高二数学矩阵的运算及性质

1
1
1 1 1 1 0 0
AB 1 11
1


0
0
BA

wk.baidu.com
1 1
1 1 1 1
1 1

2 2
2 2
1 1 1 1 0 0 AC 1 1 1 1 0 0
2． n 阶行列式的运算满足下列运算律（设 A ， B 为 n 阶方阵， k 为数）：
（1）| AT || A |；（2）| kA | k n | A | ；（3）| AB || A || B | 。
三、练习：习题 2.2 2~4 四、小结：本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的 运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握 这些运算。 五、作业：
( A B)C AC BC
（2）分配律：
C( A B) CA CB
（3）设 k 是数， k(AB) (kA)B A(kB) 。
例2设
1 A 1
1 1
，
求 AB ， BA与 AC 。
解：
1 B 1
1
1

，
1 1
C


课题
2.2 矩阵的运算及其性质
时间
教学目的 学习矩阵相关的概念
重点难点 1．矩阵概念； 2 特殊矩阵
时间 分配
90ˊ
教学过程
一、导言： 矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来
处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。
教学方法 教学手段
讲授法 板演
二、新授：
2.2.1 矩阵的加法 1．定义 2.2：两个矩阵相加等于把这两个矩阵的对应元素相加。
课后记事 本节应注重矩阵乘法的练习和证明题的训练，这始终是一个难点的地方。
乘积记为 C AB ，规定 C (cij )mn ，其中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aik bkj (i 1,2,, m; j 1,2,, n.) k 1
2 矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：
(1) 结合律： ( AB)C A(BC)
2．数与矩阵的乘法满足下列运算律（设 A ， B ，为 m n 矩阵， ， 为数）：
（1） ()A (A) （2） ( )A A A （3） (A B) A B
例3 设
求 3A 2B 。
解：
3 A 0
1 4
2 1
，
B
设 f (x) a0 x m a1x m1 am1x am 是 x 的一个多项式， A 为任意
方阵，则称 f ( A) a0 Am a1 Am1 am1 A am E
为矩阵 A 的多项式
2.2.4 矩阵的转置 1．定义 2.5：设
a11 a12 a1n

3 3
0 4
2 0
3A 2B 303
1 4
2 1

233
0 4
2 0
9 3 6 6 0 4 0 12 3 6 8 0

3 6
3 20
2 3
2.2.3.矩阵的乘法
1．定义 2.4：设两个矩阵 A (aij )ms ，B (bij ) sn ，则矩阵 A 与矩阵 B 的
应注意，并非任何两个矩阵都可以相加，只有当两个矩阵具有相同的 行数和相同的列数时才能相加。
2．矩阵的加法满足下列运算律（设 A ， B ， C 都是 m n 矩阵）： （1） A B B A
（2） (A B) C A (B C) 。
两个矩阵相减等于把这两个矩阵的对应元素相减。 2.2.2 数与矩阵的乘法 1．定义 2.3：一个数与矩阵相乘等于用这个数去乘矩阵的每一个元素。
(i, j 1,2,, n) 则称 A 为对称矩阵。如果 AT A ，即有 aij a ji ，
aii 0 (i, j 1,2,, n) ，则说 A 为反对称矩阵。 2.2.5 n 阶方阵的行列式 1．定义 2.7：由 n 阶方阵 A 所有元素构成的行列式（各元素的位置不变）， 称为 n 阶方阵 A 的行列式(determinant of a matrix A)，记作| A | 或 det A。
a11 a21 am1
A


a21
a22

a2n

则矩阵
a12
a22

am2



am1
am2

a
mn

a1n
a2n

a
mn

称为 A 的转置矩阵
2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：
（1） ( AT )T A
k个A
称 Ak 为 A 的 k 次方幂。
由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：
Ak Al Akl ； ( Ak )l Akl ，
时间 分配
教学过程 其中 k ，l 为正整数。又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个 n 阶
教学方法 教学手段
方阵 A 与 B ，一般说来， ( AB)k Ak B k 。
（2） ( A B)T AT BT
（3） (kA )T kAT
（ k 是数）
例 9 设 BT=B, 证明(ABAT)T=ABAT
证明：因为 BT=B，所以
（4） ( AB)T BT AT
(ABAT)T=[（AB）AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT
3 ． 定 义 2.6 ： 设 A 为 n 阶 方 阵 ， 如 果 AT A ， 即 有 aij a ji
从例题中我们可以得出下面的结论：
（1）矩阵的乘法不满足交换律。即一般地说， AB BA。 （2）两个非零矩阵的乘积可能等于零。一般说来，AB 0 不能推出 A 0 或B 0。 （3）矩阵乘法中消去律不成立。即 AB AC，且 A 0 ，不能推出 B C 3．设 A 是一个 n 阶方阵，定义： A0 E, Ak AAA（ k 是正整数）