比值与根值审敛法的推广
级数
级数一 常数项级数∑∞=1n n u 的基本性质级数的基本性质⑴若级数∑∞=1n nu收敛，其和为S ，又k 为常数，则∑∞=1n nku也收敛，且∑∑∞=∞==11n n n nu k ku⑵若已知二收敛σ==∑∑∞=∞=11,n n n nv s u，则σ±=±∑∞=s v u n n n 1)(注：1111,,(),()nnnn n n n n n n u v uv u v ∞∞∞∞====+-∑∑∑∑四者中任何两个收敛其余两个都收敛，如果其中一个收敛，一个发散，其余两个都发散.⑶改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性⑷收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级数仍然收敛，而且其和不变.推论 一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散. 4.级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u .推论 若级数∑∞=1n nu的通项n u ，当∞→n 时不趋于零，则此级数必发散.常数项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件：正项级数∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列{}n S 有界。
推论：如果正项级数∑∞=1n nu发散，则它的部分和数列+∞→n S )(∞→n比较审敛法：设11,n nn n u v∞∞==∑∑为正项级数⑴若1nn u∞=∑收敛，且对大于某个正整数的一切n ，都有n n u v ≤，则级数1nn v∞=∑也收敛；⑵若1nn v∞=∑发散，且对大于某个正整数的一切n ，都有n n u v ≤，则级数1nn u∞=∑也发散。
比较法的极限形式 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数，如果)0(,lim +∞<<=∞→l l v u nn n ，则级数∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散， 注：比较审敛法是两个正项级数之间的比较，通常与几何级数或p --级数相比较.几何级数：11n n aq∞-=∑(0)a ≠当1<q 时收敛，当1≥q 时发散.当1≤p 时，级数∑∞=11n p n 发散；当1>p 时，级数∑∞=11n p n收敛.例1.判断下列级数的敛散性（1）12ln 13nn n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑，（2）21125n n n n ∞=+-+∑2（1990）设a为常数，则级数21sin n na n ∞=⎛- ⎝∑的敛散性如何？3.已知11(1)2n n n a ∞-=-=∑，2115n n a ∞-==∑，则1n n a ∞==∑A ．3B ．7C ．8D ．94.设有方程10nx nx +-=，其中n 为正整数，证明此方程存在唯一正实根n x ，并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.比值审敛法（根值审敛法）：∑∞=1n n u 为正项级数，ρ=+∞→nn n u u 1lim（或ρ=∞→n n n u lim ），则当1<ρ时，级数收敛；1>ρ（或∞=+∞→nn n u u 1lim （或+∞=∞→n n n u lim ））时级数发散；1=ρ时级数可能收敛也可能发散.比值审敛法和根值审敛法是几何级数的敛散性的推广.通常在通项中含有,!na n 时使用比值审敛法；通常在通项中含有(),!na n n 时使用根值审敛法.例：判断下列级数的敛散性（1）2112(1)!n n n n ∞+=-∑； （2）1!n n n a n n∞=∑ （3）21121n n n n -∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑例：已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.解 22120,10a a a =>-=>，归纳设 10,0,n n n a a a ->->则112n n n n a a a a +--=-()110,0,n n n n n a a a a a -+=-+>>>应用数学归纳法得，{},0,n n n N a a ∀∈>严格增。
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘 要 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。
关键词 数学分析 正项级数 推广比值审敛法一.预备知识1.正项级数的定义 如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥= 则称此级数为正项级数2..收敛定理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到+∞例 级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。
它的部分和数列的通项 2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑， 所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎡⎤⎥-+⎦∑收敛。
在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。
二.常规审敛法：1.达朗贝尔审敛法 123U U U +++……n U ++…… 0U >，若1lim n n nU L U +→∞=，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 1 考虑级数22331111111,232322n n x ∞==++++++∑ 则2lim n →∞==； 113lim lim 2nn n n n nx x +→∞→∞+==+∞； 12lim lim 03n n n n n nx x →∞→∞+== 所以级数收敛 2.拉贝审敛法 123U U U +++……n U ++…… 0U >，若1lim (1)n n nU n L U +→∞-=，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
根值判别法的两个推广
再依 据 比较 判别 法 可知 引理 ２成 立．
定理１ 设∑ 。为正项级数， 为大于１ 的自
一 １
然 数 ． 级 数 通 项 满 足 若
ｎ １≤ ａ （ 一 １ ２ ３ … ） ， ，， ，
ｌ ｉ ｍ
—
证 明
当 ｌ＜ 时 ， 取 ｅ ０使 Ｄ １ 选 ＞
ｐ＋ ￡＝ ｒ＜ ，
一 ｌ， ０
（） １
’ ｏ 。
一
根 据 （ ）式 ， 在 正 整 数 Ｎ ， ２ 存 当 ＞ Ｎ 时 ，
则 当 Ｐ＜ 时级 数收 敛 ； ｐ＞ 时级 数 发散 ； 当’ 而 ｍ ｍ 当 Ｐ一 时 级 数 的敛散 性 不能 判定 ・
。
当． 。 ＞
。
时级数∑ “发散．
＂＝ ｌ
时 ， 选 取 ￡ ０ 使 可 ＞ ，
ｐ－ ｅ＞ － ，
由 此 可 见 ， 理 ｌ给 出 的 判 别 法 较 根 值 判 别 法 定
更 为精 细．
由 极 限定 义 ， 在 正 整 数 Ｎ ，当 ”＞ Ｎ 时 ， 存
＞ ｐ一 ＞ ．
， ， ，ｆ
但前 者发 散而后 者 收敛．
数∑ “发散 级数∑ｂ发散． 必有
，＝ １ ｜ ｎ １ ＝
证明 对 任 意 ｎ＞ ｍ， 在 正整 数 及 ｉ 其 中 存 ，
０≤ ｉ ｍｋ 一 ｍ 一 １ ≤ ＋ ，
定 设∑ ｎ为正 数， 大 １ 理２ 项级 ｍ为 于 的自
ｌ ｉ ｍ
Ｈ ～
一
． … ｒ Ｖ 、 ，ｒ ｌ
，
一
．
， ’ ０ ０ ｒ
Ｔ
Ｚ ，
１１ １
数学竞赛无穷级数(一)
n!1an 1
an 1
1
lim
ˇˇf .x/ˇˇ dx D 0. 记 un
f .x/ dx. 则无穷级数 P un 的敛散性
n!1 an
an
nD1
b
与瑕积分 f .x/ dx 的敛散性相同。
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
3. 广义积分与无穷级数的收敛性的联系
定理 5 设 a 为一整数，函数 f .x/ > 0 在 Œa; C1/ 上单调减少，un
1
C1
f .n/. 则无穷级数 P un 的敛散性与广义积分
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
例4
当实数
p
取何值时，级数
1
P
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
所以当 a < e 时，原级数收敛；当 a > e 时，发散。
例1
设
a
>
0
为常数，试判断级数
1
P
nD1
an nŠ nn
的敛散性。
解 注意到
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
13.2 正项级数及其审敛法
时，lim n
un
0.
3.
若出现
ρ=1 或
lim
n
n
un
不存在,
则改用其它方法.
4. 条件是充分的, 并非必要.
由
un(, un 0)
收敛
lim n
n
un
1；
n1
由 un(, un 0)
发散
lim n
n
un
1.
n1
均可能出现 1，或不存在.
例14 判定正项级数的敛散性.
解
(1)
lim n
1
但 p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级数，且
lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时,级数收敛; (2) 当 1 时, 级数发散 .
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且 lim un1 , 则
当 x=1时,
级数是调和级数
1 ,
发散.
例12 判定正项级数
解
因为
0
n 2n
cos2
nn1
3
n 2n
cos
n 2n
2
n3n1的n敛散性.
(n 1,2,)
且
lim
n
n1 2n1
2n n
n1 lim
n 2n
1 2
1
,所以
n1
n 2n
收敛,
再由比较判别法知, 原级数也收敛.
例13 利用级数敛散性, 证明
部分和数列 有上界 .
比值审敛法和根值审敛法_经济数学——微积分（第2版）（微课版）_[共2页]
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第６
章 无穷级数２７７ （２） 由于ｌｉｍ狀→∞ｓｉｎ１狀１狀
＝１，而∑∞狀＝１１狀发散，由比较审敛法的极限形式可知，∑∞狀＝１ｓｉｎ１狀发散．（３）由于ｌｉｍ狀→∞１３狀
－狀１３狀＝ｌｉｍ狀→∞３狀３狀－狀＝ｌｉｍ狀→∞１１－狀３狀＝１，而∑∞狀＝１１３狀是收敛的，由比较审敛法的极限形式可知，∑∞
狀＝１１３狀－狀收敛．6．2．3 比值审敛法和根值审敛法比值审敛法
运用比较审敛法或其极限形式，都需要找到一个已知敛散性的级数做比较，还不是太方便．如果只需要考虑所给级数的一般项，将会比较方便．
定理６ ４（比值审敛法或达朗贝尔判别法） 设∑∞狀＝
１狌狀为正项级数，且ｌｉｍ狀→∞狌狀＋１狌狀＝ρ．（１）当ρ＜１时，级数∑∞狀＝
１狌狀收敛；
（２）当ρ＞１时，级数∑∞
狀＝
１狌狀发散；
（３）当ρ＝１时，级数可能收敛，
也可能发散．【证】 （１）由ｌｉｍ狀→∞狌狀＋１狌狀
＝ρ＜１，根据数列极限的有界性，存在某个正整数犖和某个正数ρ＜犕＜１，当狀≥犖时，
使得狌狀＋１狌狀
＜犕因此
狌犖＋１＜犕
狌犖狌犖＋２＜犕狌犖＋１＜犕２狌犖
狌犖＋３＜犕狌犖＋２＜犕３狌犖
…
由于级数
∑∞犽＝１犕犽狌犖为几何级数，公比犕＜１，故级数∑∞
犽＝１犕犽狌犖收敛．由比较审敛法可知，级数
∑∞狀＝犖＋１狌狀收敛，从而级数∑∞狀＝
１狌狀收敛．（２）由ｌｉｍ狀→∞狌狀＋１狌狀
＝ρ＞１可知，当狀充分大时，有狌狀＋１狌狀
＞１即
狌狀＋
１＞狌狀。
比值审敛法与根值审敛法的比较及推广
１ ｎ
由 见， 正项级数∑ｕ， 此可 对于 如用比 敛 值审
法 可 以鉴 别敛 散性 ， 用定 理 ２也可 鉴别 。 则 由于 比值
审敛 法较 为 简单 ，在判 别正 项级 数敛 散性 时优 先考 虑用 比值 审敛 法 。对 ｒ ｌ时情 形 ，可用 定 理 ２作补 ＝
・
１ ０・ ４
维普资讯
曹学锋 ， 幸荣 ： 孙 比值 审敛 法与根值 审敛 法的 比较及推 广
法鉴别。
ｌ ： ， 级数∑Ｍ 散。 ｉ ｍ ∞所以 发
， ｎ＝ １ ｎ ＝ １ ＿ ＋
定 理２对于 项级 ， ｌ （ ＝， 正 数∑ 若ｉ ｒ ｍ 则
当 ｐ ０时 ， ｍ— — ： 则 对 Ｖ ０ ３ｍ∈ ， ： ｌ Ｕ＋ ０ ｉ ｎ ｌ ＞ ， 使
， ＿＋ ｒ
，
出其 内在关 系 ， 对 比值 审敛法 作进 一 步的推 广 。 并
即ｍ 『 、 ｋ ＝ ＋ ｋ ／ 引 （ 值审 理１ 比 敛法）设∑ｕ 项级数， 得 ｍ时， ＜ ， ＋ ＝＜ ｍ 。 ： 是正 ≥
中图 分 类 号 ： ７ Ｏ１ ２ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章编 号 ：６ ３ １ ８ （ ０ ８ ０ － １ ０ ０ １ ７ — ９ ０ ２ ０ ）２ ０ ４ － ２
１ 概 述
正 项 级数 的判 敛 是 数 学 分析 中 的重要 知 识 点 。
证 明 ： ｐ≠０时 ，依题 意 可设 当
ｌ Ｖ － 反之不然。 ： －， ｉ ｍ － ｐ
收 稿 日期 ：０ ８ ０ — ５ ２ ０ — １ １ 基 金 项 目 ： 冈师 范 学 院青 年 科 研 基 金 项 目（ ６ Ｂ ２ 黄 ０Ｃ ５ ）
比值审敛法与根值审敛法的一般关系
设 ｝ 为一数 列 ， 则它 的上极 限 和下极 限 分别 定义 为
ｌ ＝ｉ ｐ ，¨ ， ２ … ｝ ｉ ｍ ｌ ｓ ｛ ｌ ｍ ｕ ＋， ，
ｌｍ ｉ
—
—
ｘ＝ｉ ｆｘ ，川 ， ， ｝ ｌ ｉ ｛ … 。 ｍｎ
ｎ＿ ．∞
ｎ ： ｌ ｎ一
。（） ＜ ， 收敛； ） ＞ ， ∑ １ 若 １则∑ （ 若 １ ２ 则
ｎ １ ｎ １
发 散 ； ３ 若 ｐ ｌ则该判 别 法失效 。 （） ＝ ，
注 １当ｌ 吐 和ｌ 存在时，上述两个判别法即分别成为普通的比值判别法和根值判别 ｉ ｍ ｉ Ｖ ｍ
ＶｏＩ１ Ｎｏ４ ．３． ． Ａｕｇ， ２０ ． ０７
比值审敛 法与根值审敛 法 的一般 关系
秦 晓 艳
（ 州 市 广 播 电视 大 学 信 息 工 程 系 ， 苏 常 州 ２３ ０ ） 常 江 １０ １
摘
要： 利用数列的上下极限概念论 述了正项级数 的比值审敛法与根值审敛法 的一般关 系。
Ｕｎ
＝＜ ， ｐ １则级数收敛； ） （ 若对于 ｎ ０ ２ ≥ｎ ’
“
≥ｌ ，
这 里 ｎ 是某 一 固定 的正整 数 ， 。 则级 数发 散 ；３若迪 ＋ （） ｌ≤１ ≤
ｎ一 ∞
＋ 则该 判别法 失 效
广义 根值判别法２ 『 ］ 考虑正项级数∑Ｕ 令 ＝ｉ ｎ ， ｌ ｍ
文献标识码 ： Ａ
关键词 ：上（ ） 下 极限 ；正项 级数 ；比值审敛法 ； 根值审敛法
中 图 分 类 号 ： １ ０３
在判 别 正项级 数 的敛散 性 时 ， 于那 些一 般项 收敛 的 速度 比某一 个 等 比级数 的一 般项 减少 得 更快 的 对 级数 ， 常用 比值判 别法 或根 值 判别 法 。 ［】 两 种判 别法 之 间的关 系进行 了一些讨 论 ， 文利用 数 列 的 文 １ 对这 本 上 下极 限概 念 ， 绍 了广义 的 比值判 别法 和根 值 判别法 ， 利用 上下 极 限的某 些性 质 ， 介 并 更深 刻地 指 出了这
幂级数收敛半径的计算
第41卷 第3期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 41 No.3 2021年 3月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar. 2021文章编号：1007-9831（2021）03-0071-03幂级数收敛半径的计算寇冰煜，毛磊，张燕，马凤丽（陆军工程大学 基础部，江苏 南京 211101）摘要：根据公式法求解幂级数的收敛半径具有很大的局限性，从幂级数相邻项比值极限是否存在的角度出发，介绍几种求幂级数收敛半径的方法，并举例对这些方法加以应用． 关键词：幂级数；收敛半径；比值审敛法；根值审敛法中图分类号：O173.1∶G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2021.03.015The calculation of convergence radius for power seriesKOU Bingyu，MAO Lei，ZHANG Yan，MA Fengli（Department of Basic Course，The Army Engineering University of PLA，Nanjing 211101，China）Abstract ：Solving the convergence radius of the power series according to the formula method has great limitations．From the point of view of whether the ratio limit of adjacent terms of power series exists，several methods to calculate the convergence radius of power series was introduced, and some examples to apply them was given． Key words ：power series；convergence radius；ratio convergence method；root convergence method在高等数学教材中大多都是介绍利用公式法[1]求幂级数的收敛半径，文献[2]将公式法加以推广对幂级数进行求解，但究其本质主要是正项级数的比值审敛法或者根值审敛法．对于不同类型的幂级数，如抽象幂级数、缺项幂级数、比值极限不存在的幂级数等情况，利用常用的公式法计算收敛半径就会遇到不少困难．本文从相邻项比值极限是否存在的角度出发，介绍几种求幂级数收敛半径的方法，并举例对这些方法加以应用．1 求幂级数收敛半径的方法定理1（公式法）[1]275若幂级数0n n n a x ¥=å满足1limn n n a l a +®¥=或者n l =，则幂级数的收敛半径1R l=．特别地，当0l =时，规定收敛半径R =¥；当l =¥时，规定收敛半径0R =．公式法适合幂级数的通项系数为已知具体形式且不缺项的情况．如果遇到缺项情况，可以考虑利用比值法求解幂级数收敛半径． 定理2（比值法）[3]57若幂级数()0n n n a x j ¥=å满足1limn n na l a +®¥=且(1)()n n c j j +-=，则幂级数的收敛半径R =．特别地，当0l =时，规定收敛半径R =¥；当l =¥时，规定收敛半径0R =．推论 若幂级数()0n n n a x j ¥=å满足1limn n na l a +®¥=且(1)1()n q n j j +=>，则当0l ¹时，幂级数的收敛半径1R =；收稿日期：2020-09-25基金项目：陆军工程大学基础部教育教学课题作者简介：寇冰煜（1982-），女，河南驻马店人，副教授，博士，从事偏微分方程研究．E-mail：**************72 高 师 理 科 学 刊 第41卷当l =¥时，收敛半径0R =；当0l =时，收敛半径不确定． 证明 (1)(1)()(0)(1)11()lim lim lim nn n n qq n n n n n n nn a x a x l xa a x j j j j j ++--++®¥®¥®¥==，从而，当1q >时，n q ®¥，当且仅当1x <时，(1)1()lim 1n n n n n a x a x j j ++®¥<，故原级数的收敛半径为1． 证毕．比值法只适合比值极限存在或者极限为¥的情况，如果遇到比值极限不存在的情况，可以尝试利用根值法求解．定理3（根值法） 如果幂级数()0n n n a x j ¥=å系数通项的极限满足lim n l =c =，则幂级数的收敛半径R =0l =时，规定收敛半径R =¥；当l =¥时，规定收敛半径0R =． 当幂级数的系数通项未知时，比值或者根值的极限不易求出．事实上，从幂级数本身的通项系数出发也可以求解幂级数的收敛半径．定理4（通项系数极限法）[4]46若幂级数0nn n a x ¥=å的系数n a 满足lim 0n n a a ®¥=¹，那么幂级数0n n n a x ¥=å的收敛半径为1．定理３和定理４对于缺项形式的幂级数也同样适用，但是以上所有方法都基于各种形式的极限存在或者为¥的情况，如果极限不存在（除¥外）的话，这些方法都将失效，这就需要追本溯源，从最本质和最初的幂级数收敛半径的定义出发，来寻求解决问题的方法．定理5（定义法）[1]275如果幂级数0n n n a x ¥=å不仅在0x =这一点处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则一定存在一个正数R ，使得x R <时，幂级数绝对收敛；x R >时，幂级数发散，正数R 就称为幂级数n n n a x ¥=å的收敛半径．2 应用举例例1 求幂级数1(1)1n n n x n ¥+=-+å的收敛半径．解 这类题目，幂级数的具体形式已知、不缺项，并且系数比值的极限存在，是求收敛半径题型中较为容易的一类，直接利用公式法，求出11lim lim 12n n n na n a n +®¥®¥+==+，所以，幂级数10(1)1n n n x n ¥+=-+å的收敛半径为1．例2 求幂级数321214n n n n x ¥-=-å的收敛半径． 解 显然，本题属于幂级数缺项，且不是仅缺奇数或者偶数项情况，但是仍然可以利用比值（通项的比值）判别法来求收敛半径，由于331()2111limlim ()2144n n n n u x n x x u x n +®¥®¥+==-，所以，当x <当x >时，幂级数发散．所以，幂级数321214n nn n x ¥-=-å． 例3[5]求幂级数12(1)n nn x n ¥=+-å的收敛半径．解 计算通项系数比值的极限，1132(1)112(1)3(1)n n nnn n an n na n n n ++ìï+-+ï=×=í++-ïï+î为数为数奇偶，从而1limn n na a +®¥不存第3期 寇冰煜，等：幂级数收敛半径的计算 73在，并且不为¥，但是根据达朗贝尔根值判别法，limn n x ==．所以，当1x <时，幂级数收敛；当1x >时，幂级数发散．故幂级数12(1)n nn x n ¥=+-å的收敛半径为1．例4 已知()011111, 0, (1, 2, 3, )1n n n a a a na a n n +-===+=+L ，求幂级数0n n n a x ¥=å的收敛半径．解 由于()1111n n n a na a n +-=++，所以11(1)n n n n a na a +-+=+，从而()()11(1)n n n n n a a a a +-+-=--，故1111n n n n a a a a n +--=--+，由此可得11121211122310101(1)(1)!nn n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n +---+----------××==------+．由于011, 0a a ==，所以111(1)(1)!n n n a a n ++-=-+，故()1110001lim lim lim (1)(1)!k n k k n n n k k a a a a k ¥¥+++®¥®¥®¥===-+=-++åå1011(1)e !nn n ¥-==-=å． 由于1lim e 0n n a -®¥=¹，根据定理４可知，幂级数0n n n a x ¥=å的收敛半径为１．例5求幂级数11(1)4n n n n n x ¥=ù-ûå的收敛半径． 解显然，本题利用比值或者根值都无法求出收敛半径，但是)11(1)144nn n n nù+-£+û，利用公式法，可以求得幂级数)1114nn n n x ¥=+å的收敛半径为)21x <．故当)21x <-时，幂级数11(1)4n n n n n x ¥=ù-ûå收敛．由于)(21(1)2141nnn n nn n n u n ìïù=+-=íûïî为数为数奇偶，故lim 0n n u ®¥¹，从而)21x =时，幂级数11(1)4n n n n n x ¥=ù-ûå发散，从而)21x >-时，幂级数11(1)4n n n n n x ¥=ù+-ûå发散．故根据幂级数收敛半径的定义，级数11(1)4n n n n n x ¥=ù+-ûå的收敛半径为)21x =-． 本文探讨了５种不同形式、不同情况下求解幂级数收敛半径的方法，并通过举例阐述了如何使用这几种方法，希望可以帮助学生更好地掌握和灵活运用这部分内容．参考文献：[1] 同济大学数学系．高等数学[M]．7版．北京：高等教育出版社，2018[2] 杜兴朝．关于幂级数的收敛半径的计算公式[J]．咸阳师范学院学报，2005，20（6）：75-76 [3] 徐峰．一类特殊幂级数收敛半径的简单求法[J]．山东工程学院学报，1997，11（4）：55-58 [4] 彭凯军，宁荣健．抽象幂级数收敛半径的若干求法[J]．高等数学研究，2020，23（3）：20，46 [5]高国成，宋治涛．求幂级数收敛半径的方法[J]．工科数学，2002，18（6）：122-124。
基于算法的《任意项级数审敛法》教学与反思
１４ ４
２ １ 顺 应 新课程 改革 趋势 ． ．
大 学 数 是高 中数学 新课 程 的一 条 主线 ， 有鲜 明的 时代 性［ ］ 算法 学 习有 助 于 学生 清 晰 思考 问 具 ２． 。
题、 提高逻 辑思 维能力 ； 助 于提高学 生 的信息 素养 ． 大学 数 学教 学 中 引入 算法 的教 学将 大 学数 学 课 有 在
第 ５期
曾广 洪 ， ： 于算 法的《 意项级 数 审敛 法》 学与反 思 等 基 任 教
１３ ４
针 对教 学反 馈情 况 ， 我们 教研 室教 学研 究 团队 引入任 意 项 级数 审 敛法 的算法 流程 图如 下 （ 因篇 幅有 限 ，
本文 框图 算法 采用 表示 流程图 在图 记 并 中 级数∑ “为∑ ， 在教学 践中， 们 但 实 我 采用较直 算 观的
７ ０年代 的“ 回到基 础” 动都 给数 学教 育 留下 了许 多遗 憾 ， 导致 了 ８ 代数 学改 革 的钟 摆 开始 向“ 运 这 Ｏ年 问
题解 决 ” 向摆 动． ９ 方 从 Ｏ年 代 起 ， 数 学 问题 解决 的探讨 达 到高 潮． ０ ３年 ， 国际 经济 合作 与 发展 组 对 ２０ 由
ｎ＝ １
１ ２ 基 于算 法的教 学 设计． ．
以往 ， 们根 据教材 上 的传统 的顺序 安 排实施 教学 和设计 板 书 ， 教学反 馈结果 中得 知学 生对 任意 我 从 项 级数 审敛法 的学 习效 果不 甚理想 ， 如学 生反 映 ， 断级数 敛散 性时 经常将 各种 审敛法 混淆 等等 ． 例 判
叠 ， 叠越 多 ， 重 迁移量 越 大．
我们在 教学 中利 用信 息技术 强 大的表 现功 能 ， 加 了知识 中交互 联结 网络 的丰 富性 ， 增 从而提 高 了在
比值审敛法例题
比值审敛法例题
（原创实用版）
目录
1.比值审敛法的概念
2.比值审敛法的应用
3.比值审敛法的例题解析
正文
一、比值审敛法的概念
比值审敛法是一种数学方法，主要用于解决一些比较复杂的数学问题，尤其是那些涉及到比例、比值等方面的问题。
这种方法通过对问题进行审敛，即将问题分解为更小的部分，然后逐步解决这些小问题，最终得到整个问题的解决。
比值审敛法能够帮助我们更好地理解问题的本质，从而更加高效地解决问题。
二、比值审敛法的应用
比值审敛法在许多领域都有应用，包括数学、物理、化学、工程等。
例如，在解决一些复杂的比例问题时，我们可以通过比值审敛法，将问题分解为更小的部分，然后逐步解决这些小问题，最终得到整个问题的解决。
这种方法能够帮助我们更好地理解问题的本质，从而更加高效地解决问题。
三、比值审敛法的例题解析
下面我们来看一道比值审敛法的例题。
例题：已知一个等差数列的前五项和为 35，前十项和为 110，求这
个等差数列的第 15 项。
解：我们可以通过比值审敛法来解决这个问题。
首先，我们将这个问题分解为两个小问题，即求出等差数列的前五项和与前十项和。
根据等差数列的性质，我们知道前五项和为 35，前十项和为 110。
然后，我们再
利用等差数列的性质，求出第 15 项。
具体来说，我们可以通过以下公式求出第 15 项：
第 15 项 = 前十项和 - 前五项和
代入已知数值，即可得到第 15 项的值。
总结：比值审敛法是一种非常有用的数学方法，能够帮助我们更好地理解问题的本质，从而更加高效地解决问题。
根值审敛法的几个推论
根值审敛法的几个推论
侯亚君;高峰
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2003(006)002
【摘要】@@ 本文对正项级数收敛性的根值判别法进行了讨论,所得推论在判别某些正项级数的收敛性时更为方便.
【总页数】3页(P25-26,63)
【作者】侯亚君;高峰
【作者单位】沈阳工业学院,沈阳,1100015;沈阳工业学院,沈阳,1100015
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.比值审敛法与根值审敛法的关系 [J], 吴华安
2.比值审敛法与根值审敛法的一般关系 [J], 秦晓艳
3.比值审敛法与根值审敛法的比较及推广 [J], 曹学锋;孙幸荣
4.比值与根值审敛法的推广 [J], 居琳
5.正项级数的比值审敛法与根值审敛法的比较 [J], 刘叶玲
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正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。
正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。
根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。
关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。
英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。
因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。
我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。
因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数1nn u∞=∑收敛⇔0,,,,N N n N p N ε+∀>∃∈∀>∀∈有12n n n p u u u ε++++++<。
取特殊的1p =，可得推论：若级数1nn u∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=。
2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）： 设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为两个正项级数，且有limnn nu l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则1nn u∞=∑与1nn v∞=∑同时收敛或同时发散。
数学素养视域下比值审敛法的课堂教学实践
数学素养视域下比值审敛法的课堂教学实践一、引言数学素养是数学教育的核心目标之一，它指的是学生具备适应社会、继续学习和自我发展所需的数学知识、技能、情感态度和价值观。
在数学素养视域下，教师不仅要传授知识，更要培养学生的综合能力，启发学生的思维，激发他们的兴趣，引导他们学会自主学习和合作学习。
本文将结合数学素养视域，介绍比值审敛法的课堂教学实践。
二、比值审敛法的概念与要点比值审敛法是高中数学中的一种重要的数列极限讨论方法。
在数学素养视域下，比值审敛法能够帮助学生理解数列极限的概念和性质，培养学生的推理和论证能力，提高他们的问题解决能力。
要点：1. 数列极限的概念：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果数列的通项表达式可以转化为\frac{a_n}{b_n}的形式，且\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A，\lim\limits_{n \to \infty} b_n = B，其中A、B均为有限数或者\pm\infty，那么称数列{an}的极限为\frac{A}{B}。
2. 比值审敛法的步骤：(1) 分析数列的通项表达式，将其化为分式形式；(2) 分别求出分子和分母的极限，判断是否存在有限极限或者\pm\infty；(3) 根据极限的性质，得出数列的极限。
三、比值审敛法在数学素养视域下的教学策略1. 情境化教学：比值审敛法的教学需要与实际情景结合，引导学生在具体问题中感受数列极限的概念，培养学生的数学建模能力。
教师可以设计一些场景问题，如利用比值审敛法求解数列的极限，讨论在不同的实际背景下数列的极限代表的意义。
利用比值审敛法解决生物种群的增长、化学反应速率等问题。
2. 启发式教学：在教学中，教师需要通过启发性的提问，引导学生主动探究和发现问题的解决思路。
通过提问引导学生思考，在比值审敛法中，为什么要将数列化为分式形式？分子和分母的极限如何求解？极限的性质在比值审敛法中有何应用？3. 合作学习：教学过程中，可以设置小组讨论或者合作探究的环节，让学生互相讨论，共同解决问题。
比值判敛法和根式判敛法
§7.3 比值判敛法和根式判敛法【导语】上一节我们学习了用比较的思想判别级数的敛散性，其关键是用熟悉的级数作为桥梁．在这一节，我们将用几何级数作为桥梁，发展两种常用的判敛法． 【正文】一、正项级数的比值判敛法定理9 设1n n u ∞=∑为正项级数，若对于n N >，都有11n nu q u +<≤（为确定的数），则级数1n n u ∞=∑收敛；若对于n N >，11nn u u +≥，则级数1n n u ∞=∑发散．证明：不失一般性，不妨假设对所有的1n ≥，11n nu q u +<≤． 因为0n u >，所以21121n n n n u qu q u q u −−− ≤≤≤≤．由于1q <，所以几何级数111n n qu ∞−=∑收敛，再由比较判别法知级数1n n u ∞=∑也收敛．若对于n N >，11nn u u +≥，则对一切n N >，皆有 10n n N u u u −> ≥≥≥．于是级数1n n u ∞=∑的一般项n u 将不趋于0，故此极限发散．例1判断级数13!n nn ∞=∑的敛散性．解当3n >时，因为11333(1)!1314!n n nn u n u n n +++==<<+， 所以级数13!n nn ∞=∑收敛．例2判断级数1135(21)5!n n n n ∞=⋅⋅⋅−⋅∑ 的敛散性．解因为q11123(1)135(21)215135(2!155(1)555!1)n n nn n n n u n n u n n n++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++===<<⋅++− ， 所以级数1135(21)5!n n n n ∞=⋅⋅⋅−⋅∑收敛．Remark 求比值的最大值（或上界）转化为求比值的极限，会将问题变得更简单．定理10 设1n n u ∞=∑为正项级数．若1limn n nu r u →+∞=．（1）当01r ≤<时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当1r >时，级数1n n u ∞=∑发散，且lim n n u →∞=+∞；（3）当1r =时，级数的敛散性须进一步判定．证明（1）当01r ≤<时，存在0ε>使得1r ε+<． 由于1limn n nu r u →+∞=，对于这个ε，存在正整数N ，当n N >时，11n n ur u ε+<+<，用定理9，我们得到级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1r >时，存在0ε>使得1r ε−>．由于1lim n n nu r u →+∞=，对于这个，存在正整数,N 当n N >时，11n n ur u ε+>−>，用定理9，我们得到级数发散．又因为11()n n u r u ε−>−，且1r ε−>，所以lim n n u →∞=+∞．（3）当1r =时，级数11n n ∞=∑和211n n ∞=∑都有1r =，但前者发散，后者收敛，因此当1r =时，因此比值判敛法得不到结论．例3判断级数122n n n ∞=∑的敛散性．解因为221122(1)lim l (im lim 21)1222n n n n nn nn u n n u n →∞→∞→∞++++===， 1nn u∞=∑ε1n n u ∞=∑根据比值判别法可知级数122n n n ∞=∑收敛．例4判断级数的敛散性． 解因为11(1)!/(1)11lim lim lim lim 1!/1e 11nn n n n n nn n n u n n n u n n n n +→∞→∞→∞→∞+++====< + +， 根据比值判别法可知级数收敛．二、正项级数的根式判敛法定理11 设1n n u ∞=∑为正项级数，若存在N ，当n N >1q <，则级数1n n u ∞=∑收敛；1，则1n n u ∞=∑发散．证明当n N >1q <，所以n n u q ≤． 又因为级数1(1)nn N q q ∞=+<∑收敛，所以根据比较判别法可知级数1n n u ∞=∑亦收敛．当1，那么有1n u ≥，因此级数的一般项n u 不趋于0，故级数1n n u ∞=∑发散．定理12 设1n n u ∞=∑为正项级数．若n r =，那么（1）当1r <时，级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当1r >时，级数1n n u ∞=∑发散，且lim n n u →∞=+∞；（3）当1r =时，级数1n n u ∞=∑的敛散性需要进一步判定．证明（1）当1r <时，由于1r <，可以选取适当小的一个正数ε使1r ε+<．由于n r =，所以存在正整数N ，当n N >1r ε+<．由定理11得知，级数1n n u ∞=∑收敛．（2）当1r >时，由于1r >，可以取适当小的一个正数ε使1r ε−>．∑∞=1!n n n n ∑∞=1!n n n n n N >由于n r =，存在正整数N ，当n N >1r ε−>．由定理11得知，级数1n n u ∞=∑收敛．由于()n n u r ε−≥，且1r ε−>，所以lim n n u →∞=+∞．（3）当1r =时，级数11n n ∞=∑和211n n ∞=∑都有1r =，但前者发散，后者收敛，因此当1r =时，此判别法无法给出结论．例5 判断级数122n n n ∞=∑的敛散性．解前面曾用比值判敛法解决了这个问题．下面用根式判敛法判断级数122n n n ∞=∑的敛散性．因为112n n <=， 所以级数122n n n ∞=∑收敛．例6 判断级数2111n n n ∞=− ∑的收敛性．解因为1lim 1lim 1e 1111n n n nn n n −→−∞→∞ =< − −=+， 所以级数2111n n n ∞=−∑收敛．例7判断级数1(0,0)nn a b ∞=>>∑的敛散性．解lim lim n n ．当a b <时，级数1nn ∞=∑收敛；当a b >时，级数1nn ∞=∑发散；当a b =时，由于211212232lim lim lim 1e 011nnan an a n n n n an a an an ⋅++→∞→∞→∞+==+=≠ ++，所以级数1nn ∞=∑发散．【本讲总结与下讲预告】。
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比值与根值审敛法的推广
居琳 江苏科技 大学数理 学院 ２２ ０ １０３
引 言
在高等数学 中 ，正项级数 的审敛法有很 多种 ，其中以达朗
贝尔比值审敛法与柯西根值审敛法是最基础也是使用频率最高的 两种 方法 。一 般情 况下 ，这两 种 审敛法 都是 分开 来使用 ，事 实上将这两种方法结 合在一起也可 以得 到一种新的审敛法 。
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下转 第 ４ 页 》 ９
（ ）采 用 双液 浆 的 方 法 处 理 ； （ ）对 跑 浆 ２ ３
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…
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…
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故本 丈
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