151 有理数的乘方51 乘方1
151有理数的乘方教案
151有理数的乘方教案教学目标：1.了解有理数的乘方运算；2.掌握有理数的乘方的性质；3.能够灵活运用有理数的乘方进行计算及解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
教学重点：1.有理数的乘方运算；2.有理数的乘方的性质；3.有理数乘方的应用。
教学难点：1.解决实际问题时如何有效地运用有理数的乘方。
教学准备：1.教师准备白板、彩色粉笔和教具如计算器等；2.学生准备课本、笔记本和笔。
教学过程：第一步、导入新知识（5分钟）1.让学生回顾与有理数相关的知识，引出今天的学习内容；2.学生重温乘法的运算法则，回忆乘方运算的定义和性质。
第二步、讲解有理数的乘方（25分钟）1.通过例题和讲解，引出有理数的乘方的定义；2.讲解有理数的乘方的性质，包括指数为0、1的情况，指数为负数的情况；3.引导学生理解以下公式：-a⁰=1(a≠0)-a¹=a-aʳ·aˢ=aʳ⁺ˢ(其中r,s为任意整数)-aʳ⁺ˢ=aʳ·aˢ(其中r,s为任意有理数)第三步、练习习题（20分钟）1.点拨学生解题思路，鼓励学生积极参与；2.基础题型练习，如：2⁴、5²、(-3)³等；3.拓展题型练习，如：(2/3)²、(-4/5)³等；4.实际问题练习，如：一个物体从10米高的地方落下，每次弹起的高度是原来的一半，问第n次弹起后物体的总的下落距离是多少？第四步、解答问题和总结（10分钟）1.解答学生的问题，澄清有关有理数的乘方的疑惑；2.总结有理数乘方的性质和应用；3.鼓励学生独立思考和总结，提高学生的综合运用能力。
第五步、课堂小结和布置作业（5分钟）1.小结本节课的内容和要点；2.布置相关的课后习题，巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生对有理数的乘方有了更深的理解，掌握了有理数乘方的性质和应用方法。
在教学过程中，通过灵活运用不同的题型和实际问题的练习，激发了学生学习的兴趣。
人教版数学七年级上册1.5.1《有理数的乘方(1)》教学设计
人教版数学七年级上册1.5.1《有理数的乘方（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册1.5.1《有理数的乘方（1）》是学生在学习了有理数的加减乘除、相反数、绝对值等概念的基础上，进一步深化对有理数运算法则的理解。
本节课主要让学生掌握有理数的乘方运算，为后续学习幂的运算、指数函数等知识打下基础。
教材通过具体的例子引导学生探究有理数乘方的规律，从而让学生自主发现并掌握有理数乘方的法则。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数的加减乘除运算较为熟悉。
但是，对于有理数的乘方运算，学生可能存在一定的困难，因为乘方运算涉及到多个有理数的乘积，运算规则相对复杂。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例探究有理数乘方的规律，让学生在理解的基础上掌握乘方运算。
三. 教学目标1.理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的法则。
2.能够熟练进行有理数的乘方运算。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：有理数乘方的概念，有理数乘方的法则。
2.教学难点：有理数乘方运算的规律，有理数乘方在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例导入：通过具体的例子引导学生探究有理数乘方的规律。
2.小组讨论：让学生分组讨论，共同发现有理数乘方的法则。
3.练习巩固：通过大量练习，让学生熟练掌握有理数乘方运算。
4.实际应用：引导学生运用有理数乘方知识解决实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示有理数乘方的例子和知识点。
2.练习题：准备适量练习题，巩固学生对有理数乘方的掌握。
3.教学道具：准备一些教学道具，如卡片、小黑板等，方便学生直观地理解乘方运算。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入有理数乘方的概念，如：2的3次方表示2乘以自己3次，即2×2×2=8。
让学生初步认识有理数乘方。
2.呈现（10分钟）展示多个有理数乘方的例子，引导学生发现有理数乘方的法则。
1.5.1 有理数的乘方
1.5.1 有理数的乘方《151 有理数的乘方》在数学的广袤天地中，有理数的乘方就像是一座神秘而有趣的城堡，等待着我们去探索和理解。
当我们踏入这个领域，会发现它有着独特的规律和奇妙的应用。
首先，让我们来弄清楚什么是有理数的乘方。
简单来说，乘方就是同一个数的连乘。
比如 2 的 3 次方，表示 3 个 2 相乘，即 2×2×2 ＝ 8。
这里的 2 被称为底数，3 被称为指数，而 8 则是乘方的结果，也叫做幂。
有理数的乘方有着一些重要的性质和规律。
比如正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
这就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们快速判断乘方结果的正负性。
那有理数的乘方在实际生活中有什么用处呢？其实，它的应用非常广泛。
假设你在银行存钱，年利率是 5%，如果存了 2 年，那么最终得到的本息和就可以用乘方来计算。
第一年本金乘以（1 ＋ 5%），第二年本金乘以（1 ＋ 5%）的平方，这样就能清楚地算出最终能拿到多少钱。
再比如，在研究细胞分裂时，一个细胞每过一小时分裂一次，经过n 小时后，细胞的总数就是 2 的 n 次方个。
通过乘方，我们能够很直观地了解到细胞数量的增长速度。
有理数乘方的计算也有一些小技巧。
比如当指数较大时，可以先将底数进行分解，再利用乘方的性质进行计算。
比如计算 16 的 4 次方，可以先把 16 写成 2 的 4 次方，那么 16 的 4 次方就等于 2 的 16 次方，这样计算起来会更加简便。
在解决与有理数乘方相关的问题时，我们需要特别注意指数和底数的关系，以及符号的变化。
有时候，一个小小的疏忽可能就会导致结果的错误。
例如，计算（－2）的 3 次方和－2 的 3 次方，这两个式子看起来相似，但结果却不同。
（－2）的 3 次方等于－8，而－2 的 3 次方等于－8。
所以，在计算时一定要仔细分辨。
有理数的乘方还与科学记数法有着密切的联系。
当一个数特别大或特别小时，用科学记数法表示会更加方便。
数学人教版七年级上册1.5.1有理数的乘方.5.1有理数的乘方教学设计与反思
目标检测
1、在46中，底数是，指数，
2、（-4）7读做；
3、（-4）12的结果是数（填“正”或“负”）；
4、计算：=；
5、计算：（-1）2n+（-1）2n+1=；
课后作业
教材p47立完成，师生共同订正
通过练习使学生对这节课的知识得以巩固，加深理解
对折3次可裁成8张，即2×2×2张；
问题（1）：
若对折10次可裁成几张？请用一个算式表示（不用算出结果）
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
有10个2相乘
若对折100次，算式中有几个2相乘？
在这个积中有100个2相乘。这么长的算式有简单的记法吗？
问题（2）：
2个a相加可记为：a+a=a×2
边长为a的正方形的面积可记为：
七、教学评价设计
在探索法则的教学环节中，教师放手学生操作，把课堂还给学生，真正体现学生的主体地位，教师起到一个引导者、合作者、组织者的作用，学生在合作交流与自主探索的过程中归纳出有理数乘方的符号法则。在练习设计中，设置不同难度的计算题，让不同的学生都得到训练，得到提高。为了使学生真正掌握重难点，熟练的进行有理数的乘方运算，设计了一定的试题教学，难点得以突破，学生的能力得到提高，同时培养了学生集体合作的意识。
a×a=a2
3个a相加可记为：a+a+a=a×3
棱长为a的正方体的体积可记为：
a×a×a=a3
4个a相加可记为：a+a+a+a=a×4
那么4个a相乘可记为：
a×a×a×a=a4
n个a相加可记为：a+a+…+a=a×n
n个a相乘可记为：a×a×…×a=an
1.5.1有理数的乘方(一)教案
1.5.1有理数的乘方（一）教学目标：知识与技能：1、理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算.2、培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力，以及学生的探索精神. 过程与方法：教法主要采用启发式教学；学法引导学生自主探索去观察、交流、归纳。
情感、态度、价值观：渗透分类讨论思想.教学重点：有理数乘方的运算教学难点：有理数乘方运算的符号法则教学过程：（一）、提出问题在小学我们已经学习过a ·a ，记作a 2，读作a 的平方(或a 的二次方)；a ·a ·a 作a 3，读作a 的立方(或a 的三次方)；那么，a ·a ·a ·a 可以记作什么?读作什么?a ·a ·a ·a ·a 呢?(n 是正整数)呢?（二）、试一试在小学对于字母a 我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数，那么a 还可以取哪些数呢?请举例说明（三）、探索1、求n 个相同因数的积的运算叫做乘方2、乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数一般地，在a n 中，a 取任意有理数，n 取正整数应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。
一个数可以看作这个数本身的一次方。
例如，5就是51.指数1通常省略不写。
3、我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，a n 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算例1 计算：a a a an a ⋅⋅个(1)24 (2)3（-2） （3）()24- （4）323⎛⎫- ⎪⎝⎭ 引导学生观察、比较、分析这些计算题中，幂的符号有什么规律?(1)正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零(2)互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等(3)任何一个数的偶次幂都是非负数你能把上述的结论用数学符号语言表示吗? （板书）当a>0时，a n >0(n 是正整数)；当a<0时, ⎧⎨⎩ ； 当a=0时，a n =0(n 是正整数)(以上为有理数乘方运算的符号法则)例2 计算：(1)(-2)4 (2)-24 (3) 223⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4) 223 教师引导学生纵向观察第(1)题和第(2)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，(-a)n 的底数是-a ，表示n 个(-a)相乘，-a n 是a n 的相反数，这是(-a)n 与-a n 的区别观察第(3)题和第(4)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种运算了课堂练习: P42：1（四）、小结让学生回忆，做出小结：1、 乘方的有关概念；2、乘方的符号法则；3、括号的作用；（五）、作业设计课本P47：1、2a n >0(n 是正偶数) a n <0(n 是正奇数)。
151 有理数的乘方(解析版)
1.5.1有理数的乘方有理数乘方的概念题型一：有理数乘方的概念【例题1】（2021·河北唐山市·九年级二模）对于16n 叙述正确的是（ ） A ．n 个15n 相加 B ．16个n 相加 C ．n 个16相乘 D ．n 个16相加【答案】A 【分析】结合有理数的乘方把每一个选项都用含n 的代数式表示出来，即可选择． 【详解】选项A 可表示为1516n n n =； 选项B 可表示为1616n n =； 选项C 可表示为16n ； 选项D 可表示为1616n n =；知识点管理 归类探究 乘方概念：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即a ×a ×a ⋯×a ⏟ n 个，记作na ，读作a 的n 次方。
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
na读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幂。
要点诠释：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
故选A．【点睛】本题考查有理数的乘方，理解有理数幂的概念是解答本题的关键．变式训练【变式1-1】（2021·河北邯郸·九年级二模）313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是（）A．111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．()()()1113-⨯-⨯-D．()1333-⨯⨯【答案】A【分析】直接根据乘方的意义解答即可．【详解】解：313⎛⎫-⎪⎝⎭表示的意义是111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选A．【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a·…·a计作a n，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n中，a叫做底数，n叫做指数．【变式1-2】（2020·浙江七年级单元测试）下列说法正确的是（）A．32-的底数是2-B．32读作：2的3次方C．27的指数是0D．负数的任何次幂都是负数【答案】B【分析】根据有理数乘方的定义解答．【详解】解：A、-23的底数是2，故本选项错误；B、23读作：2的3次方，故本选项正确；C、27的指数是1，故本选项错误；D 、负数的偶数次幂是正数，故本选项错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，要知道，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数． 【变式1-3】（2019·浙江温州市·七年级期中）()43-底数是____，运算结果是____． 【答案】-3 81 【分析】根据有理数的乘方的定义和法则解答即可． 【详解】解：()43-的底数是3-， 运算结果是()43-=81， 故答案为：-3，81． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟记概念是解题的关键．有理数乘方的符合问题题型二：有理数乘方的符合问题【例题2】（2021·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）()20211-=（ ）A ．-1B ．1C ．-2021D ．2021【答案】A 【分析】由负数的奇次方是负数即可得出结果． 【详解】 解：()202111-=-，故选A ． 【点睛】负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
人教版七年级上册数学教案：1.5有理数的乘方1.5.1乘方
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与乘方相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用纸片折叠来演示乘方的概念。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“乘方在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
人教版七年级上册数学教案：1.5有理数的乘方1.5.1乘方
一、教学内容
人教版七年级上册数学教案：1.5有理数的乘方1.5.1乘方
1.乘方的定义与性质；
2.正整数乘方的运算方法；
3.零指数幂和负整数指数幂的运算规则；
4.乘方在生活中的应用实例；
5.相关习题练习，巩固乘方的概念和运算方法。
二、核心素养目标
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：有理数的乘方概念、运算法则及其应用。
-重点讲解：
a.乘方的定义，特别是负整数指数幂和零指数幂的意义。
b.正整数乘方的运算步骤，以及如何运用乘方的性质简化计算。
c.乘方在实际问题中的应用，例如计算面积、体积等。
d.通过具体例子，展示乘方与乘法的关系，加深学生对乘方概念的理解。
1.培养学生运用数学语言表达和理解乘方概念的能力，提高数学抽象思维；
2.培养学生运用乘方运算规则解决实际问题的能力，提升数学逻辑推理和数学建模素养；
3.培养学生通过探索乘方的性质和规律，发展数学直观想象和数据分析素养；
4.培养学生合作交流、积极参与课堂讨论的习惯，提高数学表达和沟通能力；
5.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，增强数学应用意识和创新意识我们将要学习的是《有理数的乘方》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要重复计算相同加数或乘数的情况？”比如，我们想计算4个2相乘的结果，这就是一个乘方的问题。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索乘方的奥秘。
七年级数学上册1.5有理数的乘方1.5.1乘方(2)教案
课题：1.5.1乘方(2)教学目标：能较熟练地进行有理数的混合运算，培养学生的运算能力．重点：有理数的混合运算．难点：正确而合理地进行有理数的混合运算．教学流程：一、知识回顾问题1：什么是乘方运算？你能指出幂的各部分名称吗？答案：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.问题2：我们现在都学习了哪些运算？它们运算的结果叫什么？答案：加法、减法、乘法、除法、乘方结果分别为和，差，积，商，幂.引入：32(3)4(3)15⨯--⨯-+应如何计算呢？指出：一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算，称为有理数的混合运算.二、探究1想一想：有理数混合运算应按怎样的运算顺序进行计算呢？归纳：有理数混合运算的运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 例1：计算 312(3)4(3)15⨯--⨯-+（）；3222(2)(3)(4)2(3)(2)⎡⎤-+-⨯-+--÷-⎣⎦（） 解：312(3)4(3)15⨯--⨯-+（） 2(27)(12)15=⨯---+541215=-++27=-3222(2)(3)(4)2(3)(2)⎡⎤-+-⨯-+--÷-⎣⎦（）8(3)(162)9(2)=-+-⨯+-÷-8(3)18( 4.5)=-+-⨯--854 4.5=--+57.5=-练习1：1.计算－23＋(－2×3)的结果是( )A.0B.－2C.－12D.－14答案：D2.下列各式计算正确的是( )A.7－2×(－15)＝5×(－15)＝－1B.－3÷7×17＝－3÷1＝－3C.－32－(－3)2＝－9－9＝－18D.3×23－2×9＝3×6－18＝0答案：C3.计算：103(1)(1)2(2)4;-⨯+-÷341(2)(5)3();2--⨯-111135(3)();532114⨯-⨯÷422(4)(10)[(4)(33)2].-+--+⨯ 解：103(1)(1)2(2)412(8)42(2)-⨯+-÷=⨯+-÷=+-=341(2)(5)3()21(125)316312516312516--⨯-=--⨯=--=- 111135(3)()53211411134()56115225⨯-⨯÷=⨯-⨯⨯=- 422(4)(10)[(4)(33)2]10000[16(39)2]10000(16122)10000(1624)10000(8)9992-+--+⨯=+-+⨯=+-⨯=+-=+-= 三、探究2例2：观察下列三行数：－2， 4， －8， 16， －32， 64，…； ①0， 6， －6， 18， －30， 66，…； ②－1， 2， －4， 8， －16， 32，…. ③(1)第①行数按什么规律排列？分析：观察①，各数均为2的倍数，联系乘方，从符号及绝对值两个方面考虑，可以发现排列的规律.解：234(1)2,(2),(2),(2),----⋅⋅⋅追问：第①行第10个数是多少呢？答案：10(2)-(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？解：(2)对比①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行数是第①行相应的数加2，即 23422,(2)2,(2)2,(2)2,-+-+-+-+⋅⋅⋅对比①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行数是第①行相应的数的0.5倍，即23420.5,(2)0.5,(2)0.5,(2)0.5,-⨯-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和.解：(3)每行数中的第10个数的和是：101010(2)(2)2(2)0.51024(10242)10240.5102410265122562⎡⎤-+-++-⨯⎣⎦=+++⨯=++=练习2：1.观察下列各组数，按规律在横线上填上合适的数：(1)1，－4，9，－16，25，______，______，…；答案：－36，49(2)12，15，110，117，126，______，______，…. 答案：137，1502.观察下列按规律排列的等式：1×0＋1＝12，2×1＋2＝22，3×2＋3＝32，4×3＋4＝42……请你猜想第10个等式应为________________．答案：10×9＋10＝102四、应用提高为了求1＋2＋22＋23＋…＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋ (2100)则2S ＝2＋22＋23＋24＋ (2101)因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1.依照以上推理计算：1＋3＋32＋33＋ (32000)解：设S ＝1＋3＋32＋33＋ (32000)则3S ＝3＋32＋33＋34＋ (32001)因此3S －S ＝32001－1，所以S ＝32001－12，即1＋3＋32＋33＋…＋32000＝32001－12五、体验收获今天我们学习了哪些知识？1．有理数混合运算应如何计算？2．有理数混合运算时，要注意什么？六、达标测评1.下列运算结果为正数的是( )A.－42×5B.－(－4)2×5C.－|－42|×(－2)3D.－(－42)÷(－1)3答案：C2.观察下列算式并总结规律：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…. 用你发现的规律写出3999的末位数字是( )A.3B.9C.7D.1 答案：C3.按照如图的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为________．答案：55追问：如果输入的数字是4呢？答案：28达标测评4.计算：(1)2×(－3)－3÷(－12)－(－1)3；(2)－10×(－2)－8÷(－2)2－(－3)3÷(－3)2；(3)－3－[－22＋(23－4)÷(－113)]；(4)323×(13－12)×311×(－6)2－|－2|.答案：(1)1；(2)21；(3)4；(4)－8.七、布置作业教材47页习题1.5第3题．。
人教版数学七年级上册第一章有理数《1.5.1乘方》教案
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调乘方的定义和运算法则这两个重点。对于难点部分，如负数的乘方，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与乘方相关的实际问题，如计算不同边长的正方体的体积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用小正方体拼成大正方体，演示乘方的实际意义。
-乘方性质的应用：如何将乘方的性质应用到解决问题中，如判断一个负数的奇偶数次幂的正负，需要通过具体案例讲解。
-解决实际问题时乘方的应用：学生在将乘方知识应用于解决实际问题时可能不知如何下手，需要教师通过典型例题引导学生分析问题、建立数学模型。
举例解释：
（1）教学重点：以2的3次方为例，教师应强调2的3次方表示3个2相乘，即2×2×2=8。通过类似的例子，使学生掌握乘方的定义。
人教版数学七年级上册第一章有理数《1.5.1乘方》教案
一、教学内容
人教版数学七年级上册第一章有理数《1.5.1乘方》教案：
1.理解乘方的概念，掌握有理数的乘方运算法则；
2.学习有理数乘方的性质，如负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数；
3.能够运用乘方解决实际问题，如计算面积、体积等；
4.本章内容涉及以下知识点：
-乘方的性质：包括正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数等。
-乘方在实际问题中的应用：运用乘方解决面积、体积等实际问题，如计算正方体的体积。
七年级数学上册 1.5 有理数的乘方 1.5.1 乘方(1)教案
课题：1.5.1乘方(1)教学目标：理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数的乘方运算.重点：理解有理数乘方的意义和表示，会进行乘方运算.难点：幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算.教学流程：一、情境引入棋盘上的学问古时候，有个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒，…，一直到第64格.”“你真傻！就要这么一点米？”国王哈哈大笑.这位大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”问题：第5个格该如何列式呢？有没有一种简写形式呢？答案：2×2×2×2×2二、探究1问题：列式计算：边长为2cm的正方形的面积是：____________棱长为2cm的正方体的体积是：____________答案：2×2＝4(cm²)；2×2×2＝8(cm³)追问1：2×2与2×2×2都是相同因数的乘法，有没有简写形式呢？强调：2×2记作：2²，读作：2的平方或2的二次方2×2×2记作：2³，读作：2的立方或2的三次方 追问2：下面的式子应如何呢？(－2)×(－2)×(－2)×(－2)记作：(－2)4，读作：－2的四次方22222()()()()()55555-⨯-⨯-⨯-⨯-记作：52()5-，读作：25-的五次方 归纳：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即n a a a ⋅⋅⋅个记作a n，读作“a 的n 次方”.练习1：填空：222222(1)()()()()()()333333-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-记作：_________，读作：__________答案：62()3-，23-的六次方 (2)2222-⨯⨯⨯记作：___________，读作：________________答案：－24，2的四次方的相反数 想一想：(－2)4与－24一样吗？为什么？ 三、探究2指出：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.注意： 当a n看作a 的n 次方的结果时，也可读作：a 的n 次幂 练习2： 填空：(1)在94中，底数是______， 指数是______， 读作： __________或__________. 答案：9，4，9的四次方，9的四次幂(2)在5中，底数是______， 指数是______， 提示：一个数可以看作这个数本身的一次方. 如：5＝51答案：5，1强调：指数1通常省略不写 四、探究3例1 计算：(1) (－4)3； (2) (－2)4； (3)32()3-.追问1：如何进行乘方运算呢？ 答案：乘方运算转化为乘法运算. 追问2：(－4)3表示什么含义？ 答案：表示3个－4相乘.解：(1) (－4)3＝(－4)×(－4)×(－4)＝－64； (2) (－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝16；322228()()()()()333327-=-⨯-⨯-=-3练习3： 计算：1073334451(1)(1);(2)(1);(3)8;(4)(5);(5)0.1;(6)();(7)(10);(8)(10).2------解：107333445(1)(1)1;(2)(1)1;(3)8512;(4)(5)125;11(5)0.10.001;(6)();216(7)(10)10000(8)(10)100000.-=-=-=-=-=-=-=-=- 五、探究4观察：(－4)3＝－64；(－2)4＝16；328()327-=-你发现负数的幂的正负有什么规律吗？ 当指数是______数时，负数的幂是______数； 当指数是______数时，负数的幂是______数. 答案：奇，负，偶，正归纳：根据有理数乘法法则可以得出： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 正数的任何次幂都是正数， 0的任何正整数次幂都是0. 练习4：1.任何一个有理数的偶数次幂( )A.一定是正数B.一定是负数C.一定不是负数D.一定大于它的绝对值答案：C强调：一个数偶次幂总是非负数(正数或0).如：a2≥02.若|x＋2|＋(y－3)2＝0，则x y的值为( )A.8B.－8C.9D.－9分析：∵ |x＋2|≥0，(y－3)2≥0又∵ |x＋2|＋(y－3)2＝0∴x＋2＝0，y－3＝0∴x＝－2，y＝3∴x y＝(－2)3＝－8答案：B六、应用提高1.你知道国际象棋棋盘上能放多少粒米吗？提示：1000粒大米的重在18至23克， 1kg大米约50000粒左右.216＝65536(超过1kg了！)226＝67108864(超过1t了！追问：你认为国王的国库里有这么多米吗？2.用计算器计算(－8)5和(－3)6 .七、体验收获今天我们学习了哪些知识？1.什么是乘方、幂、底数、指数？2.如何进行有理数的乘方运算？ 八、达标测评1.关于式子(－5)4，下列说法错误的是( )A.表示(－5)×(－5)×(－5)×(－5)B.－5是底数，4是指数C.－5是底数，4是幂D.4是指数，(－5)4是幂 答案：C2.下列式子正确的是( )A.(－6)×(－6)×(－6)×(－6)＝－64B.(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2) C.－54＝(－5)×(－5)×(－5)×(－5) D.25×25×25＝235 答案：B3.计算(－3)2的结果是( )A.－6B.6C.－9D.9答案：D4.－23等于( )A.6B.－6C.－8D.8答案：C 5.下列计算：①(－1)2＝1；②－12＝1；③－(－1)2＝1；④02＝0；⑤(－23)2＝43.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B6.当n 是正整数时，(－1)2n ＋1－(－1)2n的值是( )A.2B.－2C.0D.2或－2 答案：B7.a 是任意有理数，下列说法正确的是( )A.(a ＋1)2的值总是正数B.a 2＋1的值总是正数C.－(a ＋1)2的值总是负数 D.a 2＋1的值中最大的是1答案：B8.计算：(1)(－7)2； (2)(－12)3； (3)(－113)4； (4)－22＋(－3)2.解：2(1)(7)7749-=⨯=311111(2)()22228-=-⨯⨯=-414444256(3)(1)3333381-=⨯⨯⨯=22(4)2(3)495-+-=-+=9.规定“☆”是一种运算符号，且a ☆b ＝a b －b a ，例如：2☆3＝23－32＝8－9＝－1，试计算4☆(3☆2)的值.解：4☆(3☆2)＝4☆(32－23)＝4☆1＝41－14＝3 所以4☆(3☆2)的值是3. 九、布置作业教材47页习题1.4第1题.。
人教版-数学-七年级上册- 1有理数1.5有理数的乘方1.5.1乘方
1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方知能演练提升能力提升1.13世纪数学家斐波那契的(计算书)中有这样一个问题:“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为( )A.42B.49C.76D.772.下列各式中，一定成立的是( )A.(-34)2=-(34)2=-324B.2+2+2+2=24C.(-3)3=33D.(-3)4=343.28 cm 接近于( )A.珠穆朗玛峰的高度B.三层住宅楼的高度C.一层住宅楼的高度D.一张纸的厚度4.现规定一种新的运算“*”，a*b=a b -1，如3*2=32-1=8，则(-12)*3等于( )A.-78B.-118C.-212D.- 5.把13×13×13×13×13写成乘方的形式为 ，其底数是 .6. 的平方是164， 的立方是-164.7.若x ，y 互为倒数，则(xy )2 017= ;若x ，y 互为相反数，则(x+y )2 018= . 8.计算:(1)-52+2×(-3)2-7÷(-13)2; (2)(-5)2×(-35)+32÷(-2)3×(-114).创新应用9.有一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，截了第7次后剩下的木棒有多长？★10.观察下列各组数:①-1，2，-4，8，-16，32，…;②0，3，-3，9，-15，33，…;③-2，4，-8，16，-32，64，….(1)第①组数是按什么规律排列的？(2)第②③组数分别与第①组数有什么关系？(3)取每组数的第8个数，计算这三个数的和.参考答案能力提升1.C根据题意，得刀鞘数为7×7×7×7×7×7=76.2.D3.C28 cm=256 cm=2.56 m，所以接近于一层住宅楼的高度.4.B(-12)*3=(-12)3-1=-12×12×12-1=-18-1=-118.5.(13)5136.±18-147.10若x，y互为倒数，则xy=1，所以(xy)2 017=12 017=1;若x，y互为相反数，则x+y=0，所以(x+y)2 018=02 018=0.8.解 (1)-70;(2)-10.创新应用9.解 1×(12)7=1128(米).答:截了第7次后剩下的木棒长1128米.10.解 (1)后面一个数与前面一个数的比值为-2.(2)对比①②③三组中对应位置的数，第②组数比第①组数大1，第③组数是第①组数的2倍.(3)128+129+256=513.。
151 有理数的乘方51 乘方1
n个a
读作：a的n次方
也可读作a 的n 次幂 求ｎ个相同因数的积的运算，叫做乘方。 乘方的结果叫做幂。
an= a ·a ·… ·a
n个
底数
an
指数 幂 ?? 7 ?8呢？
运算 加法 减法 乘法 除法 乘方
结果 和
差
积
商幂Biblioteka 幂a1指数 底数
读出下列各式，并指出每个的底数和 指数及其意义。
7 4 , ( 2 ) 2 , ?? 3 ?5 , 0 8 , 6
２ 层数可
表示为 2
２×２ ２×２×２ ２×２×２×２ ２×２×２×２×２ …
22
23
24
25
如果对折n次，那么纸的层数是 __2n___.
a·a ·a·a·a呢?a ·a·a……a ( 共有n个a, n 是正整数) 呢?
概念
一般地，几个相同的因数a 相乘，即
a???a?? ?a ??????a a 记作： n 。
吗？
应用
1个细胞30分钟后分裂成2个，经过5小时，这种
细胞由1个能分裂成多少个？
2×2×·······×2×= 210
=
2
10个2
2
2×2 2×2×2
图意示裂分胞细
1个30 ˊ 2个30 ˊ 3个30 ˊ
拓展提高
1、请仔细观察下列各算式右边的数的个位数：
31 ? 3, 32 ? 9, 33 ? 27, 34 ? 81, 35 ? 243, 36 ? 729, 37 ? 2187
⑴你发现了什么规律？请用语言表述 .
⑵利用你发现的规律，写出 32012 的个位数字.
解：⑴3的正整数次幂的个位数分别为 3，9，7，1 四种情形
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3、 83 =512 ； 4、(?5)3 = -125 ；
5、0.13 =0.001
；
6、???
1
4
??=
? 2?
1 16
；
7、?? 10?4 = 10000 ； 8、 ?? 10?5 =-100000.
9、?? ?1 2n= 1 ；
? ? 10、? 1 2n?1 = -1 .
观察圆圈中的结果，你能得到什么规律吗？
2、?
? ??
9 7
4
? ??
=
? 9? 9? 9? 9 7777
；
3、?a ? b ?2 = ?a ? b?a?? b? 。
活动二：
ห้องสมุดไป่ตู้
例１、根据乘方的意义计算
(1) ( ? 4)3
(2) (-2) 4
(3)
? ??
-
2 3
3
???（4）(?
1
1 5
)2
解：?1?原式 ?（-4）?（-4）?（-4）=-64
n个a
读作：a的n次方
也可读作a 的n 次幂 求ｎ个相同因数的积的运算，叫做乘方。 乘方的结果叫做幂。
an= a ·a ·… ·a
n个
底数
an
指数 幂 ?? 7 ?8呢？
运算 加法 减法 乘法 除法 乘方
结果 和
差
积
商
幂
幂
a1
指数 底数
读出下列各式，并指出每个的底数和 指数及其意义。
7 4 , ( 2 ) 2 , ?? 3 ?5 , 0 8 , 6
7
小结注意点:
1、指数n 是正整数；当指数为1 时通常省略不写。 2、当乘方的底数是负数或分数时，要加括号。
3、底数a可以是正数、负数、0；
想一想 请指出下列各组数的异同。
(1)32 和23
(3)(6 )2 和62 55
(2)( ? 2)4 和 ? 24
(4)2 ? 32 和(2? 3)3
当乘方的底数是负数或分 数时，要加括号。
(3) -32 = (-3)2;
( X ) -32 =-9; (-3)2=9
(4) ? 24 ? (? 2) ? (? 2) ? (? 2) ? (?2) ; ( X )
-24=-2×2×2×2=-16
(5) ( 2 )2 ? 22 . ( X ) ( 2)2 ? 2 ? 2 ? 4 ; 22 ? 2? 2 ? 4
(1) 1的任何次幂都为 1。
(2) -1的奇次幂是-1 ， -1的偶次幂是1。
(3) 10的几次幂，1的后面就有几个0。 (4) 0.1的几次幂，1的前面就有几个0。
判断：(对的画“√”，错的画“×”.)
(1) 32 = 3×2 = 6; ( X ) 32 = 3×3=9 (2) 2+2+2 = 23; ( X ) 2+2+2= 3×2=6
练习
一、根据乘方的意义，把下列 乘法式子写成乘方的形式：
1、（－3）×（－3）×（－3）×（－3） =?? 3?4；
2、
? 5? 5? 5? 666
5 6
=
?
? ??
5 6
4
? ??
。
二、根据乘方的意义，把下列 乘方写成乘法的形式：
1、?? 0 .9 ?3 =?? 0.9?? ?? 0.9?? ?? 0.9?；
２ 层数可
表示为 2
２×２ ２×２×２ ２×２×２×２ ２×２×２×２×２ …
22
23
24
25
如果对折n次，那么纸的层数是 __2n___.
a·a ·a·a·a呢?a ·a·a……a ( 共有n个a, n 是正整数) 呢?
概念
一般地，几个相同的因数a 相乘，即
a???a?? ?a ??????a a 记作： n 。
珠穆朗玛峰是世 界的最高峰，它的海 拔高度约是8 844米.
把一张足够大的 厚度为0.1毫米的纸， 连续对折30次的厚度 能超过珠穆朗玛峰吗?
做一做：请同学们把一张长方形的纸多次对 折，所产生的纸的层数和对折的次数有关系吗？
对折 次数
1次
2次
3次
纸的 2
4
8
层数
1次
4次
16
2次
20次
5次
…
32
…
整理反思
知识
我学到了 什么？
方法
(1)乘方的定义； 负数与分数乘方的书写； (2)乘方的符号法则； (3)乘方的运算 (4)计算器的使用.
“特殊→一般→特殊”
例子 公式 应用
虽然是简简单单的重复，但结果却是惊人 的.做人也要这样，脚踏实地，一步一个脚印， 成功也会令你惊喜的.
猜
猜 看
…
你认为国王的国 库里有这么多米
吗？
应用
1个细胞30分钟后分裂成2个，经过5小时，这种
细胞由1个能分裂成多少个？
2×2×·······×2×= 210
（1） 250 ；
（2） 251 ；
（3）（－2） 50 ； （4）（－2） 51；
（5） 02 010 ；
（6） 12 011．
得出： 负数的奇次幂是负___数
负数的偶次幂是_正__数。
正数的任何次幂都是正数；
0的任何正整数次幂都是0。
你能迅速判断下列各幂的正负吗？
16 5
(? 3) 6
25 4
对折 次数
1次
2次
3次
4次
5次
…
纸的 层数
2
22
23
24
25
…
解：对折30次后的厚度为
0.1? 230 ? 0.1? 1073741824 ? 107374182.4 (mm)
? 107374.1824 (m)
107374.1824 m >8 844 m．
所以折叠30次后的厚度能超过珠穆朗玛峰的高度 .
?2?原式 ?（-2）?（-2）?（-2）?（-2）=16
?3?原式
?
? ??
?
2 3
??? ?
? ??
?
2 3
? ??
?
? ??
?
2 3
? ??
?
?
8 27
?4 ?原式
?
? ??
?
1
1 5
? ??
?
? ??
?
1
1 5
? ??
?（ ?
6 ）?（ ? 5
6 ）= 5
36 25
乘方运算的符号法则：
不计算下列各式的值，你能确定其符号吗？ 你能得到什么规律吗？说出你的根据．
33
3 33 93 3 3
(6) 一个数的平方等于 9，则这个数是 3 ( X )
±3
你能用计算器计算 (? 8)5 和 (? 3)6 吗？
yx
yx
按照图1－5－1的操作步骤，若输入x 的值为2，则输出的值为 20 ．
图1－5－1
珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8 844米．
把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚 度能超过珠穆朗玛峰吗?
(? 1)101
(? 8)5
(? 1 )50 4
活动三：
例2 、计算
(1) ( ?
1 )4
2
(2) - (-0.7) 3
24 (3)
5
（4）(? 2) 5 ? (? 2) 4
（5）? 23 ? (? 1 )2 2
做一做：
课本P42
12016
计算：（9～10选做）
1、?? ?1 10 = 1 ； 2、?? 1?7= －1 ；