各种有趣的分形.
自然界中的数学
自然界中的数学你是否曾经停下来环顾四周，注意到我们周围世界中的神奇的形状和图案？数学构成了自然世界的基石，并以惊人的方式展现出来。
下面是一些自然界数学的例子。
斐波那契序列(The Fibonacci Sequence)斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。
它是一个简单而深奥的数列。
序列从数字1和1开始，然后每个后续的数字通过将前面的两个数字相加来找到。
因此，在1和1之后，下一个数字是2(1 + 1)。
下一个数字是3(1+ 2) ，然后是5(2 + 3) ，如此类推。
值得注意的是，序列中的数字在自然界中经常可以看到。
一些例子包括松果的螺旋数，菠萝或向日葵的种子数，或一朵花的花瓣数。
上图：向日葵的两条螺旋线符合斐波那契数列的数字规律上图：松果的螺旋数斐波那契数列中的数字还形成了一个独特的形状，被称为斐波那契螺旋，我们在自然界中看到它的形式是贝壳和飓风的形状。
上图：贝壳的形状自然界的分形(Fractals in Nature)：分形是我们在自然界中看到的另一种有趣的数学形状。
分形是一种相似的、重复的形状，这意味着同样的基本形状在形状本身中反复出现。
换句话说，如果你要放大或缩小，整个形状都是一样的。
上图：蕨类植物的叶子分形构成了我们世界的许多方面，包括蕨类植物的叶子、树枝、我们大脑中的神经元分支和海岸线。
上图：神经元分支自然界的六边形(Hexagons in Nature)：自然界的另一个几何奇观是六边形。
各种有趣的分形
各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让我们先来熟悉几个典型的分形。
图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。
例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
45幅耀眼夺目的分形艺术作品欣赏
45幅耀眼夺目的分形艺术作品欣赏
美国著名的物理学家惠勒曾说过这样一句话：谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
想必要是按这个标准算的话，很多人都不能称为有知识。
其实，在我们生活的这个世界里，分形无处不在。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
今天这篇文章收集了45幅耀眼夺目的分形艺术作品分享给大家，一起欣赏。
各种有趣的分形
各种有趣得分形我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。
但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么？”这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西。
可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问图中得风景图片又就是说明分形得另一很好得例子。
这张美丽得图片就是利用分形技术生成得。
在生成自然真实得景物中,分形具有独特得优势,因为分形可以很好地构建自然景物得模型、这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发现,它得每个枝杈都在外形上与整体相同,仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈得枝杈也与整体相同,只就是变得更加小了。
Siｅrpinski三角形具有严格得自相似特性Koｈn雪花具有严格得自相似特性分维及分形得定义分维概念得提出对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得、曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念、分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。
维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵、整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。
例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。
但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得。
生活中的数学——有趣的分形
有趣的分形
让我们动手来画图。
(1)先画一个正三角形，每一边的长度是1；
(2)在每个边的三等份的中间一等份处再凸出造一个正三角形，小三角形在三个边上出现，使原三角形变成六角形；
(3)再在六角形的12条边上重复进行三等份的中间一等份处凸出造一个正三角形的过程，得到4×12=48边形；
……
每边三等分的中间一等分处凸出一个小正三角形，如此至于无穷。
其外缘曲线的构造越
来越精细，它好象是一片理想的雪花。
整体地
看，它仍具有对称性；部分地看，它们每一个
自身内部结构间具有相似性(叫自相似性)，我科克雪片的前三个阶段的构造们把这样的曲线叫做科克曲线(雪花曲线)，它是1904年瑞典科学家科克所描述的。
雪花曲线的产生过程充分展现了它具有自相似的特点。
数学家芒德勃罗创造了一个词“fractal”，中文译为“分形”，来描述这样的图形特点。
留意观察，我们会发现大自然中充满着这种“分形”现象，如，天空中云彩、天体的分布、闪电、雪花……地球的表面、绵延不断的山脉、河流的分布、蜿蜒曲折的海岸线、崎岖的道路、人体肺气管和血管的分布、正常人的脑电脑图……
人们认识分形，在于探索事物的自相似结构，自相似是跨越不同尺度的对称性。
通过认识分形，人们能更好地认识事物的结构，还可以指导我们创造出令人赏心悦目的艺术品……。
有意思的闭合曲线
有意思的闭合曲线
1. 莫比乌斯带：这是一种单侧、无间断的闭合曲面，由德国数学家莫比乌斯发现。
它只有一面，但可以通过扭曲一个纸条来制作。
2. 克莱因瓶：这是一种无定向的二维图形，看起来像一个瓶子。
在三维空间中，克莱因瓶是一个无底的、自身相交的曲面。
3. 曼德布罗集：这是一组无穷的复杂分形集合，其形状像一个树状的分形。
它可以产生一些美丽的图案和形状。
4. 康托尔集：这是另一种无穷的复杂分形集合，由德国数学家康托尔发现。
它可以产生一些有趣的视觉效果。
5. 玫瑰线：这是一种几何图形，表示平面上的某些点按照一定的规律连接所形成的曲线。
因为这些曲线在极坐标下呈现出玫瑰花般的形状，所以被称为玫瑰线。
分形几何例子
分形几何例子《有趣的分形几何例子》嘿，大家知道吗？这世界上有一种超级神奇又超级有趣的东西，叫做分形几何！今天就让我来给大家唠一唠那些令人惊叹不已的分形几何例子。
咱先来说说那个著名的科赫雪花。
哎呀呀，你就想象一下，本来普普通通的一个三角形，它就开始“作妖”啦！不断地在每条边上长出更小的三角形，然后再在那些小三角形的边上长，就这么没完没了地长下去。
最后呢，嘿，就出现了一个超级漂亮、超级复杂的雪花形状！这就像是给一个简单的形状打了鸡血似的，变得让人眼花缭乱。
还有那个曼德博集合，哇塞，那可真是个神奇的玩意儿。
我第一次看到的时候，就感觉像是进入了一个奇幻的世界。
各种奇奇怪怪的形状和图案，就像是大自然偷偷藏起来的秘密花园。
你盯着它看，感觉自己能在里面发现无数的小惊喜，就像在寻宝一样。
再来说说那树木的分支。
你有没有仔细观察过树枝呀？它们其实也是一种分形几何。
从主干开始，不断地分出小枝，小枝又分出更小的枝，而且每一个分支都有着相似的结构。
感觉就像是大自然遵循着某种神秘的规则在构建着这一切。
分形几何真的是太有意思了！它就像是一个魔术师，能把简单的东西变得超级复杂，却又有着一种奇妙的秩序。
有时候我就忍不住想，这是不是宇宙在跟我们开玩笑呢？拿这些有趣的形状来逗我们玩。
想象一下，要是我们的生活中到处都是分形几何的元素，那该有多好玩啊！比如咱们的房子，外墙是分形几何的图案，走在路上看到的建筑都是各种奇奇怪怪的分形形状，那多有意思啊！感觉就像是生活在一个超级奇幻的世界里。
而且分形几何不仅仅是好玩哦，它在很多领域都有着重要的应用呢。
科学家们用它来研究各种复杂的系统，比如天气、生物等等。
说不定哪天咱们的科技进步就多亏了这神奇的分形几何呢！总之，分形几何例子给我们带来了无尽的乐趣和惊喜。
大家没事的时候也可以自己去探索探索，看看能不能发现身边那些隐藏着的分形几何的小秘密。
相信我，一旦你开始注意到它们，你就会被这个神奇的世界深深吸引，就像我一样，被它的魅力所折服！。
经典的分形算法
经典的分形算法分形（Fractal）是一种数学概念，也是一种美丽而神秘的几何图形。
分形的核心思想是通过不断重复某个基本形状或规则，形成一个无限细节的自相似图案。
分形广泛应用于数学、物理、生物学、计算机图形等领域。
以下是几个经典的分形算法。
1. Mandelbrot集合算法：曼德勃罗集合是分形中的一个重要例子，其图像通常被称为“自由自似的”或“奇异的”。
该算法通过对复平面上的每个点进行迭代计算，并判断其是否属于Mandelbrot集合。
最终根据计算结果着色绘制出Mandelbrot集合的图像。
2. Julia集合算法：类似于Mandelbrot集合，Julia集合也是通过对复平面上的点进行迭代计算得到的，但不同的是，在计算过程中使用了一个常数参数c。
不同的c值可以得到不同形状的Julia集合，因此可以通过改变c值来生成不同的图像。
3. Barnsley蕨叶算法：Barnsley蕨叶算法是一种基于概率的分形生成算法，其原理是通过对基本形状进行变换和重复应用来生成蕨叶形状。
该算法通过设置一组变换矩阵和对应的概率权重来控制生成过程，不断的迭代应用这些变换，最终得到类似于蕨叶的图像。
4. L系统算法：L系统（L-system）是一种用于描述植物生长、细胞自动机和分形树等自然系统的形式语言。
L系统在分形生成中起到了重要的作用，通过迭代地应用规则替代字符，可以生成各种自然形态的图像，如树枝、蕨叶等。
5. Lorenz吸引子算法：Lorenz吸引子是混沌力学中的经典模型，描述了一个三维空间中的非线性动力学系统。
通过模拟Lorenz方程的演化过程，可以绘制出Lorenz吸引子的图像，该图像呈现出分形的特点。
这些分形算法不仅仅是数学上的抽象概念，也可以通过计算机图形来实现。
通过使用适当的迭代计算方法和图像渲染技术，可以生成出令人印象深刻的分形图像。
这些分形图像不仅具有美学价值，还具有哲学、科学和工程等领域的应用价值，例如在数据压缩、图像压缩、信号处理和模拟等方面。
分形几何的典型范例
分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。
3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。
通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。
4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。
5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。
这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。
这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。
有趣的图形(数学)
有趣的图形（数学）数学中有很多有趣的图形，它们不仅具有美学价值，还能帮助我们理解数学概念和现象。
以下我将介绍几个有趣的图形及其背后的数学原理。
1. 波浪线波浪线是一种连续的曲线，它的形状像波浪一样起伏。
数学上，波浪线可以通过正弦函数或余弦函数来描述。
我们可以通过改变正弦函数或余弦函数的参数，如振幅和频率，来调整波浪线的形状和大小。
波浪线在自然界中很常见，比如海浪、声波等都具有波浪线的形态。
在艺术和设计中，波浪线也被广泛应用，它能够给人一种舒适、柔和的感觉。
2. 分形图形分形图形是一种特殊的几何图形，它具有自相似性。
简单来说，分形图形的一部分或一小段可以看作整体的缩小版。
例如，分形树是一种常见的分形图形，它的树枝可以看作整个树的缩小版。
分形图形具有无限的细节，无论我们放大还是缩小它，都能够发现新的图案。
这使得分形图形在艺术、科学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种数学方法，用于找出最适合一组数据点的曲线。
在实际应用中，我们经常会遇到一组散点数据，而需要找到一个函数曲线来描述这些数据的趋势。
常见的曲线拟合方法包括线性拟合和多项式拟合。
线性拟合使用一条直线来逼近数据，而多项式拟合则使用多项式函数来逼近。
通过曲线拟合，我们可以更好地理解数据的分布规律，并进行预测和分析。
4. 网格图形网格图形由平行的水平线和垂直线组成，形成了一个方格状的结构。
网格图形在计算机图形学和几何学中具有重要的作用。
例如，网格图形可以用于定义三维空间中的网格模型，进而用于建模和渲染复杂的物体。
网格图形还可以用于离散化数学模型，将连续的数学问题转化为离散的问题。
这种离散化的处理方法在数值方法和计算数学中得到广泛应用。
5. 几何图形的运动几何图形的运动是一种令人着迷的数学现象。
通过对几何图形进行平移、旋转、缩放等操作，我们可以观察到图形的形态和位置的变化。
几何图形的运动在几何学、动画和计算机图形学中有广泛应用。
有趣的分形图教学设计
教学设计山东省潍坊市高新区北海学校戴璐璐无止境知识拓展如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物在某种程度上存在着这种自相似特性。
下图是一棵蕨类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些.而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。
那么枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言.二、闪电奇观据英国《每日邮报》2009年12月3日报道，美国伊利诺伊州雕刻家波特·赫克曼，用500万伏的粒子加速器对着玻璃板轰出完美分形图案，如同将闪电冻结在冰块中似的。
赫克曼用500万伏的粒子加速器轰击玻璃板，在玻璃中创造出如同冰雕一样的闪电奇观。
这些玻璃上的图案，就好像闪电被突然冻结一样，赫克曼称这一过程为“捕捉闪电”。
三、其它图形除了闪电外形外，赫克曼还可以制造出星星、蝴蝶、橡树以及太极八卦的阴阳图制造太极闪电图时，首先要将电流注入玻璃板内部，然后按照赫克曼先前雕刻好的路径突然爆发。
案。
三、月球表面图片除了自相似以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性.不管你信不信，上面的这张月球表面的照片是用分形技术生成的.如果你把图片放大观看，也可以看到更加细致的东西.因为，分形能够保持自然物体无限细致的特性，所以，无论你怎么放大，最终，还是可以看见清晰的细节.3．学生跟同伴交流体会数学的神奇美学生感到有趣感到震撼让学生去看去欣赏学生换个角度去欣赏去思考借助网络：展示生活中的分形，体会数学的美、神奇的数学世界，小小组学生完成小结，并请两名学生到讲台上展示总结的过程。
可以利用老师的课件。
教学反思开始设计这节课的时候，学生的活动只有作品展示，而涉及到课本58页“席尔宾斯基三角形”有关的四个问题的探究时采用教师讲解法。
后来，我认为在学生的潜力应该是无限的，你把他估计成什么水平，他就是什么水平。
鉴于此，我把探究活动改为学生代替教师，让学生讲给学生听的方式。
结果收到了很理想的效果。
我在不断的思考中，干脆将反馈训练这个题目也放手给学生，在课堂上，让他们先独立思考，再小组讨论，然后推出代表展示小组成果。
分形公式大全
分形公式大全在数学中，分形是一种具有自相似性的几何图形或数学对象。
它们通常通过递归或迭代的方式构建，并且无论观察其任何一部分，都能看到整体的特征。
分形在自然界中广泛存在，例如树枝、云朵、山脉等都展现出分形的特征。
为了描述和生成分形，数学家们创造了许多分形公式和算法。
以下是一些常见的分形公式和它们的特点：1. 曼德勃罗集(Mandelbrot Set)：由法国数学家Mandelbrot于1975年引入的分形集合。
曼德勃罗集是复平面上一组复数的集合，满足迭代公式：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中C是一个常数，Z是复数。
通过迭代计算，可以将复平面上的点分为属于集合内或集合外，形成具有分形特征的图像。
2. 朱利亚集(Julia Set)：与曼德勃罗集相对应，朱利亚集也是由C 值所确定的复平面上的一组复数。
朱利亚集的迭代公式为：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中Z是复数。
朱利亚集的形状和曼德勃罗集不同，但同样展现出分形的特征。
3. 希尔伯特曲线(Hilbert Curve)：希尔伯特曲线是一种填充空间的曲线，它具有自相似性和紧凑性。
希尔伯特曲线是通过递归地将二维空间划分为四个子空间，并将曲线从每个子空间的一个角落延伸到另一个角落而生成的。
4. 科赫曲线(Koch Curve)：科赫曲线是一种无限细分的曲线，它由自相似的三角形构成。
科赫曲线的构造方法是在每条线段的中间插入一个等边三角形，然后重复该过程。
除了以上几种常见的分形公式外，还有许多其他有趣的分形公式和算法，如分形树、分形花朵等。
这些分形公式不仅在数学研究中有着重要的应用，还被广泛应用于计算机图形学、自然科学、艺术创作等领域。
总之，分形公式是描述和生成分形图形的重要工具。
通过这些公式，我们可以深入研究分形的特性和美妙之处，并将其应用于各个领域，探索自然界和数学世界中的无限奇妙。
课题学习有趣的分形图_黄正祥
请你借助网络学习类植物等等
蓝天白云，高山流水，红花绿草， 大自然的美丽和神奇是难以描绘 的可是伽利略却说：
“自然界这本伟大的书是用数学 语言写成的。”热爱数学吧！数 学里趣味横生，其乐无穷！
第1次 2
新树枝的条数
新树枝的长度
假设第一条线段的长是单 位1 3 4 ……
n
2
1
4
8
16
2n 1\2n
0.5
0.2 0.125 5
用类似的画法设计一棵与它形状不同 的分形树
• 请你用手中的笔和
纸画自己喜欢的图 形吧！ • 先独立思考，再小 组合作! • 5分钟后请每个小组 推XNTE1Njc3MDE2.html
（1） （3）
（2）
图1 • ①在图1（2）中有没有全等三角形？有没有不全 等的相似三角形？图1（3）呢？ • ②如果把图1（1）中的三角形的面积作为1，那 么图1（2）中的中点三角形的面积等于多少？ • ③图1（2）中的中点三角形的周长与图1（1）中 的周长面积之比等于多少？ • ④图1（3）中所有涂色三角形的面积之和是多少？ 涂色三角形的周长与图1（1）中三角形的周长之 比等于多少?
用以上方法画出的图形叫分形图【百科】/view/2072306.htm338。 2、再画两条线段，都为基础线条的一半，与 第一条的 夹角都是120度。 3、依次再画。
《课题学习 有趣的分形图》 教学软件设计
课件制作默是赵本山这个 “医生 ”与“病人”范伟一样都得了相似 的“心病”。对于身外之物的“钱”的“心 病”上，“医生”治好了“病人”的“心 病”，他自己却是同样的“心病”大发，而 且更为甚之。这就是我们现实中的相似。
• • （1）根据图①②③的规律，图④的三角形 的个数为 . • （2）图②中，四个三角形是 三 角形（填全等或相似）；图③中的所有不 涂色三角形是 三角形.所有涂色三 角形是 三角形.
分形几何的典型范例 -回复
分形几何的典型范例-回复什么是分形几何？分形几何是一种数学分支，研究自相似或自缩放行为的几何图形。
与传统几何学关注于规则、对称和完美形状不同，分形几何则关注于不规则、复杂及不完美的形状。
分形几何的概念由法国数学家Benoit Mandelbrot 于20世纪70年代提出，并在之后的几十年里得到了广泛的发展和应用。
典型范例分形几何的典型范例有很多，下面将就其中几个典型例子进行介绍。
1. 科赫曲线（Koch Curve）科赫曲线是分形几何中最经典也是最容易理解的例子之一。
它是通过将一个线段分成三等分，并在中间一等分上增加一个等边三角形，然后不断重复这个过程而构造出来的。
每次重复都会使曲线的长度增加，但是总长度趋于无穷。
科赫曲线具有自相似的特性，即无论放大多少倍，形状都会与整体一致。
这种特性使得科赫曲线展现出了无限的细节和复杂性。
2. 曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）曼德勃罗集合是分形几何中最著名的例子之一，它由复平面上一组复数所组成。
对于每个复数c，通过迭代计算公式Z_{n+1} = Z_n^2 + c，可以得到一系列结果。
如果这个序列在迭代过程中趋于无限，则认为c属于曼德勃罗集合。
曼德勃罗集合以其无限细节和复杂性而著称，它的边界形状自相似且分形性质显著。
3. 蒙迪安斯螺旋（Möbius Strip）蒙迪安斯螺旋是一种具有非常有趣特性的立体形状。
它是由在一个长方形带上进行特殊的旋转和粘合所产生的。
蒙迪安斯螺旋只有一个面和一个边界，这意味着当你沿着边界行走时，可以回到起点而不需要抬起笔。
这种特殊的几何形状给人一种无限展开的感觉，类似于分形几何中的无限延伸特性。
通过以上几个典型范例的介绍，我们可以看到分形几何的独特之处。
它们展示了自相似性、无限细节和复杂性等特征，与传统几何学中的规则和完美形状形成鲜明对比。
分形几何的重要性不仅在于其美学价值，还在于其对自然界的广泛应用。
例如，分形几何可以用来描述云朵、山脉、海岸线的形状，揭示其中的复杂性和统计规律。
趣味数学图形
趣味数学图形趣味数学图形数学图形是数学研究中必不可少的一部分，而其中许多图形不仅具有美丽的外观，还有趣味性。
下面就让我们一起来探究一些趣味数学图形吧！1、菱形菱形是一种非常简单的几何图形，它由四条相等的线段组成。
菱形由于具有四个对称面，因此非常适合用来进行平移对称。
我们常用带有菱形的图形来设计华丽的地毯、壁纸以及服装等。
2、斐波那契螺线在斐波那契数列中，第一个数是0，第二个数是1，之后的每个数都是前面两个数的和。
这个数列是由一位公元数学家得出的。
斐波那契螺线就是在矩形中不断画斐波那契数列的单位矩形，并将这些矩形逆时针旋转90度。
最终，我们得到的图形就是斐波那契螺线。
3、三角形三角形也是一种基本图形，它是由三条线段组成的。
三角形不仅可以通过平移变换来生成新的图形，还可以通过其内角度数的不同而具有不同的性质。
例如，等边三角形的内角都是60度，而直角三角形一边的内角是90度。
4、梅比乌斯环梅比乌斯环是一种非常有趣的图形，它的特点是仅有一个面，并且它的面积是无限长的。
梅比乌斯环是由一条长带子围成的，将这条带子折叠成一个圆圈，并将其中一侧反转。
当然，这需要大量的数学技巧来进行证明和构造，但是这个图形确实非常神奇。
5、Klein瓶Klein瓶也是一种只有一个面的图形，但它与梅比乌斯环的不同之处在于它是一个立体图形而不是平面图形。
Klein瓶由一条带子折叠而成，但是与梅比乌斯环不同的是，它的一条边不是反转的，而是穿过了带子的中心。
6、Mandelbrot集合Mandelbrot集合是一种非常有趣的复数图形，它的形状类似于分形。
Mandelbrot集合由一系列的点组成，这些点将复平面分为两部分：属于Mandelbrot集合的点和不属于Mandelbrot集合的点。
Mandelbrot集合的形状非常复杂，但是它的构造却非常简单。
7、双曲线双曲线是一种非常有趣的曲线，它具有两个渐进线和两个顶点。
双曲线通常用于建模椭圆体表面的形状，比如在相对论中。
大自然中的分形，发现简单又复杂的喜悦！
大自然中的分形，发现简单又复杂的喜悦！不规则现象在自然界普遍存在，而分形几何学就被称为描述大自然的几何学~
1973年，数学家芒德勃罗(Benoit Mandelbrot)首次提出了分维和分形的设想。
分形是一个粗糙
或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状。
鹦鹉螺的壳
大自然是一个优秀的设计师，将许多事物有规律地组合在一起。
菠萝按分形法则生长，冰晶以
分形的形式出现……当分形出现在植物中时，可以使植物最大限度地暴露在阳光下，使氧更高
效地输送到植物全身。
分形是如此的美丽，而且在自然界中普遍存在……
罗马花椰菜，表面由许多螺旋形的小花所组成，小花以花球中心为对称轴成对排列，已经成为
著名的分形几何模型
松果
植物中的分形
这一块有机玻璃暴露在强大的电流中，内部产生了一个分形的图案
冰晶
铜晶体放大20倍
湿松木上两个钉子之间产生的电流
树木
河流
叶子
水滴落下的瞬间
水中的气泡
数学家芒德勃罗为了研究分形是如何构造出来的，描述了一个具有自相似性、全息的芒德勃罗
集合（Mandelbrot set），可以用下面的公式表示：
按照上面的公式计算足够长的时间，你就会得到一个漂亮的分形！
除了芒德勃罗集合之外，还有许多其他类型的分形，以下是一些比较著名的例子。
科赫雪花
谢尔宾斯基三角形
龙形曲线
毕达哥拉斯树
分形树
你知道什么是分形了吗？你还知道自然界中存在着哪些分形呢？
原文：SHEA GUNTHER
编译：阿米。
生活中的美妙分形
从海洋贝类、螺旋星系再到人类肺部的结构，混沌的模型无处不在。
分形是从混沌方程形成的一系列图形，包含不断放大的复杂自相似图案。
如果将一个分形图案分为几个部分，那么每一小块都和整体形状完全一样。
分形的数学之美在于可以从相对简单的方程推导出无限复杂的系统。
通过多次迭代或重复分形生成方程，随机输出就可以产生独特且可识别的美丽图案。
地球上也存在一些自然生成的分形图形，下面我们将从中挑出一些最美丽的图案，以飨读者。
1. 罗马花椰菜（Romanesco Broccoli）这种花椰菜的变种形式是一种极限分形蔬菜。
它的图案是斐波纳契（Fibonacci）黄金螺旋的自然呈现形式，在这个对数螺旋中，每一个直角转弯与起始点的距离都被Φ值所约束，Φ值即黄金分割率。
旧金山湾（San Francisco Bay）的盐滩曾经出产了将近一个世纪之久的商品盐。
世界上最大的盐滩，即位于玻利维亚南部的乌尤尼岩沼（Salar de Uyuni）。
结痂的盐层展现出一种非常一致的随机图案模式，这就是分形的特征。
3. 菊石缝合线已经灭绝了6500万年之久的菊石是一种带有多室螺旋状外壳的海洋头足类动物，其小室之间的阻隔即缝合线就是一种复杂的分形曲线。
斯蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay Gould）曾以菊石缝合线随时间的复杂性来论证不存在向着更高复杂性方向发展的进化驱动力，人类的出现是一个“壮丽的偶然”，在宇宙中独一无二。
和罗马花椰菜一样，菊石外壳也会按照对数螺旋的方式生长，这种生长模式在自然界中颇为常见。
西班牙巴塞罗那一处教堂楼梯的设计灵感就来自于菊石。
4. 山脉地质构造作用力向上抬升地壳，侵蚀再将地壳撕得支离破碎，山脉从此形成，同时也产生了分形图案。
上图是喜马拉雅山脉（Himalayan Mountains）的高空图像，地球上许多最高的山峰都集中在这一带。
造山运动始于7000万年前，随着印度板块和欧亚大陆板块的不断碰撞，喜马拉雅山脉还在被抬升。
数学真美妙中有趣的数学现象
数学真美妙中有趣的数学现象1. 金字塔数学：这是一个涉及数字金字塔的现象，其中最顶端的数字是通过底层数字经过加减乘除等运算得出的。
这种数学现象展示了数字之间的复杂关系和运算的巧妙。
2. Fibonacci序列：这是一个由自然数组成的无限序列，其中每个数字都是前两个数字的和。
这种序列在自然界中经常出现，例如在植物生长、动物繁殖和自然界的其他方面。
Fibonacci序列的神奇之处在于它的数学性质和实际应用。
3. 谢尔宾斯基三角形：这是一种具有特殊数学性质的三角形，它的每一行数字都比上一行多一个，而且可以通过它计算出许多有趣的数学表达式。
谢尔宾斯基三角形展示了数学中的递归和自相似性。
4. 乌拉姆现象：这是一个关于质数分布的现象，由美国数学家乌拉姆发现。
他在一张纸上画出方格，将自然数按逆时针方向螺旋分布，并将质数圈出来。
他发现这些质数有秩序地集中在一些斜线上，显示出令人惊讶的规则性。
这个现象展示了质数分布的神秘和规律性。
5. 幻方：这是一种由数字组成的正方形阵列，其每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
最著名的幻方是3x3的洛伊斯幻方，它展示了数学中的对称性和平衡性。
6. 柯西-施瓦茨不等式：这是一个在向量空间中描述向量长度和向量之间夹角关系的不等式。
尽管它看起来可能很复杂，但它的应用却非常广泛，从几何到统计学，再到信号处理等多个领域都可以找到它的影子。
7. 分形：这是一种在数学和自然世界中都非常常见的结构，它们的特点是自相似性，也就是说，无论你放大多少倍，都可以看到相同的形状和结构。
最著名的分形之一就是曼德勃罗特集，它是由法国数学家曼德勃罗特提出的，展示了数学的复杂性和美感。
8. 四色定理：这是一个关于地图着色的定理，它说任何一张地图都可以只用四种颜色进行着色，使得没有两个相邻的区域颜色相同。
这个定理虽然看起来简单，但它的证明却非常复杂，涉及到了图论和组合数学的许多概念。
9. 欧拉公式：欧拉公式是复变函数论的基础，它将三角函数与复数指数函数相关联。
20个有趣的数学问题
20个有趣的数学问题数学作为一门基础学科，其独特的魅力和无穷的奥秘一直吸引着无数学者和爱好者。
以下是一些有趣的数学问题，涵盖了不同领域和主题，让我们一起探索数学的奇妙世界。
1. 素数之谜：素数是只有两个正因数（1和本身）的自然数。
为什么素数的分布似乎遵循一个无规律的模式？是否有无穷多的素数？2. 分形之美：分形是具有无限精细结构的图形。
诸如科赫雪花、谢尔宾斯基垫等分形为何在视觉上如此吸引人？它们在数学上有哪些有趣的应用？3. 不可思议的数列：像斐波那契数列、卢卡斯数列等神奇的数列，它们背后的数学原理是什么？这些数列在自然界和艺术中有哪些表现？4. 概率与人生：概率论如何解释生活中的随机事件？例如，为什么足球比赛中的点球得分率不是100%？概率论如何帮助我们做出更好的决策？5. 无穷大的奇妙世界：无穷大在数学中有哪些表现形式？例如，实数集是无限大的，但可数无限和不可数无限有何不同？6. 拓扑学的魔法：拓扑学研究的是物体在变形过程中保持不变的属性。
例如，为什么一个甜甜圈和一个咖啡杯在拓扑上是等价的？7. 分形几何学：分形几何是如何揭示自然和人造对象的复杂结构的？分形几何有哪些应用，如艺术、生物学和物理学？8. 无限递归与自我相似：有些对象是自身的子对象或组成对象的组分的模式。
无限递归和自我相似在数学中有哪些例子？它们为什么有趣？9. 混沌理论与蝴蝶效应：混沌理论解释了为什么一些看似微小的变化会导致巨大的结果。
蝴蝶效应是什么？混沌理论在自然界和人类社会中有哪些应用？10. 几何学中的最短路径：在几何学中，最短路径是从一点到另一点的最直线路径。
例如，欧几里得几何中的直线段是最短路径。
但在弯曲空间中呢？黎曼几何和广义相对论如何解释最短路径？11. 无理数和超越数之谜：无理数和超越数是无限不循环的小数。
它们在数学中有哪些应用和特性？为什么它们比有理数更加神秘和有趣？12. 黄金比例与美学：黄金比例是一个特定的比率（大约等于1.618），被广泛用于艺术、建筑和设计等领域。
分形(一种别样的数学美丽)
分形（一种别样的数学美丽）从海螺和螺旋星云到人类的肺脏结构，我们身边充满各种各样的混沌图案。
分形（一种几何形状，被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准的形状和表面）是由混沌方程组成，它包含通过放大会变的越来越复杂的自相似图案。
要是把一个分形图案分成几小部分，结果会得到一个尺寸缩小，但形状跟整个图案一模一样的复制品。
分形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。
它通过多次重复分形生成等式，形成美丽的图案。
我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。
1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋罗马花椰菜这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。
它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。
2.世界最大盐沼——天空之镜盐沼坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案过去一个世纪，上图里的旧金山海湾盐沼一直被用来进行工业盐生产。
下图显示的是位于玻利维亚南部的世界最大盐沼——天空之镜(Salar de Uyuni)。
坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案，这是典型的分形。
3.菊石缝线菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型大约6500万年前灭绝的菊石在大约6500万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。
这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。
美国著名古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德依据不同时期的菊石缝线的复杂性得出结论说，进化并没驱使它们变得更加复杂，我们人类显然是“一个例外”，是宇宙里独一无二的。
菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型，很显然，自然界经常会出现这种图案，例如罗马花椰菜。
4.山脉山脉山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。
这些因素共同作用的产物，是一个分形。
上图显示的是喜马拉雅山脉，它是世界很多最高峰的所在地。
印度板块和欧亚板块在大约7000万年前相撞在一起，导致喜马拉雅山脉隆起，现在这座山脉的高度仍在不断增加。
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各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。
例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。
维数和测量有密切关系。
如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。
如果用长度l去测面积，就会得到无穷大；而如果用l3去测这块面积，结果就是零。
这就表明，用n维的标准体l n去测量一个几何对象，只当n与拓扑维数d一致时，才能得出有限的数值。
如果n＜d，就会得到无穷大；如果n＞d，则结果为零。
分数维也是按照这个要求来定义的。
由于分形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出不同定义的分维概念，从不同的角度表示分形的不规则性。
通常用的是“容量维”。
简单地说，分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。
一条光滑的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里，的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。
所以它大于一维，又小于二维，它的容量维为1.2618，这看来是理所当然的。
海岸线的分维数通常在1.15到1.25之间。
曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。
这真是一个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念的客观现实特性。
分维所表征的正是大自然的规则的不规则性。
一个分形的曲线意味着一种有组织的结构，这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。
分数维概念我们知道0维是点，一维是线，二维是面，三维是空间。
那么，谁能告诉我1.5维是什么? 一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。
六个这样的正方形组成的正方体是三维的。
直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。
测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。
假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。
我们有下式:log4/log2=2 log8/log2=3这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的b个图形所组成，有：λ^D=ｋD即维数D=logｋ/logλ其中的λ为线度的放大倍数，K为“体积”的放大倍数。
回到海岸线长度的问题。
当用直线段来近似曲线时，长度单位减为原来的一半往往意味着我们可以用长度为原来的二分之一的直线段来近似曲线。
这时，海岸线长度增加程度近似于一个固定的倍数。
对于英国海岸线来说，其值约为 2.7，而log2.7/log2=1.41，1.41就是英国海岸线的维数。
1.41由于是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。
还有其他一些分数维的定义方法，但得出的结果都比较近似。
分数维是衡量分形的基本参数之一。
自然界的山,其分形维数在2.2维左右,但从2.1维到2.5维画出来的都有一定的山的效果.下面详细介绍分维及计算1)新的维数(全维数:整数维+分维)a.由欧氏几何的"整数维"引出的非欧几何----分维:a).欧氏几何的"整数维"欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支,他是以规整几何图形为其研究对象的.有线性和曲线两大类.这些规整几何图形的点,直线,平面图形(曲线),空间图形的维数(欧氏维数)都是整数维,分别为0,1,2,3.对规整几何图形的几何测量是指长度,面积和体积的测量.则上述两类几何图形的测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:i. 长度=l,面积=l2 ,体积=l3ii.长度(半径)=r1,面积=πr2,(球)体积=(4/3)πr3上述各种关系的量纲分别是长度单位l的1,2,3次方,即这些方次恰与该几何图形的欧氏维数相等,并且是整数.归结上述两点,各类几何图形的测量都是以长度l为基础的.所以,欧氏几何中对规整几何图形的测量,可以概括表述为长度=l 面积A=al2体积V=bl3式中a和b为常数,称为几何因子,他与具体的几何图形的形状有关.如圆a=π;球b=4π/3. 以上都是欧几里得几何规则图形的整数维.而对于不规则的非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧几里得测度----长度,宽度,厚度----不能抓住不规则形状的本质,于是曼德勃罗特转向新的想法,即关于维数的新想法.b).非欧几何的"分维"欧氏几何中的空间是3维的,平面是2维的,直线是1维的,而点是0维的.那末,一个线团的维数如何呢?这与观察方法有关.远看,他是一个点,是0维;近些看,象球,有空间3维感;再近看,就看到了绳子,又成为1维的了.引发人们注意到几何中也具有"相对关系",以及维数的多样性.曼德勃罗特"越过"了0,1,2,3,......的"传统整数维"(同时也超越了传统观念),进入了看起来象是不可能的"分数维数",分维出现了.从概念上说,这是一场走钢丝表演,是冒险.对于非数学家,"外行",(年轻的)新手,生手,即开拓创新者(或所谓的"半瓶子醋"),他要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路.而对数学家或该行业保守的专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破.而事实证明前者的方法和策略是极为强劲有力的成就大功者.分维与古典的欧几里得维数是有联系的.将欧氏维数统一扩展成M=l d则由对数定义可知,指数d可以表示为以l为底的,M的对数,即d=log l M经用换底公式换底,就可以得到关于维数的解析通式,分维中广泛使用的关系式d=lnM/lnl他可以被看成是各种维数的综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)的由来或基准式.分维是一种测度,是用其它方法不能明确定义的一些性质----一个对象粗糙,破碎或不规则程度----的手段.即对某种特征性的粗糙度的量度.是有规则的不规则性的反映.此法的关键要点就是使在不同的尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)的程度保持恒定.2).拓扑维和豪斯道夫维——维数的定义连续空间的概念,空间维数是连续的,不是间断离散的.对数,换底,拓扑维数是比分形维数更基本的量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换的基础上是不变的,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是0,而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是1.所以,拓扑维数就是几何对象的经典维数Dt=d.拓扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数.对于任何一个有确定维数的几何体,若用与它相同维数的"尺r"去度量,则可得到一确定的数值N;若用低于它维数的"尺"去量它,结果为无穷大;若用高于它维数的"尺"去量它,结果为零.其数学表达式为:N(r)～r-Dh.上式两边取自然对数,整理后可得Dh=lnN(r)/ln(1/r) 或Dh=lim[lnN(σ)/ln(1/σ)] σ→0式中的Dh就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,也可以是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其D值是整数.人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形,把此时的Dh值称为该分形的分形维数,简称分维.也有人把该维数称为分数维数.当然还必须看其是否具有自相似性和标度不变性.维数的其它定义(1) 信息维数Di = lim (∑PilnPi/lnσ) σ→0(2) 关联维数Dg = lim (lnC(σ)/ln(1/σ)) σ→0(3) 相似维数Ds = lnN/ln(1/r)(4) 容量维数Dc = lim (lnN(ε)/ln(1/ε)) σ→0Dc≥Dh(5) 谱维数 D (分形子维数)——是研究具有自相似分布的随机过程,如随机行走的粒子的统计性质,可用渗流模型来描述的多孔介质,高聚物凝胶(经络的通道及传质)等一类"蚂蚁在迷宫中"的问题.(6) 填充维数Dp——由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充定义的维数称之为填充维数(Packing Dimension).(7) 分配维数Dd——可以看成是利用两脚间隔距离为σ的两脚规测量曲线C所得的"长度".即定义为Dd = lim (lnMσ(C)/(-lnσ)) σ→0曲线的分配维数至少等于盒维数.(8) 李雅普诺夫(Lyapunov)维数Dl——是作为混沌的吸引子维数,他是利用Lyapunov指数来定义的.奇怪吸引子的断面图总是呈分形构造的(经络的断面切片),因此就可以测定其分形维数.分形维数的测量1.基本方法分形维数的定义有很多,但适合所有事物的定义还没出现.每个维数的测定对象常是不同的,所以要区别对待,物适其用.实际的测定分形维数的方法,大致可以分成如下五类:(1)改变观察尺度求维数:是用圆和球,线段和正方形,立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形.(2)根据测度关系求维数:这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义维数的.(3)根据相关函数求维数;C(r)∝r-a，a=d-D(4)根据分布函数求维数;p(r)∝p(λr) p(r) ∝r-D(5)根据频谱求维数.2.盒维数(计盒维数,Kolmogorov熵,熵维数,度量维数,对崐数密度等)3.函数图的维数4.码尺与分形维数的关系----分形维数的不确定性对实际分形体而言,测量的分形维数值随码尺而变化,•也就是说,对同一分形体由于选取的码尺不同,会得到不同的分维值.原因是,结构层次不同,自相似的程度不同.测量时要注意.分形定义分形难下确切的定义。