第七章点的合成运动习题解答
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习 题
7-1 如图7-26所示,光点M 沿y 轴作谐振动,其运动方程为:x = 0,)cos(θω+=t A y ,式中,A 、ω、θ均为常数。如将点M 投影到感光记录纸上,此纸以等速v e 向左运动,试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26
t v x e ='
)c o s ()c o s (e
θωθω+'=+=='x v A t A y y
7-2 用车刀切削工件的端面,车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =,其中b 、ω为
常数,工件以等角速度ω逆时针方向转动,如图7-27所示。试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27
t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'= 0c o s s i n ='+'=t y t x y ωω 解得
)2s i n (2
c o s s i n s i n t a n c o s s i n t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2
sin tan 2-=-='-='t b
t b t x y ωωω
4
)2()(2
22b b y x =
+'+'
7-3 河的两岸相互平行,如图7-28所示。设各处河水流速均匀且不随时间改变。一船
由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出,经过10 min 到达对岸,这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。为使船A 能垂直到达对岸的点B ,船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。在此情况下,船经12.5 min 到达对岸。试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28
m/s 2.0600120==
v 600r L v =
船A 能垂直到达对岸的点B
750a L v =
2
a 22r v v v += 2222.0)750
()600(+=L L m 200)750
1()6001(2
.022=-=L m/s 31r =v
7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动,点在管内运动,
2
相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm),如图7-29所示。若AB =CD = 40mm ,求t = 2 s 时,点M 的绝对速度。
图7-29
t = 2 s 时 π40=BM π3
2=R
BM r a d /s
125=-=t ϕ π40π20r ==t v 96.9133040)3
π
sin 6040(e =+=+=ϕ v mm/s 7.155π)40(96.91222r 2
e a =+=+=v v v
7-5 矿砂从传送带A 落到另一传送带B 上,其绝对速度为v 1= 4 m/s ,方向与铅直线成
30°角,如图7-30所示。设传送带B 与水平面成15°角,其速度为v 2= 2m/s 。试求此时矿砂相对于传送带的相对速度,并问当传送带B 的速度为多大时,矿砂的相对速度才能与它垂直?
图7-30
m/s 9823.375cos 4224275cos 222a e 2a 2e r =︒⨯⨯-+=
︒-+=
v v v v v
矿砂的相对速度与传送带B 的速度垂直 m/s 0353.115sin a e =︒=v v
7-6 如图7-31所示,瓦特离心调速器以角速度ω绕铅直轴转动。由于机器负荷的变化,调速器重球以角速度1ω向外张开。如rad/s 2.1rad/s 101==ωω,,球柄长l = 500 mm ,悬挂球柄的支点到铅直轴的距离为e = 50 mm ,球柄与铅直轴所成的夹角︒=30β。试求此时重球的绝对速度。
图7-31
m/s 3mm/s 300010300)30sin 50050(e ==⨯=︒+=ωv m/s 6.0mm/s 6002.15005001r ==⨯==ωv
m/s 0594.36.03222r 2e a =+=+=v v v
7-7 已知三角块沿水平面向左运动,v 1= 1 m/s ,推动杆长l = 1 m 的杆AB 绕点A 转动,
如图7-32所示。试求当︒=30θ时,杆AB 的角速度,点B 相对于斜面的速度。
图7-32
m/s 1e =v
m/s 1e a ==v v r a d /s 1a
==
l
v ω m/s 330cos 2e r =︒=v v
7-8 曲杆OAB 以角速度ω绕点O 转动,通过滑块B 推动杆BC 运动,如图7-33所示,
在图示瞬时AB = OA ,试求点C 的速度。
- 3 -
图7-33
ωl v 2e =
ωl v v =︒=45cos e a
7-9 半径为R 的大圆环,在自身平面中以等角速度ω绕轴A 转动,并带动一小环M 沿
固定的直杆CB 滑动。在图7-34所示瞬时,圆环的圆心O 和点A 在同一水平线上,试求此时小环M 相对圆环和直杆的速度。
图7-34
ωωR R v 330cos 2e =︒=
ωR v v 3e a ==
ωR v v 330cos 2e r =︒=
7-10 曲柄O 1A 以匀角速度ω绕点O 1转动,通过滑块A 使扇形齿轮绕点O 2转动,从而
带动齿条DB 往复运动,如图7-35所示。已知O 1A =R ,试求图示瞬时齿条上点C 的速度。
图7-35
ωωR A O v ==1a 2
30sin a e ωωR v v =
︒= 2
e 2
ωω==
R v A O 2
2ωωR R v A O C =
=
7-11 如图7-36所示,两圆盘匀速转动的角速度分别为rad/s 2 rad/s 1 21==ωω,,两圆
盘的半径均为R =50 mm ,两盘转轴之间的距离L =250 mm 。图示瞬时,两盘位于同一平面内。试求此时盘2上的点A 相对于盘1的速度。
图7-36
1002502a =⨯==ωR v
3001300)(1e =⨯=+=ωR L v
mm/s 162.3100300222
a 2e r =+=+=v v v
7-12 绕轴O 转动的圆盘以及直杆OA 上均有一导槽,两导槽间有一活动的销子M ,如
图7-37所示。已知,b = 0.1 m ,设在图示瞬时,圆盘及直杆的角速度分别为rad/s 9 1=ω,
rad/s 3 2=ω。求此瞬时销子M 的速度。
图7-37
令R OM =
R R v 911e ==ω R R v 322e ==ω
2r 2e 1r 1e v v v v +=+