圆的方程说课教案

《圆与圆的方程》说课教案

桐柏一高高一数学组张秀坤2016-12-15

各位老师上午好！

今天我说课的课题是《圆与圆的方程》,选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书必修2第二章《解析几何初步》，下面我将从以下几个方面具体说明：

一、学习目标

1.掌握圆的定义及标准方程和一般方程；

2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程；

3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心和半径。

二、学习重点、难点

掌握圆的定义及标准方程和一般方程。

三、教学过程的设计及实施

1、复习旧知：两点间距离公式。

2、新课讲解：首先介绍圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．其次，根据圆的定义推导圆的标准方程（这也是求轨迹方程的一种方法——定义法）。给学生强调标准方程的优点：方便看到圆心和半径。若求圆的标准方程只需求出圆心和半径。

3、对点练习

类型一求圆的方程

例1(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()

A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100

C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25

(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．

(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是_____________．

反思与感悟

1、求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，常用到圆的以下几何性质：

(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．2、求圆的标准方程常用方法：

(1)直接法：根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程．

(2)利用待定系数法确定a，b，r.(3)利用几何条件确定圆心坐标与半径．

跟踪训练1求下列圆的标准方程：

(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；

(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；

(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上．

2．2 圆的一般方程

[新课讲解]

思考1方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？思考2方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？

写出圆心坐标和半径．

反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：

(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆；

(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．

跟踪训练2 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________；

(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．

例3、求过三点O（0，0），M(1，1),N(4，2)的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标。

跟踪训练3 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．

(1)求△ABC的外接圆的方程；

(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．

反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时，

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.

类型二与圆有关的轨迹问题

例4已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．

跟踪训练4已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P 的轨迹．

反思与感悟用代入法求轨迹方程的一般步骤

1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()

A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)， 2 2．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________ ．

3．圆的直径端点为A(2,0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为________ ．4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

5．圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为()

A．(1,2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(－1，－2) 6．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()

A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 7．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()

A．m≤2 B．m＜1

2C．m＜2 D．m≤

1

2

8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．

9．已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹．

10、直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.

四、课堂小结

1、掌握圆的标准方程和一般方程；

2.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件；

2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程；

3．对于曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．