专题一-阿基米德三角形的性质
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阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST 的垂心在上。
性质9 |AF|·|BF|=|QF|2.
性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。
性质11 在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。
例 1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C y
x 的焦点为F ，
动点P 在直线:20
l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB . 解：（1）设切点A 、B 坐标分别为22
1110(,)(,)(()x x x x x x 和，
∴切线AP 的方程为：2
00
20;x x y x 切线BP 的方程为：211
20;x x y
x
解得P 点的坐标为：0
1
01,2
P
P
x x x y x x
所以△APB 的重心G 的坐标为 ， 2
2220
10
1
010101
4(),3
3
3
3
P p
P
G
x y y y y x x x x x x x x y
所以234p G
G y y x ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：
221
(34)
20,(42).3x
y
x y
x x 即
（2）方法1：因为2
2
1
0001
111
1
1(,),(,),(,).4
24
4
x x FA
x x FP x x FB x x 由于P 点在抛物线外，则||0.FP
∴20
1
01
001
222
0111()()244
4cos ,1||||
||
||()
4x x x x x x x x FP FA AFP
FP FA FP FP x x
同理有20
1
1
01
101
2
22
11111()()244
4cos ,1||||
||
||()
4
x x x x x x x x FP FB BFP
FP FB FP FP x
x
∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当10
1
00
0,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(
,0)2
x ，
则P 点到直
线AF 的距离为：21
11
1
1||14;:,2
4
x x d
BF y
x x 而直线的方程
即2
1
11
11()0.4
4x x x y
x
所以P 点到直线BF 的距离为：2211111
12
2
22
21
1||11|()|()||4244212
1()()4
4
x x x x x x d x x x
所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当10
0x x 时，直线AF 的方程：20
2
00
11114(0),()0,4
044x y
x x x x y
x x 即
直线BF 的方程：21
2
111
1
11114(0),()0,4
4
4x y
x x x x y
x x 即
所以P 点到直线AF 的距离为： 222
010
10
010
00
11
22
22
0111|()()||
)()||
42
42
4
12
1()4
4
x x x x x x x x x x x d x
x x ，
同理可得到P 点到直线BF 的距离1
02
||
2
x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB
例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →
（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →
为定值；
（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →
， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，
⎩
⎪⎨
⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②