解析几何竞赛题求解的几种常见策略

解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学 322100）

解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其 方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。 解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要 具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一 般有一或两道填空题和一道解答题，分值在 30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。下面笔者结合自己的 教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。

一、用函数（变量）的观点来解决问题

函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的 坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。

在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情 况，所以函数

观点成为了解决解析几何的一种重要方法。

【例1】（2010全国高中数学联赛试题）

已知抛物线y 2 6x 上的两个动点 A （x 1, y-i ）和B （x 2, y 2）,其中捲x 2且

为X 2 4.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C,求厶ABC 面积的最大值.

【分析】通过对题目的分析可以发现线段 AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把 AB 中点的纵坐标作为主变

量，这样只要把 ABC 的面积表示成以 AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。 【解析】设线段 AB 的中点M 坐标为（（2, y 0），贝V

、-7）, B （6 35

, 、5 -■ 7）时等号成立，所

以

3

【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积 注意y °的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设

9 y 0 t,t [9,21），转化为一个t 的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技巧。

2 2

【例2】（2009全国高中数学联赛试题）设直线 l:y kx m （其中k , m 为整数）与椭圆——1交于不同两点A , B ，与

16 12

则直线AB 的斜率：k y ―y 2

X i X 2

* y 2

~2 2

y 1 y 2

~6石

y 1 y 2 y 0

线段AB 的中垂线方程:

y 。 y 0 0

（x 2），易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点 C （5,0） 3

直线AB 的方程：y y 0

-(x y 0

2），联立抛物线方程消去 x 可得:

2 2

y 2y °y 2y ° 12 0 (1),

由题意，y“y 2是方程（ 2

1）的两个实根，且 y y 2，所以 4y °

4(2 yo 12) 0 2= y 2 3

弦长 |AB| .1 (；)2|y 1 V 2| , (1 ?)[(% V 2)2

2

4溜]3 .(9 y ：)(12 y ：)

3

点 C(5, 0）到直线AB 的距离：h |CM |

9 y （2

则

S

ABC

2|AB| h 3 ...(9 y ^)(12

y 2

) .9

y 0

2 2 2 y °)(9 y 0

)(24 2y °)

2( 2 2 2

9 y °

9 y ° 24 2y °)3

2

9 y

24 2y ：

y 。

点 A(-

35

/■ 5 -7), B(-

35

/. 5 d)

或

3

3

A(^^5

,

.5

3

ABC 面积的最大值为14 -7。

3

S 表示为中点坐标y 0的函数，同时

2 2

ULLT UUU

双曲线1 y

1交于不同两点C , D ，问是否存在直线I ，使得向量AC BD 0，若存在，指出这样的直线有多少条若不存 4 12

在，请说明理由. 【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的 UUU BD ，本题就转化为解二元方程

m 消去y 化简整理得：3 1

k, m ,所以其余各量均可用 k, m ，所以我们这里可用一个二元函数

f (k,m)来表示 y 【解析】由 x

2 16 uur AC kx 2 y 4k 2 x i ，y i

， X 2， y 2 ，贝U 刘 X 2 8km 3 4k y 2 x ~4 kx 2

y 12

消去y 化简整理得 1 3 k 2 x 2 因为 X 3 , uur AC

y 4 , uur BD

D X 4，y 4 ，则 x a X 4

由x 1 X 2 X

3 X

4 x 得 8km X 4得 3 4k X a

2 k m 2 ,

3 k 为 0 , 所以 2km f (k,m) 2

x 8kmx

8km

0.

2

4m 2 48 0

4k 2 4m 2 48

2

2kmx m 12

此时 2

2 km

k 2 m 2 12

X 2

km 3 k 丄弋.由上式解得k 0或m 0 • 3 k 2 3m 2 3 •因m 是整数，所以 3 k .3 •因k 是整数，所以k 9条.

y 4 y 2

y 3 y 1

•

0 或 一-

3 4k -

当k 0时，由①和②得 当m 0 ,由①和②得 于是满足条件的直线共有 【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数，如题设中有其他条件能找

到 这两个变量间的关系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而不求”的思 想；如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理 二、用平面几何的知识来解决问题 解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用代数的方法来解决几何问题，但说到底解析几何还是几何。在解决某些解析几 何问题的时候，如果其平面几何背景非常明显的时候，我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题。

m 的值为3 , 2 , 1, 0 , 1 • 【例3】(2012全国高中数学联赛试题)抛物线y 2 2px(p 0)的焦点为F ,准线为I , A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足

AFB 3 •设线段AB 的中点M 在 l 上的投影为 N ,则'MN '的最大值是

| AB|

【分析】 根据梯形的中位线定理和抛物线的定义, |MN=|AF|+|BF| ，结合

AFB

，可用余弦定理得出等量关

系。

3

【解

析】

由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 MN

AF BF

AFB 中，由余弦定理

得 AB (AF

当且仅当 AF BF BF )2

3( AF 2 AF BF cos — 3 AF| I BF

|)2 ( AF BF 时等号成立•故 MN

(AF BF )2

BF )2 3 AF BF MN 的最大值为1. AB 【评析】一些解析几何客观题，往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。 【例4】(2005全国高中数学联赛试题)过抛物线 在线段 AC 上, △旦 1

BF EC

，F 在线段BC 上，FC

迹方程。 【分析】通过初略计算可知 【解析】AB 的方程为

y=x 2一点A (1,1)作抛物线的切线交 x 轴于D,交y 轴于B , C 在抛物线上，E

2，且入

1

+入2=1,线段CD 与 EF 交于P ,当C 在抛物线上移动时，求 P 的轨

D 为AB 的中点，而题设中有很多的线段比例关系，可考虑用三角形的面积之比来解决问

题。

1

2x 1, B(0, 1), D(—,0),故 D 是 AB 的中点.

2 令 CD,t 1

CP

CA CE

1 ,t

2 CB 1 CF

2,则 t 1 t 2 3.