第25讲 Z变换及脉冲传递函数

11
(7) 卷积和定理
设： c 则：
*
(t ) e (t ) * g (t ) e(kT ) g[(n k )T ]
* * k 0

C ( z ) E ( z ) G( z )

设有两个函数 f1 (t )和f 2 (t ), 积分
f (t )

f ( ) f (t )d

*
W(s)
xc (t )
x (t ) c
X c ( s) X r ( s) W ( s)
离散化 Z变换
X c (s) X r (s) W (s)
X c ( z ) X r ( z ) W ( z)



X c ( z) W ( z) X r ( z)
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2.开环系统脉冲传递函数
f (kT )
F ( z)
按降幂展成幂级数，然后求
，即
b0 z m b1 z m1 bm F ( z) , nm n n 1 a0 z a1 z an
将
F ( z)
展成
0 1 2
F ( z) c0 z c1z c2 z
对应原函数为
f kT c0 t c1 t T c2 t 2T
(1) 串联各环节之间有采样开关的情况
X c ( z) W2 ( z) X c1 ( z) W2 ( z )W 1( z ) X r ( z )
X c ( z) W ( z) W1 ( z )W2 ( z ) X r ( z)
两个串联环节间有采样开关时，其脉冲传递函数等 于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。
对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出xc(k)不但
与k时刻的输入xr(k)有关，而且还与k时刻以前的输入
xr(k-1)，xr(k-2)，…有关，同时还与k时刻以前的输出 xc(k-1)，xc(k-2)，…有关，这种关系可用n阶向后差分 方程来描述：
xc (k ) a1 xc ( k 1) a2 xc (k 2) b0 xr ( k ) b1 xr (k 1) b2 xr (k 2)
z 对应的f(t)初值和终值 F (z) z e aT
z f (0) lim f (t ) lim F ( z ) lim 1 aT t 0 z z z e z f () lim f (t ) lim( z 1) 0 aT t z 1 z e
lim f ( t ) lim f ( kT） lim(1 z 1 )F ( z ) lim( z 1)F ( z )
t k z 1 z 1

k 证明： Z[ f (t )] F ( z ) f ( kT ) z k 0

Z[ f ( t T )] f (kT T ) z
f (t )) F ( ze
akT

aT
)
k
证明：
at
f (t )) e
k 0

f ( kT )z
f ( kT )(ze
k 0
aT
)
k
F ( ze
aT
)
6
例 试用复数位移定理计算函数 解：
te
aT
的z变换。
令f (t ) t
则 Tz Z[ f ( t )] 2 ( z 1)
根据复数位移定理
Z（te
aT
Tze ) F ( ze ) aT 2 ( ze 1)
aT
7
at
（5）初值定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
则函数的初值 证明：
lim F ( z ) 若极限存在
z
f (0) lim f (t ) lim F ( z )
t 0 z
1 2
称为f1 (t )和f 2 (t )的卷积分，记为
f (t ) f1 (t ) * f 2 (t )
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4.Z反变换
定义：由Z域函数求时间域函数的过程,仅能 求出采样函数脉冲序列的表达式,即
Z [ F ( z)] f (t ) f (t )
*
1
13
(1) 幂级数展开法
用长除法把 得
f (kT )
等于 F ( z ) z k 1
各个极点上留数之和，即
n
f (kT ) res F ( z ) z
i 1
k 1
z zi
zi
表示
F ( z ) 的第
i
个极点。
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单极点的情况：
res[ F ( z) z
k 1
]zzi lim[( z zi ) F ( z) z
*
* 2 2
a1F1 ( z) a2 F2 ( z)
2
（2）延迟定理 连续函数f(t)当t<0时为零，且具有Z变 换为F(z)，则对于延迟i个采样周期的函 数f(t-iT)，其Z变换为
Z[ f (t iT )] z F ( z)
i
3
证明：由z变换定义
Z f(t iT) f(kT iT)z n

F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0

对上式两边取 则有：
z
z
的极限
t 0
lim F ( z ) f (0) lim f (t )
8
(6) 终值定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
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2.差分方程的解法
（1） 迭代法
若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以 利用递推关系，逐步地算出输出序列。
（2）Z变换法 首先要对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的 位移定理，得到以z为变量的代数方程，然后对代 数方程的解 X c ( z ) 取Z反变换，求得输出序列
xc (kT )
本次课学习要求：
掌握Z变换性质、Z反变换。 掌握线性差分方程及其求解。
掌握脉冲传递函数。
1
3. Z变换的性质(定理）
(1) 线性性质:满足齐次性和叠加性。
若：F1 ( z) Z[ f (t )], F2 ( z) Z[ f (t )]
* 1
* 2
则
Z[a1 f1 (t ) a f (t )]
因为Z变换表中
常将
F ( z)
的分子常有因子
z
，所以通
F ( z)
展成
F ( z) zF1 ( z)
的形式，即
A1 Ai A2 F ( z ) zF1 ( z ) z z zi z z1 z z2
其中
Ai [F1 ( z)( z zi )]z zi
k 0 n 0


令m=k+1, 上式可写为
Z[f(t T)] z f(mT)z m z[ f(mT)z m f( 0 )] z[F(z) f( 0 )]
m 1 m 0
取i=2, 同理，得
Z[f(t 2T)] z 2 f(mT)z m z 2 [ f(mT)z m f( 0 ) z 1 f(T)]
z zi
k 1
]
重极点的情况：设 F ( z ) 有n阶重极点
zi ，则
res[ F ( z) z k 1 ]z z i
d n1[( z zi )n F ( z) z k 1 ] 1 (n 1)! lim dz n1 z zi
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用留数法求 例3：
z2 F (z) ( z 1)(z 0.5)
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(2) 串联各环节之间无采样开关的情况
Xc (s) X r (s) [W1 (s) W2 (s)]

令m=k, 立即得证式。
Z[ f (t iT )] z F ( z )
4
i
(3) 超前定理 Z[ f (t iT )] z i F ( z ) z i f (kT )z k
k 0
i 1
取i=1, 得
Z[f(t T)] f(kT T)z k z f[(k 1 )T]z(k 1 )
z 0.5,
所以
f (kT) 2 (0.5k ) 2 0.5 k
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作业：试求下列函数E（z）的脉冲序列e*（t）
（1）
z E z 2 z 1 3z 1


（2）E
z
z 1z ห้องสมุดไป่ตู้.5
z
2
21
8.4
线性常系数差分方程
1.差分方程的定义
23
例 1
求解
xc (k 2) 3xc (k 1) 2xc (k ) 0
初始条件：xc(0)=0, xc(1)=1
Z [ f (t iT )] z i F ( z ) z i f (kT ) z k
k 0
i 1
24
8.5
脉冲传递函数
1. 脉冲传递函数的定义
[ f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) ...]z k [ f () f (0)]z k
两边取
z 1
的极限
1
f () lim ( z 1)F ( z ) lim (1 z )F ( z )
z 1 z 1
10
例1：求
k 0

k
zF ( z ) zf (0)
两式相减
9
zF ( z ) zf (0) F ( z ) f ( kT T )z k f ( kT ) z k
k 0



k 0
[ f ( kT T ) f (kT )]z k
k 0
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例2：
10z F ( z) ( z 1)(z 2)
求Z反变换 f (kT )
解：
10z 10z F (z) z 1 z 2
1 k
f (kT) Z [F ( z )] 10(1 2 ), k 0,1,2,3,
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(3) 反演积分法（留数法）
在反演积分法中，离散序列
k 0

z -i f [(k i)T]z ( k i )
令m=k-i, 则有
k 0

Z[f(t iT)] z i
m i


f(mT)z m
由于z变换的单边性，当m<0时，有f(mT)=0, 所以
Z[f(t iT)] z i f(mT)z m
m0
在初始条件为零的采样和数字系统中，环节或系
统输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之
比，称为该环节或系统的脉冲传递函数。记
X c ( z ) 输出脉冲序列xc (k )的Z 变换 W ( z) X r ( z ) 输入脉冲序列xr (k )的Z 变换
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W ( z)
xr (t )
xr (t )
m2 m 0
z 2 [F(z) f (kT)z k ]
k 0
1
取i=i时，必有
Z[ f (t iT )] z F ( z ) z
i
i
f (kT )z
k 0
i 1
k
5
(4) 复位移定理
令 Z[ f (t )] F ( z)
则：

Z (e
Z (e
at
的反变换。
F ( z ) 有两个极点：z=1和z=0.5,分别求出其留数 解：
z 1,
z 2 z k 1 res[ ( z 1)]z 1 2 ( z 1)(z 0.5) z 2 z k 1 res[ ( z 0.5)]z 0.5 0.5 k ( z 1)(z 0.5)
70z 60z
3 4
3
4
70z 3 210z 4 140z 5
对应原函数为
150z 140z
4
5
f kT 10 t T 30 t 2T 70 (t 3T )
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(2) 部分分式法
把
F ( z ) 分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列。
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10z 例1：F ( z ) ( z 1)(z 2)
13 z 1 2 z 2
求Z反变换
解：
10z 30z 2 20z 3
1 10z 1
10z 1 30z 2 70z 3 150z 5
30z 2 20z 3 30z
2
90z 60z