第30讲 概率(解析版)

第30讲 概 率

1．事件的分类 事件类型 定义 概率 必然事件 一定会发生的事件 1 不可能事件 一定不会发生的事件

0 随机事件

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件

0～1之间

2．概率：一般地，表示一个随机事件A 发生的可能性大小的数值，叫做这个随机事件A 发生的概率． 3．概率的计算

(1)公式法：对于简单的事件直接用公式法计算即可； P(A)＝事件A 发生的可能的结果总数m 所有可能的结果总数n

；

(2)列表法：当一次试验涉及两步计算时，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结果，再根据P(A)＝m

n

计算概率；

(3)画树状图法：当一次试验涉及两步或两步以上的计算时，可采用画树状图表示所有可能的结果，再根据P(A)＝m

n

计算概率．

4．几何概型求概率：与几何图形有关的概率的计算，一般是用几何图形中的面积比进行求解，计算公式为P(A)＝事件A 可能发生的面积几何图形总面积.

5．频率与概率

(1)用频率估算概率：一般地，在大量重复试验下，随机事件A 发生的频率m

n (这里n 是总试验次数，它必

须相当大，m 是在n 次试验中事件A 发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p 这个常数表示事件A 发生的概率，即P(A)＝p ； (2)频率与概率的区别与联系

①区别：概率是用来表示一个随机事件发生的可能性的大小，只要有一个随机事件存在，就有一个概率存在，而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化；

②联系：当试验次数充分大时，频率稳定在概率的附近摆动，为了求出一个随机事件的概率，通常需要大

量的重复试验，用所得的频率来估计随机事件的概率.

考点1：频率与概率

【例题1】（2019•湖北省仙桃市•7分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．

（1）填空：样本容量为100，a＝30；

（2）把频数分布直方图补充完整；

（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．

【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；

（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．

【解答】解：（1）15÷＝100，

所以样本容量为100；

B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，

所以a%＝×100%＝30%，则a＝30；

故答案为100，30；

（2）补全频数分布直方图为：

（3）样本中身高低于160cm的人数为15+30＝45，

样本中身高低于160cm的频率为＝0.45，

所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．

归纳：利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

考点2：一步概率

【例题2】抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【分析】抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字可以是1,2,3,4,5,6六种情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，根据概率公式计算即可。

【解析】抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字共出现六种等可能情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，则朝上一面的数字为2的概率是

故答案为：A,

考点3：几何概型求概率

【例题3】（2018贵阳）（3.00分）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】：恰好摆放成如图所示位置的概率是=，

故选：D ．

考点4：概率的综合计算

【例题4】 (2018·承德模拟)从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张，黑桃10张，方块11张，现将这些牌洗匀背面朝上放在桌面上． (1)求从中抽出一张是红桃的概率；

(2)现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随机抽一张是红桃的概率不小于2

5

，问至少抽掉了多少张黑桃？

(3)若先从桌面上抽掉9张红桃和m(m ＞6)张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当m 为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？当m 为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．

【解析】(1)抽出一张是红桃的概率是

99＋10＋11＝3

10

.

(2)设至少抽掉了x 张黑桃，放入x 张的红桃， 根据题意，得9＋x 9＋10＋11≥2

5.

解得x≥3.

答：至少抽掉了3张黑桃．

(3)当m 为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，

当m 为9，8，7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，P(最小)＝11（10－7）＋11＝11

14

.

归纳： (1)判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；

(2)不重不漏地列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等； (3)确定所有可能出现的结果数n 及所求事件A 出现的结果数m ； (4)用公式P(A)＝m

n

求事件A 发生的概率．