带有等式约束的最优化问题及其经济学应用

s.t. x2 + a2y2 + z2 = a1
举两个例子（续）：包络定理
（接第 2 题） 的均衡解。对应的 Lagrange 乘子分 别为λ1*(a) 和λ2*(a)，对应的最优值分别为 f1*(a) 和 f2*(a) 。 ⑴ 求 f1*(a) 和 f2*(a) 在 a = (3, 1, 1) 处关于 a1、 a2、a3 的偏导数；
在等式约束的最优化问题中：max y = f(x, a) s.t. g(x, a) = b
其中：x = (x1, x2, …, xn)，a = (a1, a2, …, am) 和 b 外生。
Lagrange 函数为： L = f(x, a) +λ[b – g(x, a)] 。 根据包络定理，有： a x a
将 xi* 和λ* 代入到目标函数，可得最优值函数：
V(a) = f[x*(a); a)]
§4.3
极值问题的比较静态分析
对上述最优值函数两端对 ai 求偏导，有： a
又由于
（前证），两边乘以λ
§4.3
极值问题的比较静态分析
两式相加，可得： a
由前面一阶必要条件可知：0 ，所以：
a
xa
得证。
举两个例子：包络定理
→ 也可以用包络定理。
§4.3
极值问题的比较静态分析
前述带有等式约束的最优化问题的包络定理：
最优化问题的 Lagrange 函数为 L = f(x, a) + λg(x, a)
a xa
x* ,λ*
则有：
—— 包络定理。
§4.3
极值问题的比较静态分析
包络定理的证明：
最优化问题的一阶必要条件为：
可求解出： xi* = xi*(a)，λ* = λ*(a) 。
x* ,λ*
§4.3
极值问题的比较静态分析
即：λ* —— 表示约束条件右端变动引起目标函 数最优值的变化情况。 假设 b 增加一个单位，约束变松，从而目标函 数的最优值会增加，增加的部分（λ*）就是单位 b 的价值 —— 在经济学上，称为资源的边际价值； 或称为资源的影子价格。 它反映了系统内部资源的紧缺程度（与外部市 场因素无关），λ* 越大，说明这种资源越是相对紧 缺，反之则说明这种资源相对不紧缺。（特例说明）
四、拟凹函数和拟凸函数的最优化
max z = f(x1, x2, …, xn) s.t. gi(x1, x2, …, xn) = ci，i = 1, 2, …, m 假设 (x1*, x2*, …, xn*) 满足等式约束极值的一阶 充分条件，若 z 是严格拟凹函数且约束集为凸集， 则 z* = f(x1*, x2*, …, xn*) 是目标函数的整体最大值； 若 z 是严格拟凸函数且约束集为凸集，则 z* = f(x1*, x2*, …, xn*) 是目标函数的整体最小值。
第4章 带有等式约束的最优化问 题及其经济学应用
§4.1
带有等式约束的函数求 极值的必要和充分条件
一、二元函数带等数约束的极值问题
二、多元函数带多个等数约束的极值问题
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
一、拟凹函数与拟凸函数的定义
y N M y N
M
O
u
v
x
O
u
v
x
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
1. 一元拟凹函数和拟凸函数的定义
§4.3
极值问题的比较静态分析
如何分析呢？ —— 假设二阶充分条件得到满足
首先，建立 Lagrange 函数： L = f(x, a) + λg(x, a)
然后，求其一阶 必要条件：
……
§4.3
极值问题的比较静态分析
假定隐函数定理成立，求解上述方程组可得均衡解： x1* = x1*(a)，……， xn* = xn*(a)，λ* = λ*(a)
E1 E2 E3
§4.4
效用极大化问题
在效用函数一阶必要条件和二阶充分条件的基 础上，我们就可推导得到两种商品的需求函数。 由前面的分析可知，效用最大化的一阶条件： Lx = U ’x –λPx = 0 Ly = U ’y –λPy = 0 Lλ= M – Px·x – Py·y = 0
将这些均衡解代回上述一阶必要条件方程组，有：
……
§4.3
极值问题的比较静态分析
对上面这个方程组中的每一个式子对 ai 求偏导 数。我们以第一个式子为例，利用链式求导法则有：
§4.3
Hale Waihona Puke Baidu
极值问题的比较静态分析
上式可整理为：
简写为：
§4.3
极值问题的比较静态分析
同样道理，方程组中其他式子对 ai 求偏导数，有：
F(x) 拟凸的充要条件为
其中： u
v
v x
x=v
x
x=u
，
。
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
2. 二阶微分判别准则
设 F 是定义在开凸集 U 函数，令： Rn 上的二阶可微
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
F 是拟凹的必要条件为 (-1)k∣Ck(x)∣≥ 0 拟凹的充分条件为 (-1)k∣Ck(x)∣> 0 F 是拟凸的必要条件为∣Ck(x)∣≤ 0 拟凸的充分条件为∣Ck(x)∣< 0
对效用极大化问题的充分条件的几何解释： 由一阶必要条件，可求得均衡解 (x*, y*) [驻点] ； 进一步，二阶充分条件判断的海赛加边行列式为：
若
> 0，则驻点 (x*, y*) 必然是极大值点。
§4.4
效用极大化问题
对于无差异曲线来讲，在满足一阶必要条件的 基础上，若使其达到极大值，必须满足二阶充分条 件大于 0 ，即：d 2y / dx2 > 0 。 由前面的分析可知， ，所以：
⑵ 当目标函数变为 f(x, y, z) = x + y + 1.03z 、等 式约束变为 x2 + 1.02y2 + z2 = 3.01 时，极大化和极小 化问题目标函数的最优值的改变量分别为多少？新 的极大化和极小化问题目标函数的最优值分别为？
§4.3
极值问题的比较静态分析
三、Lagrange 乘子的经济学意义
又由于
，所以
，于是：
§4.4
效用极大化问题
显然，当 > 0 时， d 2y / dx2 > 0，可知，无 差异曲线在切点处严格凸。
值得注意的是，无差异 曲线严格凸性的实质并非效 用极大化的必要条件。具体 而言，即使无差异曲线为非 严格凸的（右图），在最大 值处尽管有d 2y / dx2 = 0，但 效用仍可能最大化。
a = (a1, a2, …, am) —— 外生变量
§4.3
极值问题的比较静态分析
→ 关于最优值函数的比较静态分析问题，可 以采用传统的方法来解决，即：
首先，构造 Lagrange 函数，利用一阶必要条件和二 阶充分条件，求解出均衡解 x* 然后，将 x* 代入目标函数，得最优值函数f[x*(a); a)] 最后，计算 ∂f[x*(a); a)] / ∂ai 。
§4.4
效用极大化问题
由前两个方程可推出：
所以，一阶必要条件实际上是要求在预算约束 下满足上式。为使效用最大化，消费者必须分配其 预算，以使每一物品的边际效用与价格之比相等。 按照无差异曲线的概念，可对这一阶必要条件 进行几何解释。在一条无差异曲线上必然有：
dU = U ’x dx + U ’y dy = 0
f(x) 拟凹的充要条件为 f '(u) (v – u) ≥ 0
f(x) 拟凸的充要条件为 f '(v) (v – u) ≥ 0
当 ≥ 变为 > 时，即严格拟凹或拟凸。
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
对于多元可微函数 F(x) ，其中 x = (x1, x2, …, xn)，任取函数 F(x) 定义域内两个不同的点 u = (u1, u2, …, un) 和 v = (v1, v2, …, vn) ，假设 F(v) ≥ F(u) 。 F(x) 拟凹的充要条件为 u
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
2. 多元拟凹函数和拟凸函数的定义
设 F 是定义在凸集 U Rn 上的 n 元函数， 如果对于任意的 x, y ∈U 和任意的 t ∈[0, 1]，有： F[(1 – t)x + ty] ≥ min{F(x), F(y)}，F 拟凹 F[(1 – t)x + ty] ≤ max{F(x), F(y)}，F 拟凸
§4.4
效用极大化问题
一、效用极大化问题的静态分析
令消费者对两种商品 x 和 y 的消费量均大于 0， 且是在竞争市场上以 Px 和 Py 的恒定价格购得，消 费者货币收入为 M。在消费者偏好具有非饱和性的 假设下，消费者会将所有的收入用来购买 x 和 y 。
在既定收入水平下的效用极大化模型为：
max U = U(x, y)
对于一元函数 y = f(x) 的定义域（凸集）中 的任意点 u 和 v ，假设 f(v) ≥ f(u) 。如果对于任意 的 t ∈[0, 1]，有： f[(1 – t)u + tv] ≥ f(u)，则称 f 为拟凹的 f[(1 – t)u + tv] ≤ f(v)，则称 f 为拟凸的
在 u ≠ v 且 t ∈(0, 1) 的情况下，如果上两式是严格 > 或 < ，则称 f 为严格拟凹的或严格拟凸的。
§4.3
极值问题的比较静态分析
一、均衡解的比较静态分析
考虑等式约束的最优化问题： max y = f(x, a) s.t. g(x, a) = 0 其中：x = (x1, x2, …, xn) —— 内生变量
a = (a1, a2, …, am) —— 外生变量
等式约束最优化问题的比较静态分析就是分析均 衡解 x* 的各个分量 x1*, x2*, …, xn* 关于 ai 的偏导数。
s.t. Px·x + Py·y = M
§4.4
效用极大化问题
构建上述效用极大化问题的 Lagrange 函数为： L(x, y,λ) = U(x, y) +λ(M – Px·x – Py·y) 一阶必要条件为： Lx = U ’x –λPx = 0 Ly = U ’y –λPy = 0 Lλ= M – Px·x – Py·y = 0
1. 效用函数 max U = x10.25x20.25 s.t. P1x1 + P2x2 = 10
试分析两商品价格 P1 和 P2 变化对总效用的影响。
2. 记 w1* = [x1*(a), y1*(a), z1*(a)] 和 w2* = [x2*(a), y2*(a), z2*(a)] 为极大值（或极小值）问题： max (or min) f(x, y, z) = x + y + a3z
在 x ≠ y 且 t ∈(0, 1) 的情况下，如果上两式是严格 > 或 < ，则称 F 为严格拟凹的或严格拟凸的。
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
二、可微函数拟凹和拟凸性判断
1. 一阶微分判别准则
对于一元可微函数 f(x) ，任取其定义域内两 个不同的点 u 和 v ，假设 f(v) ≥ f(u) ，则：
……
§4.3
极值问题的比较静态分析
写成矩阵的形式，有：
§4.3
极值问题的比较静态分析
假定二阶充分条件得到满足，那么，系数矩 阵的行列式不等于 0 （记为 或 ）。
于是，根据克莱姆法则，可解得：
§4.3
极值问题的比较静态分析
二、最优值函数的比较静态分析
考虑等式约束的最优化问题 max y = f(x, a) s.t. g(x, a) = 0 其中：x = (x1, x2, …, xn) —— 内生变量
若U
Rn+ ，对于严格拟凹和严格拟凸成立。
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
三、拟凹函数和拟凸函数的性质
1. 若 f(x) 为拟凹函数，则 –f(x) 为拟凸函数； 若 f(x) 为拟凸函数，则 –f(x) 为拟凹函数。 2. 任意的凹（凸）函数均为拟凹（拟凸）函数， 但反之不一定成立。 3. 若 f(x) 为线性函数，则它既是拟凹又是拟凸的。
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
4. 对于任意常数 k ，如果集合 S = {x∣f(x) ≥ k}为 凸集，则 f(x) 是拟凹函数；若 S = {x∣f(x) ≤ k} 为凸集，则 f(x) 是拟凸函数。
证明：f(x, y) = xy（x > 0, y > 0）为拟凹函数。
§4.2
拟凹函数与拟凸函数
§4.4
效用极大化问题
由于无差异曲线本身就是 y 关于 x 的函数，因此： ， 其中，dy / dx 是无差异曲线切线的斜率。根据 前面的分析可知，若使效用极大化，无差异曲线切 线的斜率等于预算线斜率，即：dy / dx = – Px / Py 。 于是： ，
§4.4
效用极大化问题
将其代入到前述二阶导数式，有：
§4.4
整理可得
效用极大化问题
，这是无差异曲线切线的斜率；
另外，预算线是一条直线，其斜率为
由于
；
，因此，若使效用最大化，消
费者必须对其预算进行分配，使预算线的斜率等于 无差异曲线切线的斜率，即预算线与无差异曲线相 切，满足一阶必要条件。
§4.4
y
效用极大化问题
斜率 =
E
斜率 =
O
x
§4.4
效用极大化问题