第五讲——循环码.
智能信息技术导论 循环码
智能信息技术导论 - 循环码一、概述循环码是一种在通信领域中广泛使用的编码方式。
它通过在数据中添加冗余位来实现错误检测和纠正的功能。
循环码在数字通信系统、计算机网络、存储系统等领域都有着重要的应用，是保障数据传输可靠性的重要技术手段之一。
二、循环码的原理循环码是一种线性块码，通过在数据位后面添加一系列的冗余位（也称为校验位）来构成编码后的数据。
冗余位的计算方式使循环码的编码、译码实现起来非常高效。
2.1 循环码的生成多项式循环码最重要的参数是生成多项式，它决定了编码和译码的方式。
生成多项式是一个不可分解的多项式，用于生成校验位。
在循环码中，校验位是通过数据位和生成多项式的模2乘法来计算得到的。
2.2 循环码的编码循环码的编码过程实际上就是将数据位和生成多项式进行一系列模2乘法的计算，并将结果作为校验位添加到数据位后面。
编码过程可以通过移位寄存器的方式实现，其中移位寄存器的初始状态为全0。
2.3 循环码的译码循环码的译码过程主要是通过计算接收到的编码数据位和生成多项式的模2除法来还原数据位。
译码过程中，接收到的编码数据位会与寄存器中的状态进行模2除法的计算，得到的结果会作为冗余位进行错误检测。
三、循环码的性质循环码具有许多重要性质，这些性质使得循环码在实际应用中具有较好的性能。
3.1 线性性质循环码满足线性性质，即两个编码字的异或结果仍然是一个有效的编码字。
这种性质使得循环码可以方便地进行编码和译码操作。
3.2 最小距离性质循环码的最小距离决定了它所能检测和纠正的错误的能力。
最小距离越大，循环码的纠错能力越强。
在设计循环码时，需要考虑到数据传输过程中可能出现的各种错误类型，以便选择合适的生成多项式和编码长度。
3.3 循环码的循环性循环码具有循环性，即将一个编码字进行循环移位后所得到的码字仍然是一个有效的编码字。
该性质使得循环码在传输过程中可以通过循环移位将错误传播到多个位上，从而提高错误的检测和纠正的能力。
差错控制编码-循环码.
伴随式（校正子）
0000 0001 0010 0101 1011 0110 1100 1000 0100 ?
错误图样和伴随式是一一对应的。
基于错误图样识别的译码器称为梅吉特译码器。错误图样识 别器是一个具有（n-k）个输入端的逻辑电路，原则上可以采 用查表的方法，根据校正子找到错误图样，利用循环码的上 述特性可以简化识别电路。梅吉特译码器特别适合于纠正2个 以下的随机独立错误。
第二步：构造生成多项式g（x） 为了求（7，3）循环码的生成多项式g(x)，要从上式中找 到r=n-k次的因子。不难看出，这样的因子有两个，即： 1式 2式
以上两式都可作为生成多项式用。不过，选用的生成多项式不 同，产生出的循环码码组就不同。用1式作为生成多项式产生的 循环码为上述表码所列。 当然，在得到生成矩阵G以后，可以通过线性变化，使之成为 典型矩阵，同时得到监督矩阵H。除此之外，还可以利用循环 码的特点来确定监督矩阵H。 由于（n,k）循环码中g(x)是 的因式，因此可令：
0 ei 1
E B A
其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且
当bi=ai 当bi≠ai
B A E
令S=BHT，称为伴随式或校正子。 若S=0,则为有效码字
S BH
T T T
S BH T
为求解B(x)整除g(x)的余式
( A E ) H EH
由此可见，伴随式S与错误图样E之间有确定的线性变换关 系。接收端译码器的任务就是从伴随式确定错误图样，然 后从接收到的码字中减去错误图样。 五、循环码的编码 在编码时，首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式 g(x)，也就是从 的因子中选一个（n-k）次多项式作为 g(x)；然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式 A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项式g(x)。
循环码
b
c
u3u2u1u0
u3u2u1u0 c2 c1c0
a
b
c
除法过程： 除法过程：
u3u2u1u0
[ x { x ( x[ u3 x3 ]mod g(x) + u2x3 )mod g(x) + u1x3 }mod g(x) + u0x3 ]mod g(x)
1 0 u 0 1 0 1 1 ×3' c ' 0d 0 0
例如：( 7, 4 )循环码的生成多项式为：g(x)=( x3 + x + 1 )，求其系统码的生成矩阵 )循环码的生成多项式为 循环码的生成多项式为： )， 例如： 1）n = 7，k = 4，因此生成矩阵阶数：4×7。其中单位阵Ik为4×4，Q矩阵4×3 7， 4，因此生成矩阵阶数： 其中单位阵I 矩阵4
BCH码 BCH码
是一类能纠正多个随机错误的循环码 其生成多项式为： 其生成多项式为：
g ( x) = LCM [ m1 ( x), m3 ( x),L , m2t −1 ( x) ]
其中m 为素多项式， 为纠错个数，LCM表示取最小公倍数 其中mi(x)为素多项式，t为纠错个数，LCM表示取最小公倍数，最 表示取最小公倍数， 小码距d 2t 小码距d ≥ 2t+1 BCH码分为两种： BCH码分为两种： 码分为两种 1）本原BCH码：码长n = 2m - 1 本原BCH码 码长n 2）非本原BCH码：码长n为2m - 1的因子 非本原BCH码 码长n 其中m 其中m表示素多项式的次数
有y = c + e，即y(x) = c(x) + e(x) ，则： e， e(
CRC码 CRC码
即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验，具有 即循环冗余校验码，广泛用于数据通信和移动通信中，进行数据的校验， 实现简单，检错能力强。其原理为： 实现简单，检错能力强。其原理为： 然后除以生成多项式g 1）任意长的信息位向左移动r位，即xru(x)，然后除以生成多项式g(x)得到的 任意长的信息位向左移动r 余数附加在信息码之后形成码组c 然后进行发送； 余数附加在信息码之后形成码组c(x)，然后进行发送； 2）接收端接收到码组y(x)，然后除以g(x)，如果能整除则表示无错发生，否 接收端接收到码组y 然后除以g 如果能整除则表示无错发生， 则表示有错 详细过程： 详细过程： 1）信息位为u(x)，先向左移动r位，即xru(x)。求余式[xru(x)]mod g(x)= r(x) 信息位为u 先向左移动r 求余式[ 2）则将c(x) = xru(x) + r(x)发送出去 则将c 3）若用e(x)表示可能的错误，则接收到 y(x) = c(x) + e(x) = xru(x) + r(x)+e(x)， 若用e 表示可能的错误， )+e 那么校验方法： 那么校验方法： [y(x)]mod g(x)=[xru(x) + r(x) + e(x) ]mod g(x) = r(x) + r(x) + [ e(x) ]mod g(x) =[x
循环码
① ②
15
循 环 码
2、校验矩阵 、
令校验多项式： 令校验多项式：h(x) = hkxk + hk-1xk-1 + … + h1x+h0
其反多项式： h*(x) = h0xk + h1xk-1 + … + hk-1x+hk 其反多项式：
循环码的一致校验矩阵的第一行为校验多项式的反多项 式的系数加上n-k-1个零组成，第二行为第一行向右平移 个零组成， 式的系数加上 个零组成 1位。以此类推得到其他各行。此矩阵为r ×n阶的。 位 以此类推得到其他各行。此矩阵为 阶的。 阶的
也就是码字0011101 对应的多项式，这个码字循环移 对应的多项式， 也就是码字 位后刚好可以得到其他码字。 位后刚好可以得到其他码字。 观察各个码多项式的关系
C2(x)=(x+1)C1(x)； C3(x)=x C1(x);…… ；
观察可发现， 观察可发现，其他的码多项式都可以写成g(x)的倍式。 再把信息序列写成多项式的形式，可得： 再把信息序列写成多项式的形式，可得：
首一多项式
2、性质： 、性质：
任一码多项式必是g(x) 的倍式： C(x) = m(x)g(x) 的倍式： ① 任一码多项式必是 任一次数≤ 的多项式m 与 相乘， ② 任一次数 k-1的多项式 (x)与g(x)相乘，必为码式 的多项式 相乘
回答前面三个问题
8
循 环 码
3、循环码的生成矩阵 、
码多项式、生成多项式及信息多项式的关系： 码多项式、生成多项式及信息多项式的关系： Ci(x) =mj(x)g(x) C=mG G为生成矩阵 为生成矩阵 i≠j
12
13
14
循环码是线性分组码的一个重要子集
i=0,1, …，k-1，，G2,i是长度为n的矢量，它的生成
函数 是G2,i(x)=xr+i+xr+i
G
m2 od GgG2(,2xk,1)1。 则k×Gn,阶H的矩标阵准：阵形式
G 2,0
是码C的一个生成矩阵。类似地，如果H2,j，是长度
2021/4/9 为r
H 2 H 2 T ,n 1 H 2 T ,1H 2 T ,0
⒉ 循环码的系统码 由上述定理，即可得到循环码产生系统码的方法：
将 且信最息低码 的❖❖移次CC至数=(xm)最为=Gx高r2r次m位(x，)+[xrm(求小x)]x于mrmr,o应(dx)为g的(x码余) 字数的，监且督最元高部次分数。
2021/4/9
13
例：已知(7,3)循环码的g(x)=x4+x3+x2+1，
h1 h2 h3
h2 h3 0
h3 0 0
0
0 0
由此可见，监督矩阵的第一行是码的监督多项式
h(x) 的
系数的反序排列，第二、三、四行是第一行的移位；
❖(n,hk*()x)循环码0的监0督1矩阵h1 hk1 1
H(n,k)
xh*(x)
0
xnk1h*(x) 1
1 h1 hk1 h1 hk1 1 h1 hk1 1 0
100
101 1100
111 0100
101
100 1011
110 1001
110
111 0010
100 1110
2021/4/9
111
110 0101
101 0011
7
⒉ 循环码的监督阵
❖ 设 g(x) 为 (n,k) 循环码的生成多项式，必为 (xn+1) 的因式，则有 xn+1=h(x)g(x)，式中 h(x) 为 k 次多项式，称为 (n,k) 循环码的监督 多项式。
循环码
(模( x7 1))
信息位 a6 a5 a4 监督位 a3 a2 a1 a0
1
2 3 4
000
001 010 011
0000
0111 1110 1001
5
6 7 8
100
101 110 111
1011
1100 0101 0010
x4 x2 x 1
5 4 3 T ( x ) x x x 1 ； 码组（0111001）的码多项式为
码组（1110010）的码多项式为 T ( x ) x x x x ；
6 5 4
反之，若已知码多项式也可以求得对应的码组。 码多项式T(x)=x7+ x3+ x+1，则8位该组为 C=（10001011）。 码多项式T(x)=x5+ x3+ x2 + x1 ，则7位码组为 C=（0101110） 。
（2） 已知信息码，由生成多项式g(x)得到循环码 对长为k位的任意消息组 M=(mk-1,…, m1,m0)，其对
应的消息多项式为m(x)=mk-1xk-1+…+ m1x+m0
可乘以g(x)而构成n-1次的码多项式：
2016/6/24
T ( x) (mk 1 xk 1 m1 x m0 ) g( x) m( x) g( x)
即生成多项式：g(x) = x4 + x2 + x + 1。将此g(x)代入 （0010111）
x k 1 g ( x) k 2 x g ( x) G ( x) xg ( x) g ( x)
《循环码教学》课件
在检测过程中，接收端将接收到的码字左移r位，然后除以生成多项式。如果余数为零，则认为传输过程中没有 发生错误；如果余数不为零，则认为传输过程中发生了错误。通过这种方式，循环码可以检测到单个或多个比特 错误。
03
循环码的编码与解码
编码过程
01
02
03
04
05
定义
选择生成多项式
生成多项式与信 息比特序…
编码与解码的实例演示
确定错误的位置为第4位（从右 往左数）。
纠正错误，将第4位由0改为1 ，得到纠正后的码字比特序列 1010101101。
将纠正后的码字比特序列与生 成多项式进行模2除法运算，得 到恢复的信息比特序列 1011001。
04
循环码的性能分析
误码率分析
误码率定义
影响因素
误码率是指接收端接收到的错误码元 与总码元数的比值，是衡量循环码性 能的重要指标。
影响循环码误码率的因素包括信噪比 、码长、编码方式和传输通道特性等 。
误码率计算
通过理论分析和仿真实验，可以计算 出不同条件下循环码的误码率，从而 评估其性能。
抗干扰性能分析
抗干扰能力评估
循环码具有良好的抗干扰性能， 能够有效地抵抗信道中的噪声和
干扰。
干扰抑制机制
循环码通过引入冗余和校验位，利 用编码规则对干扰进行检测和纠正 ，从而降低误码率。
添加校验位
得到码字比特序 列
循环码是一种线性码，其 编码过程是将信息比特序 列与一个生成多项式序列 进行模2除法运算，得到码 字比特序列。
根据给定的码长和纠错能 力，选择合适的生成多项 式。
将生成多项式与信息比特 序列逐位相乘，得到中间 比特序列。
根据中间比特序列和生成 多项式的系数，计算校验 位，并将其添加到中间比 特序列的末尾。
循环码
8.5 循环码循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，它的基本特点是编码电路及伴随式解码电路简单易行；循环码代数结构具有很多有用的特性，便于找到有效解码方法。
因此在实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几乎都是循环码。
下面将介绍循环码的多项式表示及其性质，同时简介几种重要的循环码，CRC、BCH和R-S 码等。
8.5.1 循环码的描述1. 码多项式及其运算通式表示为：（8-69）于是称与为“同余”式，即[模]（8-70）如：则[模] 即能被整除利用这一运算原理，我们可对一个码字进行移位表示：如：的多项式表示为：使码组向左移2位（循环）则有对应多项式然后以去除得：这一结果表明，以作除法运算（称模）后，即与为同余因此，（模）应注意，利用这种同余式表示，必须加注（模），否则就不明确在什么条件下得到的这一同余关系式。
2.循环码的构成循环码的构成突出特点是只要是该码中的一个许用码组——码字，通过循环位其结果则可包括全部个非全0码字，如上面介绍的（7，3）分组码，从信码位0 0 1构成的码字（0011101）开始逐一向左（或者向右）移一位，可得其余6个码字：（0111010）、（1110100）、（1101001）、（1010011）、（0100111）、（1001110）。
若把这些码字写成码多项式，都具有同一个移位运算模式，并设（0011101）对应的码多项式，于是，有：（模)（8-71）这样，就构成了（7，3）循环码，如表8-4。
从表8-4看出，循环得到的（7，3）码，仍为系统码，信息码组均在表中码字的高位（左方）。
表8-4 （7，3）循环码移位（7，3）码码多项式（模）0 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 02 1 1 1 0 1 0 03 1 1 0 1 0 0 14 1 0 1 0 0 1 15 0 1 0 0 1 1 16 1 0 0 1 1 1 08.5.2 循环码生成多项式与生成矩阵1. 生成多项式由表8-4构成个非全0码字多项式的过程与结果看，我们从开始进行逐一循环，并以模运算，该码字正是信码组中最低位为1，对应码字多项式，在全部非全0码字中，它的最高位阶次也最低，并等于，即最高次项为，随后一系列码字都源于它的移位而形成，因此称其为生成多项式，即（8-72）然后再从的因式分解来进一步分析（8-73）我们可以将三个既约多项式因式任意组合成两个因式，可有（8-74）如：（8-75）（8-76）其中可以组合为二因式中包含最高次为4次的情况有两种，即展开式的第4及第5两组，都可以作为阶次最高为4的即（8-77）（8-78）在展开式中选用了其中一个（组合）因式为后，余下一个因式，则称其为循环码的监督多项式，如式（8-74）生成多项式与相应监督多项式乘积等于多项式。
第5章循环码
性空间， 称为剩余类线性结合代数。
在[n, k]循环码中，码字(an-1, an-2, …, a1, a0) 的多项式：a(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0， 它 的循环移位一次后所得码字为(an-2, …, a1, an-1)， 相对应的码多项式表示为
问题 如何寻找k维循环子空间？
如何设计[n,k]循环码？
—— 利用多项式和有限域的概念
二、 码的多项式描述
从第二章可知，GF(p)上的所有n重构成一 个 线 性 空 间 Vn ， 其 中 每 个 矢 量 是 分 量 取 自 GF(p)上n重， 若将每个n重和系数取自GF(p)上 的多项式相对应：
定理 5.1.1 以多项式xn-1为模的剩余类线性 结合代数中， 其一个子空间V n，k是一个循环子空 间(循环码)的充要条件是：V n，k是一个理想。
结论：一个循环码是模xn-1多项式剩余类线性结合 代数中的一个理想；反之，其中的一个理想必是一 个循环码。
(Review)引理4.2.2 多项式环Fp[x]中的一切理想均是主 理想。
循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，具 有如下性质：
严谨代数结构，性能易于分析；大部分线性码 是循环码；
其循环结构有利于编译码实现； 实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几
乎都是循环码。
(Review)定义3.3.1 GF(2)上汉明码的H矩 阵的列， 是由不全为0， 且互不相同的二进制 m重组成。 该码有如下参数： n =2m-1， k =2m1-m， R=(2m-1-m)／(2m-1)， d=3。
循环码I
g(x)决定生成矩阵，h(x)决定校验矩阵
生成矩阵
x k1gx, x k2 gx, , gx
g nk g nk1
g1 g0 0
0
G
0 0
gnk
g nk1
g1 g0 0 0
0
g nk
kn
校验矩阵
➢ 1、分解多项式xn-1=g(x)h(x)
➢ 2、选择其中的n-k次多项式g(x)为生成多项式
➢ 3、由g(x)可得到k个多项式g(x), xg(x),…xk-1g(x)
➢ 4、取上述k个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵
➢ 5、取h(x)的互反多项式h*(x),取h*( x), xh*( x),… xn-k-1 h*( x)的系数即可构成相应的校验矩阵
在主理想的所有元素中，至少可找到一个次数 最低的首一多项式g(x),即生成多项式
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
问题三 如何寻找生成多项式g(x)？
循环码的构造
循环码 模多项式xn-1剩余类线性结合代数中的理想
生成多项式
两个定理
1 0 1 1 1 0 0 H 0 1 0 1 1 1 0
0 0 1 0 1 1 1
其16个码字: 1000110, 0100011, 1010001, 1101000, 0110100, 0011010, 0001101; 1001011, 1100101, 1110010, 0111001, 1011100, 0101110, 0010111; 1111111; 0000000
Example
在GF(2)上，求[7, 4]Hamming码 ➢n-k=3;
第五节 系统循环码的编译码电路.
• 例如： • 生成多项式g(x)=x3+x+1生成（7,4）系统循 环码时，对信息多项式m(x)=x3+ x2 + x+1的 编码和对它生成的码字进行译码的除法运 算用可以二进制序列计算。
• 由生成多项式g(x)=1 * x3+0 * x2+1* x+1得 到除数：1 0 1 1； • 由信息多项式m(x)= 1 * x3+1 * x2+1* x+1得 到被除数：1 1 1 1； • 在运算中，当被除数或中间余数的位数不 小于除数位数n-k+1时，若被除数或中间余 数的最高位为1，则商取1，同时将被除数 或中间余数的前面n-k+1位与除数的n-k+1 位模2加，得另一中间余数；
• 从理论上讲，低端输入除法电路也可以完 成编码除法运算。这时被除数为1111000， 电路除法运算过程如表3-6所示。
ห้องสมุดไป่ตู้
移位次数
0 1 2
被除数
1111000 111000 11000
r0
0 1 1
r1
0 0 1
r2 商
0 0 0 0 0 0
3 4
5 6 7
1000 000
00 0
1 0
1 0 1
综上可知，当被除数是n位二进制数时，低端 输入除法电路要经过n次移位运算得到最后余 数。如果接收端按生成多项式g(x)构成低端 输入除法电路，并把从信道中接收的码字按 接收节拍逐位送入除法电路，那么当n位码元 接收完后，除法电路中寄存器状态便是接收 码字除以生成多项式之后的余式，即伴随式。 这时，低端输入除法电路完成了译码运算。
• 用高端输入除法电路完成编码运算时，只 需将k位信息码元在向信道发送的同时，也 送入除法电路，当k位信息位发送结束时， k次运算同时完成，在除法电路中便得到信 息位对应的余数。再把信息的余数紧跟信 息位发向信道，就保证了一个码字中的n位 码元向信道发送是不间断的。同理，也可 以使码字与码字之间的发送也是连续的。
循环码的原理及应用
循环码的原理及应用1. 背景介绍循环码是一种在计算机科学和信息通信领域应用广泛的编码技术。
它通过在数据中引入冗余信息，以便在传输过程中能够检测和纠正错误。
循环码不仅具有较强的错误检测和纠正能力，而且其编码和解码算法相对简单，可以在现有硬件平台上快速实现。
因此，它在诸如数据存储、通信协议、数字广播等领域得到了广泛的应用。
2. 循环码的原理循环码是一种纠错码，其基本原理是通过在待发送的数据中插入冗余位，使得发送方和接收方能够通过对数据进行简单的计算，检测和纠正传输过程中引入的错误。
循环码的核心概念是生成多项式和校验多项式。
生成多项式用于在发送方将数据进行编码，而校验多项式则用于在接收方检测和纠正传输中的错误。
具体来说，循环码将数据看作一个多项式，每个传输的数据位对应于多项式中的一个系数。
生成多项式是一个除法因子，它的阶数对应于冗余位的数量。
发送方将数据多项式与生成多项式相除，得到商多项式和余数多项式。
商多项式作为编码后的数据发送，余数多项式则添加到数据中作为冗余位。
接收方在接收到编码后的数据后，对接收到的多项式进行除法运算。
如果余数多项式为0，则表示没有错误；否则，余数多项式的系数对应于错误的位置，接收方可以根据这些错误位置进行纠正。
3. 循环码的应用3.1 数据存储循环码被广泛应用于数据存储系统中，例如硬盘驱动器和光盘。
在存储数据时，为了保证数据不被损坏，硬盘驱动器和光盘通常会采用循环码进行错误检测和纠正。
3.2 通信协议循环码也被广泛应用于各种通信协议中，例如以太网和蓝牙。
在大规模的数据通信中，循环码可以有效地检测和纠正传输过程中引入的比特错误。
3.3 数字广播在数字广播领域，循环码被用于对广播信号进行纠错。
通过在数字广播信号中引入循环码，接收方能够检测和纠正由于信号传输过程中引入的噪声和干扰导致的错误。
4. 总结循环码作为一种广泛应用的编码技术，具有较强的错误检测和纠正能力，以及简单的编码和解码算法。
循环码
可见，一致校验矩阵的第一行是码的校验多项式 的系数 的反序排列，而第二、三、四行分别是第一行的移位，由 此得到用校验多项式的系数来构成的一致校验矩阵：
H (7,3)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
6.3.3 系统循环码
1 0 G 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 (1) 0 (2) 0 (3) 1 (4)
对矩阵G的行进行运算，将第⑴、⑶、⑷行相加后 作为第1行，第⑵、⑷行相加后作为第2行，得：
1 0 G0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 (1) (3) (4) 1 (2) (4) 0 1
个码字的每一次循环移位仍然是C中的一个码字， 则称C为循环码。也即，如果C=(cncn-1…c2c1)是循 环码C的一个码字，那么C=(cn-1cn-2…c1cn) 等也都是 C的码字时，则所有这些具有循环特性的码字的全 体便构成了循环码C。
表6.3.1 循环码的例子
信息码元 000 001 010 011 100 101 110 111
0 0 0 h0 0 0 h0 h1 0 h0 h1 h2 h0 h1 h2 h3 h1 h2 h3 0 h2 h3 0 0
0 0 h3 g4 0 g3 0 0 g2 0 g1 g 0
n k
9
8
x 4 x3 x 2
对
在接收端，CRC校验实际上就是做除法运算：如果传输过 程无差错，则 r ( x) g ( x被整除，余式为“0”；如果余式不为 能 ) “0”，则说明一定有差错。 1 例6.3.8 假设 m( x) x x x ，即信息码字为 1 (1011001)， g ( x) x x ，求CRC校验码。由题得：
第五讲——循环码.
• 对于循环码C1和C2，如果有C1C2，则称 C1为C2的子码 • 若g1(x)生成码C1，g2(x)生成码C2，而 g2(x)|g1(x)，即g1(x)可以被g2(x)整除，或 g2(x)是g1(x)的一个因子，则C1C2，即C1 为C2的子码
系统循环码
• 根据生成多项式g(x)可以直接对k-1次信息多项式 d(x)编码，即c(x)=d(x)g(x) mod xn-1，当g(x)可以 整除xn-1时，构成循环码。 • 系统码指的是在编码序列中包含所有信息位的编 码。上述方法形成的循环码不是系统码。 • 系统循环码的生成：C(x) = d(x)xn-k + r(x) 0 mod g(x)。即将信息序列左移n-k位，加上一个n-k-1次 的校验多项式r(x)，其中的r(x)= -d(x)xn-k mod g(x)。
互反多项式与零空间
• 由于xn-1 可被g(x)整除，xn-1=g(x)h(x) • 若h(x)=htxt+ht-1xt-1+…+h1x+h0，则h*(x)= h0xt+h1xt-1+…+ht-1x+ht为h(x)的互反多项 式 • g(x)和h*(x)均可生成长度为n的循环码， 且互为零空间
子码
循环码的译码
• 循环码译码时，可将错误图案按循环分 类，这样就可以对伴随式进行分类，类 数就要比图案数少得多。例如，只将首1 错误图案与相应的伴随式造表，通过多 次移位，总能出现相应的伴随式，此时 对首位纠正即可。
循环码学习教案
对于上述（7，4）循环码，有4个信息位，对应有16个信息序列，利用(lìyòng)16个信 息序列多项式与生成多项式的乘法运算，可得全部（7，4）循环码得16个码字，如表：
信息位 码字 信息位 码字 信息位 码字 信息位 码字
0001 0001011 0011 0011101 0000 0000000 1101 1111111
G
0
g0
g1
g nk
0
0
0
0
0
g0
g1
g
n
k
第13页/共51页
13
第十三页，共51页。
【例】（7，4）循环码：g ( x) 1 x x 3 , k 4
g(x) (1101000) xg(x) (0110100) x 2 g(x) (0011010) x3 g(x) (0001101)
第3页/共51页
3
第三页，共51页。
二．循环码的数学(shùxué)描 述
1．循环码的特点(tèdiǎn)：
（1）它是线性分组码，其数学模型应具有(jùyǒu)线性特性；
（2）具有循环特性。
故循环码的数学模型必须能兼具线性和循环特性→多项式描述。
2．线性分组码的多项式描述
字：r (r0 , r1 , , rn1 ) r ( x) r0 r1 x rn1 x n1
1101000 G 0110100
0011010 0001101
当一个循环码的生成矩阵确定后，其编码规则为：
v u G
1101000
如：u (1010) v (1010) 0110100 (1110010) 0011010 0001101
第14页/共51页
通信原理AII第5次课教案
10.4 循环码·循环码是线性分组码中最重要的一个子类。
·循环码除了具有线性分组码的封闭性外，还具有一个独特的特点：循环性。
所谓循环性是指：一个()k n ,循环码中每个码组经任意循环移位之后，仍然是一个码组。
表10.4.1给出了一种（7，3）循环码的全部码组。
其中，全零码组自身形成一个封闭的自我循环，其余码组形成一个周期为7=n 循环环。
可见，循环码是指它的任一码组循环移位后仍然是码组，而不是所有码组都可由一个码组循环而得。
·循环码的这一外在特点，给循环码的编译码实现带来了便利。
目前，实用差错控制系统中所使用的线性分组码几乎都是循环码或循环码的子类(如BCH 等)。
10.4.1 循环码的多项式描述1. 码多项式定义：码组A = ()011,,,a a a n Λ-的码多项式为()0111a x a x a x T n n +++=--Λ （10.4.1） 例如，码组A =（1100101）可以表示为()1256+++=x x x x T 。
在码多项式中，x 的幂次指示码元的位置，其系数代表码元的取值。
因此，我们并不关心x 本身的值。
2. 码多项式的按模运算在码多项式运算中也有类似的按模运算。
若一任意多项式()x F 被一n 次多项式()x N 除，得到商式()x Q 和一个次数小于n 的余式()x R ，即()()()()()x N x R x Q x N x F += （10.4.2） 或 ()()()()x R x Q x N x F += （10.4.3） 则在模()x N 运算下()()()[]x N x R x F m od ≡ （10.4.4）这里，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1。
例10.4.1 124++x x 被13+x 除，求余式。
解 用长除法注意，由于在模2运算中，用加法代替了减法，故余式不是12+-x x 而是12++x x 。
111132324++++=+++x x x x x x x ()1mod 113224+++≡++x x x x x3. 循环码多项式的模运算把一个码组表示成码多项式的形式后，循环码的循环特性可按如下方式表示。
——循环码的译码
循环码的定义和特性定义循环码是一种具有循环特性的线性分组码。
它将k位信息位编码成n位码字，其中n-k为冗余位，用于检测和纠正错误。
特性循环码的两个重要特性是封闭性和循环性。
封闭性指的是两个循环码的和仍然是循环码；循环性指的是循环码的任意循环移位后的结果仍然是循环码。
循环码译码的原理工业控制在工业控制系统中，循环码的译码可用于数据传输的错误检测和纠正，确保控制系统的稳定性和安全性。
循环码译码的应用场景通信领域循环码在数字通信中应用广泛，如移动通信、卫星通信等。
在这些场景中，循环码的译码用于检测和纠正传输过程中的误码，提高通信质量。
存储领域在数据存储领域，如固态硬盘（SSD）、光盘等存储介质中，循环码的译码用于纠正存储数据的错误，提高数据的可靠性和完整性。
航空航天在航空航天领域，由于空间环境恶劣，通信链路容易受到干扰，循环码的译码对于确保航天器与地面站之间的可靠通信具有重要意义。
循环码的编码方法线性反馈移位寄存器法生成多项式法硬判决译码：硬判决译码方法是对接收到的信号进行量化，然后进行译码。
这种方法简单直接，但在低信噪比下性能较差。
循环码的译码方法软判决译码：与硬判决译码不同，软判决译码充分利用了接收信号的幅度信息，提高了译码性能。
但软判决译码实现复杂度相对较高。
迭代译码：迭代译码方法通过多次迭代，逐步逼近正确码字，以提高译码性能。
这种方法在长码长和高纠错能力下具有优势。
以上各种方法各有特点，在实际应用中，需根据具体场景和需求选择合适的方法。
循环码的纠错能力最小距离与纠错能力纠错算法纠错能力定义循环码的误码性能误码性能定义误码率与信噪比仿真与分析与其他码字的比较这是一种迭代算法，用于确定错误位置多项式并纠正错误。
BM算法是循环码译码中最常用的算法之一，具有高效和准确的特点。
BM（Berlekamp-Massey）算法该算法基于欧几里得算法求解最大公约数，能够找到错误图样，并用于纠正循环码中的错误。
相比于BM 算法，欧几里得算法在某些情况下更加简单。
循环码
再以数字0的七位ASCII码（0110000）为例，如果传送后右边第一位出错，0变成1。接收端还认为是一个合法的代码0110001（数字1的ASCII码）。若在最左边加一位奇校验位，编码变为10110000，如果传送后右边第一位出错，则变成10110001，1的个数变成偶数，就不是合法的奇校验码了。但若有两位（假设是第1、2位）出错就变成10110011，1的个数为5，还是奇数。接收端还认为是一个合法的代码（数字3的ASCII码）。所以奇偶校验不能发现。
【例】2001年初级程序员试题
由 6 个字符的 7 位 ASCII 编码排列，再加上水平垂直奇偶校验位构成下列矩阵（最后一列为水平奇偶校验位，最后一行为垂直奇偶校验位）:
字符 7 位 ASCII 码 HP
3 0 X1 X2 0 0 1 1 0
Y1 1 0 0 1 0 0 X3 1
m位数字
横向奇偶位
n
个
码
字
a1 a2 … am-1 am HP1
b1 b2 … bm-1 bm HP2
c1 c2 … cm-1 cm HP3
… … … … … …
n1 n2 … nm-1 nm HPn
VP1 VP2 … VPm-1 VPm HPn+1
4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。
如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。
校验位数的位数
推求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k。考虑长度为m位的信息，若附加了k个校验位，则所发送的总长度为m+k。在接收器中要进行k个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最多2k种不同状态。 这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件。于是剩下的（2k-1）种状态，可以用来判定误码的位置。于是导出下一关系：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
系统循环码
• 根据生成多项式g(x)可以直接对k-1次信息多项式 d(x)编码，即c(x)=d(x)g(x) mod xn-1，当g(x)可以 整除xn-1时，构成循环码。 • 系统码指的是在编码序列中包含所有信息位的编 码。上述方法形成的循环码不是系统码。 • 系统循环码的生成：C(x) = d(x)xn-k + r(x) 0 mod g(x)。即将信息序列左移n-k位，加上一个n-k-1次 的校验多项式r(x)，其中的r(x)= -d(x)xn-k mod g(x)。
循环码的译码
• 循环码译码时，可将错误图案按循环分 类，这样就可以对伴随式进行分类，类 数就要比图案数少得多。例如，只将首1 错误图案与相应的伴随式造表，通过多 次移位，总能出现相应的伴随式，此时 对首位纠正即可。
循环码的生成多项式
• （回顾）以xn-1为模的剩余类代数中，循环子 空间与理想等价。其生成元中次数最低的首一 多项式为生成多项式 • 循环码的生成多项式必为xn-1的因子，同一个 循环子空间可以有多个生成元，而所有这些生 成元都应与xn-1有公因式，此公因式化为首一 多项式即为其生成多项式。 • 反之，若g(x)|(xn-1)，则g(x)可以生成一个循环 码，且当g(x)为n-k次多项式时，可生成(n,k)码
回顾（3）
• 域的加法结构：域的特征、元素的周期、 素子域、基域与扩域 • 域的多项式结构：共轭根系、w的最小多 项式、本原多项式、用最小多项式根表 示的域、多项式的周期 • 剩余类线性结合代数，当以xn-1为模时， 循环子空间与理想等价，生成多项式。
有限域举例
• 构造一个4元环：整数环中的模4剩余类环 • 构造一个4元域：
BCH码
• 用GF(qm)中的n级元素的-1个连续幂次 为根的多项式生成的循环码称为BCH码。 它的自由距不小于。如果根集中有本原 元。则码长n=qm-1，称为本原BCH码
RS码
• GF(q)上的码长N=q-1的本原BCH码称RS 码 • RS码的符号域与根域相同 • RS码生成多项式g(x)=(x-m0) (xm0+1)…(x-m0+-2)，常取m0=1。其码距 为。即生成的码为(n,k,d)=(q-1, q-, )。 因此RS码被称为极大最小距离可分码。
例（续）
• 由于所要求的其它必含根2、3、4都包括在 这个共轭根系中，它们有相同的最小多项式 g(x)=m(x) =(x-)(x-2) (x-4) (x-8) (x-16) (x-9) (x-18) (x-13) (x-3) (x-6) (x-12) = x11 + x9 + x6 + x5 + x4 + x2 + 1 • 这部是著名的Golay码，能纠3个错，是一种 完备码。（上面的化简中要用到m()=0和 =89 ）
第五讲
循环码
回顾（1）
• 为了简化好码搜索、便于分析及简化译 码方法，在线性运算封闭约束的基础上， 又加入了循环封闭的约束 • 当循环码用多项式表示时，可以很好的 利用近世代数的知识，因此介绍了一些 基础知识和概念
回顾（2）
• 群：子群和陪集 • 环：子环、理想、主理想、多项式剩余 类环 • 域的乘法结构：域的乘法群是循环群、 元素的级、循环群的阶、生成元，域的 本原元
互反多项式与零空间
• 由于xn-1 可被g(x)整除，xn-1=g(x)h(x) • 若h(x)=htxt+ht-1xt-1+…+h1x+h0，则h*(x)= h0xt+h1xt-1+…+ht-1x+ht为h(x)的互反多项 式 • g(x)和h*(x)均可生成长度为n的循环码， 且互为零空间
子码
用生成项式的根定义循环码
• 研究表明，生成多项式有重根的码一般 都要比无重根的码差，因此只考虑无重 根的码，或构造无重根的多项式。 • GF(q)上多项式xn-1无重根的充要条件是n 与q互素。因此对GF(2)而言，充要条件 即为n为奇数。
合法码字与生成多项式的根
• 若g(x)有r个不相等的根，则每个根必为 每个码多项式的根，因此可将所有根代 入是否为零来验证是否为码多项式。 （此处的运算是在扩域GF(qm)上的）
用根形成生成多项式举例
• GF(211)中，为本原元，令=89，求以、 2、3、4为根的二进制循环码。的级 数为211-1=2047=8923，23=(89)23=1， 因此的级为23，如果以为根，则它的 共轭根系也为根：、2、4、8、16、 32=9、18、36=13、26=3、6、12。
• 每个根都可有一个最小多项式，而生成 多项式则是所有根的最小多项式的最小 公倍式 ei • 每个根都有级数ei，即 i 1 ，则码长 为所有级的最小公倍数 • 同一共轭根系的根在验证码字时的效果 相同，因此只需考虑其中一个即可
用指定的根求生成多项式
• 给定必含根，求生成多项式g(x)时，要先 找出各个根的最小多项式（可计算或查 表），然后求它们的公倍式。由于共轭 根系的最小多项式相同，因此首先要找 出必含根中包括哪几个共轭根系
– – – – 模4运算没有逆 4=22，因此可以从GF(2)形成扩域 找一个GF(2)一的2次不可约多项式：f(x)=x2+x+1 找到用多项式表示的GF(22)的另两个元素：a=x，b=x+1。（即 所有低于2次的多项式） – 定义GF(2)上的模f(x)运算，得到乘法表，显然a与b互逆。 – 可以验证a和b是f(x)的两个根，构成共轭根系，显然它们不属 于GF(2)，而属于扩域 – 由于乘法群的阶数22-1=3是一个素数，a和b的级都是3，因此 它们都是本原元，f(x)是一个GF(2)上的本原多项式