第25讲 Z变换及脉冲传递函数
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计算机控制系统03 Z变换
Y1 ( z ) Y2 ( z ) y1 ( kT ) y2 ( kT )
不能得出 y1 (t)=y2(t) 的结论。 （3）单边Z变换 t<0时，f(t)=0; k<0时, f(kT)= f(k)=0。
（4）F(z)=Z[f*(t)],它并不是连续函数的Z变换， 但习惯上也称F(z)为 f(t) 的Z变换， Z变换本身包含着离散的概念。 总之： Z变换的重要含义在于延迟与离散。
Z [a k ] k 0 a k z k ( az 1 ) k k 0
1 z 1 1 az za
nω t,cos ω t) 5.正弦、余弦函数 (si 欧拉公式 e jt e jt e jt e jt
sin t 2j
cost
则 Z [ y( kT )] Z [u( kT ) * g ( kT )] U ( z )G ( z )
7 乘ak 后的Z变换 Z[ y( kT )] Y ( z ) 若 Z[a k y( kT )] Y ( a 1 z ) 则 k k k Z [ a y ( kT )] y ( kT ) a z k 0 证：
k 0 f (kT ) e kTs
(t kT ) e
kTs
注意: e-kTs是一个延迟环节，延迟时间为kT， 即k个采样周期(拍)。
1.定义：新变量 ln z T
e
kTs
z
k
用z 作自变量，替换F*(s) 中的 s F*(t)的z变换
拉氏变换，注意到f(nT)为常数
F * ( s) L[ f * (t )] f (0) L[ (t )] f (T ) L[ (t T )] f (2T ) L[ (t 2T )]
不能得出 y1 (t)=y2(t) 的结论。 （3）单边Z变换 t<0时，f(t)=0; k<0时, f(kT)= f(k)=0。
（4）F(z)=Z[f*(t)],它并不是连续函数的Z变换， 但习惯上也称F(z)为 f(t) 的Z变换， Z变换本身包含着离散的概念。 总之： Z变换的重要含义在于延迟与离散。
Z [a k ] k 0 a k z k ( az 1 ) k k 0
1 z 1 1 az za
nω t,cos ω t) 5.正弦、余弦函数 (si 欧拉公式 e jt e jt e jt e jt
sin t 2j
cost
则 Z [ y( kT )] Z [u( kT ) * g ( kT )] U ( z )G ( z )
7 乘ak 后的Z变换 Z[ y( kT )] Y ( z ) 若 Z[a k y( kT )] Y ( a 1 z ) 则 k k k Z [ a y ( kT )] y ( kT ) a z k 0 证：
k 0 f (kT ) e kTs
(t kT ) e
kTs
注意: e-kTs是一个延迟环节，延迟时间为kT， 即k个采样周期(拍)。
1.定义：新变量 ln z T
e
kTs
z
k
用z 作自变量，替换F*(s) 中的 s F*(t)的z变换
拉氏变换，注意到f(nT)为常数
F * ( s) L[ f * (t )] f (0) L[ (t )] f (T ) L[ (t T )] f (2T ) L[ (t 2T )]
脉冲传递函数
脉冲传递函数
❖ 脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，系统输出离散信号的z 变换
与输入离散信号的z 变换之比，即
G(z) C(z) R(z)
系统输出脉冲序列为
c* (t) Z 1[C(z)] Z 1[R(z)G(z)]
脉冲传递函数的基本概念
❖ 脉冲传递函数公式的推导
▪ 当输入信号为单位脉冲信号 (t)时，其输出信号为 单位脉冲响应 g (t ) 。显然，g (t )就是连续传递函数 G(s) 的拉氏反变换。
在 t kT 时，对应的输出为
c(kT) r(0)g(kT) r(T )g[(k 1)T ] r(nT)g[(k n)T ]
k
r(nT )g[(k n)T ] n0
由卷积定理，得
C(z) G(z)R(z)
脉冲传递函数的基本概念
❖ 求脉冲传递函数时应注意的问题 ▪ G(z) Z[g(t)] Z[L1G(s)] ，可简写为 Z[G(s)] 。 ▪ G(z) 表示脉冲传递函数，G(s) 表示连续传递函数， 但 G(z) 不是简单地将 G(s) 中的s 换成z 得到的。 ▪ 已知传递函数 G(s) ，求脉冲传递函数的步骤为：
该闭环系统的脉冲传递 函数为
C(z) G(z) R(z) 1 GH (z)
闭环系统的脉冲传递函数
例10 求图示系统的 闭环脉冲传递函数。
解
G(z)
e1z 1 2e1 z 2 (1 e1)z e1
0.368 z 0.264 z2 1.368 z 0.368
系统闭环脉冲传递函数为
C(z) G(z) 0.368 z 0.264 R(z) 1 G(z) z 2 z 0.632
Z[L1( 1 )] 2s 1
Z
[
❖ 脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，系统输出离散信号的z 变换
与输入离散信号的z 变换之比，即
G(z) C(z) R(z)
系统输出脉冲序列为
c* (t) Z 1[C(z)] Z 1[R(z)G(z)]
脉冲传递函数的基本概念
❖ 脉冲传递函数公式的推导
▪ 当输入信号为单位脉冲信号 (t)时，其输出信号为 单位脉冲响应 g (t ) 。显然，g (t )就是连续传递函数 G(s) 的拉氏反变换。
在 t kT 时，对应的输出为
c(kT) r(0)g(kT) r(T )g[(k 1)T ] r(nT)g[(k n)T ]
k
r(nT )g[(k n)T ] n0
由卷积定理，得
C(z) G(z)R(z)
脉冲传递函数的基本概念
❖ 求脉冲传递函数时应注意的问题 ▪ G(z) Z[g(t)] Z[L1G(s)] ，可简写为 Z[G(s)] 。 ▪ G(z) 表示脉冲传递函数，G(s) 表示连续传递函数， 但 G(z) 不是简单地将 G(s) 中的s 换成z 得到的。 ▪ 已知传递函数 G(s) ，求脉冲传递函数的步骤为：
该闭环系统的脉冲传递 函数为
C(z) G(z) R(z) 1 GH (z)
闭环系统的脉冲传递函数
例10 求图示系统的 闭环脉冲传递函数。
解
G(z)
e1z 1 2e1 z 2 (1 e1)z e1
0.368 z 0.264 z2 1.368 z 0.368
系统闭环脉冲传递函数为
C(z) G(z) 0.368 z 0.264 R(z) 1 G(z) z 2 z 0.632
Z[L1( 1 )] 2s 1
Z
[
Z变换理论
i 1
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af(t)aF(z) Z a1f1(t)a2f2(t)a1F 1(z)a2F 2(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
s i n t 1 ( e j t e j t ) 2j
F
(z)
Z
1 2
j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
Z e j t Z e j t
1 z 2 j z e j T
z
z e j T
1 2j
z2
e (e
j T j T
e j T e j T ) z 1
z sin T z2 2 z cos T 1
F (z) Z f(t) Z [f* (t)] f(k T )z k k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f* (t) f(k) T (t k)T k 0 f(0 )(t)f(T )(t T )f(2 T )(t 2 T ) f(k) T (t k)T 对上式取拉氏变换，得
1 1az1
z z a
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成
部分分式的形式为
n
F(s)
ai
i1 s si
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
n
F(z)
ai z
脉冲传递函数g(z)
脉冲传递函数g(z)脉冲传递函数g(z)是一种常见的信号处理工具，它可以用于描述一种线性系统对输入脉冲信号的响应。
在工程研究中，脉冲传递函数g(z)在控制工程、通信系统、网络处理等领域中得到了广泛应用。
下面我们将从定义、性质、应用等方面来详述脉冲传递函数g(z)。
一、定义脉冲传递函数g(z)是指在离散时间下，单位脉冲信号经过线性系统后所得到的系统响应的比例函数。
数学上，脉冲传递函数可以表示为：g(z) = Y(z)/X(z)其中，Y(z)表示输出信号的Z变换，X(z)表示输入信号的Z变换。
二、性质1. 线性性：脉冲传递函数g(z)具有线性性质，即当输入信号是信号1、信号2的线性组合时，输出信号也是对应的线性组合。
2. 时不变性：当输入信号延迟m个时间单位时，输出信号也会延迟相同的m个时间单位。
3. 卷积性质：当有两个系统的脉冲传递函数分别为g1(z)和g2(z)时，它们的卷积g(z) = g1(z) g2(z)三、应用脉冲传递函数g(z)在工程实践中有很多应用，如下面几个方面：1. 控制工程：在控制系统设计中，脉冲传递函数g(z)用于描述控制器、传感器等系统的特性，以达到控制系统的设计目标。
2. 通信系统：在数字通信系统中，脉冲传递函数g(z)是一个能够描述信道传输特性的关键参数，可以用于设计调制解调器、信道均衡器等模拟信号处理器件。
3. 网络处理：在计算机网络处理中，脉冲传递函数g(z)可以描述网络传输的延迟、带宽等重要参数，以提高网络传输的可靠性和效率。
总之，脉冲传递函数g(z)是一种非常重要的信号处理工具，它在信号处理和系统控制领域中被广泛应用。
我们需要深入学习和掌握脉冲传递函数的特性和应用，以提高自己的技能和工程实践水平。
Z变换PPT课件
x * ( t ) 0 . 5 ( t T ) 0 . 7 ( t 5 2 T ) 0 . 8 ( t 7 3 T ) 0 5 . 9( t 3 4 T ) 7
-
19
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
两端取Z变换得
(a o a 1 z 1 a 2 z 2 a n 1 z n 1 a n z n )X o (z) (b o b 1 z 1 b 2 z 2 b m 1 z m 1 b m z m )X i(z)
故离散控制系统的传递函数为
G (z ) X o (z ) b o b 1 z 1 b 2 z 2 b m 1 z m 1 b m z m X i(z ) a o a 1 z 1 a 2 z 2 a n 1 z n 1 a n z n
x(t)
x * (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
-
2
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采- 样时刻 t=nT 时的值 x(nT). 18
例10-18 求 X(z) 0.5z 的逆变换。
(z1)(z0.5)
解 X(z) 0.5z 0.5z
(z1)z(0.5) z21.5z0.5
利用综合除法得 X ( z ) 0 .5 z 1 0 .7 z 2 5 0 .8z 7 3 0 .5 9z 3 4 75
-
19
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
两端取Z变换得
(a o a 1 z 1 a 2 z 2 a n 1 z n 1 a n z n )X o (z) (b o b 1 z 1 b 2 z 2 b m 1 z m 1 b m z m )X i(z)
故离散控制系统的传递函数为
G (z ) X o (z ) b o b 1 z 1 b 2 z 2 b m 1 z m 1 b m z m X i(z ) a o a 1 z 1 a 2 z 2 a n 1 z n 1 a n z n
x(t)
x * (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
-
2
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采- 样时刻 t=nT 时的值 x(nT). 18
例10-18 求 X(z) 0.5z 的逆变换。
(z1)(z0.5)
解 X(z) 0.5z 0.5z
(z1)z(0.5) z21.5z0.5
利用综合除法得 X ( z ) 0 .5 z 1 0 .7 z 2 5 0 .8z 7 3 0 .5 9z 3 4 75
第25讲Z变换及脉冲传递函数讲解
*
* 2 2
a1F1 ( z) a2 F2 ( z)
2
（2）延迟定理 连续函数f(t)当t<0时为零，且具有Z变 换为F(z)，则对于延迟i个采样周期的函 数f(t-iT)，其Z变换为
Z[ f (t iT )] z F ( z)
i
3
证明：由z变换定义
Z f(t iT) f(kT iT)z n
k 0
k
zF ( z ) zf (0)
两式相减
9
zF ( z ) zf (0) F ( z ) f ( kT T )z k f ( kT ) z k
k 0
k 0
[ f ( kT T ) f (kT )]z k
k 0
根据复数位移定理
Z（te
aT
Tze ) F ( ze ) aT 2 ( ze 1)
aT
7
at
（5）初值定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
则函数的初值 证明：
lim F ( z ) 若极限存在
z
f (0) lim f (t ) lim F ( z )
t 0 z
z 对应的f(t)初值和终值 F (z) z e aT
z f (0) lim f (t ) lim F ( z ) lim 1 aT t 0 z z z e z f () lim f (t ) lim( z 1) 0 aT t z 1 z e
[ f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) ...]z k [ f () f (0)]z k
z传递函数
z传递函数一、引言z传递函数是信号处理中常用的一种数学方法，用来描述信号在系统中传递的特性。
它是频率域和时域之间的桥梁，可以通过分析系统的z传递函数来了解信号在系统中的变换过程。
在本文中，我们将会详细介绍z传递函数的定义、性质和应用等内容。
二、z传递函数的定义z传递函数是一种离散时间系统的表示方法，它以z变换的形式来表示系统的输入和输出之间的关系。
z传递函数通常用H(z)表示，其中z是一个复数变量。
z传递函数可以将时域中的差分方程转换为频域中的代数方程，从而方便我们进行系统的分析与设计。
三、z传递函数的性质1. 稳定性对于稳定系统来说，其z传递函数的绝对值必须小于1，即有|H(z)|<1。
这是因为稳定系统的输出应该是有界的，不能出现无限增长的情况。
2. 因果性在因果系统中，z传递函数只有在对应的范围内才有定义。
一般而言，因果系统的z传递函数是有理函数，即可以表示为多项式之比。
因而在对z进行逆向z变换时，只需要考虑有理函数的极点和极点的位置。
3. 线性性z传递函数满足线性性质，即对于任意的输入序列x(n)和y(n)，以及对应的输出序列y(n)和z(n)，如果存在k1和k2为常数，则有k1x(n) + k2y(n) -> k1y(n)+ k2z(n)。
4. 延时特性z传递函数中的延时特性能够直观地反映系统的时延情况。
通过分析z传递函数的分母项，可以确定系统的时延。
四、z传递函数的应用z传递函数在信号处理中有着广泛的应用，下面列举了几个常见的应用领域。
1. 滤波器设计在数字滤波器的设计过程中，z传递函数可以帮助我们分析和设计滤波器的频率响应特性。
通过调整z传递函数的系数，我们可以实现不同的滤波器类型，如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
2. 系统控制z传递函数也被广泛应用于控制系统的设计与分析中。
通过建立系统的z传递函数模型，我们可以分析系统的稳定性、性能等指标，并进行控制器的设计与调整。
第6章_2_脉冲传递函数
13
闭环离散系统的特征方程为 说明
1 G1G2 H ( z) 0
线性离散系统的结构多种多样，并不是每个系统
都能写出闭环脉冲传递函数。
如果偏差信号不是以离散信号的形式输入到前向 通道的第一个环节，则一般写不出闭环脉冲传递 函数，而只能写出输出的z变换表达式。此时， 令输出z变换表达式的分母为零，就可以得到闭环 系统的特征方程。
18
5
r (t )
系统框图
T
T
G1 ( s ) G2 (s)
H (s)
T
G3 (s)
y(t )
-
RG1 ( z )G2 ( z )G3 ( z ) Y ( z ) 的表达式： Y ( z ) 1 G2 ( z )G1G3 H ( z )
19
6
r (t )
系统框图
T
G ( s)
H (s)
y(t )
G1 ( s )
T
G2 (s)
y(t )
H (s)
T
G1 ( z )G2 ( z ) R( z ) Y ( z ) 的表达式： Y ( z ) 1 G1 ( z )G2 ( z ) H ( z )
22
[例6-14] 试求下图所示线性离散系统的闭环脉冲
传递函数。
r (t )
e(t ) T
-
1 eTs s
Y ( z) 求脉冲传递函数 G ( z ) 。 R( z )
38
本次课内容总结
脉冲传递函数的概念 串联环节的脉冲传递函数 线性离散系统的脉冲传递函数 线性常系数差分方程 差分方程的求解 由差分方程求脉冲传递函数
39
T
y (t )
Y ( z)
求下列各系统的脉冲传递函数或输出的z变换
初始条件为y(0)=2，试求输出y(k)。
第三章习题
3.3 试求单位阶跃函数的z变换。 3.4 试求下列传递函数的z变换
1 G ( s ) ⑴ s 2 ( s 3)
5 ⑵ G (s) s ( s 2 2s 4)
10 ⑷ G (s) ( s 2) 2 ( s 1)
s2 ⑶ G( s) ( s 1)(s 3)
5
1. z变换的定义
在拉氏变换中引入新复变量
ze
从而有
Ts
F * ( s) |
1 s ln z T
F ( z ) f (kT )(eTs ) k f (kT ) z k
k 0 k 0
F(z)称为离散时间函数f*(z)的z变换。z变换实际是一个 无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限
Y ( z) G( z) R( z )
k y ( kT ) z k 0 k r ( kT ) z k 0
图3.3 开环离散系统 14
2. 脉冲传递函数的求法
脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数 G(z)就 是系统单位脉冲响应 g(t) 的采样值 g*(t) 的 z 变换。即用下 式表示
卷积定理 设 则 比例尺变化
f1 (kT ) f 2 (kT ) f1 (nT ) f 2 [(k n)T ]
k
F1 ( z ) F2 ( z ) Z { f1 (nT ) f 2 [(k n)T ]}
n 0
n 0 k
Z ( f (at ) F ( z a )
8
4
3.2 z变换
z变换的定义
z变换的性质和定理
用z变换法解线性常系数差分方程 例3.3
第三章习题
3.3 试求单位阶跃函数的z变换。 3.4 试求下列传递函数的z变换
1 G ( s ) ⑴ s 2 ( s 3)
5 ⑵ G (s) s ( s 2 2s 4)
10 ⑷ G (s) ( s 2) 2 ( s 1)
s2 ⑶ G( s) ( s 1)(s 3)
5
1. z变换的定义
在拉氏变换中引入新复变量
ze
从而有
Ts
F * ( s) |
1 s ln z T
F ( z ) f (kT )(eTs ) k f (kT ) z k
k 0 k 0
F(z)称为离散时间函数f*(z)的z变换。z变换实际是一个 无穷级数形式，它必须是收敛的。就是说，极限
Y ( z) G( z) R( z )
k y ( kT ) z k 0 k r ( kT ) z k 0
图3.3 开环离散系统 14
2. 脉冲传递函数的求法
脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数 G(z)就 是系统单位脉冲响应 g(t) 的采样值 g*(t) 的 z 变换。即用下 式表示
卷积定理 设 则 比例尺变化
f1 (kT ) f 2 (kT ) f1 (nT ) f 2 [(k n)T ]
k
F1 ( z ) F2 ( z ) Z { f1 (nT ) f 2 [(k n)T ]}
n 0
n 0 k
Z ( f (at ) F ( z a )
8
4
3.2 z变换
z变换的定义
z变换的性质和定理
用z变换法解线性常系数差分方程 例3.3
脉冲传递函数
脉冲传递函数脉冲传递函数（Impulse Response）是一种数学概念，用于描述线性时不变（LTI）系统对于脉冲输入信号的响应。
在实际应用中，LTI系统常用于滤波、均衡、信号传输等领域，而脉冲传递函数是分析和设计这些系统的重要工具之一。
脉冲传递函数通常用h(t)表示，是一个响应脉冲输入信号单位脉冲（或单位斜坡）的连续时间函数。
当LTI系统接收到一个脉冲信号（即只在一个时刻上有信号，其余时刻信号为0），其输出信号即为该系统的脉冲响应。
脉冲响应描述了系统对于不同频率的信号输入的滤波响应，因此是分析系统性能和设计滤波器等应用中的重要指标。
对于一个离散时间系统，类似于连续时间系统，脉冲传递函数可以表示为一个响应单位脉冲输入信号的离散时间函数。
脉冲传递函数可以用公式表达为：h(t)=L^{-1} \{H(s)\}H(s)是系统的传递函数，L^{-1}表示拉普拉斯反变换。
对于离散时间系统，同样可用Z变换及反变换表示脉冲传递函数，即：h(n)=\frac {1}{2π j} \oint_C H(z) z^{n-1} dzH(z)是系统的传递函数，C是一条限定了积分路径的封闭曲线，n为离散时间点。
脉冲传递函数的使用脉冲传递函数可以用于分析和设计LTI系统。
利用脉冲传递函数，可以计算系统对于任意输入信号的响应。
对于任意输入信号，可以将其表示为单位脉冲序列的线性组合。
假设输入信号为x(t)，其可以表示为x(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau\delta(t)为单位脉冲函数。
利用线性性质，可以将其转化为单位脉冲响应的组合形式：y(t)=\int_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) d\tauh(t)为系统的脉冲传递函数。
根据卷积公式，可以得到输出信号y(t)为y(t)=x(t)*h(t)*表示卷积运算。
通过计算脉冲传递函数，可以得到系统对于任意输入信号的响应。
z变换
1. z平面与s平面的映射关系
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2.采样控制系统的零、极点
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3. 采样控制系统稳定的充要条件
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七、采样控制系统的稳态误差
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六、系统的稳定性分析
• 采样控制系统的稳定性是系统分析的前提。 从z平面与s平面的映射入手，讨论z平面与 s平面稳定域的映射关系，进而讨论采样控 制系统的稳定条件及判定方法。
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• 最少拍无波纹系统设计需要满足稳态误差为零的条件、稳 定性条件和无波纹条件。 • 改进的最少拍系统设计可采用阻尼因子法和非最少拍有限 拍控制方法。 • 针对被控对象含有纯滞后环节的情况可采用达林算法。在 使用达林算法过程中，需要注意振铃现象。
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7.2 微机控制系统的设计步骤 一、系统总体方案设计 （一）确定控制任务 （二）硬件软件功能分配与协调 （三）接口设计 （四）通道设计
控制算法选择原则: （五）控制台设计 对于一般简单的生产过程常采用P、PI或 二、微型计算机选择 PID控制； （一）微型计算机系统构成方案选择 对于快速随动系统，可选用最少拍控制； 对具有纯滞后的控制对象，可选用纯滞后补 （二）微型计算机系统性能指标选择 偿或大林控制算法； 三、控制算法设计 对具有时变、非线性特性的控制对象以及难 以建立数学模型的控制对象，可选用模糊控 四、硬件设计 制； 五、软件设计 其他有特殊要求的还可以考虑随机控制、智 能控制等控制算法。 六、系统联调
Z变换
公比为：(eaTz)-1 公比为： 则： Z[e - at ] = 若| (eaTz)-1 | <1
1 1 − ( e - aT z )−1
z = z − e - aT
为一具体的数， a=1， e-aT为一具体的数，若：a=1，T=0.5s 则： z -t Z[e ] = z − 0.606
8
Z变换的查表法 部分分式法) 变换的查表法( 2. Z变换的查表法(部分分式法) 若已知连续函数x(t)的拉氏变换具有下面的形式: 若已知连续函数x(t)的拉氏变换具有下面的形式: x(t)的拉氏变换具有下面的形式
Z [ x ( nT )] =
n
∑
∞
x ( nT ) z − n =
n=0
∑
∞
a n z −n
n=0
z Z [a ] = z−a
|az-1|＜1
10
三、Z变换的性质 1、线性定理 设连续时间函数x (t)及 (t)的 设连续时间函数 1(t)及x2(t)的Z变换分别为 (z)和 (z)，并设a 为常数，则有： X1(z)和X2(z)，并设a1、a2为常数，则有：
Z [ a1 x1 ( t ) ± a2 x 2 ( t )] = a1 X 1 ( z ) ± a2 X 2 ( z )
2、迟后定理 设连续信号x(t)， 时为零，具有Z 设连续信号 (t)，当t＜0时为零，具有Z变换 (t) X(z),x(t)在时间上产生k个采样周期kT迟后时， (t)在时间上产生 kT迟后时 X(z), (t)在时间上产生k个采样周期kT迟后时，其 表达式为x(t-kT)，则有： x(t) 表达式为 (t-kT)，则有： (t x(t-kT) Z[x(tZ[ (t-kT)]=z-kX(z) (t
1 1 − ( e - aT z )−1
z = z − e - aT
为一具体的数， a=1， e-aT为一具体的数，若：a=1，T=0.5s 则： z -t Z[e ] = z − 0.606
8
Z变换的查表法 部分分式法) 变换的查表法( 2. Z变换的查表法(部分分式法) 若已知连续函数x(t)的拉氏变换具有下面的形式: 若已知连续函数x(t)的拉氏变换具有下面的形式: x(t)的拉氏变换具有下面的形式
Z [ x ( nT )] =
n
∑
∞
x ( nT ) z − n =
n=0
∑
∞
a n z −n
n=0
z Z [a ] = z−a
|az-1|＜1
10
三、Z变换的性质 1、线性定理 设连续时间函数x (t)及 (t)的 设连续时间函数 1(t)及x2(t)的Z变换分别为 (z)和 (z)，并设a 为常数，则有： X1(z)和X2(z)，并设a1、a2为常数，则有：
Z [ a1 x1 ( t ) ± a2 x 2 ( t )] = a1 X 1 ( z ) ± a2 X 2 ( z )
2、迟后定理 设连续信号x(t)， 时为零，具有Z 设连续信号 (t)，当t＜0时为零，具有Z变换 (t) X(z),x(t)在时间上产生k个采样周期kT迟后时， (t)在时间上产生 kT迟后时 X(z), (t)在时间上产生k个采样周期kT迟后时，其 表达式为x(t-kT)，则有： x(t) 表达式为 (t-kT)，则有： (t x(t-kT) Z[x(tZ[ (t-kT)]=z-kX(z) (t
Z变换及Z传递函数
由上式可知，两个串联环节之间有
同步采样开关隔开的Z传递函数，等于每
个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 ( z) G1 ( z) G2 ( z)
在进行计算时，应引起注意。
结论：
n个环节串联构成的系统，若各串联环节 之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各 个串联环节Z传递函数之积，即
f (kT ) Z1 F ( z)
Z反变换主要有三种方法，即长除法、 部分分式法和留数计算法。
1．长除法
b0 z m b1 z m1 bm F ( z) a0 z n a1 z n1 an 用长除法展开得：
设
F ( z) c0 c1 z 1 ck z k
制性能越好。
3．对象的纯滞后时间对控制性能的影响
设扰动通道的纯滞后时间 n 、控制通道的纯 滞后时间 。 设扰动通道纯滞后时间 n 对控制性能无影 响，只是使输出量yn (t)沿时间轴平移了 n ，如 图所示。
yn(t) yn(t),τn＝0
yn(t),τn≠0 τn
t
n
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F * ( s)
k 0
f (kT )e kTs
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)
的拉氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是
超越函数不便于计算，故引一个新变量
z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
F ( z ) f (kT ) z k
例2.2 已知 求F(Z) 解：将F(s)写成部分分式之和的形式
a 1 1 F ( s) s( s a) s sa
自动控制原理--脉冲传递函数及采样系统的分析
系统输出
Y
(z)
G1G2
(
z)E(z)
1
G1G2 (z) G1G2H (z)
R(z)
闭环系统的误差脉冲传递函数
E(z)
1
Ge (z) R(z) 1 G1G2H (z)
闭环系统脉冲传递函数为
GB (z)
Y (z) R(z)
G1G2 (z) 1 G1G2H (z)
当系统有扰动作用时 ,可得闭环系统的误差与扰动间 的脉冲传递函数为
2
r t
et T
e* t
1 eTs s
100.5s 1
yt
s2
解：系统的开环脉冲传递函数为
G(z)
(1
z 1 ) Z
10(0.5s s3
1)
z
1 5T 2z(z 1)
z
(z 1)3
5Tz (z 1)2
解：系统的开环脉冲传递函数为
G(z)
(1
z 1 ) Z
10(0.5s s3
1)
x
x
x
xx
x
暂态响应与极点位置关系
• 1)当闭环脉冲传递函数的极点位于z平面上以 原点为圆心的单位圆内时,其对应的暂态分量是 衰减的。
• 2)要使控制系统具有比较满意的暂态响应,其闭 环极点应尽量避免分布在Z平面单位圆内的左 半部,最好分布在单位圆内的右半部。
• 3)极点尽量靠近坐标原点,相应的暂态分量衰减 速度较快。
二、串联环节的脉冲传函
1、两个环节有采样开关时
rt
r*t G1s y1t
y1*t G2s
y*t yt
根据脉冲传递函数的定义：
G(z)
Y (z) R(z)
计算机控制系统 数学描述及脉冲传递函数
i 0
bi x (k i ) a i y(k i )
i 1
m
n
3. 由微分导出差分dy( t ) y (t ) y( kT ) y( kT T ) y (t ) (1)一阶差分： t dt T
例：一阶微分方程： T0 y ( t ) y( t ) ax( t ) 对应的一阶差分方程：
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b0 x(k ) b1 x(k 1) bm x(k m)
y (k )
2. 离散系统差分方程形式
注意：n 阶； n-m=d,输出相对于输入有d拍延迟。 后向差分与前向差分。 物理意义：采样系统某时刻的输出值， 由当前与过去时刻的输入值及过去时刻的 输出值共同决定。
C ( z) G( z) R( z )
1 ai z i
i 0
n
C ( z ) ai z C ( z ) b j z j R( z )
i i 1 j 0
n
m
Z反变换
c(k ) ai c(k i) b j r (k j )
i 1 j 0
2. 迭代法 已知x(kT)和初值y(0)，令k=1,2,3…,逐步求出 各采样时刻的输出序列y(T), y(2T)，… . 例：教材例4.2
y (k ) y (k 1) x (k ) x (k 1) 1 x( k ) 0 k 为偶数 k 为奇数
y(-1)=x(-1)=0
复习：1.Z变换的定义
2.滞后定理： 3. 超前定理
Y ( z ) Z[ y ( t )]
k y ( kT ) z k 0
第25讲 Z变换及脉冲传递函数
k 0
i 1
取i=1, 得
Z[f(t T)] f(kT T)z k z f[(k 1 )T]z(k 1 )
k 0 n 0
令m=k+1, 上式可写为
Z[f(t T)] z f(mT)z m z[ f(mT)z m f( 0 )] z[F(z) f( 0 )]
f(mT)z m
由于z变换的单边性，当m<0时，有f(mT)=0, 所以
Z[f(t iT)] z i f(mT)z m
m0
令m=k, 立即得证式。
Z[ f (t iT )] z F ( z )
4
i
(3) 超前定理 Z[ f (t iT )] z i F ( z ) z i f (kT )z k
(1) 串联各环节之间有采样开关的情况
X c ( z) W2 ( z) X c1 ( z) W2 ( z )W 1( z ) X r ( z )
X c ( z) W ( z) W1 ( z )W2 ( z ) X r ( z)
两个串联环节间有采样开关时，其脉冲传递函数等 于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。
因为Z变换表中
常将
F ( z)
的分子常有因子
z
，所以通
F ( z)
展成
F ( z) zF1 ( z)
的形式，即
A1 Ai A2 F ( z ) zF1 ( z ) z z zi z z1 z z2
其中
Ai [F1 ( z)( z zi )]z zi
k 0
k 0
[ f ( kT T ) f (kT )]z k
i 1
取i=1, 得
Z[f(t T)] f(kT T)z k z f[(k 1 )T]z(k 1 )
k 0 n 0
令m=k+1, 上式可写为
Z[f(t T)] z f(mT)z m z[ f(mT)z m f( 0 )] z[F(z) f( 0 )]
f(mT)z m
由于z变换的单边性，当m<0时，有f(mT)=0, 所以
Z[f(t iT)] z i f(mT)z m
m0
令m=k, 立即得证式。
Z[ f (t iT )] z F ( z )
4
i
(3) 超前定理 Z[ f (t iT )] z i F ( z ) z i f (kT )z k
(1) 串联各环节之间有采样开关的情况
X c ( z) W2 ( z) X c1 ( z) W2 ( z )W 1( z ) X r ( z )
X c ( z) W ( z) W1 ( z )W2 ( z ) X r ( z)
两个串联环节间有采样开关时，其脉冲传递函数等 于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。
因为Z变换表中
常将
F ( z)
的分子常有因子
z
，所以通
F ( z)
展成
F ( z) zF1 ( z)
的形式，即
A1 Ai A2 F ( z ) zF1 ( z ) z z zi z z1 z z2
其中
Ai [F1 ( z)( z zi )]z zi
k 0
k 0
[ f ( kT T ) f (kT )]z k
脉冲传递函数的求法
脉冲传递函数的求法设某连续系统的传递函数为G(s)。
当其输入信号为单位脉冲函数δ(t)时，其输出为单位脉冲响应g(t)。
当输入信号为一脉冲序列r(0),r(T),…，r(nT)时,根据叠加定理，相应的输出为(1)(2)式(2)说明某时刻(kT)的总的输出响应是由许多脉冲响应分量所组成。
对于ik时的r(iT)，它引起的输出响应分量在kT 时刻的值等于零。
即当ik时，g(t-iT)=g[(k-i)T]=0。
这就是说，kT时刻以后的输入脉冲，如r［(k+1)T］,r［(k+2)T］,…，不会对kT时刻的输出信号发生影响。
所以式中的求和上限n可以扩展成∞，而不影响kT时刻的输出值。
于是可得(3)其z变换为(4)式中m=k-i，且(5)因此，脉冲传递函数的含义是：系统脉冲传递函数G(z)就是系统单位脉冲响应g(t)的采样值g*(t)的z变换。
即用下式表示(6)因此当系统的传递函数G(s)已知时，可按下列步骤求取脉冲传递函数G(z)。
(1)用逆拉氏变换求脉冲过渡函数g(t)=L-1［G(s)］。
(2)将g(t)按采样周期离散化得g(kT)。
(3)根据式(6)求得脉冲传递函数G(z)。
值得一提的是：G(z)不能由G(s)简单地令s=z代换得到。
G(s)是g(t)的拉氏变换，G(z)是g(kT)的z变换。
G(s)只与连续环节本身有关，G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。
G(z)应理解为G(z)=Z［L-1G(s)］习惯上，常把上式表示为G(z)=Z［G(s)］并称之为G(s)的z变换。
25序列的Z变换
z k ) N X(z)z n1 ] |zzk
(2.5.8)
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
Re s[X(z)z
n 1
2.5 序列的Z变换
, zk ]
d N1 1 [(z ( N1)! dzN1
z k ) N X(z)z n1 ] |zzk
(2.5.8)
式(2.5.8)表明：对于N阶极点，需要求N-1次导数，是比较麻烦 的。若c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定 理改求c外的所有极点留数之和，使问题简化。 设被积函数用F(z)表示，即
第二章 时域离散信号和系统的频域分析 2.5 序列的Z变换
2.5 序列的Z变换
在模拟系统中，用Fourier变换进行频域分析，用Laplace变换 作为Fourier变换的推广，对信号进行复频域分析。而在时域离散 信号和系统中，用序列的Fourier变换进行频域分析，Z变换则是 其推广，用以对序列进行复频域分析。
其Z变换为
2.5 序列的Z变换
X(z)
n n1
n x ( n ) z
n2
设序列x(n)有界,由于是有限项和,则除了0和≦两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。收敛域表示如下： n1<0, n2≤0 n1<0, n2>0 n1≥0, n2>0 ：0 ≤|Z|<≦ ：0 <|Z|< ≦ ：0 <|Z|≤≦ 即：n1<0时, 则收敛域不包含∞ 即：n2>0时, 则收敛域不包含z=0 对因果序列, 则收敛域包含z= ∞
x(n) 2 u(n) (3) u(n 1)
n
n
第二章 时域离散信号和系统的频域分析
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在初始条件为零的采样和数字系统中，环节或系
统输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之
比，称为该环节或系统的脉冲传递函数。记
X c ( z ) 输出脉冲序列xc (k )的Z 变换 W ( z) X r ( z ) 输入脉冲序列xr (k )的Z 变换
25
W ( z)
xr (t )
xr (t )
F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0
对上式两边取 则有：
z
z
的极限
t 0
lim F ( z ) f (0) lim f (t )
8
(6) 终值定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
m2 m 0
z 2 [F(z) f (kT)z k ]
k 0
1
取i=i时，必有
Z[ f (t iT )] z F ( z ) z
i
i
f (kT )z
k 0
i 1
k
5
(4) 复位移定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
则：
Z (e
Z (e
at
对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出xc(k)不但
与k时刻的输入xr(k)有关，而且还与k时刻以前的输入
xr(k-1)，xr(k-2)，…有关，同时还与k时刻以前的输出 xc(k-1)，xc(k-2)，…有关，这种关系可用n阶向后差分 方程来描述：
xc (k ) a1 xc ( k 1) a2 xc (k 2) b0 xr ( k ) b1 xr (k 1) b2 xr (k 2)
lim f ( t ) lim f ( kT） lim(1 z 1 )F ( z ) lim( z 1)F ( z )
t k z 1 z 1
k 证明： Z[ f (t )] F ( z ) f ( kT ) z k 0
Z[ f ( t T )] f (kT T ) z
f (t )) F ( ze
akT
aT
)
k
证明：
at
f (t )) e
k 0
f ( kT )z
f ( kT )(ze
k 0
aT
)
k
F ( ze
aT
)
6
例 试用复数位移定理计算函数 解：
te
aT
的z变换。
令f (t ) t
则 Tz Z[ f ( t )] 2 ( z 1)
70z 60z
3 4
3
4
70z 3 210z 4 140z 5
对应原函数为
150z 140z
4
5
f kT 10 t T 30 t 2T 70 (t 3T )
15
(2) 部分分式法
把
F ( z ) 分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列。
*
W(s)
xc (t )
x (t ) c
X c ( s) X r ( s) W ( s)
离散化 Z变换
X c (s) X r (s) W (s)
X c ( z ) X r ( z ) W ( z)
X c ( z) W ( z) X r ( z)
26
2.开环系统脉冲传递函数
f (kT )
F ( z)
按降幂展成幂级数，然后求
，即
b0 z m b1 z m1 bm F ( z) , nm n n 1 a0 z a1 z an
将
F ( z)
展成
0 1 2
F ( z) c0 z c1z c2 z
对应原函数为
f kT c0 t c1 t T c2 t 2T
11
(7) 卷积和定理
设： c 则：
*
(t ) e (t ) * g (t ) e(kT ) g[(n k )T ]
* * k 0
Байду номын сангаас
C ( z ) E ( z ) G( z )
设有两个函数 f1 (t )和f 2 (t ), 积分
f (t )
f ( ) f (t )d
z zi
k 1
]
重极点的情况：设 F ( z ) 有n阶重极点
zi ，则
res[ F ( z) z k 1 ]z z i
d n1[( z zi )n F ( z) z k 1 ] 1 (n 1)! lim dz n1 z zi
19
用留数法求 例3：
z2 F (z) ( z 1)(z 0.5)
令m=k, 立即得证式。
Z[ f (t iT )] z F ( z )
4
i
(3) 超前定理 Z[ f (t iT )] z i F ( z ) z i f (kT )z k
k 0
i 1
取i=1, 得
Z[f(t T)] f(kT T)z k z f[(k 1 )T]z(k 1 )
z 0.5,
所以
f (kT) 2 (0.5k ) 2 0.5 k
20
作业：试求下列函数E（z）的脉冲序列e*（t）
（1）
z E z 2 z 1 3z 1
（2）E
z
z 1z 0.5
z
2
21
8.4
线性常系数差分方程
1.差分方程的定义
k 0
k
zF ( z ) zf (0)
两式相减
9
zF ( z ) zf (0) F ( z ) f ( kT T )z k f ( kT ) z k
k 0
k 0
[ f ( kT T ) f (kT )]z k
k 0
因为Z变换表中
常将
F ( z)
的分子常有因子
z
，所以通
F ( z)
展成
F ( z) zF1 ( z)
的形式，即
A1 Ai A2 F ( z ) zF1 ( z ) z z zi z z1 z z2
其中
Ai [F1 ( z)( z zi )]z zi
22
2.差分方程的解法
（1） 迭代法
若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以 利用递推关系，逐步地算出输出序列。
（2）Z变换法 首先要对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的 位移定理，得到以z为变量的代数方程，然后对代 数方程的解 X c ( z ) 取Z反变换，求得输出序列
xc (kT )
27
(2) 串联各环节之间无采样开关的情况
Xc (s) X r (s) [W1 (s) W2 (s)]
(1) 串联各环节之间有采样开关的情况
X c ( z) W2 ( z) X c1 ( z) W2 ( z )W 1( z ) X r ( z )
X c ( z) W ( z) W1 ( z )W2 ( z ) X r ( z)
两个串联环节间有采样开关时，其脉冲传递函数等 于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。
[ f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) ...]z k [ f () f (0)]z k
两边取
z 1
的极限
1
f () lim ( z 1)F ( z ) lim (1 z )F ( z )
z 1 z 1
10
例1：求
16
例2：
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
求Z反变换 f (kT )
解：
10z 10z F (z) z 1 z 2
1 k
f (kT) Z [F ( z )] 10(1 2 ), k 0,1,2,3,
17
(3) 反演积分法（留数法）
在反演积分法中，离散序列
*
* 2 2
a1F1 ( z) a2 F2 ( z)
2
（2）延迟定理 连续函数f(t)当t<0时为零，且具有Z变 换为F(z)，则对于延迟i个采样周期的函 数f(t-iT)，其Z变换为
Z[ f (t iT )] z F ( z)
i
3
证明：由z变换定义
Z f(t iT) f(kT iT)z n
根据复数位移定理
Z（te
aT
Tze ) F ( ze ) aT 2 ( ze 1)
aT
7
at
（5）初值定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
则函数的初值 证明：
lim F ( z ) 若极限存在
z
f (0) lim f (t ) lim F ( z )
t 0 z
z 对应的f(t)初值和终值 F (z) z e aT
z f (0) lim f (t ) lim F ( z ) lim 1 aT t 0 z z z e z f () lim f (t ) lim( z 1) 0 aT t z 1 z e
k 0 n 0
令m=k+1, 上式可写为
Z[f(t T)] z f(mT)z m z[ f(mT)z m f( 0 )] z[F(z) f( 0 )]
统输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之
比，称为该环节或系统的脉冲传递函数。记
X c ( z ) 输出脉冲序列xc (k )的Z 变换 W ( z) X r ( z ) 输入脉冲序列xr (k )的Z 变换
25
W ( z)
xr (t )
xr (t )
F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0
对上式两边取 则有：
z
z
的极限
t 0
lim F ( z ) f (0) lim f (t )
8
(6) 终值定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
m2 m 0
z 2 [F(z) f (kT)z k ]
k 0
1
取i=i时，必有
Z[ f (t iT )] z F ( z ) z
i
i
f (kT )z
k 0
i 1
k
5
(4) 复位移定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
则：
Z (e
Z (e
at
对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出xc(k)不但
与k时刻的输入xr(k)有关，而且还与k时刻以前的输入
xr(k-1)，xr(k-2)，…有关，同时还与k时刻以前的输出 xc(k-1)，xc(k-2)，…有关，这种关系可用n阶向后差分 方程来描述：
xc (k ) a1 xc ( k 1) a2 xc (k 2) b0 xr ( k ) b1 xr (k 1) b2 xr (k 2)
lim f ( t ) lim f ( kT） lim(1 z 1 )F ( z ) lim( z 1)F ( z )
t k z 1 z 1
k 证明： Z[ f (t )] F ( z ) f ( kT ) z k 0
Z[ f ( t T )] f (kT T ) z
f (t )) F ( ze
akT
aT
)
k
证明：
at
f (t )) e
k 0
f ( kT )z
f ( kT )(ze
k 0
aT
)
k
F ( ze
aT
)
6
例 试用复数位移定理计算函数 解：
te
aT
的z变换。
令f (t ) t
则 Tz Z[ f ( t )] 2 ( z 1)
70z 60z
3 4
3
4
70z 3 210z 4 140z 5
对应原函数为
150z 140z
4
5
f kT 10 t T 30 t 2T 70 (t 3T )
15
(2) 部分分式法
把
F ( z ) 分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列。
*
W(s)
xc (t )
x (t ) c
X c ( s) X r ( s) W ( s)
离散化 Z变换
X c (s) X r (s) W (s)
X c ( z ) X r ( z ) W ( z)
X c ( z) W ( z) X r ( z)
26
2.开环系统脉冲传递函数
f (kT )
F ( z)
按降幂展成幂级数，然后求
，即
b0 z m b1 z m1 bm F ( z) , nm n n 1 a0 z a1 z an
将
F ( z)
展成
0 1 2
F ( z) c0 z c1z c2 z
对应原函数为
f kT c0 t c1 t T c2 t 2T
11
(7) 卷积和定理
设： c 则：
*
(t ) e (t ) * g (t ) e(kT ) g[(n k )T ]
* * k 0
Байду номын сангаас
C ( z ) E ( z ) G( z )
设有两个函数 f1 (t )和f 2 (t ), 积分
f (t )
f ( ) f (t )d
z zi
k 1
]
重极点的情况：设 F ( z ) 有n阶重极点
zi ，则
res[ F ( z) z k 1 ]z z i
d n1[( z zi )n F ( z) z k 1 ] 1 (n 1)! lim dz n1 z zi
19
用留数法求 例3：
z2 F (z) ( z 1)(z 0.5)
令m=k, 立即得证式。
Z[ f (t iT )] z F ( z )
4
i
(3) 超前定理 Z[ f (t iT )] z i F ( z ) z i f (kT )z k
k 0
i 1
取i=1, 得
Z[f(t T)] f(kT T)z k z f[(k 1 )T]z(k 1 )
z 0.5,
所以
f (kT) 2 (0.5k ) 2 0.5 k
20
作业：试求下列函数E（z）的脉冲序列e*（t）
（1）
z E z 2 z 1 3z 1
（2）E
z
z 1z 0.5
z
2
21
8.4
线性常系数差分方程
1.差分方程的定义
k 0
k
zF ( z ) zf (0)
两式相减
9
zF ( z ) zf (0) F ( z ) f ( kT T )z k f ( kT ) z k
k 0
k 0
[ f ( kT T ) f (kT )]z k
k 0
因为Z变换表中
常将
F ( z)
的分子常有因子
z
，所以通
F ( z)
展成
F ( z) zF1 ( z)
的形式，即
A1 Ai A2 F ( z ) zF1 ( z ) z z zi z z1 z z2
其中
Ai [F1 ( z)( z zi )]z zi
22
2.差分方程的解法
（1） 迭代法
若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以 利用递推关系，逐步地算出输出序列。
（2）Z变换法 首先要对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的 位移定理，得到以z为变量的代数方程，然后对代 数方程的解 X c ( z ) 取Z反变换，求得输出序列
xc (kT )
27
(2) 串联各环节之间无采样开关的情况
Xc (s) X r (s) [W1 (s) W2 (s)]
(1) 串联各环节之间有采样开关的情况
X c ( z) W2 ( z) X c1 ( z) W2 ( z )W 1( z ) X r ( z )
X c ( z) W ( z) W1 ( z )W2 ( z ) X r ( z)
两个串联环节间有采样开关时，其脉冲传递函数等 于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。
[ f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) ...]z k [ f () f (0)]z k
两边取
z 1
的极限
1
f () lim ( z 1)F ( z ) lim (1 z )F ( z )
z 1 z 1
10
例1：求
16
例2：
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
求Z反变换 f (kT )
解：
10z 10z F (z) z 1 z 2
1 k
f (kT) Z [F ( z )] 10(1 2 ), k 0,1,2,3,
17
(3) 反演积分法（留数法）
在反演积分法中，离散序列
*
* 2 2
a1F1 ( z) a2 F2 ( z)
2
（2）延迟定理 连续函数f(t)当t<0时为零，且具有Z变 换为F(z)，则对于延迟i个采样周期的函 数f(t-iT)，其Z变换为
Z[ f (t iT )] z F ( z)
i
3
证明：由z变换定义
Z f(t iT) f(kT iT)z n
根据复数位移定理
Z（te
aT
Tze ) F ( ze ) aT 2 ( ze 1)
aT
7
at
（5）初值定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
则函数的初值 证明：
lim F ( z ) 若极限存在
z
f (0) lim f (t ) lim F ( z )
t 0 z
z 对应的f(t)初值和终值 F (z) z e aT
z f (0) lim f (t ) lim F ( z ) lim 1 aT t 0 z z z e z f () lim f (t ) lim( z 1) 0 aT t z 1 z e
k 0 n 0
令m=k+1, 上式可写为
Z[f(t T)] z f(mT)z m z[ f(mT)z m f( 0 )] z[F(z) f( 0 )]