2)，故逆序数为k-1；
k的前面比k大的数有k个(2k,2k-1, …,k+1)，故逆序数为k。
于是排列的逆序数为
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
1
2
x
a3 an .
a1 a2 a3 a4 x
解 将第2,3,,n 1列都加到第一列，得
n
x ai a1
a2
an
i 1
n
x ai
x
a2
an
i 1
n
D a x
n1
i
a2
x
an .
i 1
n
x ai a2
a3
x
i 1
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an
n
1 x a2 an
D a ( x ) 1
43 0
0
a a 0
52
53 0
0
a 解 设 D5中第1,2,3,4,5行的元素分别为 1 p , 1
a2 p ,a3 p ,a4 p ,a5 p ,那么，由D5中第1,2,3,
2
3
4
5
4,5行可能的非零元素分别得到
p 2,3; 1
p 1,2,3,4,5; 3
p 1,2,3,4,5;
2
p 2,3; p 2,3.
4
5
因为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 在上述可能取的
代码中，一个5元排列也不能组成，
故 D5 0.
评注：本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法。
注意：如果一个n阶行列式中等于零的元素
比n2 n还多，则此行列式必等于零。
解分别算出排列中每个元素前面比它大的数
码之和，即算出排列中每个元素的逆序数。 2k排在首位，逆序数为0； 1的前面比1大的数有一个(2k)，故逆序数
为1； 2k-1的前面比2k-1大的数有一个(2k)，故
逆序数为1；
2的前面比2大的数有两个(2k,2k-1)，故逆 序数为2；
2k-2的前面比2k-2大的数有两个(2k,2k-1)， 故逆序数为2；
评注：本题所给行列式各行（列）都 是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其 排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利 用行列式的性质（如提取公因子、调换各 行（列）的次序等）将此行列式化成范德 蒙行列式。
３ 用化三角形行列式计算
例５ 计算
x a1 a2 a3 an
a1 x a2 a3 an
D a a n1
5)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面.
6)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行 列式为零.
7)若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则此行列式等于两个行列式之和.
8)把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数, 然 后 加 到 另 一 列(行)对 应 的 元 素 上 去, 行 列 式 的 值 不 变.
d
0 ab d c cd
0 d b ac bd
0 cb
, bc ad
按第1行展开，得
ab db cb
D4 (a b c d ) d c a c b c .
cd bd ad
把上面右端行列式第2行加到第1行，再从第1
行中提取公因子a b c d，得
D４ (a b c d )(a b c d )
11 1
12 2
1n n
0,
21 1
22 2
2n n
a x a x a x n1
1
n2
2
nn
0.
n
的系数行列式D 0,那么它没有非零解。。
定理：如果上述齐次线性方程组有非
零解，则它的系数行列式必为零。
一、计算排列的逆序数
例１求排列2k 12k 122k 232k 3
k 1k的逆序数，并讨论奇偶性。
所以 D2 (1)t a1 p a2 p an p D1.
1
2
n
评注：本题证明两个行列式相等，即证明两 点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一 项所带的符号相同。这也是用定义证明两个行列 式相等的常用方法。
２ 利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
110 • dc ac bc,
cd bd ad
再将第2列减去第1列，得
D4 (a b c d )(a b c d )
1
0
0
• d c ad bc,
cd bc ad
按第1行展开，得
ad bc
D４ (a b c d )(a b c d ) b c a d