弹塑性力学塑性本构关系

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弹塑性本构关系简介

弹塑性本构关系简介

松比)。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关(可称为历 史相关性或路径相关性),本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性(塑性)金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型,目前广 泛采用的有:等向强化;随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1

o A 1
o
1
C
D

弹性

f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变,只是作均匀
称后继屈服面,f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0

如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态,如

f (,ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k,关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j,klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量,形式上仍可表为
Dt ijkl

弹塑性力学第5章—塑性本构关系

弹塑性力学第5章—塑性本构关系

3 2
sij

Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小,来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变,由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J

2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p

ε
p 2
2+
ε
p 2

ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能( U0d
=
J2 2G

( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定,根据简单拉伸实验,在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似,主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔-库仑屈服条件
在实验基础上,提出线性化的莫尔-库仑屈服条件,σ

0
,
σ

弹塑性本构关系简介

弹塑性本构关系简介

2) 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1)虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为:对 一切自平衡的虚应力,恒有如下虚功方程成 立(矩阵)
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性:位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向,多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量,
B c
为混凝土单轴抗压强度,a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1

弹塑性力学-弹塑性本构关系

弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状: 对于任意应力状态,应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合,否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关;
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义,并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
(3)非真实物理功不能引用热力学定律;
(4)德鲁克公设的适用条件:
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时,德鲁克公设成立;
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系,可得:
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得:
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似,Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M,必有
一塑性位势等势面存在,其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系:
dipj Ddipj
式中,D为弹性矩阵。 根据依留申公设,在 完成上述应变循环中, 外部功不为负,即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时,上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0

弹塑性力学-弹塑性本构关系

弹塑性力学-弹塑性本构关系

3 2
( S ij c ij )( S ij c ij ) s ( c 可 据 简 单 拉 伸 试 验 确 定 )
p p
3.2.3 混合强化模型
运动硬化和等向硬化的组合,可以构成更一般的 硬化模型,称为混合强化模型
( ij , H ) F ( ij c ij ) K 0
( ij , H ) F ( ij ij ) 0 F ( ij ) 0 为 初 始 屈 服 面
t r e s c a 、 vo n m ises 、 M - C
移动张量
常 用 线 形 随 动 强 化 ij c ij
p
m is e s :


0 ij
ij

0 ij
d
ij
0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
(3)非真实物理功不能引用热力学定律;
(4)德鲁克公设的适用条件: ①ij0在塑性势面与屈服面 之内时,德鲁克公设成立; ②ij0在塑性势面与屈服面 之间时,德鲁克公设不成立;
势面线
屈服面
(5)金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。 附加应力功为非负的条件
在应变空间,流动规则可用下式表示:
d ij d
p
ij
d

d
都为非负的比例系数。
3.2 硬化规律
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则 硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向,也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
• 硬化规律:加载面在应力空间中的位置、大小和 形状的变化规律。(确定加载面依据哪些具体的 硬化参量而产生硬化的规律称为硬化定律) • 硬化模型:实际土体硬化规律+简化假设(如采用 等值面硬化理论,主应力方向不旋转,加载面形 状不变等)

07 塑性本构关系

07 塑性本构关系
哈工大 土木工程学院
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07 塑性本构关系
几种简化模型
哈工大 土木工程学院
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07 塑性本构关系
第1节 弹性本构关系
当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态, 当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态,本 构关系就是广义虎克(Hooke)定律 构关系就是广义虎克 定律 在直角坐标系里,对各向同性材料, 在直角坐标系里,对各向同性材料,有:
e xx e yy ezz e xy e yz e zx 1 = = = = = = s xx s yy szz s xy s yz szx 2G
εx εy ε y εz γ xy γ yz εz εx γ zx 1 = = = = = = σ x σ y σ y σ z σ z σ x 2τ xy 2τ yz 2τ zx 2G
1 ′ 2G I 2
2
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07 塑性本构关系
也可通过偏张量关系式代入第二不变量得到该关系式
1 ′ I 2 = (σ 1 σ 2 )2 + (σ 2 σ 3 )2 + (σ 3 σ 1 )2 6 2 1 = ( 2G ) [(ε 1 ε 2 )2 + (ε 2 ε 3 )2 + (ε 3 ε 1 )2 ] 6
1 ε x = [σ x v (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y v (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z v (σ x + σ y )] E
γ xy = γ yz = γ zx =
τ xy
G
E:弹性模量 :
τ yz
G
ν:泊松比

弹塑性力学塑性本构关系

弹塑性力学塑性本构关系

0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
15
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影,反映了塑性应变增量的大小。
可假设:
d
1 h
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
0
如果hd以 d累积pf塑2ij d性d32应ijd变ijpdkfddijpkdp作32p0为d内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
p ij
d
k k p k d2 p f f
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h f
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H

非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件

非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件
单轴试验下材料的弹塑性性态 (1/3)
对塑性变形基本规律的认识来自于实验: • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型,
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程,得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段:继续加载,材料可承受 更大应力,称为材料强化,并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载, 路径接近直线,即处于弹性卸载状 态,其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点:继续加载至可承受的最大 极限应力,试件出现颈缩而破坏,
称为强度极限。
在日常生活中,随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费,也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年:泰勒(Taylor)的实验证明,LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年:提出塑性全量理论,伊柳辛(Ilyushin) 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年:罗伊斯(Reuss)在普朗特(Prandtle) 的启示下,提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此,塑性增量理论初步建立。
(屈服点),描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面,该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数:
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件,其屈服函数不尽相同。
在日常生活中,随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费,也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个: • 简单拉伸实验:实验表明,塑性力学研究的应力与应变
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德鲁克-普拉格屈服条件是对Mises屈服条件的改进,该 条件中增加了应力张量的第一不变量,屈服条件表达式为
f (I1, J2 ) = α I1 + J2 = k
( ) 其中 α=
2 sin ϕ
3 3 − sin 2 ϕ
( ) k = 6c cosϕ 3 3 − sin 2 ϕ
c, φ 分别为材料的粘性系数和内摩擦角。
= k2
其中 σ0 为拉伸屈服应力,所以
k=
1 3
σ
0
5.2 常用的屈服条件
5.2.2 Mises屈服条件
MIses屈服条件的一般形式为
σ Mises − σ 0 = 0
其中 σ Mises =
3J2 =
1 2
⎡⎣(σ1

σ2
)2
+

2

σ3
)2
+
(σ 3

σ1 )2
⎤ ⎦
在主应力空间中,Mises屈服条
3 2
sij

Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小,来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
内变量
描述连续介质的力学量可以分为外变量和内变量,外变 量是可以从外部直接量测的量,例如总应变、总变形、应 力,温度等;内变量则是不能直接量测的,表征材料内部变 化的量,例如塑性应变、塑性功(塑性变形消耗的功)等。
塑性应变
εp ij
塑性功
= εij

ε
e ij
=
ε ij
− ⎜⎜⎝⎛
σ

0
σ
′′
0
σ1 − σ2 = 1
σ

0
σ
′′
0
−σ1
=
σ
′′
0
−σ 2 = σ ′′
,σ1 ≥ σ2 ≥ 0⎫ ,σ 2 ≥ σ1 ≥ 0⎪⎪
,σ2
>
0
>
σ
1
⎪ ⎪⎪

,σ1
>
0
>
σ2
⎪ ⎪
,0

σ2

σ
1
⎪ ⎪
, 0 ≥ σ1 ≥ σ 2 ⎪⎭
5.2 常用的屈服条件
5.2.4 岩土材料的德鲁克-普拉格屈服条件
( ) ( ) ϕ σ ij ,ξα = σ mises −σ s ε p = 0
σ mises为Mises等效应力;后继屈服应力σ s 取加载历史中
屈服应力的最大值,它是等效塑性应变的函数
1
∫ ∫ ε p =
dε p =
⎛ ⎜⎝
2 3
d
ε
ijpdε
p ij
⎞2 ⎟⎠
屈服应力与等效塑性应变之间的关系可以从材料单向拉 伸时的应力应变关系曲线得到。
弹性与塑性力学引论
课件制作: 丁 勇 配套教材:《弹性与塑性力学引论》
中国水利水电出版社,丁勇
宁波大学 建筑工程与环境学院
联系方式:137210762@
弹性与塑性力学引论
第5章 塑性本构关系
5.1 屈服条件的概念
一般应力状态下的屈服条件
5.1屈服条件的概念
5.1屈服条件的概念
5.2 常用的屈服条件
根据强化后屈服面的不同,有三种常用的强化模型。
1. 等向强化模型 2. 随动强化模型 3. 组合强化模型
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
此模型中,材料进入塑性后,加载面在应力空间的各个 方向均匀地向外扩张,但其形状、中心、方位均保持不变。 后继屈服条件为:
( ) ( ) ϕ σij ,ξα = f σij − K (ξα ) = 0
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变,由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J

2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p

ε
p 2
2+
ε
p 2

ε
p 3
2+
ε
p 3
其中 f 为初始屈服函数,σij为后继屈服曲面的中心在应力 空间中的位置 ,它是加载历史的函数,该函数可以通过单向 拉伸实验确定。
下面以Mises屈服条件为例,分别对“弹塑性线性强化材 料”和“一般弹塑性强化材料”提出随动强化模型对应的后继屈 服条件。
5.3 后继屈服条件
2、随动强化模型
弹塑性线性强化材料的后继屈服条件
ε1p = ε p ,
ε
p 2
=
ε
p 3
=


2
p
其中ε p为拉伸方向的塑性应变。将上式代入后继屈服条件,得
ϕ


3 Cε
2
p
−σs
=
0
上式中的C可由弹塑性线性强化材料在简单拉伸时的应力应变
关系得到。
5.3 后继屈服条件
2、随动强化模型
弹塑性线性强化材料在简单拉伸时的屈服应力表达式为
σ = σ s + Epε p
σ3
件对应的屈服面是与静水应力状态 Mises圆柱体 线平行的圆柱表面,该圆柱体外接
Tresca六角柱体
于Tresca六角柱体。
O
当应力点在圆柱体内部时,材
σ2
料处于弹性状态;当应力点在圆柱
π平面
σ1
体表面时,材料处于塑性状态。
5.2 常用的屈服条件
Mises圆柱体在 π 平面的投影为圆,其半径为
,σ1 ≥ σ2 ≥ 0⎫ ,σ 2 ≥ σ1 ≥ 0⎪⎪
,σ ,σ
2 1
> >
0 0
> >
σ1 σ2
⎪ ⎬ ⎪
, ,
0 0
≥ ≥
σ σ
2 1
≥ ≥
σ1 σ2
⎪ ⎪ ⎭
Tresca六角柱体在 π平面的投影是一个正六边形。平面应力
状态时的屈服图形是
5.2 常用的屈服条件
5.2.2 Mises屈服条件
( ) ( ) ϕ = f σij − σij
=
f
σ ij


p ij
=0
C表征材料强化的大小。
具体到Mises屈服条件,其初始屈服条件为
( ) f σ ij = σ mises − σ s = 0 或
( ) f sij =
3 2
sij
sij
−σs
=0
后继屈服条件只需要将初始屈服条件中的 sij 代之以

3
0
,外接
与Tresca六角柱体在平面的
i'2
i'3
i'1
Mises圆柱体在 π 平面的投影
5.2 常用的屈服条件
在平面应力状态下,若σ 3 = 0,则Tresca屈服条件简化为
σ 22
+
σ
2 1
− σ1σ 2
−σ0
=
0
Mises圆柱体在 π平面的投影是一个圆。平面应力状态时
的屈服图形是椭圆
Tresca和Mises屈服条件是适用于金属等塑性材料的屈服条 件 。 Tresca 屈 服 条 件 忽 略 了 中 间 主 应 力 的 影 响 , 实 验 证 明 , Mises屈服条件更接近实验结果
−0.8
屈服条件类似,主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔-库仑屈服条件
在实验基础上,提出线性化的莫尔-库仑屈服条件,σ

0
,
σ
′′
0
分别为混凝土简单拉伸与压缩时的屈服应力
σ1 = σ 0′
σ 2 = σ 0′
σ2 − σ1 = 1
σ1 −σ3 = σ0
22
5.2 常用的屈服条件
5.2.1 Tresca屈服条件
不考虑主应力的大小顺序,Tresca屈服条件的一般形式为
σ Tresca − σ 0 = 0
{ } 其中 σTresca = max σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ1
在主应力空间中,Tresca屈服 条件对应的屈服面是与静水应力 状态线平行的六角柱体表面。
其中 K (ξα ) 为塑性变形以后的屈服应力,它是内变量 ξα
的函数。ξα 可取为塑性比功(塑性功增量) 的函数,即
K = F (W P )
∫ ∫ W P =
dW P =
σ
ij

p ij
从函数性质上看,K是单调递增函数,它是此前加载历史
中所达到的最大值。
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
Mises屈服条件对应的等向强化模型

ε1p
2⎤ ⎥⎦
=
ε
p
所以等效塑性应变与单向拉伸方向的塑性应变相等,σs ∼ ε p关系 曲线即为 σ s ∼ ε p 关系曲线,其中
ε p =ε − σs
E
因此σ s ∼ ε p曲线可以由 σ s ∼ ε (应力与应变)实验曲线得到。
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
后继屈服面 后继屈服条件所对应的空间曲
将上式与下式相比较
可得
ϕ
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