12.2.5圆的弦中点轨迹问题(5)

二、典型例题
例1.已知圆O:x 2 y 2 4及点A(2,0),过点A作直线交
圆O于点B，点P为AB的中点，求点P的轨迹方程.
yBiblioteka Baidu
B

解: 设P(x,y)为轨迹上任意一点， 设B(x0,y0) ，由题意,点P为AB中点
P
x0 2 x x0 2 x 2 x0 2 2 x 2 y0 2 y y y0 0 2 2 2
y
解: 设P(x,y)为轨迹上任意一点， 由题意，OP AP OP AP 0

B
P

即 x( x 2) y( y 0) 0
A(2, 0) x
2
o
因为点P不能与点A重合， x 2 所求轨迹方程为：
( x 1)2 y2 1 ( x 2)
直接法(向量垂直)
2 2
交于 A, B 两点,且 AB 2 3,则实数 a
2 2
0.
.
4.已知实数 x, y 满足 x 2 y 1，则 x 2 y 2 的最大值，最小值分别为
9， 1
二、典型例题
例1.已知圆O:x 2 y 2 4及点A(2,0),过点A作直线交
圆O于点B，点P为AB的中点，求点P的轨迹方程.
1 2 1 2 (x ) y 2 4
P

2
o A(1, 0)
C
x 所求轨迹为以(-1/2,0)为圆心,1/2为半
径的圆.
二、典型例题
练习.已知圆O:x 2 y 2 16 及点M(2,-6),过点M作直线交
圆O于点A,B, 点C为AB的中点，求点C的轨迹.
y
解：设 AB 的中点为C x, y
2
o
2k 2 k2 1 2k k2 1
消参法
消参后，得所求轨迹方程为：
( x 1)2 y2 1 ( x 2)
二、典型例题
练习:已知圆O: x 2 y 2 4 及点A(1,0),过点A作直线交
圆O于点B,C, 点P为BC的中点，求点P的轨迹.
y B

解:
所求轨迹方程为：
B
C o

OC AB
OC MC
x A

M 2,6
OC MC 0 于是： x x 2 y y 6 0 2 2 即： x 1 y 3 10 所以C 的轨迹是以 1,3为圆心，以
10为半径且位于O 内的一段圆弧 PQ
第十二章 圆锥曲线
12.2 点、线、圆的位置关系
12.2 弦中点的轨迹问题
一、复习回顾
1.已知直线5x 12 y a 0与圆 x 2 x y 0 相切,则实数 a 8或 18.
2 2
2.若过点 Pa,2a 1的直线l 恒与曲线 x 2 y 2 2 x 0恒有两个公共点,则实数 a 的 1 a 1 取值范围是 . 5 3.直线 ax y 3 0与圆 x 1 y 2 4相
2
o
A(2, 0) x

因为点B在已知圆 x y 4 上 (2 x 2)2 (2 y)2 4 ( x 2)
代入法
所求轨迹方程为：
( x 1)2 y2 1 ( x 2)
二、典型例题
例1.已知圆O:x 2 y 2 4及点A(2,0),过点A作直线交
MC x 2, y 6
OC x, y
二、典型例题
例 2．是否存在实数 k ，使得直线 y kx 2 与圆线
x 2 y 2 1交于 A, B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点，
若存在，求出实数 k 的值；若不存在，说明理由. y 解：假设存在这样的直线,
圆O于点B，点P为AB的中点，求点P的轨迹方程.
y
解: 设P(x,y)为轨迹上任意一点， 由题意，OP AP

B
P

所以点P在以OA为直径的圆上
A(2, 0) x
2
o
不包括点A x 2 所求轨迹方程为：
( x 1)2 y2 1 ( x 2)
定义法
二、典型例题
例1.已知圆O:x 2 y 2 4及点A(2,0),过点A作直线交
圆O于点B，点P为AB的中点，求点P的轨迹方程.
y
解: 由题意过点A的弦所在直线斜率必存在 设过点A的弦所在直线方程为：
P
B

y k ( x 2) A(2, 0) x
2
o
与圆的方程联立，消去y，得：
(1 k 2 ) x 2 4k 2 x (4k 2 4) 0
xB1 2( k 2 1) 2 (舍 ) xB 2 k2 1 4 k yB 2 k 1
k 7 (符合题意)
3 4k , x x 1 2 1 k 2 1 k 2
三、课堂小结
中点的轨迹问题处理方法 （1）向量垂直法；
（2）消参数法； （3）定义法；
二、典型例题
例1.已知圆O:x 2 y 2 4及点A(2,0),过点A作直线交
圆O于点B，点P为AB的中点，求点P的轨迹方程.
y
解: 由题意过点A的弦所在直线斜率必存在 设过点A的弦所在直线方程为：
y k ( x 2)

B
P
与圆的方程联立，消去y，得：
2 2( k 1) xB x 2 A(2, 0) x k 1 y 4k y B 2 k 1
设 A x1 , y1 , B x2 , y2 y kx 2 联立方程组： 2 2 x y 1 2 2 则: 1 k x 4kx 3 0
A
16k 2 12 1 k 2 0
B
O
x
x1 x2
4 k2 则 y1 y2 kx1 2 kx2 2 1 k 2 OA OB OA OB x1 x2 y1 y2 0