电场、电磁感应习题课

自感磁能
1 2 W自 = LI 2
磁能密度
1 B2 1 1 2 wm = = µH = BH 2 µ 2 2
1 B2 Wm = ∫ dv v2 µ
磁场能量 7.位移电流 7.位移电流
位移电流密度
v v dD jd = dt
位移电流
v dΦ e ∂D v =∫ ⋅ dS Id = S ∂t dt
8.麦克斯韦方程组 8.麦克斯韦方程组 电磁场的普遍规律,它预言了电磁场的存在. 电磁场的普遍规律,它预言了电磁场的存在.
二.静电场中的电介质
r 1. D =
真空中 介质中 r r D • d S = ∑ qi
2.
高斯定理
∫
S
三.电容器的电容
电容
C= q V A − VB
①利用高斯定理计算场强 ②求两极板之间的电势差
熟练掌握球型、 熟练掌握球型、圆拄型 根据电容的定义计算电 电容的定义计算 ③根据电容的定义计算电 电容器电容的计算 电容器电容的计算 容
v v Φ m = ∫ dΦ m = ∫ B ⋅ dS
µ0 I µ 0 Il1 a +l dx µ 0 Il1 a + l 2 =∫ l1 dx = ∫a x = 2π ln a 2πx 2π dΦ m 故 ε i = − dt µ 0l1 a + l2 dI µ 0l1 I 1 1 da = − ln + a + l − a dt 2π a dt 2π 2
V R
[C ]
两个薄金属同心球壳, 半径分别为R和r (R>r), 若 例3. 分别带上电量为Q和q的电荷, 此时二者的电势分别 为V1和V2，如图所示．现用导线将二球壳连起来, [B ] 则它们的电势为: (A) V1 (B) V 2 V2 r (C) V1 + V 2
例4. 关于介质中的高斯定理 ∫∫ s 下列说法中正确的是: (A) 高斯面的 通量仅与面内的自由电荷的代数和有关 高斯面的D通量仅与面内的自由电荷的代数和有关 (B)高斯面上处处D为零,则高斯面内必不存在自由电荷 高斯面上处处 为零, (C)高斯面的 通量由面内的自由电荷和束缚电荷共同决定 高斯面的D通量由面内的自由电荷和束缚电荷共同决定 高斯面的 (D)高斯面内不包围自由电荷时, 高斯面上各点电位移矢 高斯面内不包围自由电荷时, 高斯面内不包围自由电荷时 为零. 量D为零. [A ] 为零
r<R
⑥均匀带电球体
E=
q 4 πε 0 r 2
r>R
⑦均匀带电圆环轴线上一点场强
E=
qx 4 πε0 (x + R )
2 2 3 2
q
R
O
P
X
x
⑧均匀带电圆平面轴线上一点场强
x σ E= (1− 2 ) 2 2ε 0 x +R
练习
微元法求场强: 微元法求场强:
已知: 例1.均匀带电半球面， : 均匀带电半球面， 已知 r 球心处 求: 球心处 E o
I = I 0 sin ω t
x
c
O
a
dx
b
(2) 直导线通电流
x
则线框内产生的互感电动势为
µ0 aI 0ω ln 3 dI ε i = −M =− cos ω t dt 2π
εi > 0
电动势为顺时针方向． 电动势为顺时针方向．
例2 一长直导线载有交变 电流I=I 电流 0sinωt,旁边有一矩 ,旁边有一矩 形线圈ABCD(与长直导线 ( 形线圈 共面),长为l1,宽l2,长边与 共面),长为 宽 长边与 ),长为 长直导线平行,AD边与导线 长直导线平行,AD边与导线 ,AD 相距为a,线圈共N匝,现线 相距为 ,线圈共 匝 圈以速度v垂直与长直导线 圈以速度 垂直与长直导线 方向向右运动, 方向向右运动,求此时线圈 中的感应电动势大小. 中的感应电动势大小.
xdq = 4 πε 0 R 3
∴E =
∫
0
R cos θσ 2πR sin θRdθ π 2 σ σ = ∫ cos θ sin θdθ = 3 2ε 0 4ε 0 4πε 0 R 0
例2. 一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为 的细圆弧， 如图所示， 其上均匀分布有正电荷 q，如图所示，试以a、q、 处的电场强度。 表示出圆心O处的电场强度。 建立如解图坐标系， 解：建立如解图坐标系，在细圆弧上取 电荷元 q
4.自感 4.自感 自感系数
Φm L= I
自感电动势
dI ε l = −L dt
Φ 21 M 21 = I1 Φ12 M 12 = I2 M 21 = M 12 = M
5.互感 5.互感 互感系数 互感电动势 6.磁场能量 6.磁场能量
dI 1 ε 21 = − M dt
dI 2 ε 12 = − M dt
+ + dq + +Q+ θ + dθ X − x R O r θ − −Q − dE − −
y
r r r 所以O点的场强为 E = E x i + E y j = −
Q π ε0R
2 2
r j
第六章 介质中的静电场
一.静电场中的导体 导体静电平衡条件
r ε0E r ε 0ε r E
电荷分布
场强分布
q + ++ + + + + + +
θ0
dq =
aθ0
⋅ dl
a
y q
o
视为点电荷， 视为点电荷，它在圆心处产生的场强大 dq 小为
4 π ε 0a q q = dl = dθ 3 2 4 π ε 0 a θ0 4 π ε 0 a θ0
2
dE =
dq + ++ + + + + + +
dE x
v dE
v v v ∂B v ∫l E ⋅ dl = − ∫S ∂t ⋅ dS
v v v v ∂D v ∫l H ⋅ dl = ∫S j + ∂t ⋅ dS
∫
S
v v D ⋅ dS = ∫ ρ dV
V
v v ∫ B ⋅ dS = 0
S
介质方程
v v D = ε 0ε r E v v B = µ0 µr H
dEy = −dEcosθ = −
Q 2 π ε0R
2
cosθdθ
−
若带负电，与上二式符号相反． 若带负电，与上二式符号相反． 由对称性可知
Ey = −
=−
Ex = ∫ dEx = 0
π
Q 2 π ε0R
2 2
( ∫ cosθ dθ − ∫ π cosθ dθ )
2
π 2 0
Q π2 ε 0 R2
dθ
dl
R σ
r = R sin θ
O
θ
R
X
距原点x处取任意圆 处取任意圆环 解:距原点 处取任意圆环 d q = σ d s
d s = 2π r d l = 2π R sin θ d l
dl = Rdθ
xdq
2 2 3 2
x
x = R cos θ
其在球心产生 dE =
π 2
4πε 0 ( x + r )
b a
r E
V
U ab
We
叠加法 场强的计算 高斯定理法 梯度法
∑
r Ei
r ∫ dE
∫∫
S
r r 1 E • dS =
r E = −∇ V
ε0
∑q
i
叠加法 电势的计算 定义法
∑V
i
, V =
∞
∫
dv
VP =
∫
P
r r E • dl
熟记几种特殊带电体的场强分布
①无限大带电平面
σ >0
σ E = 2ε 0
四.电场能量
电容器中的能量 1. 电容器中的能量 2.电场中的能量 2.电场中的能量 电场中的
1 Q2 W = = CU 2C 2
2
1 = QU 2
We = ∫ we dV
V
1 w e = εE 2 2
练习
关于带电导体球中的场强和电势, 例1. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中 正确的是: 正确的是: (A) 导体内的场强和电势均为零
静电场 电磁场 习题课
复习第五章
★基本概念： 基本概念： 基本概念
真空中的静电场
r E
V
r r 1 E • ds =
∫∫
★基本定理： 基本定理： 基本定理
S
ε0
∑
qi
∫
★基本计算： 基本计算： 基本计算
r r E • dl = 0
r r Wab = q(Va − Vb ) = Wa − Wb = q ∫ E • dl
σ <0
r E
r E
②无限长均匀带电细杆 λ E= 2πε 0 r ③ 无限长均匀带电圆柱面 E =
r E
0
λ 2 πε 0 r
λr 2πε 0 R 2
r<R
r >R
r<R
④无限长均匀带电圆柱体
E=
λ 2 πε 0 r
r >R
0
⑤均匀带电球面
E=
q 4πε 0 r 2
r<R
r>R
q
O
R
qr 4πε 0 R 3
2
θ0
x
θ0 q =− sin 2 2 π ε 0 a θ0 2
v v E = Ey j = −
θ0 v q sin j 2 2πε0a θ0 2
一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形 的半圆形， 例3. 一个细玻璃棒被弯成半径为 的半圆形，其上半 部均匀分布有电荷量＋Q，下半部均匀分布电荷量－Q， 部均匀分布有电荷量 ，下半部均匀分布电荷量－ ， 如图所示，试求圆心O处的电场强度． 如图所示，试求圆心 处的电场强度． 处的电场强度 Y 建立如图坐标系， 解：建立如图坐标系，并取电荷元 2Q d θ dq = λ dl = π 它在O点产生的场强大小为
4 π ε0 d R
R d．
图6-2-5
O
第八章重要内容回顾
1、电磁感应 电磁感应定律 楞次定律
dΦ m εi = − dt
感应电流的方向总是反抗引 起感应电流的原因
2、动生电动势 3、感生电动势
v v v ε i = ∫ v × B ⋅ dl
v v v ∂B v ε i = ∫ E涡 ⋅ dl = − ∫ ⋅ dS l s ∂t
参见例题
1.一无限长直导线通以电流 例1.一无限长直导线通以电流
，有一矩形
线框和直导线在同一平面内，其短边与直导线平行， 线框和直导线在同一平面内，其短边与直导线平行， 线框的尺寸及位置如图所示, 线框的尺寸及位置如图所示, 且b/c =3, 求：
I = I sin ω t 直导线和线框的互感系数． (1) 直导线和线框的互感系数． 线框中的互感电动势． (2) 线框中的互感电动势． c b 5. 解：(1) 建立如图坐标系 设直导线通电流I，则通过矩形线框的磁通量为
0
a
r r b µ I 0 µ I 0 0 Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ adx − ∫ adx 0 2π x −c 2 π x
I = I 0 sin ω t
=∫
b
c
adx = µ 0 Ia ln b = µ 0 Ia ln 3 2π x 2π c 2π
µ0 I
x
c
O
a
dx
b
x
Φ µ0 a ln 3 互感系数: 互感系数: M = = I 2π
l2
A
I
a
D
l1
B v v
C
由于电流改变的同时, 解: 由于电流改变的同时, 线圈也在向右运动, 线圈也在向右运动, 故线圈中既有感生电动 又有动生电动势. 势,又有动生电动势. 在ABCD内取一 内取一dS=l1dx的面 内取一 的面 元,传过该面元的磁通量为
A
l2
I
a
D
l1
B v v
C
dx
x
v v dΦ m = B ⋅ dS
+Q + Biblioteka Baidu + + + − R O − −Q − − −
X
X
dq Q dE = dθ = 2 2 2 4 π ε0R 2 π ε0R
将
d 分解， 分解，Ex = dEsinθ = Q 2 π ε0 R
2 2 2
d q+
+Q+ + dθ − R − −Q − −
+
y
+
θ
O
X
sinθdθ
θ r dE
x
1 (D) (V1 + V 2 ) 2 r
V1
q
R Q
r D ⋅ d S = ∑ q0
如图所示，金属球壳的内外半径分别r和 , 例5. 如图所示，金属球壳的内外半径分别 和R, 其中 心置一点电荷q, 则金属球壳的电势为: 心置一点电荷 , 则金属球壳的电势为: r q
4 π ε0R
．
Q
R
例6. 一个未带电的空腔导体球壳内半径为R．在腔内 离球心的距离为d处 离球心的距离为 处 (d < R) 固定一电荷量为＋ ) Q的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤 的点电荷， 的点电荷 用导线把球壳接地后， 选无穷远处为电势零点，则球心O 去，选无穷远处为电势零点，则球心O处的电势 Q 1 1 为: ( − ) Q
θ0
θ
dθ
a
o
dEy
x
方向如图所示． 方向如图所示． 将 分解， 分解，
q
y
dq + ++ + + ++ + + dE x v dE
θ0
θ
dθ
dEx = −dE sinθ , dEy = −dE cosθ
由对称性分析可知， 由对称性分析可知，E x = dE x = 0
∫
a
o
dEy
q Ey = ∫ dEy = ∫ θ0 − cos θ dθ 2 − 4 π ε 0 a θ0 2
[C ]
(B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数
例2. 设无穷远处电势为零, 半径为R的导体球带电后其 电势为V, 则球外离球心距离为r处的电场强度大小 为: (A)
R 2V r3
(B)
V r
(C)
RV r2
(D)