向量及其代数运算
线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
深入理解向量代数中的向量运算法则
深入理解向量代数中的向量运算法则向量代数是数学中的一个重要分支，它主要研究向量的性质、运算法则以及在几何和物理等领域中的应用。
深入理解向量代数中的向量运算法则对于解决实际问题、推导物理定律以及进行科学研究都具有重要意义。
本文将从向量的基本概念开始，逐步介绍向量的运算法则，包括向量的加法、减法、数量乘法以及向量的点积和叉积。
一、向量的基本概念在向量代数中，向量是由大小和方向共同确定的几何量。
通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，而线段的方向表示向量的方向。
向量一般用小写字母加箭头表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$等。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$和$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
向量的加法可以通过平行四边形法则进行图形化表示，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头相连，新向量的起点为原向量的起点，箭头为原向量的箭头。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将减去的向量取反，再进行向量的加法来实现，即$\vec{a} - \vec{b} =\vec{a} + (-\vec{b})$。
向量的减法也可以通过平行四边形法则进行图形化表示，即将减去的向量取反，然后进行向量的加法。
四、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
数量乘法可以改变向量的大小和方向，当实数为正数时，向量的方向不变；当实数为负数时，向量的方向相反。
数量乘法也满足分配律，即$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} +l\vec{a}$和$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
线性代数向量的定义及运算
例： (1,2,3,, n)
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量 第1个分量 n维向量的实际意义： 例：n-1次代数多项式
第n个分量
f (t ) a1 a2t ant n1 (a1 , a2 ,, an ) 系数向量
所有可能的线性组合构成的集合称为由 1 , 2 ,, p 张成（生成）的 R n 的子集，记为 span 1 , 2 , , p , 即
span 1 , 2 , , p k11 k2 k p p | k1 , k2 ,..., k p R.
α1
例4.1.2 向量 1 和 2 的几个线性组合：
1 1 31 2 , 1 1 0 2 , 0 01 02 . 2 2
例4.1.4 证明：任意n维向量 k1, k2 ,, kn 是向量组 e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1 的线性组合. 证明：由向量的线性运算，得
第四章 向量空间
§4.1 向量的定义及运算
平面上的向量的全体：
R x, y | x, y R.
2
2 2
任意
x1, y1 R , x2 , y2 R , k R,
规定加法和数乘为：
x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 , y1 y2 R 2 , k k x1 , y1 kx1 , ky1 R 2 .
将2、3维向量推广到n维向量.
定义4.1.1 由n个数构成的有序数组，记作 (a1 , a2 ,..., an ) a1 称为n维行向量；若记作
向量的运算的所有公式高中
向量的运算的所有公式高中向量是线性代数中非常重要的概念之一，向量的运算是线性代数中的重要内容。
向量的运算主要包括向量的加法、减法、数量积、向量积等。
本文将详细介绍向量的运算的所有公式。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
向量的加法满足交换律和结合律。
1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。
2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
向量的减法也满足交换律和结合律。
1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。
2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。
数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。
1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。
其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。
2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。
向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。
向量积满足反交换律和分配律。
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是数学的一个重要分支,它研究向量空间及其运算。
向量代数为我们认识和描述三维空间中的物理现象提供了有效的工具,广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等诸多领域。
下面将详细介绍向量代数的基本概念及其主要运算法则。
向量的概念与表示向量是一个有大小和方向的量,用于描述物体在空间中的位置和运动。
一般用粗体字母如a、b、c等表示向量,也可用箭头符号表示,如a⃗、b⃗、c⃗。
向量的大小称为模或长度,用"|a|"或"‖a‖"表示。
向量的方向用单位向量e⃗表示,其模等于1。
向量的加法和标量乘法向量的加法遵循平行四边形法则:将两个向量的尾端对齐,然后以它们的头端为顶点作平行四边形,对角线就是它们的和向量。
标量乘法是将一个向量乘以一个标量(实数),结果仍是一个向量,其大小发生改变,方向可能发生改变。
向量的点积和叉积两个向量的点积定义为两个向量对应分量的乘积之和,用"·"表示,如a·b = ax*bx + ay*by + az*bz。
点积反映了两个向量之间的夹角余弦。
两个向量的叉积定义为以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积,用"×"表示,如a×b = (ay*bz - az*by, az*bx - ax*bz, ax*by - ay*bx)。
叉积结果仍是一个向量,垂直于这两个向量。
向量的应用向量代数在物理学中有广泛应用,如描述位移、速度、加速度、力、电磁场等,以及计算功、功率、动量、角动量等量。
在计算几何和计算机图形学中,向量也是一种基本的数据结构,用于表示位置、方向、法线等。
向量还广泛应用于复杂系统的建模和仿真,如流体力学、气动学等。
总之,向量代数是一种强大的数学工具,为我们研究和理解自然界提供了有力支撑。
《高等数学》各章知识点总结——第6章
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
向量运算加减乘除
向量运算加减乘除向量运算是线性代数中的重要内容之一，它包括加法、减法、乘法和除法。
本文将对向量运算的四种基本操作进行介绍，以帮助读者更好地理解和应用向量运算。
一、加法运算：向量的加法是指将两个向量相应位置的元素分别相加得到一个新的向量。
假设有两个向量 A 和 B，它们的维度相同，即都有 n 个分量。
向量加法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)B = (b1, b2, ..., bn)A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)例如，给定向量 A = (2, 3, 4) 和向量 B = (1, -1, 2)，则它们的和为 A + B = (2+1, 3+(-1), 4+2) = (3, 2, 6)。
二、减法运算：向量的减法是指将一个向量的每个分量减去另一个向量相应位置的分量，得到一个新的向量。
向量减法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)B = (b1, b2, ..., bn)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)例如，给定向量 A = (2, 3, 4) 和向量 B = (1, -1, 2)，则它们的差为 A - B = (2-1, 3-(-1), 4-2) = (1, 4, 2)。
三、乘法运算：向量的乘法包括数量乘法和点乘法。
数量乘法是指将一个向量的每个分量与一个标量相乘得到一个新的向量。
假设有一个向量 A 和一个标量 k，数量乘法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)k为标量kA = (ka1, ka2, ..., kan)例如，给定向量 A = (1, 2, 3) 和标量 k = 2，则 kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4, 6)。
点乘法是指将两个向量对应位置的元素相乘，并将结果相加得到一个标量。
假设有两个向量A 和B，它们的维度相同，即都有n 个分量。
向量代数的基本公式
向量代数的基本公式向量代数是数学中的一个分支，主要研究在向量空间中向量的代数运算及其相关性质。
向量代数中包括很多基本公式，这些公式不仅是向量代数研究中的重要内容，也是我们日常生活中常常用到的数学工具。
在这篇文章中，我们将介绍向量代数中的一些基本公式及其重要性。
1. 向量加法的基本公式向量加法是向量代数中最基本的运算之一，它表达了两个向量相加的结果。
对于任意两个向量a和b，它们的和向量c可以表示为：c = a + b该公式意味着，当我们把向量a和向量b相加时，向量c的大小和方向取决于a和b的大小和方向。
这个公式在计算中非常实用，因为在求解向量问题时，通常需要将多个向量相加或相减。
2. 向量数量积的基本公式向量数量积指的是两个向量的标量积，也称为点积。
对于向量a和向量b，它们的数量积可以表示为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角，cosθ表示它们之间的夹角的余弦值。
该公式的意义在于，它为我们提供了两个向量之间的度量方法。
例如，我们可以使用该公式计算两个向量之间的夹角，也可以计算出它们之间的投影等。
3. 向量矢量积的基本公式向量矢量积指的是两个向量的向量积，也称为叉积。
对于向量a和向量b，它们的向量积可以表示为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量，sinθ表示它们之间夹角的正弦值。
该公式的重要性在于它可以用于计算平面区域、体积和方向向量等问题。
例如，在计算三角形面积时，我们可以利用向量积的大小。
此外，在物理学、工程学等领域中，向量积的应用也非常广泛。
4. 向量三角函数的基本公式向量三角函数指的是向量和角度之间的关系。
与传统的三角函数类似，向量三角函数包括正弦、余弦、正切等。
对于向量a和向量b，它们的三角函数可以表示为：sinθ = |a×b|/|a||b| cosθ = a·b/|a||b| tanθ = |a×b|/a·b其中，sinθ表示向量a和b的夹角的正弦值，cosθ表示它们之间的夹角的余弦值，tanθ表示它们之间的夹角的正切值。
《解析几何》知识点总结：第1章-向量代数
第一章向量代数一、向量及其线性运算1.向量及其表示（1）向量：有大小和方向的量。
（2）表示：AB ，A 为向量的起点，B 为向量的重点。
（3）向量的模：||AB 。
（4）向径（半径向量/定位向量）：称为P 的向径，简记为P 。
（5）单位向量：模为1，记为|a |aa o =。
（6）零向量：模为0，任意方向，与任何向量共线。
（7）自由向量：可自由平行移动。
（8）相等（相反）：大小相等，方向相同（相反）。
（9）共线（平行）：平行移动到同一始点，在一条直线上；共面。
（10）共面：平行移动到同一始点，在一个平面上。
2.向量的加法和减法（1）加法：①三角/多边形法则（定义1.1）：首尾相连，第一个向量起点到最后一个向量终点；②平行四边形法则（定义1.2）：首首相连，平行四边形过起点的对角线；③三角/多边形不等式：|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |。
（2）减法：三角形法则（定义1.3）：首首相连，OA OB AB -=。
3.向量的数乘（1）定义1.4：实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记为λa。
|λa|=|λ||a|，方向取决于λ。
4.运算律（图形法证明）①交换律：a ±b =b ±a②结合律：（a ±b ）±c =a ±（b ±c ）；λ（μa ）=（λμ）a③分配律：（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb5.共线及共面向量的判定（1）定理1.1：向量b 与非零向量a 共线⟺∃λ∈R ，使b=λa ；推论1.1：两个向量a ，b 共线⟺∃λ，μ∈R ，且λ，μ不同时为0，使λa +μb =0。
（2）定理1.2：若a ，b 不共线，向量c 与a ，b 共面⟺∃λ，μ∈R ，使c =λa +μb ；推论1.2：三个向量a ，b ，c 共面⟺∃λ，μ，φ∈R ，使λa +μb+φc =0。
第七章第1节向量及其线性运算
定义1
由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组
= (a1, a2,…, an)
称为n维向量. 数 a1, a2,… an 称为向量 的分量 (坐标)，aj 称为向量 的第 j 个分量(坐标). 一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.
线性相关.
定理3. 任意 n+1 个 n 维向量都是线性相关的.
推论3. 若1, 2,… m为 n 维向量.且 m > n
则此向量组 线性相关.
定义3. 设 T 是 n 维向量所组成的向量组.
如果 T 的部分组 1, 2,…,r 满足
(i) 1, 2,…, r 线性无关; (ii) T, 可由1, 2,…, r 线性表出, 即 , 1, 2,…,r 线性相关. 则称向量组1, 2,…, r为向量组T的一个极大线性无 关向量组，也称极大无关组.
0= 1 (1 + 2 )+ 2 (2+ 3 )+ 3(3 + 1 ) = (1+ 3)1 + (1 +2)2 + (2 +3 )3.
1＋3 =0, 1+ 2 =0,
2＋3 =0.
1+2+ 3=0, 1=2= 3=0. 故 1 , 2 , 3 线性无关. 证毕.
且 1, 2,…, r, 0, …, 0 不全为零，
即1, 2, …, r , r+1 ,…,m 线性相关.
推论1. 若1, 2,…, r 线性无关. 则其部分组 (由1, 2,…, r 中某些向量组成的向量组)
也线性无关.
推论2. 若向量组中含有零向量, 则 此向量组
向量及其代数运算
离的点 .
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
提示:
(1) 设动点为
利用
得
(2) 设动点为
利用
得
且
五、向量的模、方向角、投影
设P点坐标为
所求点为
五、向量的模、方向角、投影
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
⑴空间两向量的夹角的概念:
2、方向角与方向余弦
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
五、向量的模、方向角、投影
非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.
⑵方向角
显然有
⑶方向余弦
由图分析可知
方向余弦通常用来表示向量的方向.
模长为1的向量.
模长为0 的向量.
| |
⑶向量的模：
向量的大小.
或
或
或
1、概念
⑷单位向量：
⑸零向量
⑹自由向量：
不考虑起点位置的向量.
⑺相等向量：
大小相等且方向相同的向量.
⑻负向量：
大小相等但方向相反的向量.
⑼向径：
空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.
一、向量的概念
两非零向量的关系 相等： 平行或共线： 垂直： 共面： 向量的夹角
二、向量的线性运算
两个向量的平行关系 【证】 充分性显然； 下面证明必要性 两式相减，得
【注】此定理是建立数轴的理论依据.
三、空间直角坐标系
横轴
纵轴
竖轴
定点
空间直角坐标系Oxyz坐标系 或[O;i,j,k]坐标系
向量的运算的所有公式
向量的运算的所有公式数学公式是数学题目解题关键，那么向量的运算公式有哪些呢?快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“向量的运算的所有公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
向量的运算的所有公式向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
在数学中，向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，0的反向量为0，OA-OB=BA.即“共同起点，指向被减”a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2)。
数与向量的乘法满足下面的运算律：结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
向量的数量积的运算律：a·b=b·a(交换律)(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)向量的向量积运算律：a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)a×(b+c)=a×b+a×c.(a+b)×c=a×c+b×c.拓展阅读：向量的表达方式1.代数表示一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
基本的向量运算包括向量加法、向量减法、标量乘法和向量点乘等。
1. 向量加法：对于向量A和向量B，其加法定义为A + B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)，即分别对应元素相加。
2. 向量减法：向量减法即为向量加法的逆运算。
对于向量A和向量B，其减法定义为A - B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)，即分别对应元素相减。
3. 标量乘法：标量乘法指的是将一个实数与向量的每个分量相乘。
对于向量A和标量k，其标量乘法定义为kA = (ka1, ka2, ..., kan)，即每个分量都乘以k。
4. 向量点乘（内积）：向量点乘是向量运算中的一种重要操作，也称为内积。
对于向量A和向量B，其点乘定义为A · B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn，即对应元素相乘并求和。
5. 向量长度（模）：向量的长度或模表示向量的大小，通常用两个竖线表示，例如 ||A||。
对于二维向量A(x, y)，其长度计算公式为 ||A|| =√(x^2 + y^2)。
对于n维向量A(x1, x2, ..., xn)，其长度计算公式为||A|| = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。
6. 向量的单位化：对一个非零向量A，单位化后得到一个与之方向相同，长度为1的向量，称为A的单位向量。
单位化向量的计算公式为A' = A / ||A||，即向量A除以其长度。
7. 向量的投影：向量的投影描述了一个向量在另一个向量上的分解。
对于向量A和向量B，向量B在A上的投影记为Proj_A(B)，计算公式为 Proj_A(B) = (B · A / ||A||^2) * A。
8. 向量的夹角：两个非零向量A和B之间的夹角θ可通过向量的点乘和向量的长度公式计算得到，计算公式为cosθ = (A · B) / (||A|| * ||B||)。
向量微积分的向量运算和向量代数
向量微积分的向量运算和向量代数向量微积分是数学中一个非常重要的分支，它将微积分和向量代数相结合，大大拓展了微积分的应用范围。
向量微积分中有许多关于向量运算和向量代数的概念，我们将在本文中讨论这些概念。
一、向量的基本概念在向量微积分中，我们首先需要了解的是向量的基本概念。
向量是指既有大小又有方向的量，通常用带箭头的字母来表示。
向量的大小或者长度被称为模，向量的方向用与其平行的一条直线来表示。
向量的起点和终点分别被称为向量的起点和终点。
向量用三元组表示，通常写成：A=B+C其中，A、B、C均为向量。
向量加法遵循平行四边形法则。
即：两个向量之和等于他们相加所围成的平行四边形对角线的向量。
二、向量运算向量运算是指将两个或多个向量进行组合或者变形的操作，其中包括向量的加减、数乘、点乘和叉乘等。
1.向量加减运算向量加减运算非常简单，规则也非常容易理解：将每个向量的相应分量加减即可。
例如，在三维空间中，向量A=(a1,a2,a3)，向量B=(b1,b2,b3)，则：A +B = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)A -B = (a1-b1,a2-b2,a3-b3)2.向量数乘运算向量数乘指将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量。
例如，在三维空间中，向量A=(a1,a2,a3)，标量k，则：kA = (ka1,ka2,ka3)3.向量点乘运算向量点乘是指将两个向量进行运算，得到一个标量的操作。
例如，在三维空间中，向量A=(a1,a2,a3)，向量B=(b1,b2,b3)，则：A·B = a1b1+a2b2+a3b3其中“·”表示点乘符号。
4.向量叉乘运算向量叉乘是指将两个向量进行运算，得到一个新的向量的操作。
例如，在三维空间中，向量A=(a1,a2,a3)，向量B=(b1,b2,b3)，则：A ×B = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)其中“×”表示叉乘符号。
线性代数-向量及其线性运算
0
0 0
0
30线性表示b， 21且 3为 20 ： 3
1
(因为
1 0 0 2
B[A,b]1,2,3,b0 1 0 3
0 0 1 0
即 r(A)r(B).)
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向 A:量 1,2组 , ,m,如果存在
全为零 k1,k的 2, 数 ,km使
k11k22 kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
T m
向量组 A :1 T ,2 T , ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2a1nxn b1,
a21x1a22x2a2nxn b2, am1x1am2x2amnxn bm.
xx x b
11 22
nn
方程组的解x1=c1, x2=c2,…., xn=cn,可以用n维列向量：
记作α,β,γ.
如：
a1
a
2
a
n
（Column Vector）
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２、当没有明确说明时，都当作实的列向量.
几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即 n = 2, 3 且 F 为实数域的情形. 在 n > 3 时，n 维向 量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向 量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 情形， 另一方面也由于它与通常的向量一样可以定 义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取 这样一个几何的名词有好处.
进一步：P94 定理2.6
定理 向量组线性相关至少有一个向量可由其 余向量线性表示．
定理 向量组线性无关任何一个向量都不能由 其向量线性表示．
课件：向量及其运算(15)
∴a(bc)0 ，故a,
b, c
共面。
B b
a
.a b 0
A
24
运算规律
1. a b b a;
反交换律
2.( a) b a ( b) (a b); 与数乘向量的结合律
3. (a b) c a c b c
分配律
c(a b) c a c b
例3 已知 a 2, b 3, 且a b 3, 则a b _____3______.
22
3)两个向量的向量积
(由两个向量造一个新的特殊的向量)
在 并b,且许需要多要求方找面c另的,一模对个有于同某给时种定与特的a性两,.个b不垂共直线的l 的非非零零向向量量
a
,
c
,
如图, 由直观, 同时与 a ,
c B b
b 垂直的非零向量 c 在
O
直线 l 上,有无限多个,但 方向可指向方上或下方.
三角形法则可推广到多个向量相加 .
4
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
5
2. 向量的减法 三角不等式
b
a
6
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a
a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
3
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (bc)
a
三角形法则:
ab b
向量的概念及其运算
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
向量的代数运算
向量的代数运算向量是数学中非常重要的概念，它可以描述空间中的方向和大小。
在向量的处理中，代数运算是必不可少的工具。
本文将介绍向量的代数运算，包括向量加法、向量减法、向量数乘等。
一、向量加法向量加法是指将两个向量进行相加的运算。
设有向量a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的加法可以表示为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
二、向量减法向量减法是指将一个向量从另一个向量中减去的运算。
设有向量a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的减法可以表示为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)。
三、向量数乘向量数乘是指将一个向量乘以一个标量（实数）的运算。
设有向量a = (a1, a2, ..., an)和实数k，则它们的数乘可以表示为：k * a = (k * a1, k * a2, ..., k * an)。
在向量数乘中，当k为正数时，向量的方向不变，但大小会相应增大；当k为负数时，向量的方向相反，但大小也会相应增大。
四、向量的数量积（点乘）向量的数量积，也称为点乘，是指将两个向量进行点积运算得到的结果。
设有向量a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)，它们的点乘可以表示为：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn。
向量的数量积有以下几个重要性质：1. 交换律：a · b = b · a2. 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c3. 结合律：(k * a) · b = k * (a · b) = a · (k * b)，其中k为实数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
2 ( 2 z ) 3 5
2
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
9
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
提示:
(1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
可见 总之: a a 1 a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ;
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第八章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
例4. 已知两点
解: A B
和
求
AB
AB 3 1 2 , , 14 14 14
1 (3 ,1, 2) 14
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos 2 2 2 r x y z 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
例3. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
AM MB AM OM OA MB OB OM
OM O A ( OB OM )
得
即
o
A
B M
OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
平行向量对应坐标成比例:
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
例2. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1, 如图所示
解: 设 M 的坐标为
A M B
a b AC b a BD
MC 1 (a b) 2
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
D
b
C
1 (b a ) A MB MA 1 ( a b ) 2 2
M
a
B
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
|mn 3 | m n 11
n
m
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
2 cos 2 3 4
3
,
例6. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
的夹角. a ,b
z
o
r
x
y
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
例5. 已知两点
和
计算向量
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
1. 设 m 3 i 5 j 8 k , n 2 i 4 j 7 k , p 5 i j 4 k , 求向量 a 4 m 3 n p 在 x 轴上的投影及在 y
轴上的分向量. 解: 因
练习题
故在 x 轴上的投影为 a x 13
在 y 轴上的分向量为 a y j 7 j
2. 设 m i j , n 2 j k , 求以向量 m , n 为边的平 行四边形的对角线的长度 .
解： 对角线的长为
|mn|
m n ( 1, 1,1) m n (1, 3 , 1)
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量.
设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
R(0,0, z )
1 1
1 1
z
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
o
r
M
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
2. 向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 则 b＝ 0 a , b 同向
a ∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
中点公式:
说明: 由
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
B M
五、向量的模、方向角、投影
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR
由勾股定理得 1. 向量的模与两点间的距离公式
R
z
M Q y
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
(a b ) a b 1 a . 因此 a a a 则有单位向量 a a
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2