第七章向量代数与空间解析几何复习题

第七章 向量代数与空间解析几何

（一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算

一、判断题

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量b a ,

=.则=同向。 ( ) 4． 若二向量,

+

,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量,

,同向。 （ ）

7．若={

z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为|

|a x |

|a a |

|a z }。（ ）

8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ）

二、填空题

1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是

2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。

4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且|2|a b =，则由表示为= 。 6．

，与轴l 的夹角为

6

π，则a

l prj =

7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。 以及它的对角线

交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =

60，β=

120。则γ= 9． 设的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，垂直于 坐标面。 三、选择题

1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）

225)3(+-

（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //

OA 且2

1

，=，则

= （A ）

2

1

- （B ）21- （C ）-21 （D ）21-

3．设有非零向量,，若a ⊥ b ，则必有

（A +（B +-

（C +<- （D +>-

四、试证明以三点A （4，1，9）、B （10，-1，6）、C （2，4，3）为顶点的三角形为等腰直

角三角形。

五、在yoz 平面上求与三个已知点A （3，1，2）、B （4，-2，-2）、C （0，5，1）等距离的点D 。

六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。 七、设A （4，2 ，1）、B （3，0，2），求的模、方向余弦及与反向的单位向量。 八、已知OA ={2，-3，6}，OB ={-1，2，-2}。OD 为AOB ∠的平分线，在OD 上求一长度为342的向量。

（二）向量的乘积运算

一、判断题

1．2

2

2)(b a b a ⋅=⋅ （ ） 2．a

（b a

⋅）=2

b

⋅ （ ） 3．若a

⨯b =c a

⨯且0

≠a ，则c b

=。 （ ） 4．若b a

==1，则b a

⨯=1 （ ）

5+=2

2

2b b a a +⋅+

（ ） 6．a b b a

⨯=⨯ （ ）

7．若c b a 、、满足a c b c b a ⨯=⨯=,，则c b a

、、两两垂直。 （ ）

8．设非零向量b a

,的方向角分别为111,,γβα和222,,γβα则

cos ∧

(）=212121cos cos cos cos cos cos γγββαα++ （ ）

二、填空题

1．设)(b ∧

=3π，,8,5==b a 则b a

-= 。

2．若24,19,13=+==b a b a

。则a b -= 。

3．若32)(π=∧

b a ，且2,1==b a

。则a b ⨯= 。

4．已知72,26,3=⨯==b a b a

，则b a ⋅= 。

5．设}1,2,2{},4,3,4{=-=b a

，则Prj a = 。 6．设}4,6,4{},2,3,2{--=-=b a

，则)(b ∧= 。

7．设b a ,为不共线向量，则当λ= 时。b a P

5+=λ与b a Q -=3共线。

三、选择题

1．设空间三点的坐标分别为M （1，-3，4）、N （-2，1，-1）、P （-3，-1，1）。则MNP ∠= （A ）、π （B ）、

43π （C ）、2π （D ）、4

π

2．下列结论正确的是

（A ）、

2

a = （B ）、若0=⋅

b a 则必0 =a 或0

=b

（C ）、c a b a c b a -=-)( （D ）、若0 ≠a ，且c a b a =则c b

= 3．设}.4,4,1{},2,3,{-==b x a 若b a

//，则

（A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=-6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3

四、设}1,3,1{1},1,1,2{-=-=b a ，求与b a

、均垂直的单位向量。

五、设向量}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a

、、,向量d

与b a

,均垂直，且在向量

.14d c

，求向量上的投影是

六、用向量证明：

当

3

12123

a a a

b b b ==时，2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++ 七、设AD 为∆ABC 中BC 边上的高，记..a C B

c A B

==证明：

c a c a S

ABD

⨯⋅=

∆

（三）平面及其方程

一、填空题