灰色预测法GM(1-1)总结

灰色预测模型

一、灰色预测的概念

1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介

于白色系统和黑色系统之间的一种系统。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。 2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信

息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 二、灰色预测的类型

1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色

预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出

现在特定时区内。

3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预

测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。

4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，

并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM （1，1）模型的建立 1. 数据处理

为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。

i. 设()()()()()()()()(){}

,,, (00000)

123X X X X X n = 是所要预测的某项指标的原始

数据，计算数列的级比()()()

(),,,,()

00123X t t t n X t λ-=

=。如果绝大部分的级比

都落在可容覆盖区间(,)221

1

n n e

e

-++内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色

预测。否则，对数据做适当的预处理。方法目前主要有数据开n 方、数据取对数、数据平滑。预处理的数据平滑设计为三点平滑，具体可以按照下式处理

()()()()()()

()()/00001214X t X t X t X t ⎡⎤=-+++⎣⎦

()()()()

()()/00013124X X X ⎡⎤=+⎣⎦ ()()()()()()/000134X n X n X n ⎡⎤=-+⎣⎦

ii. 预处理后对数据作一次累加生成处理，即：将原始序列的第一个数据作为生

成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据。按此规则进行下去，便可得到生成列。 根据()

()()()101

k

n X

k X n ==∑，得到一个新的数列

()()()()()()()()(){}

,,,...11111123X X X X X n =

这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。 2. 新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述。

()

()11dX aX u dt

+= 其中：a 称为发展灰数；u 称为内生控制灰数。 3. 模型求解。

令()()()[(),(),,()]00023T n Y X X X n =⋯，ˆα

为待估参数向量，ˆa u α⎛⎫

= ⎪⎝⎭

， ()()()()()()(()())(()())(()())111111112 12123 12

11 12X X X X B X n X n ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-+⎢⎥=⎢⎥⋯⋯⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦

， 于是模型可表示为

ˆn Y B α= 通过最小二乘法得到：

()ˆ1

T T n B B B Y α

-= 求解微分方程，即可得灰色预测的离散时间响应函数：

()()()()ˆ1011at u u X t X e a a -⎡⎤+=-+⎢⎥⎣⎦

,,,...,0121t n =- ()()ˆ11X

t +为所得的累加的预测值，将预测值还原即为： ()()()ˆˆˆ()()-()01111X

t X t X t +=+ 注：若数据经过预处理，则还需经过相应变换才能得到实际预测值。 4、模型检验

灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。 1) 残差检验

()()()ˆˆˆ()()-(-)0111X

t X t X t = ()()()()()()ˆ000t X

t X t ∆=- ()()

()(),,,,()

0012t t t n X t ε∆==

分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值，计算出平均相对误差判断精度是否理想。

2) 关联度检验

i. 定义关联系数()t η

()()()()()

()()

()

min max ()max 0000t t t t t ρη∆+∆=

∆

+∆

其中：①()()0t ∆为第t 个点()0X 与()ˆ0X

的绝对误差； ②ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；

③对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始

化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。