灰色模型算法文档

灰色预测算法及相关程序

1 引言 (3)

2算法的基本原理 (3)

2.1 GM（1，1）模型： (3)

2.2生成数 (4)

2.2.1累加生成 (4)

2.2.2累减生成 (5)

3算法的具体实现流程 (6)

3.1 算法流程图 (6)

3.2 实现步骤 (8)

3.3 数据准备与预处理 (10)

4 算法程序实现 (10)

4.1 程序使用说明 (10)

4.2 程序源代码 (11)

4.3 程序运行 (16)

4.3.1程序运行及运行环境说明 (16)

4.3.2 输入数据 (16)

4.3.3 输出数据 (16)

5 参考文献 (16)

灰色预测算法

1 引言

灰色预测（grey prediction）是利用灰色系统理论就灰色系统所作的预测．灰色系统理论认为，尽管系统表象复杂，数据散乱，信息不充分，但作为系统，它必然有整体功能和内在规律，必然是有序的．现有的分析方法大多依据过去的大量数据，按照统计方法分析其规律，这样不仅受数据量的限制，而且准确程度不高．而灰色系统理论把随机量看作是在一定范围内变化的灰色量，对灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分布，而是对原始数据加以处理，将杂乱无章的原始数据变为规律性较强的生成数据，通过对生成数据建立动态模型，来挖掘系统内部信息并充分利用信息进行分析预测．

目前，灰色系统理论用于预测主要通过GM（m，n）模型，该模型是灰色系统理论的量化体现，可用于以下几个方面的预测：

（1）数列预测：对某个事物发展变化的大小与时间进行预测．

（2）灾变预测：预测灾变发生的时间或者说是异常值出现时区的分布．如人体的血压过高或过低的时间预测．

（3）季节性灾变预测：对发生在每年特定时区的事件和命题作预测．

（4）拓扑预测：即事物整体的预测，亦称波形预测．其特点是对于预先给定的多组数值建立GM（1，1）模型群，根据预测结果构造出整个波形．（5）系统预测：对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测．

2算法的基本原理

2.1 GM（1，1）模型：

灰色模型GM（1，1） GM（1，1）的含义为1阶，1个变量的灰色模型，它是在数据生成的基础上建立如下灰微分方程：

)0(

(

)

+)

()1(

k

b

az

k

x=

式中)()0(k x 为原始序列，)0()1(AGOx x =，)1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k x k x k z ．a 称

为发展系数，它反映)1(x 和)0(x 的发展态势；b 称为灰作用量，它的大小反映数据

变化的关系．对序列})(,),3(),2({)1()1()1()1(n z z z z =，因为)()1(k z 为

)()1(k x 与)1()1(-k x 的平均值，故记)1(z 为MEAN )1(x ，即

=)1(z MEAN )1(x

b k az k x =+)()()1()0(的白化型为：

b ax dt dx =+)1()

1(

初始值用

)1()1()0()1(x x =，则其解为： a b e a b x t x t a +⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=--)1()0()1()1()( 该式用于预测时称为时间响应函数，表示为

a b e a b x k x k a +⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=+-)1()1(ˆ)0()1( 累减还原：

)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(k x k x k x

-+=+ 其中（a,b ）可通过最小二乘求解。

2.2生成数

灰色模型是将随机数经生成后变为有序的生成数据，然后建立微分方程，寻找生成数据的规律，再将运算结果还原的一种方法，其基础是数据的生成．常用的生成方式有累加生成和累减生成．

2.2.1累加生成

累加生成是将原始数据通过累加以生成新的数列．记原始数列为)0(x :

)}(,),2(),1({},,2,1|)({)0()0()0()0()0(n x x x n k k x x ===

记)0(x 的生成数列AGO )0(x 为)1(x ：

)}(,),2(),1({},,2,1|)({)1()1()1()1()1(n x x x n k k x x ===

其中

n k k x k x k x x x ,,3,2),()1()(),1()1()0()1()1()0()1( =+-==． 称)1(x 为)0(x

的一次累加生成，记为1—AGO ． 定义)0(x 的2—AGO 为)2(x

：)2(x =AGO )1(x ． 一般定义)0(x 的r 次AGO 为)(r x ：)(r x =AGO )1(-r x ．

原始数据经累加生成后，其随机性明显减小，而规律性将增加．对于非负的数据序列，累加生成的是一个递增的序列．

2.2.2累减生成

累减生成是累加生成的逆运算，它是通过将原始序列前后两个数据相减生成新的数据序列．累减生成可将累加生成还原为非生成数列，在建模中获得增量信息．即：

IAGO )0()1(x x =

3算法的具体实现流程3.1算法流程图

3.2 实现步骤

（1）数据检验与处理：

具体算法：根据原始序列)0(x 的级比)()0(k σ的大小，判断GM （1，1）建模的可行性．)()0(k σ的定义为：

3,)()1()()0()0()0(≥-=k k x k x k σ

)()0(k σ可揭示数列)0(x 的平滑情况或指数律的符合情况，若)()0(k σ为常数，则

)0(x 具有白指数律（即确切的指数律）

，当然，此时无建立GM （1，1）模型的价值．GM （1，1）建模希望的是)()0(k σ的取值区间长度（覆盖的测度）接近于零而不等于零，其可容区为（0．1353，7．389），即

)389.7,1353.0()()0(∈k σ

参数或级比的可容区是GM （1，1）建模的基本条件，但不是实用条件，要想建立满意有效的GM （1，1）模型，参数或级比应落于界区内．设n 是原始数据的个数，则我们有：

a 的界区：⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-∈12,12n n a ； )()0(k σ的界区：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++-1212)0(,)(n n e e k σ，若⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈++-1212)0(,)(n n e e k σ，则认为)

0(x 是可作GM （1，1）建模的．

（2）建立模型GM(1,1)

具体算法：利用算法思想的介绍建立模型，则可得累加预测值和预测值： 模型的白化型为：

b ax dt

dx =+)1()

1( 初始值用)1()1()0()1(x x =，则其解为：

a b e a b x t x t a +⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=--)1()0()1()1()(