北师大版-数学-八年级上册-2.7 二次根式及其性质 教案

二次根式及其性质

一、学生起点分析

七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．

二、教材任务分析

本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．

为此，确定本节课教学目标是：

1.认识二次根式和最简二次根式的概念.

2.探索二次根式的性质．

3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质；

第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；

第一环节：明晰概念

问题1 ：5，11，2.7，121

49

，

)

)(

(b

c

b

c-

+

（其中b=24，c=25），上述式子

有什么共同特征？

答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。

介绍二次根式的概念。一般地，式子

)0

(≥

a

a叫做二次根式。a叫做被开方数．强调条件：

≥

a．

问题2：二次根式怎样进行运算呢？

答：这是我们本节课要解决的新问题．

意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．

第二环节：探究性质

（一）内容：通过探究得出b a b a •=⋅，b a b

a

=

．

具体过程如下：

（1）94⨯＝ ______，94⨯＝ _________；

2516⨯＝ ___________，2516⨯＝ _________________；

94

＝ ________，94

＝ ________ ； 2516＝ ___________ ，2516＝ _________．

（2）用计算器计算：

76⨯＝ ______，76⨯＝_______；76

＝ _______，76

＝ ________．

问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？

问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？ 问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？

意图：最终归纳出b a b a •=

⋅（a ≥0，b ≥0），b a

b

a

=

（a ≥0， b ＞0）．

说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略． 第三环节：知识巩固

例1 化简（1）6481⨯；（2）625⨯；（3）95

。

观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？

意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.

被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。

例2 化简：（1）45；（2）27；（3）31

；（4）98；（5）16125

．

答案：（1）5353595945=⨯=⨯=⨯=

；

（2）3333393927=⨯=⨯=⨯=；

（3）

31

=333

33

1=

••；

（4）

32

23223243

2

498

98=⨯=⨯=⨯==；

（5）

45

545545254

5

2516125

16125=⨯=⨯=⨯==．

问题：

（1）你怎么发现45含有开得尽方的因数的？你怎么判断714

是最简二次根式的？

（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流。

说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．

反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简． 第四环节：知识拓展

说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去． 练习：

1.下列平方根中， 已经简化的是（ ）

A. 31

B. 20

C. 22

D. 121

2.判断下列各式是否成立。你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号 。

=（ ） ；

=③

=（ ）；

=你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并说明n 的取值范围？