三角形四心(向量形式)

三角形四心(向量形式)

（证略））

例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若

⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂

心

解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.

即0,0)(=⋅=-⋅即

则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理

所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.

点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则

两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将

三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，

则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。

(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”

例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点

G 是△ABC 的重心.

证明 作图如右，图中=+

连结BE 和CE ，则CE=GB ，

BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是

BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0， 得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之

亦然（证略））

例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的

重心⇔)(3

1PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=

∵G 是△ABC 的重心

∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3

1PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（

） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两

边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，

2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是

重心，选D 。

点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及

三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21λ=。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。

(四)．将平面向量与三角形外心结合考查

例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC ==，则O 是ABC ∆ 的（ ）

A ．内心

B ．外心

C ．垂心

D ．重心

解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。故O 是ABC ∆ 的外心 ，

选B 。

点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及

性质等相关知识巧妙结合。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查 例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，

|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，

求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），

复习参考题五B 组第6题）

证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2

OP =21-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.

反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有

C

1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.

即O 是△ABC 所在平面内一点，

1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中

心.

例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外

心、重心、垂心。求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立

如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，

D 、

E 、

F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：

112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1

324

,)(,)2x Q y H x y （、, 122(,33x x y G +

212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，

212(,)BC x x y =- 2212422142()0

()AH BC

AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴∙=-+=-∴=- 212223221232(()0222

()22

QF AC x x y QF AC x y y x x x y y y ⊥∴∙=-+-=-∴=+ 121221224323()(,),22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y

2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,(,632

1 =3

x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x

x x x y +--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y 即=3QH QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2