理论力学：第八章 点的合成运动
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理论力学_点的合成运动_点的加速度合成定理_
8-4 点的加速度合成定理三种加速度(相对于三种运动,瞬时量)绝对加速度动点相对静系运动的加速度相对加速度动点相对动系运动的加速度牵连加速度牵连点的加速度8-4点的加速度合成定理a a r a e a动点--M 点定系--OXYZ动系--O ˊXˊYˊZˊ牵连点—动系O ˊXˊYˊZˊ上M 点M O r r r ''=+r x i y j z k '''''''=++为常矢量，，其中考虑到考虑到则M a O dr v r x i y j z k x i y j z k dt '''''''''''''==++++++eO O edv dv a a dt dt ''===r rr dv dv a dt dt==点的加速度合成定理—当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
2222222222o M a d r d r d x d y d z a i j k dt dt dt dt dt '''''''==+++a e r a a a =+上式中每一个矢量都有大小和方向两个要素，因此上式总共包含有12个要素，其中若仅有两个要素是未知的，则此矢量式可解。
由于加速度包括沿轨迹切线方向的切向加速度和沿主法线方向的法向加速度两个分量，所以在最一般的情况下练习1凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示。
设凸轮半v a径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为和。
求杆AB在图示位置时的加速度。
解：取动点和动系动点：顶杆AB上的A点动系：固结凸轮上的参考系绝对运动：铅垂方向直线运动相对运动：半圆周运动牵连运动：水平直线平移8该瞬时杆AB 的速度方向向上练习1—速度分析绝对速度：大小未知，方向沿杆AB 向上牵连速度：，方向水平向右相对速度：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线根据速度合成定理ϕϕsin sin e r vv v ==a v e v r v e v v =练习1—加速度分析绝对加速度：大小未知，方向沿直线AB 牵连加速度：，沿水平方向相对加速度法向分量：，沿着，指向半圆板圆心相对加速度切向分量：大小未知，垂直于，假设指向右下a a e a e a a OA OA O。
理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
点的合成运动(相对牵连绝对运动)(课堂)-2022年学习资料
理论力学-第八章京的合刻-1
第八章点的合成运动->☑§8-1-点的合成运动的概念-§8-2点的速度合成定理->☒-§8-3牵连运动为平 时点的加速度合成定理->§8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理-☑习题课
运动学-前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考-体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面 动着的参-考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞-机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点 向后斜落的等-为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不-同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。 面我们就将研-究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先-来介绍有关的概念。-§8-1点的合成 动的概念-一.坐标系：-1静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系，简称静系。-2动坐标系：把固结于相 于地面运动物体上的坐标系，-称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。-3
运动学-四.动点的选择原则：-般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有-运动的点。-五.动系的选 原则：-动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，-或者能直接看出的。-下面举例说明以上各概念：-动 ：AB杆上A点-动系：固结于凸轮O上-静系：固结在地面上-5
运动学-绝对运动：-直线-相对运动：-曲线（圆弧）-A-牵连运动：直线平动-n-雌-y
运动学-B-[例2]曲柄摆杆机构-已知：OA=r,0,OO,=l图示瞬时OA⊥O0-a-求：摆杆O,B角速 o-解：取OA杆上A点为动点，摆杆OB为动系，-基座为静系。-绝对速度v。=ro方向⊥OA-相对速度y,= 方向1O1B-牵连速度v。=?方向⊥OB-由速度合成定理y=,+y。作出速度平行四边形如图示。-Onie20-9u.-040me-0Ar-1.r2w=2w-∩-16
第八章点的合成运动->☑§8-1-点的合成运动的概念-§8-2点的速度合成定理->☒-§8-3牵连运动为平 时点的加速度合成定理->§8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理-☑习题课
运动学-前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考-体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面 动着的参-考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞-机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点 向后斜落的等-为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不-同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。 面我们就将研-究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先-来介绍有关的概念。-§8-1点的合成 动的概念-一.坐标系：-1静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系，简称静系。-2动坐标系：把固结于相 于地面运动物体上的坐标系，-称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。-3
运动学-四.动点的选择原则：-般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有-运动的点。-五.动系的选 原则：-动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，-或者能直接看出的。-下面举例说明以上各概念：-动 ：AB杆上A点-动系：固结于凸轮O上-静系：固结在地面上-5
运动学-绝对运动：-直线-相对运动：-曲线（圆弧）-A-牵连运动：直线平动-n-雌-y
运动学-B-[例2]曲柄摆杆机构-已知：OA=r,0,OO,=l图示瞬时OA⊥O0-a-求：摆杆O,B角速 o-解：取OA杆上A点为动点，摆杆OB为动系，-基座为静系。-绝对速度v。=ro方向⊥OA-相对速度y,= 方向1O1B-牵连速度v。=?方向⊥OB-由速度合成定理y=,+y。作出速度平行四边形如图示。-Onie20-9u.-040me-0Ar-1.r2w=2w-∩-16
理论力学第八章点的合成运动
3
实例三
描述一个长杆在平面内同时作直线运动和回转运动的合成运动，讨论合成运动对 杆心运动特性的影响。
合成运动中的矢量操作
在合成运动中，我们经常需要进行矢量的加法、减法和乘法等操作。这些操作可以帮助我们推导、计算和分析 合成运动的各种特性。
合成运动的应用及展望
应用
合成运动的概念和原理广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域，为我们理解和解决复杂 的运动问题提供了有力的工具。
点的合成运动的基本概念
点的合成运动是指多个点以各自不同的速度和方向同时运动，并在同一时间 到达相对位置的运动方式。它是合成运动的基本形式之一。
合成运动的示意图和公式推导
示意图
通过示意图展示合成运动的过程和结果，帮助加深 理解。
公式推导
推导合成运动的公式，使我们能够定量描述和计算 合成运动的各个特性。
质点运动的合成运动
质点的合成运动是指质点在运动过程中，同时具有平移运动和旋转运动的一 种复杂运动形式。在合成运动中，质点的运动轨迹会呈现出特定的形态和规 律。
质点合成运动实例分析
1
实例一
分析一个小球在倾斜平面上同时进行滚动和滑动的合成运动，探讨其运动规律和 性质。
2
实例二
研究一个弹射体在水平飞行过程中受到重力和空气阻力合成运动的影响，揭示合 成运动对物体运动轨迹的影响。
理论力学第八章点的合成 运动
欢迎大家来到本次关于理论力学第八章点的合成运动的精彩演讲。在本次演 讲中，我们将深入探讨合成运动的定义、基本概念、示意图与公式推导，以 及质点运动的合成运动等内容。
合成运动的定义
合成运动是指由多个简单的运动相结合而成的复杂运动。它将两个或多个运 动矢量合成为一个合成矢量，从而形成全新的运动方式。
理论力学一第八章试题
一、概念题1．动点的牵连速度是指该瞬时牵连点的速度，它所相对的坐标系是（ ）。
① 动坐标系 ② 不必确定的③ 定坐标系 ④ 都可以2．点的速度合成定理v a = v e + v r 的适用条件是（ ）。
① 牵连运动只能是平动 ② 各种牵连运动都适合③ 牵连运动只能是转动 ④ 牵连运动为零3．两曲柄摇杆机构分别如图（a ）、（b ）所示。
取套筒A为动点，则动点A 的速度平行四边形（ ）。
① 图（a ）、（b ）所示的都正确② 图（a ）所示的正确.，图（b ）所示的不正确③ 图（a ）所示的不正确.，图（b ）所示的正确④ 图（a ）、（b ）所示的都不正确4．图示偏心凸轮如以匀角速度ω绕水平轴O 逆时针转动，从而推动顶杆AB 沿铅直槽上下移动，AB 杆的延长线通过O 点。
若取凸轮中心C 为动点，动系与顶杆AB 固连，则动点C 的相对运动轨迹为（ ）。
① 铅直直线② 以O 点为圆心的圆周③ 以A 点为圆心的圆周④ 无法直接确定5．在图示机构中，已知s = a + b sin ωt ，且φ = ωt （其中a 、b 、ω均为常数），杆长为L ，若取小球A 为动点，动系固连于物块B ，定系固连于地面，则小球A 的牵连速度v e 的大小为（ ）；相对速度v r 的大小为（ ）。
① L ω ② b ωcos ωt③ b ωcos ωt + L ωcos ωt④ b ωcos ωt + L ω6．图示偏心轮摇杆机构中，ω、α为已知，要求摇杆的角加速度α1，应取（ ）。
① 杆上的M 为动点，轮为动系② 轮上的M 为动点，杆为动系 ③ 轮心C 为动点，杆为动系④ 轮心C 为动点，轮为动系7．如图所示，直角曲杆以匀角速度ω绕O 轴转动，套在其上的小环M 沿固定直杆滑动。
取M 为动点，直角曲杆为动系，则M 的（ ）。
① v e ⊥CD ，a C ⊥CD② v e ⊥OM ，a C ⊥CD③ v e ⊥OM ，a C ⊥OMα α18．平行四边形机构如图。
理论力学第8章,点的合成运动
速度合成定理
始末状态
8.2
1 定理推导
速度合成定理
运动合成
M’
绝对运动
牵连运动
相对运动
8.2
1 定理推导
速度合成定理
由矢径的关系 除以时间取极限 速度合成定理
MM '' MM ' M ' M ''
MM '' MM ' M ' M '' lim lim lim t 0 t 0 t t 0 t t
目的：牵连点，AB上C点的速度
作 业
P195
7-17 7-19
谢 谢
8.3
加速度合成定理
科氏加速度方向的判断：
(2)从相对速度方向开始，顺着牵连角速度转90度
8.3
加速度合成定理
例3. 摆动导杆机构，已知AB匀速转动，求CD杆的角加速度？
目的：基本使用过程
8.3
加速度合成定理
练习
练习1. （P197 7-26）求小环的速度和加速度。（85分）
目的：熟悉
速度分析
用ADAMS来表示牵连点的运动
思考题. (p194 7-11 ) 求销钉M的速度？（100分）
动画
目的：同用。
8 点的合成运动
0 引言 1 三种运动 2 速度合成定理
3 加速度合成定理
8.3
加速度合成定理
1 加速度合成定理
说明：
加速度比速度更麻烦。速度只有1项，加速度可能存 在向心加速度和切向加速度2项。
注意：牵连点—动系上与动点重合的点。
8.2
速度合成定理
例1 机构如图。三角块移动速度为V，求BC的速度。
理论力学
两个坐标系
定坐标系（定系） 动坐标系（动系）
三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
相对轨迹
相对速度 v r
相对加速度 a r
绝对轨迹
绝对速度 绝对加速度
va
aa
牵连速度 v e 和牵连加速度 a e
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的 速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
(1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。
(2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹， 称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。
由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此 定义：
rO xi ' yj 'zk '
v a d d r M t r O x i' y j ' z k ' x i' y j ' z k '
得
vavevr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于
它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
处理具体问题时应注意： (1) 选取动点、动参考系和定参考系。
练习：已知 ,，小球的相对速度u，OM=l。 求：牵连速度和牵连加速度
y x'
y'
M
O
φ
x
实例一：车刀的运动分析
点的合成运动
种位移之间的关系为
MM'' =MM' + M' M''
目录
刚体的运动\点的合成运动
将上式两边分别除以Δt ,并取Δt→0 时的极限，得
y Ox
lim lim lim MM
MM
M M
t0 t
t0 t
t0 t
式在中绝：对lit运m0动M中Mt 的 表速示度动，点称在为瞬动时点t的、
y
vr
va
系相固结的物体的运动，因而是指一个刚体的运动，它可以是平移、
转动或其他复杂的运动。
目录
刚体的运动\点的合成运动
1.2 点的速度合成定理
以图示桥式起重机为例，研究
y Ox
绝对运动、相对运动和牵连运动三
者速度之间的关系。设在瞬时t，动 点在位置M。假如动点不作相对运
y
M''
动，则经Δt时间后，动点随动系运
理论力学
刚体的运动\点的合成运动
点的合成运动
在研究刚体的平面运动之前，先介绍点的合成运动的有关概念 及点的速度合成定理，这既是研究点的运动的又一种方法，又是研 究刚体复杂运动的基础。
1.1 点的合成运动的概念
在不同的物体上观察同一物体的运动时，会得出不同的结果。 例如，当火车行驶时，在车厢上观察车轮上一点的运动是圆周运动， 在地面上观察则是复杂的曲线运动，若在车轮上观察则是静止的。 因此，在研究一个物体的运动时，必须指明是相对于哪个物体而言， 即必须选定参考体或参考系。在工程上如果没有特别的说明，都是 以地面作为参考系。
目录
刚体的运动\点的合成运动 【例6.5】 凸轮机构（如图）中，导
杆AB可在铅垂管D内上下滑动，其下端 与凸轮保持接触。凸轮以匀角速度ω绕O 轴逆时针转动，在图示瞬时OA=a ，凸轮
理论力学点的合成运动
例 8-4 曲柄OA以匀角速度 w绕O轴转动，其上
套有小环 M，而小环 M又在固定的大圆环上运动，大 圆环的半径为 R。
试求当曲柄与水平线成的角 j ωt 时，小环 M
的绝对速度和相对曲柄 OA 的相对速度。
A
M w
R
O
j
C
解：（1）选择动点及 动系： 小环M为动点，动系固连在 OA上。
（2）分析三种运动：绝 对运动为圆周运动，相对运 动为沿OA的直线运动，牵连 运动为定轴转动。
y
OA杆转动的角速度为
O
wOA
ve OC
ve 2r
3u 6r
y
wOA B
j va vr
A
r ve C
x
u x
8.3 牵连运动是平动时点的加速度合成定理
在图8-9中，设 Oxyz为定系，Oxyz为动系且作平
动，M为动点。动点M在动系中的坐标为 x、y 、z， 动系单位矢量为 i、 j、k。动系平动，i、j、k 的
Oxyz 作某种运动，在瞬时t，动系连同相对轨迹AB在
定系中的I位置，动点则在曲线 AB
上的 M 点。经过时间间 隔 t ，动系运动到定系 中的II位置，动点运动到
点 M。 如果在动系上观
察点M 的运动，则它沿 曲线 AB 运动到点 M2。
z B
M2
vr
z
M O
A
O I
x
va
M B
ve M1
z
O x A
例 8-1 汽车以速度 v1 沿直线的道路行驶，雨滴 以速度 v2 铅直下落，试求雨滴相对于汽车的速度。
v1
解： 因为雨滴相对运动的汽车有运动，所以本题 为点的合成运动问题，可应用点的速度合成定理求解。
3理论力学 第八章点的合成运动解析
? ? tg ?1 v?
v平
[例8-2] 曲柄摆杆机构
φ
已知：OA= r , ? , OO1=l 图示瞬时OA? O
求：摆杆O1B角速度? 1
解：取套筒A点为动点，摆杆O1B为动系.基座为静系。
绝对速度va = r ?
相对速度vr = ?
方向? OA 方向//O1B
牵连速度ve = ?
方向? O1B
由速度合成定理 va ? vr ? ve 作出速度平行四边形 如图示。
r
ve ? va sin? ? r? ?
r2? l2
又?ve ? O1 A?? 1,
? ? 1 ? Ov1eA?
1? r 2 ?l2
r 2?
r2?
l2
?
r
r 2?
2 ? l2
（
）
[例8-3]圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R ? 3e , ? （匀角速度）
vr
va
A veva
B
aa
ar
va
A
Baen
ae?
练习三
解:
A
?
?
o
B
A
? ?
o
ve ? OB??
va
B
vr
动系:OA杆； 动点:滑块B
A
? ?
arn
o
aen ? OB?? 2
ar?
B
aa
a?e ? OB??
[例8-1] 桥式吊车。 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v? 。求物块A的运 行速度。
一、实例 : M点运动
地面: 摆线， 车箱: 圆。
二、复合运动的一般模型
8理论力学
线运动.
D
动系的牵连运动—沿x轴的直线平动. vD
va= ve + vr va = r ve = vD= v
v 解得: va sin
v r sin
16
例题8-7.平底凸轮机构如图
示. 凸轮 O 的半径为R,偏心 距OA = e,以匀角速度 绕 B O 转动,并带动平底从动杆 BCD运动. 试求该瞬时杆 BCD的速度.
动系O—x´y´
e x´
y´
A的绝对运动—以B为中心 l 为 半径的园运动.
x A的相对运动—沿凸轮O边缘的曲线运动.
牵连运动—动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.
牵连点—凸轮O上被AB杆的A端盖住的A´点且随凸轮
O作角速度为的定轴转动.
va= ve + vr va = l AB
解得:
AB
e l
22
ve = rsin
将它表示成转角的函数.
B
D
C e O A
26
解:取偏心园凸轮的 B
D
中心C为动点.
建立静系O—x y和 动系A—x´y´
y
ve va
C e vr
O
A
y´
x
x´
C的绝对运动—以O为中心为e半径的园运动.
C的相对运动—平行于 y´ 轴的直线运动.
牵连运动—动系沿水平直线作往复平动.
va= ve + vr
长 r,以匀角速1转动.试分析滑
O2
块A的运动.
5
O
例题8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
B
C
知OA= r且转动的角速
A
度为.试分析滑块 A的
点的合成运动
2013年7月5日
理论力学CAI
42
1.牵连运动为转动时点的加速度合成定理
设一圆盘以匀角速度 绕 定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽 内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点
相对于定系的绝对加速度应是
多少呢？
2013年7月5日
理论力学CAI
43
选点M为动点，动系固结于圆盘上，
则M点的牵连运动为匀速转动， 为常数
y'
y u
x'
M
O
M O
y'
x'
x
O'
2013年7月5日
理论力学CAI
4
车刀以匀速横向走刀，卡盘匀角速度转动，求刀尖相对工件的轨迹。
2013年7月5日
理论力学CAI
5
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
归纳为：一点，两系，三种运动
一点
动点：做合成运动的点。
两系
定参考系（定系）：固结于地面（地球）。如机座。 动参考系（动系）：固结于某运动着的刚体上。
ar = 2l sin
理论力学CAI
37
课后作业1（浙大）
作业题 7-7 7-8 7-9
2013年7月5日
理论力学CAI
38
课后作业1
思考题 8-1 8-2 作业题 8-7 8-8
8-3
8-10
2013年7月5日
理论力学CAI
39
例题
例 曲柄滑杆机构
= 45o 时，, a ; 已知: OA＝l ,
例题
已知：AB匀角速度转动。 求：M在导槽EF及BC中运动的速度与加速度。
E
B
C M
理论力学8
摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
理论力学《点的合成运动》答案
0 0 0 0
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
理论力学第八章 点的合成运动
I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。
II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
第二节 点的速度合成定理
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素， 已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二．应用举例 [例8-1] 桥式吊车 已知： 小车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升
第一节 点的合成运动的概念
三．三种运动及三种速度与三种加速度。 １．绝对运动：动点对静系的运动。 点的运动 ２．相对运动：动点对动系的运动。 例如：人在行驶的汽车里走动。 ３．牵连运动：动系相对于静系的运动 刚体的运动 例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
第八章 点的合成运动
主要研究内容
§8–1 点的合成运动的概念
§8–2 点的速度合成定理
§8–3点的速度合成定理合成定理
第一节 点的合成运动的概念
一．坐标系： 1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系, 简称静系。 2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标 系，称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。 二．动点：所研究的点（运动着的点）。
v A v a v e v r v平 v
2
2
2
2
t g1
v v平
第二节 点的速度合成定理
[例8-2] 曲柄摆杆机构 已知：OA= r , , OO1=l 求：摆杆O1B角速度1 图示瞬时OAOO1
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。 绝对速度va = r 方向 OA 相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B 由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。 r r 2 sin ,ve va sin r 2 l 2 r 2 l 2 ve 1 r 2 r 2 又ve O1 A1 ,1 2 l 2 （ 2 2 O1 A r 2 2 r l r l
理论力学 点的合成运动
例1. 梯子 AB 长 L , 重 P，一端 B 靠在光滑的铅垂墙上， 另一端 A 放在摩擦系数为 f 的水平地面上，问梯子与水 平线所成的倾角 多大时，梯子能处于平衡？
y
解：
对象：梯子 P , NB , NA , FAmax
B
P m NA RAmax
分析力：
NB
L 列方程： m A ( F ) N B L sin P cos 0 2
摩擦角和自锁现象
2.利用摩擦角判断物体是否平衡的两条规律
全约束力的作用线范围
0 m
m
m
R
若某接触面上的主动力的合力作用线在摩 擦角的范围之内，则不论此力有多大，物体 将永远平衡。－－自锁现象
螺旋千斤顶 tg 1 f
m
f 0.1
5 43
例2. 已知排挡齿轮宽为 b，自重忽略不计，能在直径为 d 的轴上左右滑动。若齿轮与轴之间的摩擦系数为 f，求不 使齿轮被卡住，水平推力 P 的作用线离轴线的距离 a 的 y 范围。
解：
对象：排挡齿轮
d
NA A
P
a FA b
B m
分析力： P , NB , NA , FB , FA
FB NB
x
列方程：
Y N N 0 Y P F F 0
A B A B
RBmax
d mA ( F ) P(a ) N Bb FB d 0 2 FB fN B 摩擦定律： FA fN A
由式得 NA = NB 代入式
b a 2f
由式得 FA = FB = P/2 齿轮平衡
B A RBAmax RAmax RAmax RBAx 画封闭力三角形：
山东大学《理论力学》教案第8章 点的合成运动
第8章 点的合成运动一、目的要求1．深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义、运动的合成与分解以及运动相对性的概念。
2．对具体问题能够恰当地选择动点、动系和定系进行运动轨迹、速度和加速度分析，能正确计算科氏加速度的大小并确定它的方向。
3．会推导速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理，理解并掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
并能熟练地应用上述三个定理。
二、基本内容1．基本概念点的合成运动的概念；绝对运动、相对运动、牵连运动，以及由此引出的绝对速度、相对速度、牵连速度和绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度的概念；点的速度合成定理和加速度合成定理。
2．基本公式速度合成定理：r e a v v v +=加速度合成定理：r e a a a a +=（牵连运动为平动）c r e a a a a a ++=（牵连运动为转动）r c v a ⨯=ω2三、重点和难点1．重点（1）动点和动系的选择；（2）运动的合成与分解；（3）速度合成定理和加速度合成定理的应用和计算。
2．难点（1）动点和动系的选择；（2）加速度合成定理的运用与计算；（3）牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。
四、教学建议1．教学提示（1）讲清动点、动系的选取原则，通过举例归纳常见机构动点、动系的选取方法。
（2）强化牵连点的概念，熟练掌握牵连速度、牵连加速度的计算。
（3）举例阐明速度合成定理的应用和解题步骤（多用几何法）。
（4）讲清如何用解析法求解加速度合成问题，强调科氏加速度产生的原因与计算（多用投影法）。
本章是运动学重点，也是难点，要求多举例，熟练掌握。
2．例题速度分析可按六种类型举例，即有一个指定动点、有一个运动连接点，有一个固定不变的接触点，没有一个固定不变的接触点，两个互不关联的物体，双动系；在进行加速度分析时，重点是前4类，特别是要注意科氏加速度的分析。
3.建议学时课内（7学时）课外（10.5学时）4．作业布置习题：8-4，8-8，8-10，8-13，6-15，8-17，8-18，8-19，8-21，8-24，8-25，8-27。
理论力学第八章 点的合成运动(Y)
aC
五、牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理
aa ae ar ac
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬 时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。 科氏加速度
ac 2e vr 大小: ac 2e vr sin
平行时， 00 或 180 0
车轮轮缘上一点M的运动分析
O1
如果站在地面上观察时，车轮边缘上任一点的轨迹都是悬轮线 如果站在汽车上观察时，车轮边缘上任一点的轨迹都是圆
飞机螺旋浆上点P 的运动分析
如果在飞机上观察螺旋桨上P点的运动轨迹是一个圆。 如果在地面上观察，则P点的轨迹就是螺旋线。
2、两种坐标系与三种运动
（1）两种坐标系
60
vA O1 A
ve vC v A
vCD va ve cos O1 A cos 10cm / s
vC
1、加速度分析
牵连运动——AB杆作平动。
aa ae ar
a A aC ae O1 A
2
2
2
aCD aa ee sin O1 A sin 34.6cm / s
一、绝对运动、相对运动与牵连运动 二、速度合成定理 三、矢量表示角速度，角加速度 四、牵连运动是平动时的加速度合成定理 五、牵连运动是定轴转动时的加速度合成 定理
一、绝对运动、相对运动与牵连运动 1、运动的相对性
从不同的参考系观察同一点的运动，其结果是不相同的 物体对于不同的参考系，运动各不相同。
ve
va
va l
——垂直于OA
牵连运动（牵连点的运动）——T 形杆上A点作水平直线运动
ve 大小未知，方向沿水平。
第四节牵连运动为转动的加速度合成定理
理论力学
第八章 点的合成运动
第
ar
v At t
四 节
ve
vr
M
At
牵
r
vr
连
运 动 为 转 动 的 加
lim
2vr sin
2
t 0
t
vr
相对速度 沿角速度 方向转900
ve
O
r1veMv vr
速 度
— 由牵连运动引起的相对速度的附加变化
合
成 定
科氏加速度的大小为相对速度与牵连角速度的乘积的
加
速 度
即： 当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于其牵连
合
成 加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运
定
理 动为转动时的加速度合成定理。
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系 赵宝生
理论力学
第八章 点的合成运动
第 在北半球的河流
四 节
牵 连
运 动
vr
为 转
aC
vr
动
的 加
aC
速
牵
aC aet ar
连
运
aa
动 为
aen
转 动
ω1
ar : 大小未知， aen = r ω 0 2 /8，
的 加
ae t = (O1A) ，
速
度
合 成 定 理
aC
2ω1vr
2
ve O1 A
3 2
r0
3 4
r02
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系 赵宝生
理论力学
第八章 点的合成运动
第
由加速度合成定理
理论力学
第八章 点的合成运动
理论力学8—点的合成运动2分解
(2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的 几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左 右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。
8.2 点的速度合成定理
通常选动点和动系主要有以下几种情况： 1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现；
2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点；
ae 2 ve1
o
M1
ae1
o
ve1 (l r ) ae1 (l r ) 2
2 2
ve 2 l r
ae 2 l 2 r 2 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
8.2 点的速度合成定理
rM rO r
r = xi yj zk
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
习惯上把固定在地球上的坐标系称为 定参考系 ， 以oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考 体上的坐标系称为动参考系，以o'x'y'坐标系表示。 用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两 个参考系，区分三种运动：
(1) 动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动；
第 8 章
点的合成运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
8.2 点的速度合成定理
8.3 点的加速度合成定理
在不同的参考系中，对于同一动点，其运动方 程、速度和加速度是不相同的，这就是运动的 相对性。许多力学问题中，常常需要研究同一 点在不同参考系中的速度、加速度的相互关系。
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
z'
k' j'
y'
i'
x'
O' y
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1
前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中，还常常要在相对地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞 机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不 同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研 究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先 来介绍有关的概念。
ve O1 A
1 r 2 l2
r 2
r 2 l2
r
r
2
2
l
2
（
）
15
[例3] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。
求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，
静系固结于基座。
绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA
12
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个 元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
二．应用举例 [例1] 桥式吊车 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的运 行速度。
13
解：选取动点: 物块A
动系: 小车
静系: 地面
相对运动: 直线;
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。
绝对速度va = r 方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。
sin
r
r 2 l
2
,ve
va
sin
r 2
r2 l2
又ve
O1
A1
,1
牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
（翻页请看动画）
va
ve
tg300
2
3 3
e
v
AB
2
3 3
e
()
16
17
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为： 选取动点，动系和静系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。
根据速度合成定理 va ve vr 作出速度平行四边形。
根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
18
动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不 能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已 知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动;
牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线;
绝对速度va 的大小,方向待 求
由速度合成定理：va ve vr
作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
vA va ve 2 vr 2 v平2 v2
tg 1
v v平
14
[例2] 曲柄摆杆机构
已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
4
绝对运动： 直线 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
5
绝对速度 ：va 相对速度 ： vr
牵连速度 ：ve
6
绝对加速度：aa
相对加速度：ar
牵连加速度：ae
7
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动：曲线（圆弧） 相对运动：曲线 牵连运动：定轴转动
19
[例４] 已知: 凸轮半径r , 图示时 v, 30; 杆OA靠在凸轮上。
求：杆OA的角速度。 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。
9
§８－２点的速度合成定理
速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度
之间的关系。 一．证明
当t t+△t AB A'B' M M'
也可看成M M１ M´
MM ' 为绝对轨迹
MM ' 为绝对位移
M1M ' 为相对轨迹
M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM 1 ＋ M1M '
将上式两边同除以t 后，
点的运动
例如：人在行驶的汽车里走动。
３．牵连运动：动系相对于静系的运动
刚体的运动
例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度 aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
取
t 0
时的极限，得
lim
t 0
MM t
lim
t0
MM1 t
lim
t0
M1 M t
10
11
va ve vr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
说明： va—动点的绝对速度；
vr—动点的相对速度；
ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
动点：A（在圆盘上) 动系：O'A摆杆 静系：机架 绝对运动：曲线（圆周） 相对运动：直线 牵连运动：定轴转动
8
若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。
3
四．动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有
运动的点。 五．动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，
或者能直接看出的。 下面举例说明以上各概念：
§8-1 点的合成运动的概念
一．坐标系： 1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。 2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系， 称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
2
二．动点：所研究的点（运动着的点）。
三．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动：动点对静系的运动。 ２．相对运动：动点对动系的运动。
前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中，还常常要在相对地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞 机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不 同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研 究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先 来介绍有关的概念。
ve O1 A
1 r 2 l2
r 2
r 2 l2
r
r
2
2
l
2
（
）
15
[例3] 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）
图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。
求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，
静系固结于基座。
绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA
12
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个 元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
二．应用举例 [例1] 桥式吊车 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的运 行速度。
13
解：选取动点: 物块A
动系: 小车
静系: 地面
相对运动: 直线;
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系， 基座为静系。
绝对速度va = r 方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。
sin
r
r 2 l
2
,ve
va
sin
r 2
r2 l2
又ve
O1
A1
,1
牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
（翻页请看动画）
va
ve
tg300
2
3 3
e
v
AB
2
3 3
e
()
16
17
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为： 选取动点，动系和静系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。
根据速度合成定理 va ve vr 作出速度平行四边形。
根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
18
动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不 能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已 知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动;
牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线;
绝对速度va 的大小,方向待 求
由速度合成定理：va ve vr
作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
vA va ve 2 vr 2 v平2 v2
tg 1
v v平
14
[例2] 曲柄摆杆机构
已知：OA= r , , OO1=l 图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
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绝对运动： 直线 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
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绝对速度 ：va 相对速度 ： vr
牵连速度 ：ve
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绝对加速度：aa
相对加速度：ar
牵连加速度：ae
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动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动：曲线（圆弧） 相对运动：曲线 牵连运动：定轴转动
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[例４] 已知: 凸轮半径r , 图示时 v, 30; 杆OA靠在凸轮上。
求：杆OA的角速度。 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，
因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析 就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接 触点为动点。
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§８－２点的速度合成定理
速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度
之间的关系。 一．证明
当t t+△t AB A'B' M M'
也可看成M M１ M´
MM ' 为绝对轨迹
MM ' 为绝对位移
M1M ' 为相对轨迹
M1M ' 为相对位移
MM' ＝ MM 1 ＋ M1M '
将上式两边同除以t 后，
点的运动
例如：人在行驶的汽车里走动。
３．牵连运动：动系相对于静系的运动
刚体的运动
例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度 aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度ar
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
取
t 0
时的极限，得
lim
t 0
MM t
lim
t0
MM1 t
lim
t0
M1 M t
10
11
va ve vr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
说明： va—动点的绝对速度；
vr—动点的相对速度；
ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
动点：A（在圆盘上) 动系：O'A摆杆 静系：机架 绝对运动：曲线（圆周） 相对运动：直线 牵连运动：定轴转动
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若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。
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四．动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有
运动的点。 五．动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，
或者能直接看出的。 下面举例说明以上各概念：
§8-1 点的合成运动的概念
一．坐标系： 1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。 2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系， 称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
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二．动点：所研究的点（运动着的点）。
三．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动：动点对静系的运动。 ２．相对运动：动点对动系的运动。