第五讲——循环码.

互反多项式与零空间
• 由于xn-1 可被g(x)整除，xn-1=g(x)h(x) • 若h(x)=htxt+ht-1xt-1+…+h1x+h0，则h*(x)= h0xt+h1xt-1+…+ht-1x+ht为h(x)的互反多项 式 • g(x)和h*(x)均可生成长度为n的循环码， 且互为零空间
子码
第五讲
循环码
回顾（1）
• 为了简化好码搜索、便于分析及简化译 码方法，在线性运算封闭约束的基础上， 又加入了循环封闭的约束 • 当循环码用多项式表示时，可以很好的 利用近世代数的知识，因此介绍了一些 基础知识和概念
回顾（2）
• 群：子群和陪集 • 环：子环、理想、主理想、多项式剩余 类环 • 域的乘法结构：域的乘法群是循环群、 元素的级、循环群的阶、生成元，域的 本原元
– – – – 模4运算没有逆 4=22，因此可以从GF(2)形成扩域 找一个GF(2)一的2次不可约多项式：f(x)=x2+x+1 找到用多项式表示的GF(22)的另两个元素：a=x，b=x+1。（即 所有低于2次的多项式） – 定义GF(2)上的模f(x)运算，得到乘法表，显然a与b互逆。 – 可以验证a和b是f(x)的两个根，构成共轭根系，显然它们不属 于GF(2)，而属于扩域 – 由于乘法群的阶数22-1=3是一个素数，a和b的级都是3，因此 它们都是本原元，f(x)是一个GF(2)上的本原多项式
• 每个根都可有一个最小多项式，而生成 多项式则是所有根的最小多项式的最小 公倍式 ei • 每个根都有级数ei，即 i 1 ，则码长 为所有级的最小公倍数 • 同一共轭根系的根在验证码字时的效果 相同，因此只需考虑其中一个即可
用指定的根求生成多项式
• 给定必含根，求生成多项式g(பைடு நூலகம்)时，要先 找出各个根的最小多项式（可计算或查 表），然后求它们的公倍式。由于共轭 根系的最小多项式相同，因此首先要找 出必含根中包括哪几个共轭根系
• 对于循环码C1和C2，如果有C1C2，则称 C1为C2的子码 • 若g1(x)生成码C1，g2(x)生成码C2，而 g2(x)|g1(x)，即g1(x)可以被g2(x)整除，或 g2(x)是g1(x)的一个因子，则C1C2，即C1 为C2的子码
系统循环码
• 根据生成多项式g(x)可以直接对k-1次信息多项式 d(x)编码，即c(x)=d(x)g(x) mod xn-1，当g(x)可以 整除xn-1时，构成循环码。 • 系统码指的是在编码序列中包含所有信息位的编 码。上述方法形成的循环码不是系统码。 • 系统循环码的生成：C(x) = d(x)xn-k + r(x) 0 mod g(x)。即将信息序列左移n-k位，加上一个n-k-1次 的校验多项式r(x)，其中的r(x)= -d(x)xn-k mod g(x)。
用根形成生成多项式举例
• GF(211)中，为本原元，令=89，求以、 2、3、4为根的二进制循环码。的级 数为211-1=2047=8923，23=(89)23=1， 因此的级为23，如果以为根，则它的 共轭根系也为根：、2、4、8、16、 32=9、18、36=13、26=3、6、12。
回顾（3）
• 域的加法结构：域的特征、元素的周期、 素子域、基域与扩域 • 域的多项式结构：共轭根系、w的最小多 项式、本原多项式、用最小多项式根表 示的域、多项式的周期 • 剩余类线性结合代数，当以xn-1为模时， 循环子空间与理想等价，生成多项式。
有限域举例
• 构造一个4元环：整数环中的模4剩余类环 • 构造一个4元域：
循环码的译码
• 循环码译码时，可将错误图案按循环分 类，这样就可以对伴随式进行分类，类 数就要比图案数少得多。例如，只将首1 错误图案与相应的伴随式造表，通过多 次移位，总能出现相应的伴随式，此时 对首位纠正即可。
BCH码
• 用GF(qm)中的n级元素的-1个连续幂次 为根的多项式生成的循环码称为BCH码。 它的自由距不小于。如果根集中有本原 元。则码长n=qm-1，称为本原BCH码
RS码
• GF(q)上的码长N=q-1的本原BCH码称RS 码 • RS码的符号域与根域相同 • RS码生成多项式g(x)=(x-m0) (xm0+1)…(x-m0+-2)，常取m0=1。其码距 为。即生成的码为(n,k,d)=(q-1, q-, )。 因此RS码被称为极大最小距离可分码。
循环码的生成多项式
• （回顾）以xn-1为模的剩余类代数中，循环子 空间与理想等价。其生成元中次数最低的首一 多项式为生成多项式 • 循环码的生成多项式必为xn-1的因子，同一个 循环子空间可以有多个生成元，而所有这些生 成元都应与xn-1有公因式，此公因式化为首一 多项式即为其生成多项式。 • 反之，若g(x)|(xn-1)，则g(x)可以生成一个循环 码，且当g(x)为n-k次多项式时，可生成(n,k)码
用生成多项式的根定义循环码
• 研究表明，生成多项式有重根的码一般 都要比无重根的码差，因此只考虑无重 根的码，或构造无重根的多项式。 • GF(q)上多项式xn-1无重根的充要条件是n 与q互素。因此对GF(2)而言，充要条件 即为n为奇数。
合法码字与生成多项式的根
• 若g(x)有r个不相等的根，则每个根必为 每个码多项式的根，因此可将所有根代 入是否为零来验证是否为码多项式。 （此处的运算是在扩域GF(qm)上的）
例（续）
• 由于所要求的其它必含根2、3、4都包括在 这个共轭根系中，它们有相同的最小多项式 g(x)=m(x) =(x-)(x-2) (x-4) (x-8) (x-16) (x-9) (x-18) (x-13) (x-3) (x-6) (x-12) = x11 + x9 + x6 + x5 + x4 + x2 + 1 • 这部是著名的Golay码，能纠3个错，是一种 完备码。（上面的化简中要用到m()=0和 =89 ）