第02讲 优化决策理论与方法
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无约束非线性规划—标准型
❖ Min f(x); xRn ❖ 其中f：Rn→R是一个非线性连续函数。对于任意点
x*Rn, 它是函数f的最小点(或局部极小点)吗？ ❖ 例如：min f(x)=ex1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)
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线性规划—内点算法
❖ 1972年，V. Klee和G. L. Minty指出Dantzig的单纯 形算法的迭代次数为O(2n)，是一个指数时间算法， 不是优良算法。那么是否存在求解线性规划问题的 多项式时间算法？
❖ 1984年，N. Karmarkar提出了一种投影尺度算法， 其计算效果能够同单纯形法相比较，掀起了线性规 划内点算法的热潮。
❖ 多目标优化：若f是多个目标函数构成的一个向量值 函数，则称为多目标规划；
❖ 线性规划与非线性规划：当f,g,h均为线性函数时称 为线性规划，否则称为非线性规划。
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优化问题分类
❖ 整数规划：当决策变量的取值均为整数时称为整数 规划；若某些变量取值为整数，而另一些变量取值 为实数，则成为混合整数规划。
决策理论与方法(2)
——优化决策理论与方法
合肥工业大学管理学院
2020年4月24日
确定性决策
❖ 确定性决策：指未来状态是确定的（即只有一种状 态）一类决策问题，每一个行动方案对应着一个确 定的结果值，此时决策函数仅依赖于决策变量。
❖ 特点：状态是确定的；决策问题变为优化问题。 ❖ 决策的已知变量：
决策变量及其取值范围
❖ 解决问题的主要理论方法：最优化理论与方法 ❖ 注：最优化理论与方法（数学规划）也可以求解不
确定性决策问题、随机性决策问题
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确定性决策
❖ 优化决策方法的问题求解过程
辨识目标C，确定优化的标准，如：利润、时间、能量等 确定影响决策目标的决策变量x，形成目标函数C=f(x) 明确决策变量的取值范围，形成约束函数 设计求解算法，寻找决策目标在决策变量所受限制的范
.
线性规划—内点算法
基可行解
可行域
目标函数最速下降方向
内点
初始基可行解
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目标函数
线性规划—内点算法
❖ 投影尺度算法
如何穿过可行域的内部快速达到最优解呢？Karmarkar 发现： (1)如果一个内点位于可行域(多胞形、多面体)的 中心，那么目标函数的最速下降方向是比较好的方向； (2)存在一个适当的变换，能够将可行域中给定的内点置 于变换后的可行域的中心。基于这两点，Karmarkar构 造了一种称为投影尺度算法的内点算法。
[x, fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
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线性规划—Matlab函数应用
❖ 例：max z=x1+2x2
x2
S.t.
x1+x2≤40
Z=x1+2x2
2x1+x2≤60
x1≥0; x2≥0
2x1+x2=60
解：将max变为min，min –z=-x1-2x2
围内的极小化或极大化。 最优化问题的一般形式为：
min f (x)
xR n
s.t. gi ( x) 0, i I ,
hj (x) 0, j
.
优化问题分类
❖ 可行点与可行域：满足约束条件的x称为可行点， 所有可行点的集合称为可行域，记为S；
❖ 约束优化与无约束优化：当SRn时，称为约束优化； 当S=Rn时，称为无约束优化；
xj 0
j 1,2, , n
.
线性规划—标准型
min cT x s.t. Ax b,
x0
其中Amn,bm,c, xn.记可行域
S xn Ax b, x 0
在标准形式中，我们约定：x j为决策变量， c j为费用（价格）系数，cT x为目标函数， aij为技术系数，bi为右端项。
.
线性规划—单纯形算法
x1 x1+x2=40
则：f=[-1;-2]; b=[40;60]; lb=zeros(2,1); A=[1 1;2 1]
[x, fval] = linprog(f,A,b,[],[],lb)
x=[0;40], fval= -80
.
优化决策理论与方法
1、线性规划 2、非线性规划（约束和非约束） 3、多目标规划 4、组合优化与整数规划
❖ 解空间分析
可行域分析：n维空间；第一象限；m个超平面。 最优解分析：在端点(或称为极点。极点向量中，至少有
n-m个0分量)处取极值。
❖ 单纯形算法的基本思想
从某个极点开始获得一个可行解； 判断该可行解是不是目标解。若是，算法结束；否则寻
找下一个极点（确定入基变量和出基变量），直至找到 目标解。
为cj。人体正常活动过程中需要m种基本的营养成分，且每 人每天至少需要摄入第i种营养成分bi个单位。已知第j种食 物中包含第i种营养成分的量为aij个单位。问在满足人体基本 营养需求的前提下什么样的配食方案最经济？
❖ 设食谱中包含第j种食物的量为xj，则：
n
min
x jc j
j 1
n
s.t. x jaij bi i 1,2, , m j 1
.
线性规划—内点算法
❖ 内点算法的思想
已知线性规划问题的可行域是一个多面体，最优点在多 面体的某个极点取到。在给定初始可行解后，沿着什么 样的路径到达最优解呢？
单纯形法是从某个基可行解开始，沿着多面体的边移动 最终找到最优解。
内点算法的思想是从可行域内的任意一点(任一可行解)出 发，穿越可行域的内部达到最优解。 N. Karmarkar的投 影尺度算法就是一种典型的内点算法。
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线性规划—内点算法
中心点
目标函数最 速下降方向
Y2空间
Байду номын сангаас
X空间
投影尺度变换1
内点
Y1空间 中心点
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目标函数最 速下降方向
目标函数
线性规划—Matlab函数应用
❖ Optimization ToolBox
Min fTx S.t.
A·x≤b Aeq·x=beq lb≤x≤ub 其中：f, x, b, beq, lb和ub均为向量；A和Aeq为矩阵。
❖ 动态规划与多层规划：若决策是分成多个阶段完成 的，前后阶段之间相互影响，则称为动态规划；若 决策是分成多个层次完成的，不同层次之间相互影 响，则称为多层规划。
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优化决策理论与方法
1、线性规划 2、非线性规划（约束和非约束） 3、多目标规划 4、组合优化与整数规划
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线性规划—管理实例
❖ (食谱问题)假设市场上有n种不同的食物，第j种食物的单价
无约束非线性规划—标准型
❖ Min f(x); xRn ❖ 其中f：Rn→R是一个非线性连续函数。对于任意点
x*Rn, 它是函数f的最小点(或局部极小点)吗？ ❖ 例如：min f(x)=ex1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)
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线性规划—内点算法
❖ 1972年，V. Klee和G. L. Minty指出Dantzig的单纯 形算法的迭代次数为O(2n)，是一个指数时间算法， 不是优良算法。那么是否存在求解线性规划问题的 多项式时间算法？
❖ 1984年，N. Karmarkar提出了一种投影尺度算法， 其计算效果能够同单纯形法相比较，掀起了线性规 划内点算法的热潮。
❖ 多目标优化：若f是多个目标函数构成的一个向量值 函数，则称为多目标规划；
❖ 线性规划与非线性规划：当f,g,h均为线性函数时称 为线性规划，否则称为非线性规划。
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优化问题分类
❖ 整数规划：当决策变量的取值均为整数时称为整数 规划；若某些变量取值为整数，而另一些变量取值 为实数，则成为混合整数规划。
决策理论与方法(2)
——优化决策理论与方法
合肥工业大学管理学院
2020年4月24日
确定性决策
❖ 确定性决策：指未来状态是确定的（即只有一种状 态）一类决策问题，每一个行动方案对应着一个确 定的结果值，此时决策函数仅依赖于决策变量。
❖ 特点：状态是确定的；决策问题变为优化问题。 ❖ 决策的已知变量：
决策变量及其取值范围
❖ 解决问题的主要理论方法：最优化理论与方法 ❖ 注：最优化理论与方法（数学规划）也可以求解不
确定性决策问题、随机性决策问题
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确定性决策
❖ 优化决策方法的问题求解过程
辨识目标C，确定优化的标准，如：利润、时间、能量等 确定影响决策目标的决策变量x，形成目标函数C=f(x) 明确决策变量的取值范围，形成约束函数 设计求解算法，寻找决策目标在决策变量所受限制的范
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线性规划—内点算法
基可行解
可行域
目标函数最速下降方向
内点
初始基可行解
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目标函数
线性规划—内点算法
❖ 投影尺度算法
如何穿过可行域的内部快速达到最优解呢？Karmarkar 发现： (1)如果一个内点位于可行域(多胞形、多面体)的 中心，那么目标函数的最速下降方向是比较好的方向； (2)存在一个适当的变换，能够将可行域中给定的内点置 于变换后的可行域的中心。基于这两点，Karmarkar构 造了一种称为投影尺度算法的内点算法。
[x, fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
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线性规划—Matlab函数应用
❖ 例：max z=x1+2x2
x2
S.t.
x1+x2≤40
Z=x1+2x2
2x1+x2≤60
x1≥0; x2≥0
2x1+x2=60
解：将max变为min，min –z=-x1-2x2
围内的极小化或极大化。 最优化问题的一般形式为：
min f (x)
xR n
s.t. gi ( x) 0, i I ,
hj (x) 0, j
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优化问题分类
❖ 可行点与可行域：满足约束条件的x称为可行点， 所有可行点的集合称为可行域，记为S；
❖ 约束优化与无约束优化：当SRn时，称为约束优化； 当S=Rn时，称为无约束优化；
xj 0
j 1,2, , n
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线性规划—标准型
min cT x s.t. Ax b,
x0
其中Amn,bm,c, xn.记可行域
S xn Ax b, x 0
在标准形式中，我们约定：x j为决策变量， c j为费用（价格）系数，cT x为目标函数， aij为技术系数，bi为右端项。
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线性规划—单纯形算法
x1 x1+x2=40
则：f=[-1;-2]; b=[40;60]; lb=zeros(2,1); A=[1 1;2 1]
[x, fval] = linprog(f,A,b,[],[],lb)
x=[0;40], fval= -80
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优化决策理论与方法
1、线性规划 2、非线性规划（约束和非约束） 3、多目标规划 4、组合优化与整数规划
❖ 解空间分析
可行域分析：n维空间；第一象限；m个超平面。 最优解分析：在端点(或称为极点。极点向量中，至少有
n-m个0分量)处取极值。
❖ 单纯形算法的基本思想
从某个极点开始获得一个可行解； 判断该可行解是不是目标解。若是，算法结束；否则寻
找下一个极点（确定入基变量和出基变量），直至找到 目标解。
为cj。人体正常活动过程中需要m种基本的营养成分，且每 人每天至少需要摄入第i种营养成分bi个单位。已知第j种食 物中包含第i种营养成分的量为aij个单位。问在满足人体基本 营养需求的前提下什么样的配食方案最经济？
❖ 设食谱中包含第j种食物的量为xj，则：
n
min
x jc j
j 1
n
s.t. x jaij bi i 1,2, , m j 1
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线性规划—内点算法
❖ 内点算法的思想
已知线性规划问题的可行域是一个多面体，最优点在多 面体的某个极点取到。在给定初始可行解后，沿着什么 样的路径到达最优解呢？
单纯形法是从某个基可行解开始，沿着多面体的边移动 最终找到最优解。
内点算法的思想是从可行域内的任意一点(任一可行解)出 发，穿越可行域的内部达到最优解。 N. Karmarkar的投 影尺度算法就是一种典型的内点算法。
.
线性规划—内点算法
中心点
目标函数最 速下降方向
Y2空间
Байду номын сангаас
X空间
投影尺度变换1
内点
Y1空间 中心点
.
目标函数最 速下降方向
目标函数
线性规划—Matlab函数应用
❖ Optimization ToolBox
Min fTx S.t.
A·x≤b Aeq·x=beq lb≤x≤ub 其中：f, x, b, beq, lb和ub均为向量；A和Aeq为矩阵。
❖ 动态规划与多层规划：若决策是分成多个阶段完成 的，前后阶段之间相互影响，则称为动态规划；若 决策是分成多个层次完成的，不同层次之间相互影 响，则称为多层规划。
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优化决策理论与方法
1、线性规划 2、非线性规划（约束和非约束） 3、多目标规划 4、组合优化与整数规划
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线性规划—管理实例
❖ (食谱问题)假设市场上有n种不同的食物，第j种食物的单价