04 解一元二次方程(3)—因式分解法
因式分解法解一元二次方程的步骤
因式分解法解一元二次方程的步骤因式分解法是解一元二次方程的一种常用方法。
它的基本思路是将二次方程转化成两个一次方程相乘的形式，然后通过求解这两个一次方程得到方程的解。
下面我们来详细介绍因式分解法的步骤。
步骤1：确定一元二次方程的形式首先，我们要确定一元二次方程的形式，即确认方程为a*x^2 +b*x + c = 0，其中a、b和c是实数，且a ≠ 0。
确保方程满足这个条件后，我们才能使用因式分解法进行求解。
步骤2：计算二次项系数a将已知的一元二次方程写成标准形式，我们可以直接从方程中读取二次项系数a的值。
这一步很重要，因为我们后续的计算都会用到a 的值。
步骤3：计算常数项c同理，我们从方程中读取常数项c的值。
这一步同样很关键，因为我们在解方程时，需要用到常数项的值。
步骤4：根据二次项系数a和常数项c的符号确定因式的形式根据二次项系数a的符号，一元二次方程的因式形式分为两种情况：当a > 0时，我们可以使用“差平方”的形式进行因式分解；当a < 0时，我们可以使用“和平方”的形式进行因式分解。
步骤5：根据因式的形式进行因式分解对于“差平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x - n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ n。
将原方程的右侧展开并整理，得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后通过求解m和n的值，可以得到方程的解。
对于“和平方”的形式，我们可以将一元二次方程写成(a*x +m)*(a*x + n) = 0的形式，其中m和n是实数，且m ≠ -n。
也是通过展开右侧等式并整理得到二次项、一次项和常数项的关系式，然后求解m和n的值，得到方程的解。
步骤6：求解方程通过步骤5的因式分解，我们得到了一元二次方程的两个一次因式，接下来，我们可以将每个因式设置为零，分别求解得到方程的解。
步骤7：检验解的有效性最后，我们还需要检验求得的解是否满足原方程。
将解代入原方程中，如果方程两侧相等，那么我们的解就是有效的，否则需要重新检查求解过程。
第4讲 一元二次方程的解法-因式分解法
第4讲 一元二次方程的解法(四)----因式分解法知识要点梳理:1.分解因式的方法有：提公因式法、利用平方差公式分解因式、利用完全平方公式分解因式、十字相乘法、分组分解法等2.因式分解法解一元二次方程的原理：000==⇔=b a ab 或预习引入：将下列各式分解因式（1）y y 22-（2）942-x （3）2222+-x x（4）862+-x x（5）y y x x 2422--+经典例题例1：用因式分解法解下列方程：(1) t (2t －1)＝3(2t －1)；(2) y 2＋7y ＋6＝0(3)(2x －1)(x －1)＝1．（4）0)34()43(22=---x x例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．例3．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ； (2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．经典练习：一．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 *(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题(1)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(2)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．三．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9； (7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0； (9)2x2－8x＝7(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．拓展练习1．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求y x yx +-的值．2．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．3．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗巩固作业：1．分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0用因式分解法：用配方法：用公式法：用因式分解法：用配方法：用公式法：2．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．3.当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.4.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．。
一元二次方程怎么解因式分解
一元二次方程怎么解因式分解标题：一元二次方程的因式分解方法与实际应用导语：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法之一就是将其进行因式分解。
本文将介绍一元二次方程的因式分解方法，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的因式分解方法要将一元二次方程进行因式分解，我们可以采用以下步骤：1. 将方程的左边移到等号右边，得到ax^2 + bx = -c。
2. 将方程两边同时乘以一个常数k，使得方程变为完全平方的形式，即a(kx)^2 + b(kx) = -ck^2。
3. 将方程左边进行因式分解，得到a(kx + m)(kx + n) = -ck^2，其中m和n为待定常数。
4. 比较方程两边的系数，得到关于m和n的方程组，解方程组，求得m和n的值。
5. 将m和n的值代入方程，得到一元二次方程的因式分解形式。
三、一元二次方程因式分解的实际应用一元二次方程的因式分解在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 在物理学中，一元二次方程的因式分解可以用于描述抛体运动的轨迹。
通过将方程进行因式分解，可以得到轨迹的方程，从而更好地理解和分析抛体的运动规律。
2. 在经济学中，一元二次方程的因式分解可以用于描述市场需求和供给的关系。
通过将方程进行因式分解，可以得到需求曲线和供给曲线的交点，从而确定市场的均衡价格和数量。
3. 在工程学中，一元二次方程的因式分解可以用于设计和优化结构。
通过将方程进行因式分解，可以找到结构的特征方程，从而确定结构的固有频率和振动模态。
结语：一元二次方程的因式分解是数学中重要的解题方法之一，它不仅有着理论上的意义，还在实际应用中发挥着重要作用。
通过掌握一元二次方程的因式分解方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题，并推动科学技术的发展与进步。
人教版九年级数学上册《一元二次方程的解法——因式分解法》PPT
简记歌诀： 右化零 左分解
三化-----方程化为两个一元一次方程; 两因式 各求解
四解-----写出方程两个解;
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
• 3．二次三项式x²＋20x＋96分解因式的结
果为
；如果令x²＋20x＋96＝0，
那么它的两个根是
．
4．选择适当的方法解下列方程：
• (1)(x－5)²＝4； • (2)x²＝8x； • (3)3x²－x－1＝0； • (4)(2x＋1)²＝－6x－3； • (5)(2x－1)²＝(3－x).²
1.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③
解: 原方程化为： x2 - 3x -28= 0， (x-7)(x+4)=0， x1=7，x2=-4.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入 我们知道ab=0，那么a=0或b=0， 类似的解方程（x+1）（x－1）=0时， 可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解， 你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？
一元二次方程的解法因式分解法知识点总结
一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x 2+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0； （3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=.5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程 （1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)369212x ±-⨯⨯-±==⨯，∴ 3692x +=或3692x -=． 三、解答题13.【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a--=②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m==- 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322m m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
解一元二次方程---因式分解法
教案教学内容一元二次方程——因式分解法一、学习目标：1．会用因式分解法解一元二次方程；2．会用换元法解一元二次方程；3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾：1．分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm=（2）公式法：22()()++=+222a ab b a b+=-2(-)a ab b a b-=+-，222a b a b a b2()（3）十字相乘法：2()()()+++=++x a b x ab x a x b三、新知讲解1．因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2．因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程化为一元二次方程的一般形式，即将方程的右边化为0；②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次式乘积的形式；③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.4.常用的因式分解法：（1）提公因式法，将方程移项后，将左边含有的公因式提出来。
（2）公式法，形如x2-a2=0的一元二次方程可逆用平方差公式变形为（x+a）（x-a）=0。
（3）十字相乘法，形如x2+（a+b）x+ab=0的一元二次方程可变形为（x+a）（x+b）=0。
注意：（1）在方程没有化成一般式之前，不能对左边进行因式分解。
（2）不是所有的一元二次方程都能进行因式分解。
（3）因式分解时，能提出公因式的，需先提出公因式。
5.灵活选用合适的方法解一元二次方程四、典例探究基础经典精析1.运用因式分解法解一元二次方程【例1】解方程：（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.变式1.方程（x+2）（x-3）=（x+2）的解是（2）．运用公式法解一元二次方程【例2】解方程：4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2=0变式2.一元二次方程（3x+2）2=（5-2x）2的解是（3）．运用十字相乘法解一元二次方程【例3】运用因式分解法解下列方程：（1）x2+2015x-2016=0；（2）x2-6x-16=0变式3.解一元二次方程时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程2.灵活选用方法解一元二次方程【例3】选择适当方法解下列方程：（1）3y+15=-2y2-10y；（2）（2y﹣2）2+2=（2y+1）（4y﹣2）；变式4.选择合适的方法解下列方程.（1）x2﹣6x﹣5=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；（4）x2﹣2x+1=0．3．用换元法解一元二次方程【例4】解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．总结：1.换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.2.在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.3.解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．变式5.若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．变式6. 解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.拔高创新讲练1.解一元二次方程与几何图形的综合【例5】一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9总结：变式：菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积是。
一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(提高)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m≠0，解得x ＝1．(2)当m+n≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 24|6|2()n m m x m n -±==+，∴ 11x =，25n m x m n-=+．【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a mb mc =-=-= ∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 3(1),2(1)m m x m -±+==- ∴ 122, 1.1x x m==-2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ m ==1==，∴ 11m =+21m =．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥∴32m m x ±==∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=.134．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
一元二次方程的求解方法
一元二次方程的求解方法一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
解一元二次方程是求出方程的根，即满足该方程的x的值。
求解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解、配方法、求根公式等。
下面将分别介绍这些方法。
一、因式分解法：当一元二次方程可以因式分解时，可以通过因式分解的方法求解。
具体步骤如下：1. 将方程化为二次式的因式积形式，即ax^2+bx+c=0，其中a不等于0。
2. 将二次式的因式积形式分解为两个一次式相乘的形式，即(ax+m)(ax+n)=0，其中m和n是待定系数。
3. 根据“乘积为0则其中一个因子为0”的原理，可以得到两个一次式分别为0的两个方程：ax+m=0和ax+n=0。
4. 分别解这两个一次方程，得到x的值，即为方程的根。
二、配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，可以通过配方法将其转化为可以因式分解的形式。
具体步骤如下：1. 将方程化为标准形式，即ax^2+bx+c=0，其中a不等于0。
2. 如果a不等于1，可以将方程两边同时除以a，化简为a'x^2+b'x+c'=0，其中a'为1。
3. 将方程中的一次项b'x进行配方，即将b'x拆分为两个部分，使得其平方项可以与二次项a'x^2相消。
4. 根据配方公式，将b'x拆分为2个数的平方，即b'x=p^2+2pq+q^2，其中p和q是待定系数。
5. 将拆分后的方程重新组合，即将a'x^2+(p^2+2pq+q^2)+c'=0，化简为(a'x^2+p^2)+(2pq+a'x)+(q^2+c')=0。
6. 根据结合律，将方程重新组合，得到(a'x^2+p^2)+(2pq+a'x)+(q^2+c')=0。
7. 将方程分解为三个一次式的和等于0的形式，即(a'x+p)^2+2pq+a'x+q^2+c'=0。
04 因式分解法解一元二次方程式 有答案
因式分解法解一元二次方程式一、解下列各方程式： 1. 4x 2＋5x ＝02. 6x 2－8＝03. (5x －4)(4x ＋7)＝04. 6(x 2＋1)＝37x5. (x －3)2－(x －3)－6＝03-1 因式分解法解一元二次方程式二、写出下列各方程式：1. 写出以1与2为根的一元二次方程式。
分析：x 1＝1，x 2＝2 根据“两个因式的积等于0”，可得 (x －1)(x －2)＝0 ，展开即得：x2－3x ＋2＝02. 写出以1与－2为根的一元二次方程式。
3. 写出以3与0为根的一元二次方程式。
4. 写出以－4与－4为根的一元二次方程式。
5. 写出以32与23为根的一元二次方程式。
3-1 因式分解法解一元二次方程式1. (1) x2－7x＝18(2) x2＋6x＋5＝x－12. 5(x2－6)＝2(x－15)3. 0.6x2＋3.6x＋5.4＝04. 若3是方程式ax2－5x－3＝0的一个根，则(1) a＝。
(2) 方程式的另一根为是多少。
3-1 因式分解法解一元二次方程式5. 两正数的和为25，平方和为425，则这两数为。
解：6. 长方形的长比宽多5厘米，对角线比长边多5厘米，则此长方形的面积＝平方厘米。
7. 设x、y为正数，且x2－3xy－4y2＝0，则x：y的比值＝。
解：3-1 因式分解法解一元二次方程式1. 某人向上掷一小石子，设x秒后离地面的高度为(20x－5x2)公尺，(1)几秒后？小石子离地面的高度为15公尺。
(2)几秒后？小石子落到地面。
2. 甲、乙两生解同一个一元二次方程式，甲将x项的系数看错，解得两根为－4与8；乙将常数项看错，解得两根为－4与10，此外无其它错误，试求正确的方程式。
因式分解法解一元二次方程式答案一、解下列各方程式：1. 4x 2＋5x ＝0 x(4x ＋5)＝0 (x ＋0)(4x ＋5)＝0 x 1＝0、x 2＝45- 2. 6x 2－8＝0 6x 2＝8 x 2＝68＝34x ＝32± x 1＝，x 2＝ 3. (5x －4)(4x ＋7)＝0 x 1＝54，x 2＝47- 4. 6(x 2＋1)＝37x 6x 2＋6－37＝0 (x －6)(6x －1)＝0 x 1＝6，x 2＝615. (x －3)2－(x －3)－6＝0 x 2－6x ＋9－x ＋3－6＝0 x 2－7x ＋6＝0 (x －1)(x －6)＝0 x 1＝1，x 2＝63-1 因式分解法解一元二次方程式 二、写出下列各方程式：1. 以1与2为根的一元二次方程式。
第04讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法(解析版)-2024学年九年级数学上册学与练(人教版)
第04讲解一元二次方程——因式分解法与换元法课程标准学习目标①复习巩固因式分解的方法②利用因式分解法解一元二次方程③整体法或换元法解一元二次方程 1.复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。
2.学会利用因式分解解一元二次方程。
3.学会并掌握整体法或换元法解一元二次方程。
知识点01因式分解的方法1.因式分解的方法：①提公因式法：=++cm bm am ()c b a m ++；②公式法：平方差公式：=-22b a ()()b a b a -+；完全平方公式：=+±222b ab a ()2b a ±；③十字相乘法：分解c bx x ++2，若mn c =且b n m =+，则=++c bx x 2()()n x m x ++。
题型考点：①对因式分解进行熟练应用。
【即学即练1】1．把下列各式因式分解：（1）2a 2﹣4a ；（2）（a 2+9）2﹣36a 2；（3）x 2+2x ﹣15．【解答】解：（1）2a 2﹣4a＝2a （a ﹣2）；（2）（a 2+9）2﹣36a 2；＝（a 2+9+6a ）（a 2+9﹣6a ）＝（a +3）2（a ﹣3）2；（3）x 2+2x ﹣15＝（x +5）（x ﹣3）．知识点02利用因式分解法解一元二次方程1.因式分解法解一元二次方程的基本步骤：①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为0。
②对方程的左边进行因式分解，使其成为两个整式的积的形式。
③别分令两个整式为0，得到两个一元一次方程。
④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。
题型考点：①根据求根公式确定c b a ，，的值。
②利用公式法解一元二次方程。
【即学即练1】2．一元二次方程（x ﹣5）2＝4（x ﹣5）的解为（）A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝5x 2＝9D ．x 1＝5x 2＝1【解答】解：（x ﹣5）2＝4（x ﹣5），（x ﹣5）2﹣4（x ﹣5）＝0，（x ﹣5）（x ﹣5﹣4）＝0，x ﹣5＝0或x ﹣5﹣4＝0，所以x 1＝5，x 2＝9．故选：C ．【即学即练2】3．方程x 2﹣3x ﹣18＝0的根是（）A ．x 1＝3，x 2＝6B ．x 1＝﹣3，x 2＝6C ．x 1＝3，x 2＝﹣6D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣6【解答】解：x 2﹣3x ﹣18＝0，（x +3）（x ﹣6）＝0解得：x 1＝﹣3，x 2＝6．故选：B ．【即学即练3】4．解方程（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0．【解答】解：（3x ﹣4）2﹣（4x +1）2＝0，∴，x 2＝﹣5．知识点03整体法或换元法解一元二次方程1.整体法或换元法：在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
备战2023年中考数学一轮复习考点04 一元二次方程
考点04 一元二次方程一元二次方程主要包括：一元二次方程的概念、解法，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用等知识，在江苏省各地级市中考中，一元二次方程的概念、根与系数的关系多以选择或填空为主，一元二次方程的解法和应用多以解答题为主，整体考查难度不大。
一、一元二次方程的概念与解法；二、一元二次方程根与系数的关系；三、一元二次方程的应用。
考向一：一元二次方程的概念与解法1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．3．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．4．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程．5．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可．6．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=．1．一元二次方程25220x x -+=的一次项系数是（ ） A ．5B ．2-C ．2D ．02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．221x x +B ．2ax bx +C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=3．若=1x -是关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的一个根，则a b -的值为（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．24．解方程：243x x -=-． 5．解方程：()()1218x x -+=． 考向二：一元二次方程根与系数的关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．1．已知m 、n 是关于x 的方程2220210x x --=的根，则代数式2422023m m n --+的值为（ ） A ．2022B ．2023C ．4039D ．40402．关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有两个相等的实数根，则k =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．13．一元二次方程210x +=的根是（ ） A ．121x x ==B ．121x x ==-C ．121,1x x =-=D ．无根4．一元二次方程220x x ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个相等的实数根D ．无法判断5．已知1x ，2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x = （ ） A ．14B ．2C ．4-D ．4考向三：一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容。
初中数学九年级上册一元二次方 程04 因式分解法
一元二次方程——因式分解法学习目的会用因式分解法(提公因式法、公式法)解一元二次方程。
【探究】1、说出下列方程的根：(1)(8)0x x -= (2)(31)(25)0x x +-=2、解下列方程，先把右边因式分解，从中你能发现什么新的方法？(1)2x 2-4x ＝0 (2)x 2-4＝0． 【归纳】：(1)对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________， 这种解法叫做__________________。
(2)如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或___________，即1x=-或________。
【注意点】1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。
2、因式分解法的根据是：如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =。
据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次．．的目的。
am+bm+cm= ; a 2-b 2= ;m 2-16= ; ab+ac= ; 2x 2-2x= m 2-25= ; y 2-x 2= ; a 3-a= ;3x 2-3x= ; 3a 2+12a= ; x 2+xy= ; 8x 2-4x 2y-16xy= ; a(m-6)+b(m-6) = ; 3(a-b)+a(b-a) = ; -4b 2+2ab= ; ma-mb-mc= ; a 2+2ab+b 2= ； y 2-6y+9= ; 2x 2+4xy+2y 2= ; 13x 2-2x+9= ;a(a+b)-b(a+b) = ; a(a-b)-b(a-b) = ; x 2+4xy+4y 2= ; 2520m mn -= ;33x y xy -= ; 2a ab -== ;29x -+= ; 5335x y x y -+32x ＋2x=0 32x －7x ＝0ax –ay ax 2-a 3 2xy 2-50x a 3b-ab3x 2-3x ma+mb+mc a 5-a -20a-15axx 2+xy 8m ²n+2mn -4b 2+2ab 3a 2+12ax 2+2x+1 a 2+2ab+b 2 9a 2 - 6ab+3a 3ax 2+6axy+3ay 2x 2-4xy+4y 24x 2-4x+1 24142++x x 36152+-a a542-+x x 22-+x x 1522--y y 24102--x x6752-+x x 2732+-x x 317102+-x x 1511122--x x同步练习一、填空题1．用因式分解法解一元二次方程的关键是(1)通过移项，将方程右边化为(2)将方程左边分解成两个__________次因式之积(3)分别令每个因式等于，得到两个一元一次方程(4)分别解这两个__________，求得方程的解2．如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.3．方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程________或__________，分别解得：x1=__________,x2=__________. 4．用因式分解法解方程9=x2－2x+1(1) 移项得______________________；(2)将方程左边分解成两个一次因式之积得________________；(3)分别解这两个一元一次方程得x1=__________,x2=__________.二、完成下面的解题过程：(用因式分解法解方程)(1)解方程：x(x+2)=3x+6.解：移项，得 .因式分解，得 .于是得或，x1= ，x2= . (2)解方程：x2解：移项，得 .因式分解，得 .于是得或，x1= ，x2= .(3)．填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程解：3x(x+5)__________=0(x+5)(__________)=0x+5=__________或__________=0∴x1=__________,x2=__________解下列方程(用因式分解法)(x －16)(x ＋8)＝0(25)(4)0x x +-=(x －2)(3x ＋1)=0(2x －1)2－1＝0 x 2＋4x ＝03y 2-6y=025y 2-16=0230x x +=23540x x +-= 12(x ＋3)2＝224120x x +-=2720x x --=2(21)9x -=231340x x -+= 3x 2+5(2x+1)=0x(x-8)＝-16 x 2-12x-28=0 x 2-12x+35=0(2x+1)2－x 2=022510x x +=142x+9x－65=0 x2+3x－4=0x2+2=3xx2-3x＋2＝0；3x(x-1)＋2x＝2；2(2)24x x+=+；2101160x x--=；22350x x--=；27100x x-+= 29180x x++=；2101160x x --=261170x x +-=.(3)(1)5x x -+=；(x －1)(x+2)=2(x+2)(2)4(2)x x x +=+220x x k x +-=；x 2＋7x ＋10 ＝ 0 x 2－4x ＋3 ＝0 x 2－15x ＋54 ＝010x 2－13x －3 ＝015x 2－29x ＋12 ＝065x 2－40x －25＝020x 2－9x －20 ＝ 0(54)54x x x +=+2320x x -+=x 2－14x ＋24=0 y 2－4y －5=0，． x 2＋2x ＋1＝4234x x +=(1)(2)70x x -+=231140x x --=x 2－4x －32=02280x x --=22x －19x ＋9=0(x －3)(x ＋7)－24＝024(3)(3)0x x x ---=； 229(2)4(1)x x -=+。
因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程一元二次方程就是一个一元多项式的二次次方程，它的格式一般是ax² + bx+ c = 0（其中a≠0）。
要解一元二次方程，通常用到的是因式分解的方法。
因式分解的方法是将一元二次方程变成两个一元一次方程，而解得的两个满足条件的一元一次方程中的x的值即为一元二次方程的根。
首先，要解一元二次方程，需要先将它转化成一元一次方程格式。
这一步可以通过将因式上乘以a来实现，即有：a(x²+ bx/a + c/a) = 0，于是我们可以将一元二次方程分解为两个一元一次方程，即：x² + bx/a + c/a = 0 和a = 0；其次，在解一元一次方程时，只要把方程按照常规形式写出来就可以了。
将上面的两个一元一次方程按照常规形式写出，即有：x² + (b/a)x + (c/a) = 0；a = 0；之后，在解x²+ (b/a)x + (c/a) = 0这个一元一次方程时，可以用a×b÷2来简化，并用b²－4ac来计算根。
需要注意的是，当b²－4ac<0时，证明该一元二次方程无解。
最后，我们要根据表达式计算出两个方程式中x的值。
首先，计算出b²－4ac，根据结果来判断一元二次方程是否有解。
如果b²－4ac>0，该一元二次方程就有解，由此可得x1 = (-b + √b²－4ac)/2ax2 = (-b - √b²－4ac)/2a最终得出的x1和x2就是一元二次方程的两个根，这样就解决了一元二次方程的问题。
总的来说，解决一元二次方程的时候，可以使用因式分解法，将一元二次方程分解成两个一元一次方程，再根据一元一次方程计算出x1和x2，最终就可以求出一元二次方程的根。
一元二次方程的解法(直接开平方、因式分解)
直接开平方与因式分解的比较
直接开平方
适用于方程有重根或可以通过移项整理成平方项系数为正数的情况。计算简单， 但适用范围有限。
因式分解
适用于所有一元二次方程，但需要一定的技巧和经验，对于复杂的一元二次方 程可能较难操作。
不同解法的适用范围
直接开平方法
引力问题
在引力问题中，一元二次方程可以 用来描述万有引力定律，如求解天 体之间的引力等。
在实际生活中的应用
经济问题
一元二次方程在经济中有着广泛 的应用，例如求解最优价格、最
大利润等。
金融问题
在金融领域中，一元二次方程可 以用来描述复利、保险等问题。
交通问题
在交通领域中，一元二次方程可 以用来描述车辆行驶的轨迹、速
避免错误
在因式分解过程中，需要 注意符号和运算的准确性， 避免出现错误。
检验
因式分解后需要进行检验， 确保分解结果是正确的。
03 一元二次方程解法的应用
在数学中的应用
代数问题
一元二次方程是代数中常见的基本方 程，通过解一元二次方程可以解决代 数问题，如求解未知数、证明不等式 等。
几何问题
函数与导数
在配方过程中，要保 证等式的平衡和等价 变换。
开平方时要注意正负 号的取舍，根据方程 的系数和判别式的符 号确定。
02 一元二次方程的因式分解
定义与性质
定义
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
性质
因式分解是整式乘法的逆运算， 即如果多项式等于几个整式的积 ，则这些整式是多项式的因式。
因式分解的步骤
01
02
03
提取公因式
将多项式中的公因子提取 出来，形成几个整式的积。
第21章 一元二次方程——一元二次方程的解法(复习课) 2022—2023学年人教版数学九年级上册
课题：《一元二次方程的解法》复习教案一、教材分析：解一元二次方程是人教版九年级上册第21章第二节的内容，本节的主要内容是一元二次方程的解法（直接开方法、因式分解法、配方法、公式法）。
解一元二次方程在课标中的要求是：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节，又是后续内容学习解决实际问题的基础和工具。
一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。
学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。
二、学情分析：学生已经学习了一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法后的一节复习课，已经掌握了学生的薄弱点：1.易错点：直接开平方法中，学生容易只取正的这一个根；2.配方法中，学生容易把一次项系数不除以2直接平方，个别学生会忘记平方，方程左边加了常数项，右边忘记加；公式法中，学生容易把公式中的-b记错成b,个别学生再代入系数的时候会忘记前面的负号；等等。
2.不能灵活选择解法，由于不会根据方程系数的特征找到最优解法，造成错误率提高，用时过长的弊端，从而影响到了少数学生对数学的自信心。
三、教学目标：（一）知识与技能：1.掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法解方程。
2.避免易错点，提高解方程的正确率。
（二）过程与方法通过观察方程的特征选择不同解法，培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力，同时还培养学生化归的思想。
（三）情感态度价值观通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。
通过小组合作的形式，培养合作的习惯，提高分析的能力。
四、教学重点：掌握解一元二次方程的四种方法。
五、教学难点：会根据方程的特征灵活选用适当的方法解方程。
六、教学过程：（一）全班纠错，激发热情：教材P17习题21.2 6（3）3(1)2(1)x x x -=-作业完成中的不同解法展示：A ：解：32x =∴ 23x = ∴原方程的解是：23x = B ：解：23322x x x -=- C ：解： 23322x x x -=-235+2=0x x - 235+2=0x x -252=33x x -- 252=33x x -- 22552+()=363x x -- 2225525+()=+()3636x x -- 252()=63x -- 251()=636x - ∴原方程无解 51=66x -∴=1x∴原方程的解为：=1xD ：解：23322x x x -=-235+2=0x x -3,5,2a b c ==-=224(5)4321b ac ∆=-=--⨯⨯=21,2451223b b ac x a ±--±==⨯ ∴12213x x =-=-， ∴原方程的解是：12213x x =-=-，E ：解：3(1)2(1)0x x x ---= (1)(32)0x x --=12213x x ==， ∴原方程的解是：12213x x ==， 提出问题，小组讨论：1.以上几位同学的解法是否正确，如果不正确请指出并改正，并小组内总结出哪些地方是易错点。
因式分解法求解一元二次方程
自学指导二
认真看课本P14例3，看懂例题的解题过程。 时间：3分钟
归纳
1. 因式分解法：
将一元二次方程先因式分解化为 两个一次因式的乘积等 于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降
次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。
2.用因式分解法的一般步骤：
（1）移项：将方程右边化为 0
x=0 或 x-2=0 。
求解
x1= 0 ，x2= 2 。
x²-2x=0 x(x-2)=0
4.(1)因式分解法是解一元二次方程的基本方 法之一，具备什么特点的一元二次方程能用 因式分解法来解呢？
左边x-2=0 。 （2）用因式分解法的依据是什么？
若a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 x1= 0 ，x2= 2 。
学习目标
1.理解如何用因式分解法解一元二次方程，并 能灵活应用；
2.理解解一元二次方程的思路就是降次.
自学指导一
认真看课时练P10左侧学习任务一， 并用心填写1----3题， 时间：4分钟
学习过程 1.有理数乘法：
如果a ·b = 0，那么 a = 0 或 b= 0 。
2.因式分解：
x²+2x =
；
（2）化积：将方程左边分解为 两个一次因式 的乘积；
（3）转化：令这两个一次式分别等于0，得到两 个 一元一次方程 ；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是
一元二次方程的 解 。
检测题一
课本第14页第1 (1)（3）（5）
要求：仿照例题 书写规范 字体工整
时间：6分钟独立完成.
检测题二
x(x+2）
x²-4 =
(x+2)(x-2)
解一元二次方程--因式分解法
(2x +1)(2x −1) = 0.
4x2 −1 = 0,
例4、用分解因式法解方程 、用分解因式法解方程: (1)5x (2)x-2=x(x(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2);
(1)解: 5x − 4x = 0,
2
∴x = 0,或 x − 4 = 0. 5
4 ∴x1 = 0; x2 = . 5
问题1 问题
你学过哪几种解一元二次方程的方法? 你学过哪几种解一元二次方程的方法 解一元二次方程的方法 (1)直接开平方法 x2=a (a≥0) 直接开平方法: 直接开平方法 (2)配方法 配方法: 配方法
(x+h)2=k (k≥0)
2
−b ± b − 4ac 2 (3)公式法 x = 公式法: 公式法 . b − 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
问题2、什么叫分解因式 什么叫分解因式? 什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式 整式乘积的形式叫做分解因式
问题3、分解因式的方法有那些 的方法有那些? 问题 、分解因式的方法有那些 （1）提取公因式法: ）提取公因式法 am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法 ）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. ± x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
提示: 提示: 1.用分解因式法的条件是 方程左边易于分解, 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 关键是熟练掌握因式分解的知识 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零. 少有一个因式等于零.”
解一元二次方程3 因式分解法
《21.2.3因式分解法》一、学习目标1.会用因式分解法解一元二次方程.2.能选用合适的方法解一元二次方程.二、导学指导与检测导学导学检测及课堂展示阅读教材第12页到第13页的内容完成右边的学习内容①解方程10x-4.9x2=0.分解因式：左边提公因式，得，降次：把方程化为两个一次方程，得或，求解：解这两个一次方程，得：②将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法？用因式分解法解一元二次方程的依据是：如果ab=0，则或.③请小结因式分解法解一元二次方程的步骤：④解下列方程：(x-2)·(x-3)=0；4x2－11x=0.即时训练：用因式分解法解方程的一般步骤：第一步，把方程变形为的形式；第二步，把方程变形为的形式；第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；第四步，解两个一次方程，求出方程的根.阅读教材第14页例3及“归纳”的内容完成相关的内容①方程x(x-2)+x-2=0左边可用法进行因式分解，分解为(x+1)(x-2).②方程5x2-2x-=x2-2x+左右两边都有含未知数的项，无法因式分解，因此，可先将其化为一般形式4x2-1=0，再用法对左边进行因式分解.③说说运用因式分解法解一元二次方程要注意哪些问题.④直接开平方法适用于哪种形式的方程？；配方法适用于哪种形式的方程？；公式法适用于哪种形式的方程？；因式分解法适用于哪种形式的方程？.三、巩固诊断一、基础巩固(80分)1.(10分) 一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为( )A. 3，-5B. -3，-5C. -3，5D. 3，52.(10分)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( )A. -1B. 2C. 1和2D. -1和23.(10分) 方程x2-3x+2=0的根是.4. (10分) 方程x2+43x+12＝0的根是.5.(40分)用适当方法解下列方程：(1)(2x+3)2-25=0; (2)x2+5x+7=3x+11；(3)(3x-2)(2x+1)= (3x-2)2; (4)3x2+8x-3=0.二、综合应用(10分)6.(10分) 若一个三角形的三边长均满足方程x2-7x+12=0，求此三角形的周长.三、拓展延伸(10分)7. (10分)用公式法和因式分解法解方程x(5x+4)-(4+5x)=0.四、堂清、日清记录今日之事今日毕日积月累成大器。