九年级数学数的开方与二次根式教案北师大版【教案】.doc

第 6 课数的开方与二次根式

〖知识点〗

平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、

同类二次根式、二次根式运算、分母有理化

〖大纲要求〗

1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术

平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；

2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次

根式化简；

3. 掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母

有理化。

内容分析

1．二次根式的有关概念

(1)二次根式

式子 a (a 0) 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．

(2)最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫

做最简二次根式．

(3)同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．

( a) 2

0);

a(a

a 2 | a | a(a 0),

2 ．二次根式的性质a(a 0);

ab a b ( a 0;b 0);

a a

(a 0;b 0).

b b

3．二次根式的运算

(1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．(2)三次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

a b ab (a 0,b 0).

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去 ( 或分子、分母约分 ) ．把分母的根号化去，叫做分母有理化． 〖考查重点与常见题型〗

1. 考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。

2. 考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。

3. 考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。

考查题型

1．下列命题中，假命题是（ ）

（ A ）9 的算术平方根是 3 （ B ） 16的平方根是± 2

（ C ） 27 的立方根是± 3

（ D ）立方根等于－ 1 的实数是－ 1

3

5 x

2．在二次根式 45， 2x ， 11，

4

， 4中，最简二次根式个数是（ ）

（ A ）

1 个 （ B ）

2 个 （ C ）

3 个 （D ）

4 个

（ 2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（

）

1

1

1

2 （ A ）

3 6， 3 2 （ B ） 3 5， 15 （ C ） 2 12，

3 （ D ） 8，

3

a+ ab

ab － b

3， b ＝2－ 3

3. 化简并求值，

＋

，其中 a ＝ 2＋

ab+b a － ab

4． 2＋ 1 的倒数与

2－ 3的相反数的和列式为

，计算结果为

1

4

5．（－ 4） 2 的算术平方根是

， 27 的立方根是

，

9的算术

平

方根是 ， 49

的平方根是.

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考点训练：

1．如果 x 2＝ a ，已知 x 求 a 的运算叫做

，其中 a 叫做 x 的 ；已知 a 求 x 的运算

叫做

，其中 x 叫做 a 的

。

2． ( － 2 ) 2 的平方根是 ， 9 的算术平方根是

， 是－ 64 的立方根。

3．当 a<0 时，化简∣ a ∣＋ a 2

＋ 3 a 3 ＝

。

4．若 5.062 =2.249 ， 50.62 =7.114 ， x =0.2249 ，则 x 等于（

）

（ A ） 5.062 （ B ） 0.5062 （ C ） 0.005062 （ D ） 0.05062 5．设 x 是实数，则 (2x ＋3)(2x －5) ＋ 16 的算术平方根是（ ）

（ A ） 2x － 1

（ B ） 1－2x

（ C ）∣ 2x － 1∣

（ D ）∣ 2x ＋ 1∣

6． x 为实数，当 x 取何值时，下列各根式才有意义：

2

1

（ 1） － 3x －2 （

）（ 2） x ＋ 5 （

）（ 3）

x 2 （

）

（ 4）

1

（

）(5)

1

（

）（ 6） x ＋ － x （

）

1 － x ＋ 2

3

1－ x

7．等式

3－ x

＝

3－ x

成立的条件是（

） x ＋ 2 x ＋ 2

（ A ）－ 2

（ B ）－ 2≤ x ≤3

（ C ）x>－ 2

（ D ） x ≤ 3

8．计算及化简：

（ 1） ( － 7

（

4）2a 2

3b

2 ) 2

7

3

2

b 4 － b

4 （ b>1）

a a

（2） ab 2(c ＋ 1) 2

（ 3）

0.01 × 64

0.36 × 324

x

x 2y － 6xy 2＋9y 3

（ 5） x － 3y x

（ x>3y ）

（ 6） ( 48 － 6 0.5 )(4 3 ＋ 18 ) － (2 3 － 3 2 ) 2

（ 7）已知方程 4ｘ 2－ 2ａｘ＋ 2ａ－ 3＝ 0 无实数根，

化简 4ａ 2－ 12ａ＋ 9 ＋｜ａ－ 6｜ 解题指导

1．下列命题： （ 1）任何数的平方根都有两个（

2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方

根（ 3）算术平方根一定是正数（ 4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）

（ A ） 1（ B ） 2（C ） 3（ D ） 4

2．已知

3

0.5 =0.794 ，

3 5 =1.710 ， 3 50 =3.68

4 ，则 3

5000 等于（

）

（ A ） 7.94 （ B ） 17.10 （C ） 36.84 （ D ） 79.4

3．当 1

4－ 4x ＋ x 2 的结果是（

）

（ A ）－ 1 （B ） 2x － 1 （ C ） 1 （ D ） 3－ 2x

4． (x － 2) 2 ＋ ( 2－ x ) 2 的值一定是（ ）

（ A ） 0

（ B ） 4－ 2x

（ C ）2x － 4

（ D ） 4

5．比较大小：

1 1

（ 1） 3

5 14 （ 2） 7 － 2 2

2 － 1 （ 3） 35 － 34

34 － 33

a

a 2

b － 4ab 2＋ 4b 3

6．化简： a － 2b

a

（ 2b>a ）

7．计算：（ 32 ＋ 0.5 － 2

1

1 1 75

3 ）－（ 8

－

5

）

8．已知 a ＝ 3－ 2 ， b ＝

3＋ 2

，求 a 2－ 5ab ＋ b 2

的值。 3＋ 2

3－ 2

1

3 2

6

9．计算： 9

45 ÷ 3

5 × 2

23

10

．化简： 3 2－ 2 3 11. 设 5+1

2

1

2

5-1 的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ ＋ 2 ａｂ＋ｂ 的值。