数学北师大版九年级下册二次函数的图像与性质第一课时的教学设计

第二章 二次函数 《二次函数的图象与性质（第1课时）》

教学设计说明

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.

学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.

二、教学任务分析

教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：

知识与技能

1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．

2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同．

过程与方法

1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．

2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．

情感与态度

1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．

2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．

教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.

教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.

三、教学过程分析

（一）创设问题情境，引入新课

［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.

（二）新课讲解

1、作函数2x y =的图象

［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？

［生］记得. 列表，描点，连线.

［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.

（1）列表：

（2）在直角坐标系中描点.

（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.

［师］同学们有没有什么疑惑？

［生］老师，为什么要用光滑的曲线来连接各点呢？在作一次函数图象时我们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？

［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.

[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.

2、议一议

对于二次函数2x y =的图象，

（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.

（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

（3）当0x 时呢？

（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.

［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影. x

… －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 …

（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.

（3）当0x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.

（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.

（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（－1，1）和（1，1）；（－2，4）和（2，4）；（－3，9）和（3，9）. ［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.

3、2x y =的图象的性质

［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：

［生］（1）最低点坐标是（0，0）.

（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.

（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.

（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.

4、做一做

PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.

［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.