7.弹塑性力学--塑性本构关系

f
ij
Cijkl d kl
H
f
ij
Cijkl
g
ikl
d ij
C ep ijkl
d
kl
C ep ijkl
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H
ij
Cijmn
g
mn
H kl
f
pq
C pqkl
6
1.理想塑性材料的增量本构关系
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
f g J2 k
Cep ijkl
ij kl
ik jl
il jk
k2
sij skl
d ij
C ep ijkl
d
kl
d x
d
y
d
d z d xy
d
yz
d zx
d x
d y
d
d d
z xy
d
yz
d zx
C ep ijkl
Ce ijkl
Cp ijkl
7
1.理想塑性材料的增量本构关系
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
hd f ij
ij
p ij
p ij
d
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h
f
ij
ij
p ij
f
ij
f k
k
p
2 f f
3 ij 1ij8
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
如果以塑性功 dW p 作为内变量
hd
f
ij
d ij
f k
dk
0
k k W p k dW p
f
ij
d ij
f k
dk
加载面的演化 内变量的演化
d
p ij
d
f
ij
dhijpdd
p
ij
fdijd2 ijf ijkfdf ikj
0
如果hd以kd累积pkf塑2ij d性p d32应ijdk变ijpddkfd2dijppkdpf作32p0为df内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
3d
d
1
9K 2
G
3Kd
kk
G J2
skl
d
kl
d
p d
d
p ij
q
d
p v
0
p
13
1.理想塑性材料的增量本构关系
D
d ij 0
d
e ij
d
p ij
d ij
Dep
f 0 f 0
f ij
d ij
0
f ij
d ij
0
f 0
f ij
d ij
0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系
D
d
p ij
0 d ij
sxy syz
s
2 yz
szx syz
sx szx sy szx
sz szx
sxy szx
s
yz
szx
sz2x
9
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
f g I1 J2 k
d ij
C ep ijkl百度文库
d
kl
Cep ijkl
K
2G 3
ij
kl
G
应力状态 多值关系、过程相关 应变状态
描述方法：过程跟踪 本构形式：增量型(应力增量、应变增量)
全量型(只在比例加载条件下可用)
5
1.理想塑性材料的增量本构关系
1)一般形式
d ij
d
e ij
d
p ij
d ij
Cijkl
d
e kl
d ij
Cijkl
d
kl
d
g
ij
df
f
ij
d ij
0
d
1 H
3
1.理想塑性材料的增量本构关系
一、弹性理论
应力状态
一一对应关系
应变状态
描述方法：状态对应
本构形式：全量型(应力、应变) 增量型(应力增量、应变增量)
问题： 荷载超过弹性范围之后，材料的力学行为是变形过程和变 形历史相关的，如何描述？必须发展弹塑性理论！
4
1.理想塑性材料的增量本构关系
二、塑性理论
Cp ijkl
G k2
szsx
sxy sx
s
yz
sx
szxsx
sxsy
s
2 y
szsy
sxy sy
syz sy
szx sy
sxsz
sysz
s
2 z
sxy sz
syz sz
szx sz
sx sxy
sy sxy
sz sxy
s
2 xy
syz sxy
szx sxy
sx syz
sy syz
sz syz
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11 H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
31
H
2 31
12
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
f g I1 J2 k
d
p ij
d g ij
ij
sij 2 J2
d
d
p kk
路德春 博士 副教授 dechunbjut.edu
13811035103
北京工业大学 岩土与地下工程研究所
1
1. 绪 论 2. 应力分析 3. 应变分析 4. 弹性本构关系 5. 塑性理论基础 6. 强度理论 7. 塑性本构关系 8. 简单弹塑性力学问题
2
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
K
K
4
3 2
G G
K 2G 3
K 4G
K 2G 3
K 2G
0 0
0 0
0
0
3
3
3
Ce ijkl
K
2G 3
K 2G 3
K 4G 3
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
8
1.理想塑性材料的增量本构关系
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
sx2 sysx
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
f
ij
d ij
d
p ij
1 h
f
ij
f
kl
d kl
如何确定？
f
ij d ij
f ij k
17
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
f ij ,ij , k 0
df
f
ij
d ij
d
p ij
Dep
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
15
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
16
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
ik jl
il jk
1
9k 2
G
H ij H kl
Hij 3Kij
G J 2 sij
10
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
K
K
4
3 2
G G
K 2G 3
K 4G
K 2G 3
K 2G
0 0
0 0
0
0
3
3
3
Ce ijkl
K
2G 3
K 2G 3
K 4G 3
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
11
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11 H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23