第三讲相似理论

同济大学汽车实验室
相似第三定理
相似第三定理
描述现象的关系方程式可以转变成相似准则之间的关系式。 准则关系式可表达为： 式中1，2，3， 为正整数。 F (1 , 2 , n ) 0
定理作用：提供了一种由模型实验研究来揭示原型内在规 律的方法。
只要用适当的方法求出相似准则，再用模型实验数据拟合 出 F (1 , 2 , n ) 0 ，就可获知原型的内在规律。
d ' ' l' ' CL d ' l'
d─管径 l─管长
(2)物理条件相似 (即所具有具体现象都在具有一定物 理性质的介质下进行)
'' '' '' C , Cn , Cg ' ' g'
─密度 ─粘度 ─重力加速度
同济大学汽车实验室
相似第二定理
(3)边界条件相似（边界条件即所有具体现象都受到与其直 接相邻的周围情况影响） V' ' x V' ' y V' ' z Cv 即在入口及出口处的
相似准则的求法
1.方程分析 a.相似转换法(以简单运动为例 ) dl ' ' dl ' (1)写出现象(微分与方程描述 ) 原型中 v' dt ' 模型中v ' ' dt ' '
(2)写出相似倍数的表示式
v' ' CV v'
原型与模型方程中对应量之比
' ' 为模型，’ 为实物
x ' ' k' ' x ' k' v' ' m' ' v' m'
同济大学汽车实验室
相似第三定理
（a）若希望：时间相似倍数 Ct 1,即t' ' t'位移相似倍数 C x 则代入上式得： k' ' m' ' k'
m'
x' ' x'
v ' ' v ' a ' ' a '
相似三角形的相似准则就是同一三角形某两边长之比。
同济大学汽车实验室
相似第一定理
相似第一定理 凡彼此相似现象，必定具有数值相同的相似准则。 特点： 1. 相似准则的个数取决于所研究现象的内在规律。 2. 相似准则是无量纲的（零因次）不变量，可用 ∏表示。
同济大学汽车实验室
相似第一定理
运动相似的相似准则
'' l ' l '' 同一三角形两边之比：l K12 或 1'' K12 l2 '' ' ' 代入得： l1 CL1 l1 l1 l1
l
或：
`'' 2

CL 2 l
' 2

l
' 2

l2
'' ' K12 K12 K12
l1 称各相似三角形间数值都以这一相同的比值 为相似准则。 l2
其中Ca为常数。
应力场相似：对应时刻，对应点应力方向一致，大小互
成比例
'' 1 '2' ' C ' 1 2
其中Cσ 为常数。
温度场相似，电磁场相似 ……
同济大学汽车实验室
相似定理
相似第一定理：
凡彼此相似现象，必定具有数值相同的相似准则。
相似第二定理：
凡具有同一特性的现象（即被同一关系方程式或完整的 关系方程式组所描述的现象）当单值条件彼此相似，且由单 值条件所包含的物理量组成的相似准则在数值上相等，则这 些现象必须相似。
其中Ct为常数
同济大学汽车实验室
相似的概念
运动相似：方向一致，大小成一定比例
不同直径圆管中流体运动
'' v1 v '2' v 'i' ' ' CV ' v1 v 2 vi
其中CV为常数。
同济大学汽车实验室
相似的概念
动力相似：对应时刻，对应点所受的力互成比例
F ' ' m' ' a ' ' m' ' Ca F' m' a ' m'
（傅鲁德准则） （欧拉准则）
同济大学汽车实验室
相似第一定理
总结
1. 2. 3. 4. 各相似倍数不能是任意的，它们受相似指标式的制约； 将相似倍数代入相似指标式得综合量──相似准则； 无量纲是相似准则的主要属性； 相似准则的个数取决于现象的物理本质。
同济大学汽车实验室
相似第二定理
相似第二定理
同济大学汽车实验室
相似第一定理
例2：汽车风洞中空气流动、管路中液体流动等不可压缩流 体稳定等温运动物理现象的数学描述为以下用四个方程组， 根据质量守恒定律，粘性不可压缩流体稳定等温运动现百度文库 有三个相似准则：
1 Re
vl
gl v2
p v 2
（雷诺准则）
2 Fr
3 Eu
vz vz vz 1 p 2vz 2vz 2vz vx vy vz gz 2 2 2 x y z z x y z
式中：
g x, g y , g z
－各轴的重力加速度分量

－流体动力粘度

－流体密度
p －压力
相似的两系统瞬间速度分别为 由两系统相似 ：
dl' V ' dt
，
'' dl ，V '' dt ,,
v '' Cv ' v
t '' Ct ' t
l '' Cl ' l
cv ct cl
相似倍数
' '' C dl dl l 进一步改写： Cv V ' dt'' Ct dt'
V' x V' y V' z
(4)初始条件相似（初始条件即现相的演变与初始状态有关） 由于是稳定流动，故不计此条件。 （二）由单值条件所包含的物理量所组成的相似准则相等
g' 'l' ' g'l' '2 不变量 '' 2 V V ' 'V ' ' l ' ' 'V ' l ' Re π 不变量 '' ' Fr
（b）假如原型运动周期太大或太小，希望改变模型的周期。 t' ' 则令时间的相似倍数为 C t , 代入前式得 t' 实际条件： k' ' 1 m' ' k'
2 m'
v' '
a' '
v'
a' 2
借助相似第二定理 可以得出模型实验 必须遵循的条件。
同济大学汽车实验室
同济大学汽车实验室
相似的概念
几何相似（空间相似）
'' l1 l '2' l '3' ' ' C L 其中CL为常数。 ' l1 l 2 l 3
同济大学汽车实验室
相似的概念
时间相似：对应的时间间隔互成比例
某系统压力和时间的关系图
'' '' t5 t1 t '2' ' ' Ct ' t1 t 2 t5
2
2 f 2 1
3
3 f 3 1
a ' ' t' '2 2 x' '
3
x' ' v' '
k' ' m' '
1
1
可求得许多组 2 , 3与1 对应值 将其拟合成曲线，获得函数关系
2 f 2 1
3 f 3 1
同济大学汽车实验室
改写为
即
Vt 称两个运动相似系统间数值相同的综合量 l 为相似准则.
V ' ' t ' ' V ' t ' Vt 不变量 l'' l' l
V ' t' V ' t' l '' l'

1
力相似的相似准则
Ft 不变量 (也称牛顿准则， N e ) mv
相似指标
CF Ct CmCv
同济大学汽车实验室
相似第三定理
例5：讨论图示系统的动力相似问题
k m x a v
1 kt2 / m
现已知该系统的动力相似准则为：
2 at 2 / x
3 x v k m
1.用相似第二定理获得模型实验应遵守的条件 由相似第二定理知：模型与原型相似，必须相似准则相等，即
k' ' 2 k' 2 t' ' t' m' ' m'
' C C dl 即： v t V ' Cl dt'
dl' 由 V ' ' dt
Cv Ct 可得： C 1 l
上式左端称为相似指标，它标志着两个运动系统是否相似。 彼此相似的现象，其相似指标等于1。（相似第一定理另一表达）
同济大学汽车实验室
相似第一定理
运动相似的相似准则
Cv Ct 1 Cl
凡具有同一特性的现象（即被同一关系方程式或完整的关 系方程式组所描述的现象）当单值条件彼此相似，且由单 值条件所包含的物理量组成的相似准则在数值上相等，则 这些现象必须相似。 定理作用：阐明了两个现象相似的充分条件，即模型实 验必须遵守的条件和法则。
同济大学汽车实验室
相似第二定理
例3：以粘性不可压缩流体的稳定等温运动现象为例，当满 足以下条件时，现象就彼此相似。 （一）单值条件相似， 包括： (1)几何条件相似（即空间条件所有具体现象都发生在 一定的几何空间内）
（傅鲁德准则） （雷诺准则）
同济大学汽车实验室
相似第二定理
例4：以运动为例，已知两个运动的相似准则数值相等
即： V l V l
t' t
V V
tt
l l
dl 设：V 将对应量（相似倍数） dt
Cv Ct 1 CL
式中
同济大学汽车实验室
相似第二定理
1. 若两个运动的单值条件完全相同，则两个运动是完全相 同的同一运动。 2. 若两个运动的单值条件相似，则两个运动彼此相似。 3. 若两个运动的单值条件既不相同也不相似，则得到的仅 是服从同一自然规律的两个互不相同也不相似的运动。
相似准则数值相同 + 单值条件相似
现象相似
相似第三定理：
描述现象的关系方程式可以转变成相似准则之间的关系 式。
同济大学汽车实验室
相似第一定理
什么是相似准则？
例1：两三角形相似，则
其中
l1'' CL1 ' l1
' 1 ' 2
'' l2 CL 2 ' l2
cL1 cL 2 cL3
'' l3 CL 3 ' l3
称相似倍数
1
同济大学汽车实验室
相似第一定理
粘性不可压缩流体的稳定等温运动物理现象，以下用四个方程来描述。在 气流不超过0.3～0.4倍声速时，气流密度相对变化小，可视为性不可压缩流 体。
X轴 Y轴 Z轴
vx v y z z 0 x y z vx vx vx 1 p 2vx 2vx 2vx vx vy vz gx 2 2 2 x y z x x y z 2 2 2 v y v y v y 1 p v y v y v y vx vy vz gy 2 2 2 x y z y y z x
相似第三定理
2.应用相似第三、第一定理获得模型实验应遵守的条件
将 F1 , 2 , 3 0 改写成： 2 f 2 1
3 f 3 1
1 k' ' 2 t' ' m' '
将 t ' ' , x ' ' , v ' ' , a ' ' 每组的实验数据代入相似准则式
相似第三定理
• 根据第一定理，彼此相似的现象，相似准则必相等，准则 函数关系也必相同。由此推广到实物,可得到v-t,a-t其他 函数形式。 • 根据第二定理,可求出模型实验遵守的条件。 • 根据第三定理，可以求模型实验结果整理成相似准则间的 函数式，以便把模型实验结果推广到原型中去。
同济大学汽车实验室
Cv Ct 为相似指标 CL
l Cl l
t Ct t
v Cv v
dl 代入 v dt
Ct Cv dl' v' 得： Cl dt'
即 v'
dl ' dt '
所以，当
Ct Cv 1 Cl
时（即相似指标=1）
表明两个运动能用完全相同的方程表示。
相似理论
周鋐
同济大学汽车实验室
相似理论概述
概述 相似的概念 相似原理
相似第一定理（正定理） 相似第二定理（逆定理） 相似第三定理（∏定理） 方程分析 量纲分析
相似准则的求法
同济大学汽车实验室
相似理论概述
研究自然现象的方法 理论分析方法：以数学为主要工具 实验方法： 1. 直接试验法 -- 可对试验对象直接进行试验不受试验 条件的限制，如汽车性能试验。 2. 模型试验法 -- 受到试验条件的限制，不能对试验对 象直接进行试验，只能对模型进行试验，用其试验结 果来反映实物，如汽车空气动力学试验。 模型试验的原则：试验结果能真正反映实物规律。