埃尔米特插值

H 2 n 1 ( x) a0 a1 x a2 n 1 x 2 n 1.
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
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先求出 2n 2 个插值基函数 j ( x) 及 j ( x) ( j 0,1,, n)， 且满足条件 每一个基函数都是 2n 1 次多项式，
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插值多项式（5.3）的重要特例是 n 1 的情形. 这时可取节点为 xk 及 xk 1 ， 插值多项式为 H 3 ( x)，满足
H 3 ( xk ) yk , ( xk ) mk , H3
H 3 ( xk 1 ) yk 1 ; ( xk 1 ) mk 1. H3
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整理得
ax j b 1; j ( x j ) 0. a 2l
解出
a 2l j ( x j ), b 1 2x jl j ( x j ).
由于
l j ( x) ( x x0 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xn ) ,
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根据 j ( x)及 j ( x) 的一般表达式（5.4）及（5.5）， 可得到
x xk x xk 1 k ( x) 1 2 x x x x , k 1 k k k 1 2 x xk 1 x xk k 1 ( x) 1 2 x x x x . k k 1 k 1 k
j ( x) (ax b)l 2 j ( x),
由条件（5.2），有
j ( x j ) (ax j b)l 2 , j (x j ) 1
j ( x j ) l j ( x j )[ al j ( x j ) 2(ax j b)l j ( x j )] 0,
(5.5)
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可以证明满足条件（5.1）的插值多项式是惟一的. 用反证法，假设 H 2 n 1 ( x) 及 H 2 n 1 ( x)均满足条件（5.1）， 于是
( x) H 2 n 1 ( x) H 2 n 1 ( x)
在每个节点 xk 上的值及导数值均为零，即 xk 为二重根. 这样， ( x) 有 2n 2重根，但 ( x) 是不高于 2n 1次的多 项式， 故 ( x) 0. 惟一性成立.
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仿照拉格朗日插值余项的证明方法，可以证明： 若 f ( x) 在 (a, b) 内的 2n 2 阶导数存在，则其插值 余项
f ( 2 n 2) ( ) 2 R( x) f ( x) H 2 n 1 ( x) n 1 ( x) (2n 2)!
(5.6)
其中 (a, b)且与 x 有关.
值基函数表示的形式
H 2 n 1 ( x) [ y j j ( x) m j j ( x)].
j 0 n
(5.3)
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由插值基函数所满足的条件（5.2），有
n1 ( xk ) mk , (k 0,1,, n) H 2 n1 ( xk ) yk , H 2
下面的问题就是如何求出这些基函数 j ( x)及 j ( x), 利用拉格朗日插值基函数 l j ( x ). 令
2.5
埃尔米特插值
有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式. 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.
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设在节点 a x0 x1 xn b 上，y j
m j f ( x j )
j ( xk ) jk
0, 1, j k, j k,
j ( xk ) 0, j ( xk ) jk
( j , k 0,1, , n).
j ( xk ) 0;

(5.2)
将满足条件（5.1）的插值多项式 H 2 n1 ( x) H ( x) 写成用插
(5.7)
相应的插值基函数为 k ( x), k 1 ( x), k ( x), k 1 ( x), 它们满足条件
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k ( xk ) 1, k ( xk 1 ) 0, ( xk ) k ( xk 1 ) 0, k k 1 ( xk ) 0, k 1 ( xk 1 ) 1,
f ( x j ),
( j 0,1,, n), 问题是求插值多项式 H ( x) ，
满足条件
H ( x j ) y j , H ( x j ) m j , ( j 0,1,, n),
(5.1)
这里共有 2n 2个插值条件，可唯一确定一个次数不超过 其形式为 2n 1 的多项式 H 2 n1 ( x) H ( x) ，
1 ( xk ) k 1 ( xk 1 ) 0; k
k ( xk ) k ( xk 1 ) 0, ( xk ) 1, k ( xk 1 ) 0, k
k 1 ( xk ) k 1 ( xk 1 ) 0, 1 ( xk ) 0, k 1 ( xk 1 ) 1. k
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两端取对数再求导，得
l j (x j )

k 0 k j
n
1 , x j xk
于是
j ( x) (1 2( x x j )
k 0 k j n
1 )l 2 j ( x ). x j xk
(5.4)
来自百度文库
同理，可得
j ( x) ( x x j )l 2 j ( x).