阶跃响应与冲激响应1

C[uC (0 ) uC (0 )] 1,


1 uC (0 ) uC (0 ) C

说明电容上的冲激电流使电容电压发生跃变。
（2）t＞0+ 后冲击电源为零，电路为一阶 RC 零输入响应问题， 如图6.31所示。因此
uC uC (0 )e

t RC
1 e C
t RC
t
( t 1)( t 1)
例5
1
u ( t)
已知电压u(t)的波形如图，试画 出下列电压的波形。
－2
0
2 t
1
1
(1) u ( t ) ( t )
( 2) u ( t 1) ( t )
0 2 t 1
－1
0
1
t
( 3) u ( t 1) ( t 1) 1
(4) u ( t 2) ( t 1)
电容电流和电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。
例 6 -6-2 图（b）
例6-6-3 求图示电路电感
加冲击激励后的电流。
解：

例 6 -6-3 图（ a ）
1 t 1 t A iL (0 ) iL (0 ) uL dt iL (0 ) A (t )dt iL (0 ) L 0 C 0 L
t = 0合闸 u(t) = E ( t )
E
K
u(t)
E( t )
u(t)
i (t )
K
t = 0合闸 i(t) = Is ( t )
Is
I S (t )
u(t)
（2）延迟一个函数
f ( t)
sin t ( t )
t
f(t) sin( t t 0 ) (t t 0 ) t
6.5
一阶电路的阶跃响应
(t)
1 0 t
1. 单位Baidu Nhomakorabea跃函数
定义
0 ( t 0) (t ) 1 ( t 0)
单位阶跃函数的延迟
(t-t0)
1 0
t0 t
0 ( t t 0 ) (t t0 ) 1 ( t t 0 )
单位阶跃函数的作用 （1）在电路中模拟开关的动作


同理，对任意在时间t=t0连续的函数f（t），将有：



f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
说明冲激函数有把一个函数在某一时刻的值‘ 筛'出来的本领。
2. 一阶电路的冲激响应 一阶电路的冲激响应是指激励为单位冲激函数 时，电路中产生的零状态响应。以图6.30所示 RC 电路受冲击激励为例加以说明。 分二个时间段来考虑冲激响应。 （1）t 在 0－→ 0+ 区间， 电容充电，电路方程 为：
duC uC C (t ) dt R
图 6.30
duC uC C (t ) dt R
对方程积分并应用冲击函数的性质得：
图 6.30

0
0
duC uC C (t ) 1 0 0 dt R
0 0
因为 uc不是冲激函数，否则电路的 KVL 方程中将出现冲击函 数的导数项使方程不成立，因此上式第一项积分为零，得：
0, t 0 ( t ) dt ( t ) 1, t 0
t
反之单位阶跃函数对时间的 一阶导数等于冲激函数，即：
d (t ) (t ) dt
( 2）单位冲激函数的筛分性质 对任意在时间t=0连续的 函数f（t），将有：



f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)
L[iL (0 ) iL (0 )] 1,


1 iL (0 ) iL (0 ) L

说明电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。
2） t＞0+ 后冲击电源为零，电路为一阶 RL 零输入响应问题， 如图 6.34 所示， 因此
iL iL (0 )e


t

1 e , t 0 L
e 2t [(t ) (t 0.5)] e 1e 2( t 0.5)(t 0.5) e 2( t 0.5)(t 0.5)
e 2 t [( t ) ( t 0.5)] 0.632e 2( t 0.5 )( t 0.5)
分段表示为 波形 i(mA)
(t )dt 1 (t ) 0, t 0

图 6.27
单位冲激函数可看作是单位脉冲函数的极限情况。图 6.28 的单位脉冲波形可以表示为
1 p(t ) [ (t ) (t )] 2 2
令： 则
1 0, ,
+
5k
ic 100F
RC 100 10 6 5 10 3 0.5s
阶跃响应为：
-
(t )
uC ( t ) (1 e 2t ) ( t )
duC 1 2t iC C e (t ) mA dt 5
由齐次性和叠加性得实际响应为：
1 2t 1 2( t 0.5 ) iC 5[ e ( t ) e ( t 0.5)] 5 5
(0 t 0.5s) e mA i(t ) -2(t -0.5) mA (t 0.5 s) -0.632e
2t
1
0.368 0 -0.632 0.5 t(s)
§6-6一阶电路的冲激响应
1.单位冲激函数 1）单位冲激函数的定义 单位冲激函数也是一种奇异函数，如图 6.27 所示。 函数在 t=0 处发生冲激，在其余处为零，可定义为：
f ( t)
f (t ) 2 (t 1) (t 3) (t 4)
3 4 t
1
例3
2 1
f ( t)
f (t ) ( t ) ( t 1) ( t 3) ( t 4)
3 4 t
0
例4
1
1
0
f ( t) 1
f ( t ) t[ ( t ) ( t 1)] ( t 1) t ( t ) t ( t ) ( t 1) ( t 1)

t
1 t i e (t ), 上式也可以表示成： L L
冲击响应的波 形如图 6.35 所示。 图 6.35
L 其中 R
R uL iL R e , t 0 L

t
图 6.34
R t uL (t ) e (t ) L
3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系
0
1
t
0
1
2
t
2. 一阶电路的阶跃响应
阶跃响应
R
i
C
t RC
激励为单位阶跃函数时，电路中产生的 零状态响应。 u
1
c
(t )
uC
–
+
t
1 R
i
t 1 i 0 t
uC (0－)=0
uC ( t ) (1 e ) ( t ) t 1 RC i(t ) e (t ) R
注意
图（b）（c)分别给出了阶跃响应和冲激响应的波形。
（ b ） 阶跃响应
（ c ） 冲激响应
例 6-6-2 求图示电路电容
加冲击激励后的电压。
解：

例 6 -6-2 图（ a ）
1 t 1 t A uC (0 ) uC (0 ) iC dt uC (0 ) A (t )dt uC (0 ) C 0 C 0 C
0
ie
t RC
(t )
和
ie

t RC
t 0 的区别
+
R
iC
C
-
(t -t0)
uC
–
+
激励在 t = t0 时加入， 则响应从t=t0开始。
1 R
iC t
1 iC e R
注意

t- t0
RC
( t - t0 )
0
t0
不要写为
1 e R
－t
RC
( t - t0 )
例 求图示电路中电流iC(t）。
分二个时间段来考虑冲激响应。
（1） t 在 0－→ 0+ 区间，电路方 程为： 图 6.33
diL RiL L (t ) dt
对方程积分并应用冲击 函数的性质得：
图 6.33

0

0
RiL
0
0
0 diL L (t ) 1 0 dt
因为iL 不是冲激函数，否则电路的 KVL 方程中将出现冲击 函数的导数项使方程不成立，因此上式第一项积分为零，得：
解：先求电路的单位阶跃响应 , 令：
iS (t ) (t )
则
uC (0 ) uC (0 ) 0,
t RC


= RC
uC (t ) R(1 e
) (t )
iC e

t RC
例 6 -6-1 图 （ a ）
(t )
根据单位冲激响应与单位阶跃响应之间的关系, 当 iS (t ) (t ) 时有：
由于单位冲击函数与单位阶跃函数之间满足 关系：
d (t ) (t ) dt
因此线性电路中 单位阶跃响应与单位冲激响应之间满足关系： h(t )
ds (t ) dt
式中s(t) 为单位阶跃响应，h(t) 为单位冲激响应。
例 6-6-1 电路如图所示，求：电源is(t)为 单位冲激时的电路响应uC(t)和iC(t)。
t RC
,t 0


uC 1 iC e R RC
,t 0
图 6.31
上式也可以表示成：
1 uC e C
t RC
(t ),
1 iC (t ) e RC
t RC
(t )
冲击响应的波形如图 6.32 所示。
图 6.32
下面讨论图6.33所示 RL 电 路受冲击激励时的响应问题。
e (t ) e
2 t
2( t 0. 5 )
(t 0.5) mA
iC e 2 t ( t ) e 2 t ( t 0.5) e 2 t ( t 0.5) e 2( t 0.5 )( t 0.5)
e 2t [(t ) (t 0.5)] e 2 t (t 0.5) e 2( t 0.5)(t 0.5)
t t t d 1 uC (t ) R(1 e RC ) (t ) R(1 e RC ) (t ) e RC (t ) dt C 根据冲击函数的筛分性质： f (t ) (t ) f (0) (t )
上式等号右边第一项为零，最后得：
t 1 RC uC e (t ) C t t t d RC 1 iC (t ) e (t ) e RC (t ) e RC (t ) dt RC
10k + us ic 10k 100F + 等效
+
5k
ic 100F
-
0.5U S
uC(0－)=0 叠加 5k ic
uC(0－)=0
us(V)
10 0 0.5 t(s)
+
5 ( t )
5k ic
100F
uS 10 (t ) 10 (t 0.5)
-
5 ( t 0.5)
100F
lim p(t ) (t )
0
图 6.28
在任一时刻t0发生冲击的函数如 图6.29所示，称为延迟的单位冲
激函数，可定义为：
(t t0 )dt 1 (t t0 ) 0, t t0

图 6.29
2） 冲激函数的性质 冲激函数有如下两个主要性质： （1）单位冲激函数对时间的 积分等于单位阶跃函数，即
例66-3图 （b）
电感电流和电感电压随时间变化的波形如图（b）所示。 注意：冲激激励使电容电压和电感电流初值发生跃变。
0
（3）起始一个函数
0
t0
f ( t)
sin( sin(tt)) ((tt ) t0 )
t0
0
t
用单位阶跃函数表示复杂的信号
例1
f ( t)
1
f ( t) 1 0 t0
( t)
t - (t-t0)
0
例2 2 1 0
t0
t
f ( t ) ( t ) ( t t0 )