弹塑性力学塑性本构关系

德鲁克－普拉格屈服条件是对Mises屈服条件的改进，该 条件中增加了应力张量的第一不变量，屈服条件表达式为
f (I1, J2 ) = α I1 + J2 = k
( ) 其中 α=
2 sin ϕ
3 3 − sin 2 ϕ
( ) k = 6c cosϕ 3 3 − sin 2 ϕ
c, φ 分别为材料的粘性系数和内摩擦角。
= k2
其中 σ0 为拉伸屈服应力，所以
k=
1 3
σ
0
5.2 常用的屈服条件
5.2.2 Mises屈服条件
MIses屈服条件的一般形式为
σ Mises − σ 0 = 0
其中 σ Mises =
3J2 =
1 2
⎡⎣(σ1
−
σ2
)2
+
(σ
2
−
σ3
)2
+
(σ 3
−
σ1 )2
⎤ ⎦
在主应力空间中，Mises屈服条
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
内变量
描述连续介质的力学量可以分为外变量和内变量，外变 量是可以从外部直接量测的量，例如总应变、总变形、应 力，温度等；内变量则是不能直接量测的，表征材料内部变 化的量，例如塑性应变、塑性功（塑性变形消耗的功）等。
塑性应变
εp ij
塑性功
= εij
−
ε
e ij
=
ε ij
− ⎜⎜⎝⎛
σ
′
0
σ
′′
0
σ1 − σ2 = 1
σ
′
0
σ
′′
0
−σ1
=
σ
′′
0
−σ 2 = σ ′′
,σ1 ≥ σ2 ≥ 0⎫ ,σ 2 ≥ σ1 ≥ 0⎪⎪
,σ2
>
0
>
σ
1
⎪ ⎪⎪
⎬
,σ1
>
0
>
σ2
⎪ ⎪
,0
≥
σ2
≥
σ
1
⎪ ⎪
, 0 ≥ σ1 ≥ σ 2 ⎪⎭
5.2 常用的屈服条件
5.2.4 岩土材料的德鲁克－普拉格屈服条件
( ) ( ) ϕ σ ij ,ξα = σ mises −σ s ε p = 0
σ mises为Mises等效应力；后继屈服应力σ s 取加载历史中
屈服应力的最大值，它是等效塑性应变的函数
1
∫ ∫ ε p =
dε p =
⎛ ⎜⎝
2 3
d
ε
ijpdε
p ij
⎞2 ⎟⎠
屈服应力与等效塑性应变之间的关系可以从材料单向拉 伸时的应力应变关系曲线得到。
弹性与塑性力学引论
课件制作： 丁 勇 配套教材：《弹性与塑性力学引论》
中国水利水电出版社，丁勇
宁波大学 建筑工程与环境学院
联系方式：137210762@
弹性与塑性力学引论
第5章 塑性本构关系
5.1 屈服条件的概念
一般应力状态下的屈服条件
5.1屈服条件的概念
5.1屈服条件的概念
5.2 常用的屈服条件
根据强化后屈服面的不同，有三种常用的强化模型。
1. 等向强化模型 2. 随动强化模型 3. 组合强化模型
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
此模型中，材料进入塑性后，加载面在应力空间的各个 方向均匀地向外扩张，但其形状、中心、方位均保持不变。 后继屈服条件为：
( ) ( ) ϕ σij ,ξα = f σij − K (ξα ) = 0
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
其中 f 为初始屈服函数，σij为后继屈服曲面的中心在应力 空间中的位置 ，它是加载历史的函数，该函数可以通过单向 拉伸实验确定。
下面以Mises屈服条件为例，分别对“弹塑性线性强化材 料”和“一般弹塑性强化材料”提出随动强化模型对应的后继屈 服条件。
5.3 后继屈服条件
2、随动强化模型
弹塑性线性强化材料的后继屈服条件
ε1p = ε p ,
ε
p 2
=
ε
p 3
=
−
1ε
2
p
其中ε p为拉伸方向的塑性应变。将上式代入后继屈服条件，得
ϕ
=σ
−
3 Cε
2
p
−σs
=
0
上式中的C可由弹塑性线性强化材料在简单拉伸时的应力应变
关系得到。
5.3 后继屈服条件
2、随动强化模型
弹塑性线性强化材料在简单拉伸时的屈服应力表达式为
σ = σ s + Epε p
σ3
件对应的屈服面是与静水应力状态 Mises圆柱体 线平行的圆柱表面，该圆柱体外接
Tresca六角柱体
于Tresca六角柱体。
O
当应力点在圆柱体内部时，材
σ2
料处于弹性状态；当应力点在圆柱
π平面
σ1
体表面时，材料处于塑性状态。
5.2 常用的屈服条件
Mises圆柱体在 π 平面的投影为圆，其半径为
,σ1 ≥ σ2 ≥ 0⎫ ,σ 2 ≥ σ1 ≥ 0⎪⎪
,σ ,σ
2 1
> >
0 0
> >
σ1 σ2
⎪ ⎬ ⎪
, ,
0 0
≥ ≥
σ σ
2 1
≥ ≥
σ1 σ2
⎪ ⎪ ⎭
Tresca六角柱体在 π平面的投影是一个正六边形。平面应力
状态时的屈服图形是
5.2 常用的屈服条件
5.2.2 Mises屈服条件
( ) ( ) ϕ = f σij − σij
=
f
σ ij
−
Cε
p ij
=0
C表征材料强化的大小。
具体到Mises屈服条件，其初始屈服条件为
( ) f σ ij = σ mises − σ s = 0 或
( ) f sij =
3 2
sij
sij
−σs
=0
后继屈服条件只需要将初始屈服条件中的 sij 代之以
2σ
3
0
，外接
与Tresca六角柱体在平面的
i＇2
i＇3
i＇1
Mises圆柱体在 π 平面的投影
5.2 常用的屈服条件
在平面应力状态下，若σ 3 = 0，则Tresca屈服条件简化为
σ 22
+
σ
2 1
− σ1σ 2
−σ0
=
0
Mises圆柱体在 π平面的投影是一个圆。平面应力状态时
的屈服图形是椭圆
Tresca和Mises屈服条件是适用于金属等塑性材料的屈服条 件 。 Tresca 屈 服 条 件 忽 略 了 中 间 主 应 力 的 影 响 ， 实 验 证 明 ， Mises屈服条件更接近实验结果
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ
′′
0
分别为混凝土简单拉伸与压缩时的屈服应力
σ1 = σ 0′
σ 2 = σ 0′
σ2 − σ1 = 1
σ1 −σ3 = σ0
22
5.2 常用的屈服条件
5.2.1 Tresca屈服条件
不考虑主应力的大小顺序，Tresca屈服条件的一般形式为
σ Tresca − σ 0 = 0
{ } 其中 σTresca = max σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ1
在主应力空间中，Tresca屈服 条件对应的屈服面是与静水应力 状态线平行的六角柱体表面。
其中 K (ξα ) 为塑性变形以后的屈服应力，它是内变量 ξα
的函数。ξα 可取为塑性比功（塑性功增量） 的函数，即
K = F (W P )
∫ ∫ W P =
dW P =
σ
ij
dε
p ij
从函数性质上看，K是单调递增函数，它是此前加载历史
中所达到的最大值。
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
Mises屈服条件对应的等向强化模型
−
ε1p
2⎤ ⎥⎦
=
ε
p
所以等效塑性应变与单向拉伸方向的塑性应变相等，σs ∼ ε p关系 曲线即为 σ s ∼ ε p 关系曲线，其中
ε p =ε − σs
E
因此σ s ∼ ε p曲线可以由 σ s ∼ ε （应力与应变）实验曲线得到。
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
后继屈服面 后继屈服条件所对应的空间曲
将上式与下式相比较
可得
ϕ
=σ
−
3 Cε p
2
−σs
=0
C
=
2 3
Ep
由此可以完全确定后继屈服条件表达式。
需要指出，Ep 并不是塑性强化阶段实验曲线的斜率 E1 ， 而是需要由弹性与塑性阶段的应力应变曲线共同确定。
5.3 后继屈服条件
2、随动强化模型
如右图所示，强化阶段的应力为
σ
=σs
+
E1
⎜⎛ ⎝
5.2.1 Tresca屈服条件
最大剪应力是材料屈服的原因
τ max = τ 0
τ0 为材料的剪切屈服应力，由实验确定。由于剪切实验
比较困难，因此往往用主拉应τma力x = 来计算最大切应力。
τ max
=
σ1
−σ3
2
结合单向拉伸实验的结果，间接确定剪切屈服应力，即
τ0
=
σ0
2
因此Tresca屈服条件可表示为
面又称为后继屈服面，也称为加 载面。
等向强化模型对应的后继屈服 面与初始屈服面形状相似，中心 位置不变。
由于等向强化模型中后继屈服应力是加载历史中屈服应力 的最大值，因此屈服面只能扩大，不能缩小。
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
后继屈服面
三维屈服面在 平π 面上的投影如右
图所示。后继屈服面仅由加载路径中 所达到的最大应力点决定，
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
σ2
混凝土材料的屈服条件
σ
′′
0
是在总结大量实验的基础上
确定的，平面应力状态下混 −1.2 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
σ1
凝土材料的屈服条件研究更
−0.2
σ 0′′
为成熟，屈服曲线如图所
−0.4
示。
−0.6
混凝土屈服条件与Tresca
ε
−
σs
E
⎟⎞ ⎠
考虑到 ε = ε e + ε p = σ + ε p
E
可得
σ
=
⎛ ⎜⎝
E
− E1 E
⎞ ⎟⎠
σ
s
+
E1ε
p
+
E1σ
E
化简后得到
σ = σ s + Epε p
其中
Ep
=
EE1 E − E1
5.3 后继屈服条件
2、随动强化模型
一般强化材料对应Mises条件的后继屈服条件
( )( ) ∫ ∫ ϕ =
5.3 后继屈服条件
初始屈服条件
( ) f σij = 0
后继屈服条件
( ) ϕ σ ij ,ξα = 0
ξα 称为内变量，是用来描
述物体变形历史的量。
应变强化材料发生塑性变形后， 不但发生塑性变形的应力状态的屈服 应力提高了，其他应力组合的屈服应 力也将发生变化，变化后的屈服应力 满足后继屈服条件。
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
I1 反映了应力球张量的影响，可以体现材料拉压情况下屈 服性能的差异；J2 反映了应力偏张量的影响，可以反映材料的形
状改变。
5.2 常用的屈服条件
5.2.4 岩土材料的德鲁克－普拉格屈服条件
德鲁克－普拉格屈服条件在主应力空间中的屈服面如图所示， 由于其反映了材料拉压性能的不同，所以是一个圆锥体。
在二维情况下，德鲁克－普拉格屈服条件一偏离原点的椭圆。
当应力点在六角柱体内部时， 材料处于弹性状态；当应力点在 六角柱表面（屈服面）时，材料
σ1
处于塑性状态。
σ3
O
π平面
Tresca六角柱体 σ2
5.2 常用的屈服条件
在平面应力状态下，若σ 3 = 0，则Tresca屈服条件简化为
σ1 = σ0 σ1 −σ2 = σ0 σ1 = −σ 0 σ 2 = −σ 0
sij
−
Cε
p ij
( )( ) ϕ =
3 2
sij
−
Cε
p ij
sij
−
Cε
p ij
−σs = 0
上式中的常数C可以通过简单拉伸实验得到。
5.3 后继屈服条件
2、随动强化模型
在简单拉伸实验中，应力偏量的三个主应力为
s1
=
2σ,
3
s2
=
s3
=
−
1σ
3
考虑到塑性变形的体积应变为零，塑性应变张量的主应变为
在单向应力状态下，等向强化模型 对应的应力应变关系如右图所示，屈 服后反向加载时，屈服应力的绝对值 与之前最大的屈服应力绝对值相等。
5.3 后继屈服条件
2、随动强化模型
此模型中，材料进入塑性后，加载面在应力空间作刚体移 动，但其形状、大小、方位均保持不变。后继屈服条件为：
( ) ( ) ϕ σij ,ξα = f σij − σij = 0
σ ij
2G
−
3v E
δ
ijσ
m
⎟⎟⎠⎞
∫ ∫ ∫ W p = W总 −W e =
σ ijdεij −
σ
ij
dε
e ij
=