阿基米德三角形性质与高考题
高考数学复习微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
两条切线，切点分别为 A，B.
(1) 求证：直线 AB 过定点；
【解答】 设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.由于 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故yx11＋－12t ＝x1，整理得 2 tx1－2 y1＋1＝0.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2 y2＋1＝0.故直
设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，过 F 且垂直于 y 轴的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为原点，△OMN 的面积为 2.
(1) 求拋物线 C 的方程； 【解答】 由题意得，点 M，N 的纵坐标均为p2，由 x2＝2p·p2，解得 x＝±p，则|MN| ＝2p，由 S△CMN＝12·|MN|·|OF|＝12·2p·p2＝12p2＝2，解得 p＝2，故抛物线 C 的方程为 x2＝ 4y.
主题三 几何与代数 第八章 解析几何
微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米 德三角形．
过弦的端点分别作切线 已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 A，B 两点与原 点不重合，点 M(1,2)为线段 AB 的中点． (1) 若直线 l 的斜率为 1，求抛物线 C 的方程；
1. 若 AB 过焦点，则 AB 的端点的两条切线的交点 Q 在其准线上； 2. 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即 xQ＝xM； 3. AB 过抛物线的焦点； 4. AQ⊥BQ； 5. 阿基米德三角形面积的最小值为 p2.
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(2) 分别过 A，B 两点作抛物线 C 的切线，若两条切线交于点 S，求证：点 S 在一 条定直线上．
高中数学圆锥曲线系统讲解第27讲《阿基米德三角形》练习及答案
第27讲 阿基米德三角形知识与方法1.如图1所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）设AB 中点为M ，则PM 平行于（或重合）抛物线的对称轴；（2）PM 的中点S 在抛物线上，且抛物线在点S 处的切线平行于弦AB .2．如图2所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则点P 的轨迹是直线；特别地，若弦AB 过定点()0,m ()0m >，则点P 的轨迹是直线y m =−；（2）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则以Q 为中点的弦与（1）中点P 的轨迹平行. 3．如图3所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，若AB 过焦点F ，则点P 的轨迹为抛物线准线，PA PB ⊥，PF AB ⊥，且PAB 的面积的最小值为2p .4．如图4所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）PFA PFB ∠=∠；（2）2AF BF PF ⋅=提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题则必须给出详细的求解过程.典型例题【例1】己知点()1,1P −在抛物线()220y px p =>的准线上，过点P 作抛物线的切线，切点为A 、B ，则直线AB 的斜率k =_______.【解析】点()1,1P −在抛物线()220y px p =>的准线上⇒抛物线的准线为1x =−⇒抛物线的焦点为()1,0F ，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F 且PF AB ⊥，而101112PF k −==−−−，所以直线AB 的斜率为2.【答案】2变式1 已知点()2,1M −和抛物线2:4C x y =，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若90AMB ∠=︒，则k =_______.【解析】由题意，M 在抛物线C 的准线上，直线AB 过点F 且90AMB ∠=︒，所以MAB 是阿基米德三角形，如图，由阿基米德三角形性质，MF AB ⊥，而11120MF k −−==−−，所以直线AB 的斜率为1.【答案】1变式2 已知抛物线2:4C x y =，过点()1,1P −作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则经过P 、A 、B 三点的圆的方程为______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且直线AB 过焦点()0,1F ，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，直线PF 的斜率为11210−−=−−， 所以直线AB 的斜率为12，其方程为112y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立21124y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：2240x x −−=， 故122x x +=，()12121232y y x x +=++=，从而AB 中点为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1225AB y y =++=，所以经过P 、A 、B 三点的圆的方程为()22325124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭.【答案】()22325124x y ⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭变式3 已知过抛物线22x y =焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，抛物线在A 、B 处的切线交于点C ，则ABC 面积的最小值为______.【解析】由阿基米德三角形性质，当直线AB 过焦点F 时，ABC 面积的最小值为21p =. 【答案】1变式4 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，若3AF =，则PF =_______. 【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=−，故()2231cos 1cos 2BF παα===+−−， 由阿基米德三角形性质，2AF BF PF ⋅=所以2PF ==.【答案】2【例2】抛物线2:2C x py =()0p >的焦点为F ，且F 与圆()22:21I x y ++=上的点的距离的最大值为4. （1）求p 的值；（2）若点Q 在圆I 上，QA 、QB 是抛物线C 的两条切线，A 、B 是切点，当IQ AB ∥时，求直线AB 与y 轴交点的坐标. 【解析】解：（1）由题意，342p+=，所以2p =. （2）显然直线AB 斜率存在，可设其方程为y kx m =+，由（1）知抛物线C 的方程为24x y =，联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m −−=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =−，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24x y =可得24x y =，所以2x y '=，故直线QA 的方程为()211142x x y x x −=−，整理得：21124x x y x =−，同理，直线QB 的方程为22224x x y x =−，联立2112222424x x y x x xy x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==−，所以点Q 的坐标Wie ()2,k m −， 因为点Q 在圆I 上，所以()22421k m +−+=①， 因为IQ AB ∥，所以22mk k−=，从而222k m =−， 代入式①可得()()22221m m −+−+=解得：3m =，又2220k m =−≥，所以2m ≤，故3m =， 从而直线AB 与y轴的交点的坐标为(0,3.【反思】对于开口向上（或向下）的抛物线的阿基米德三角形大题，通常采用设两个切点，写出切线方程并联立求出交点坐标，同时将切点弦所在直线与抛物线联立，结合韦达定理计算的方法来处理.强化训练1.（★★★）已知点()2,1P −在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过P 作抛物线C 的切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】()2,1P −在准线上4p ⇒=⇒抛物线的焦点为()2,0F，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F ，且PF AB ⊥，而101224PF k −==−−−，所以直线AB 的斜率为4， 故直线AB 的方程为()42y x =−【答案】()42y x =−2.（★★★）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则PAB 面积的最小值为_______. 【解析】当AB 过焦点时，阿基米德三角形面积的最小值为24p =. 【答案】43.（★★★）已知抛物线2:2C y x =和点1,12P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若0PA PB ⋅=，则k =_______.【解析】由题意，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 在抛物线的准线上，且PA PB ⊥，所以PAB 是阿基米德三角形，从而PF PB ⊥，直线PF 的斜率1011122PF k −==−−−，故直线AB 的斜率为1. 【答案】14.（★★★）已知抛物线2:4C x y =，过点()0,1P x −作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若经过P 、A 、B 三点的圆被x 轴截得的弦长为4，则0x =______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且AB 过焦点()0,1F ，直线PF 的斜率为001120x x −−=−−，所以直线AB 的斜率为02x ，其方程为012x y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y 联立02124x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：20240x x x −−=，所以1202x x x +=，()201212022x y y x x x +=+=+， 从而AB 中点为200,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，212024AB y y x =++=+， 因为PA PB ⊥，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，该圆的半22220014222x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：01x =±.【答案】1±5.（★★★★）已知抛物线2y x =和点()0,1P ，若过某点C 可作抛物线的两条切线，切点分别为A 和B ，且满足1233CP CA CB =+，则ABC 的面积为______.【解析】()()12123333CP CA CB CP CP PA CP PB PA PB =+⇒=+++⇒=−⇒P 、A 、B 三点共线，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设0k >, 联立21y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：210x kx −−=，判别式240k =+>， 由韦达定理12x x k +=，121x x =−，又2PA PB =−，所以122x x =−，联立12121212x x kx x x x+=⎧⎪=−⎨⎪=−⎩可解得：k =，所以12x x +，设AB 中点为D ，则122D x x x +==， 代入1y kx =+得51244D y =⨯+=， 由阿基米德三角形性质知CD x ⊥轴且点C 在直线1y =−上， 所以()59144CD =−−=，故121199922418216ABCSCD x x =⋅−=⨯⨯=⨯=.6.（★★★★★）已知动圆过点()0,1F ，且与直线:1l y =−相切.（l ）求动圆圆心的轨迹E 的方程； （2）设P 为一动点，过P 作曲线E 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 和B ，且PA PB ⊥，直线AB 与圆224x y +=相交于C 、D 两点，设点P 到直线AB 的距离为d ，是否存在点P ，使得24AB CD d ⋅=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意，动圆圆心到点F 的距离和到定直线l 的距离相等, 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为24x y =.（2）显然直线AB 的斜率存在，故可设其方程为y kx m =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24y kx mx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m −−=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =−，由24x y =得24x y =，所以2xy '=，故直线PA 的方程为()211142x x y x x −=−，整理得：21124x x y =−，同理，直线PB 的方程为22224x x y =−，联立2112222424x x y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==−，所以点P 的坐标为()2,k m −，因为PA PB ⊥， 所以12122x x m ⋅=−=−，故1m =，从而AB 过点F ， 所以()212122444AB y y k x x k =++=++=+， 原点到直线AB，故CD =点P 到直线AB 的距离d ==所以24AB CD d ⋅=等价于()()2244161k k +⋅=+， 化简得：2101k =+，无解，故不存在点P ，使得|24AB CD d ⋅=.。
阿基米德三角形性质与高考题
阿基米德三角形性质与高考题性质1即：)2,2(2121y y p y y Q +19．（07年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2=⋅，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由．（4分）19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分． 解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=． 故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点．性质2：2||||||QF BF AF =⋅例7．（13广东）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.性质3：QFB QFA ∠=∠22．（05江西）如图，设抛物线上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.22．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p（21）（06年全国卷2）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
专题4 阿基米德三角形
专题4 阿基米德三角形专题3 阿基米德三角形 微点1 阿基米德三角形 【微点综述】在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到与一个特殊的三角形——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形. 阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，“坐标法”的解题思想和数形结合方法的优势体现得淋漓尽致，能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力，落实逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养.鉴于此，微点研究阿基米德三角形。
一、预备知识——抛物线上一点的切线方程（1）过抛物线()220y px p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =+；（2）过抛物线()220y px p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =−+；（3）过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+； （4）过抛物线()220x py p =−>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =−+．下面仅以情形（3）为例给出证明，同理可证其余三种情形。
证法1：设抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y k x x −=−，代入22x py =，整理得2002220x pkx py pkx −−+=，由0x ∆=，得()222000044220,220,p k py pkx pk x k y +−=∴−+=抛物线上一点处的切线唯一，∴ 关于k 的一元二次方程200220pk x k y −+=有两个相等的实数根，0,x k p∴=∴所求的切线方程为()000x y y x x p−=−，即2000x x x py py =+−，又2002x py =，∴过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+。
专题一 阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST 的垂心在上。
性质9 |AF |·|BF |=|QF |2.性质10 QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的 倍。
例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C yx 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB .解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2201110(,)(,)(()x x x x x x 和，∴切线AP 的方程为：20020;x x y x 切线BP 的方程为：21120;x x yx解得P 点的坐标为：0101,2PPx x x y x x所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pPGx y y y y x x x x x x x x y所以234p GG y y x ，由点P在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyx yx x 即（2）方法1：因为221000111111(,),(,),(,).4244x x FAx x FP x x FB x x 由于P 点在抛物线外，则||0.FP∴201010012220111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FA AFPFP FA FP FP x x同理有20110110122211111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP FP x x∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当1010000,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P 点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x dBF yx x 而直线的方程即211111()0.44x x x yx所以P 点到直线BF 的距离为：221111112222211||11|()|()||42442121()()44x x x x x x d x x x所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当100x x 时，直线AF 的方程：2020011114(0),()0,4044x yx x x x yx x 即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,444x yx x x x yx x 即所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001122220111|()()||)()||42424121()44x x x x x x x x x x x d xx x ，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2yx 相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c 交于,P Q ，（1）若2OA OB，求c 的值；（5分） （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由。
2024届高考数学拓展：隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形(解析版))
隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形1若椭圆C：x2a+2+y2a=1(a>0)的蒙日圆为x2+y2=6，则a等于()A.1B.2C.3D.4【答案】B2(2023·烟台模拟)过抛物线y2=4x的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P，△PAB的面积S的最小值为()A.43B.2C.4D.42【答案】C3已知在平面直角坐标系Oxy中，A(-2,0)，动点M满足|MA|=2|MO|，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y=k(x-1)+b与圆C恒有公共点，则b的取值范围是()A.-5，5B.-6，6C.-7，7D.-22，22【答案】C4抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为()A.x-2y-1=0B.2x+y-2=0C.x+2y-1=0D.2x-y-2=0【答案】A5(多选)(2023·廊坊模拟)如图，△PAB为阿基米德三角形．抛物线x2=2py(p>0)上有两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线PA，PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为()A.若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且∠APB=90°B.点P 的坐标是x 1+x 22，x 1x 22C.△PAB 的边AB 所在的直线方程为(x 1+x 2)x -2py -x 1x 2=0D.△PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行(或重合)【答案】ACD【解析】由题意设A x 1，x 212p，B x 2，x 222p，x 1<x 2，由x 2=2py ，得y =x 22p ，则y ′=xp，所以k PA =x 1p ，k PB =x 2p，若弦AB 过焦点，设AB 所在直线为y =kx +p 2，联立x 2=2py ，得x 2-2pkx -p 2=0，则x 1x 2=-p 2，所以k PA ·k PB =-p 2p 2=-1，所以PA ⊥PB ，故A 正确；以点A 为切点的切线方程为y -x 212p =x 1p (x -x 1)，以点B 为切点的切线方程为y -x 222p =x 2p (x -x 2)，联立消去y 得x =x 1+x 22，将x =x 1+x 22代入y -x 212p =x1p (x -x 1)，得y =x 1x 22p，所以Px 1+x 22，x 1x 22p，故B 错误；设N 为抛物线弦AB 的中点，N 的横坐标为x N =x 1+x 22，因此直线PN 平行于y 轴(或与y 轴重合)，即平行于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D 正确；设直线AB 的斜率为k =y 2-y 1x 2-x 1=x 222p-x 212px 2-x 1=x 1+x 22p ，故直线AB 的方程为y -x 212p =x 1+x22p(x -x 1)，化简得(x 1+x 2)x -2py -x 1x 2=0，故C 正确．]6(多选)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A ，B 为椭圆上两个动点．直线l 的方程为bx +ay -a 2-b 2=0.下列说法正确的是()A.C 的蒙日圆的方程为x 2+y 2=3b 2B.对直线l 上任意一点P ，PA ·PB>0C.记点A 到直线l 的距离为d ，则d -AF 2 的最小值为433b D.若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为6b 2【答案】AD 【解析】对于A ，过Q (a ，b )可作椭圆的两条互相垂直的切线x =a ，y =b ，∴Q (a ，b )在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为x 2+y 2=a 2+b 2，由e =c a=1-b 2a2=22得a 2=2b 2，∴C 的蒙日圆方程为x 2+y 2=3b 2，A 正确；对于B ，由l 方程知l 过P (b ，a )，又P 满足蒙日圆方程，∴P (b ，a )在圆x 2+y 2=3b 2上，当A ，B 恰为过P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA ·PB=0，B 错误；对于C ，∵A 在椭圆上，∴|AF 1|+|AF 2|=2a ，∴d -|AF 2|=d -(2a -|AF 1|)=d +|AF 1|-2a ；当F 1A ⊥l 时，d +|AF 1|取得最小值，最小值为F 1到直线l 的距离，又F 1到直线l 的距离d ′=|-bc -a 2-b 2|a 2+b 2=|-b 2-2b 2-b 2|3b=433b ，∴(d -|AF 2|)min =433b -2a ，C 错误；对于D ，当矩形MNGH 的四条边均与C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为x ，y ，则x 2+y 2=12b 2，∴矩形MNGH 的面积S =xy ≤x 2+y 22=6b 2(当且仅当x =y =6b 时取等号)，即矩形MNGH 面积的最大值为6b 2，D 正确．7抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23.已知A (-2,1)，B (2,1)为抛物线C ：x 2=4y 上两点，则在A 点处抛物线C 的切线的斜率为；弦AB 与抛物线所围成的封闭图形的面积为．【答案】-1 838(2023·赣州模拟)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围为．【答案】0，63【解析】 根据题意可得，圆x 2+y 2=a 2+1上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直，因此当直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离时，∠APB 恒为锐角，故a 2+1<|0+0-10|32+422=4，解得1<a 2<3，从而离心率e =1-1a2∈0，63 .9(2023·开封模拟)如图，过点P (m ，n )作抛物线C ：x 2=2py (p >0)的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，动点Q 为抛物线C 上在A ，B 之间的任意一点，抛物线C 在点Q 处的切线分别交PA ，PB 于点M ，N .(1)若AP ⊥PB ，证明：直线AB 经过点0，p2 ；(2)若分别记△PMN ，△ABQ 的面积为S 1，S 2，求S 1S 2的值．【答案】 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y =kx +b ，由x 2=2py ，y =kx +b ，消去y 并整理得x 2-2pkx -2pb =0，有x 1x 2=-2pb ，令抛物线C：x2=2py在点A处切线方程为y-y1=t(x-x1)，由y-y1=t(x-x1)，x2=2py，消去y并整理得x2-2ptx+2ptx1-2py1=0，则有Δ=4p2t2-4(2ptx1-2py1)=4p2t2-4(2ptx1-x21)=0，解得t=x1 p，同理，抛物线C：x2=2py在点B处切线斜率为x2 p，因为AP⊥PB，则有x1p·x2p=-2pbp2=-1，解得b=p 2，所以直线AB：y=kx+p2恒过定点0，p2.(2)解 由(1)知，切线PA的方程为y-y1=x1p(x-x1)，整理得y=x1px-y1，同理切线PB的方程为y=x2px-y2，设点Q(x0，y0)，则切线MN的方程为y=x0px-y0，而点P(m，n)，即有n=x1pm-y1，n=x2pm-y2，因此直线AB的方程为y=mpx-n，有|AB|=1+mp2|x1-x2|，点Q(x0，y0)到直线AB的距离是d2=mpx0-y0-n 1+mp2，则S2=12|x1-x2|mpx0-y0-n，由py=x0x-py0，py=x1x-py1，解得点M的横坐标x M=x0+x1 2，同理点N 的横坐标x N =x 0+x 22，有|MN |=1+x 0p2|x 1-x 2|2，点P (m ，n )到直线MN 的距离d 1=mp x 0-n -y 01+x 0p2，则S 1=14|x 1-x 2|m p x 0-y 0-n，所以S 1S 2=12.10已知圆O ：x 2+y 2=5，椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和22.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线与椭圆相切于A ，B 两点．①若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率；②作PQ ⊥AB 于点Q ，求证：|QF 1|+|QF 2|是定值．【答案】(1)解：由题意得a 2=b 2+c 2，25-c 2=22，2b 2a =1， 解得a =2，b =1，c =3，所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)①解 设P (x 0，y 0)，则过P 的切线方程为y -y 0=k (x -x 0)，且x 20+y 20=5，由x 24+y 2=1，y -y 0=k (x -x 0)，化简得(1+4k 2)x 2+8k (y 0-kx 0)x +4(y 0-kx 0)2-4=0，由Δ=0，得(4-x 20)k 2+2x 0y 0k +1-y 20=0，设切线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=1-y 204-x 20=1-y 204-(5-y 20)=-1，又直线PA 的斜率为2，则直线PB 的斜率为-12.②证明 当切线PA ，PB 的斜率都存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线PA ，PB 的方程为y -y i =k i (x -x i )，i =1,2并由①得(4-x 2i )k 2i +2x i y i k i +1-y 2i =0，i =1,2，(*)又点A ，B 在椭圆上，得x 2i 4+y 2i =1，i =1,2代入(*)，得2y i k i +x i 2 2=0，即k i =-x i4y i，i =1,2，切线PA ，PB 的方程为x i x4+y i y =1，i =1,2，又切线过P 点，则x i x 04+y i y 0=1，i =1,2，所以直线AB 的方程为x 0x4+y 0y =1，由PQ ⊥AB 得直线PQ 方程为y -y 0=4y 0x 0(x -x 0)，联立直线AB 方程x 0x4+y 0y =1，解得x Q =4x 0(1+3y 20)x 20+16y 20=45x 0，y Q =y 0(1+3y 20)x 20+16y 20=15y 0，由x 20+y 20=5得Q 点轨迹方程为516x 2+5y 2=1，且焦点恰为F 1，F 2，故|QF 1|+|QF 2|=2×45=85=855，当切线PA ，PB 的斜率有一个不存在时，如PB 斜率不存在，则B (2,0)，P (2,1)，A (0,1)，直线AB 的方程为y =-12x +1，PQ 的方程为y -1=2(x -2)，可解得Q 85，15，Q 点也在椭圆516x 2+5y 2=1上，若B (-2,0)，同理可得．综上得|QF1|+|QF2|=855，为定值．11(2023·合肥模拟)已知A是圆x2+y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆x23+y2=1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(1)若A(-2,0)，求直线l1，l2的方程；(2)①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；②求△AMN面积的取值范围．【答案】(1)解：设直线的方程为y=k(x+2)，代入椭圆x23+y2=1，消去y，可得(1+3k2)x2+12k2x+12k2-3=0，由Δ=0，可得k2-1=0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1=-1，k2=1，∴直线l1，l2的方程分别为y=-x-2，y=x+2.(2)①证明 当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1的斜率不存在，∵l1与椭圆只有一个公共点，∴其方程为x=±3，当l1的方程为x=3时，此时l1与圆的交点坐标为3，±1，∴l2的方程为y=1(或y=-1)，l1⊥l2成立，同理可证，当l1的方程为x=-3时，结论成立；当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)且m2+n2=4，设方程为y=k(x-m)+n，代入椭圆方程，可得(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0，由Δ=0化简整理得(3-m2)k2+2mnk+1-n2=0，∵m2+n2=4，∴(3-m2)k2+2mnk+m2-3=0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=-1，∴l1⊥l2成立，综上，对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立．②解 记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，∴|MA|=2d2，|NA|=2d1，d21+d22=|OA|2=4，△AMN面积为S=12|MA|×|NA|=2d1d2，S 2=4d 21d 22=4d 21(4-d 21)=-4(d 21-2)2+16，∵d 21∈[1,3]，∴S 2∈[12,16]，∴S ∈[23，4]．12定义椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=a 2+b 2，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为e =12.(1)求椭圆C 的标准方程和它的“蒙日圆”E 的方程；(2)过“蒙日圆”E 上的任意一点M 作椭圆C 的一条切线MA ，A 为切点，延长MA 与“蒙日圆”E 交于点D ，O 为坐标原点，若直线OM ，OD 的斜率存在，且分别设为k 1，k 2，证明：k 1·k 2为定值．【答案】 (1)解：由题意知2a =4，e =c a =12，∴c =1，∴b 2=3，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1，∴“蒙日圆”E 的方程为x 2+y 2=4+3=7，即x 2+y 2=7.(2)证明 当切线MA 的斜率存在且不为零时，设切线MA 的方程为y =kx +m ，则由y =kx +m ，x24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8mkx +4m 2-12=0，∴Δ=64m 2k 2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=0，∴m 2=3+4k 2，由y =kx +m ，x 2+y 2=7，消去y 得(1+k 2)x 2+2mkx +m 2-7=0，∴Δ=4m 2k 2-4(1+k 2)(m 2-7)=16+12k 2>0，设M (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-2mk1+k 2，x 1x 2=m 2-71+k 2，∴k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=(kx 1+m )(kx 2+m )x 1x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k2·m 2-71+k 2+km ·-2mk 1+k 2+m2m 2-71+k 2=m 2-7k 2m 2-7，∵m 2=3+4k 2，∴k 1k 2=m 2-7k 2m 2-7=3+4k 2-7k 23+4k 2-7=-34，当切线MA 的斜率不存在且为零时，k 1k 2=-34成立，∴k 1·k 2为定值．13已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上的点的距离的最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．【答案】解：(1)易得圆的圆心M (0，-4)，抛物线C 的焦点为F 0，p 2 ，|FM |=p 2+4，∴F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上的点的距离的最小值为p2+4-1=4，解得p =2.(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ，即y =x 24，对该函数求导得y ′=x 2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，直线PA 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1)，即y =x 1x2-y 1，即x 1x -2y 1-2y =0，同理可知，直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0，由于点P 为这两条直线的公共点，则x 1x 0-2y 1-2y 0=0，x 2x 0-2y 2-2y 0=0，∴点A ，B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0，∴直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0，联立x 0x -2y -2y 0=0，y =x 24，可得x 2-2x 0x +4y 0=0，由根与系数的关系可得x 1+x 2=2x 0，x1x2=4y0，∴|AB|=1+x022·(x1+x2)2-4x1x2 =1+x022·4x20-16y0=(x20+4)(x20-4y0)，点P到直线AB的距离为d=|x20-4y0|x20+4，∴S△PAB=12|AB|·d=12(x20+4)(x20-4y0)·|x20-4y0|x20+4=12(x20-4y0)32，∵x20-4y0=1-(y0+4)2-4y0=-y20-12y0-15=-(y0+6)2+21，由已知可得-5≤y0≤-3，∴当y0=-5时，△PAB的面积取最大值12×2032=205.11。
过焦点的阿基米德三角形的性质及其在高考中的应用
2020年第4期(上)中学数学研究5过焦点的阿基米德三角形的性质及其在高考中的应用安徽省合肥市第一中学(230601)谷留明文[1]介绍了抛物线中阿基米德三角形—–圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形的一些性质,在此基础上,本问探究圆锥曲线中过一个焦点的阿基米德三角形的统一性质及其逆定理,由此得出圆锥曲线在任意一点处或过准线上任意一点的切线的作图方法,并举例说明了这些性质在解决近几年相关高考题中的妙用.1性质定理性质已知圆锥曲线C 的焦点F 对应的准线为l ,过l 上一点P 引曲线C 的两条切线P A ,P B ,切点分别为A ,B ,则直线P F 垂直AB 于F.图1证明当圆锥曲线C 为椭圆时,如图1,不妨设C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (−c,0),P (−a 2c,t ),其中c =√a 2−b 2,t ∈R .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则l P A :x 1x a 2+y 1y b 2=1,l P B :x 2x a 2+y 2yb2=1,因为P 在l P A ,l P B 上,所以−x 1c +y 1t b 2=1,−x 2c +y 2tb2=1.由此得l AB :−x c +tyb2=1.令y =0,得x =−c .所以l AB 过点F (−c,0).易知k P F =t −0c −a 2c=−ctb 2.由l AB 方程得,t =0时,k AB =b 2ct,k P F ·k AB =−1;t =0时,k P F =0,k AB 不存在.所以恒有P F ⊥AB 于F .当圆锥曲线C 为双曲线时,如图2,证明类似,略.需注意的是,如图3,对于l 上的点P ,当且仅当P 在渐近线上时,过P 只能引双曲线C 的一条切线.设切点为A ,此时易证P F ⊥AF 于F.图2图3图4当圆锥曲线C 为抛物线时,如图4,不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0),P (−p 2,t ),t ∈R .设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则l P A :y 1y =p (x 1+x ),l P B :y 2y =p (x 2+x ).因为P 在l P A ,l P B 上,所以y 1t =p (x 1−p2),y 2t =p (x 2−p 2).由此得l AB :ty =p (x −p 2)，令y =0,得x =p2,所以l AB过点F (p 2,0).易知k P F =t −0−p 2−p 2=−tp .由l AB 方程得,t =0时,k AB =pt,k P F ·k AB =−1;t =0时,k AF =0,k AB不存在.所以恒有P F ⊥AB 于F .若此性质的条件和结论适当逆过来,命题也成立.逆定理1已知过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线交曲线C 于点A 和B ,过F 作直线AB 的垂线,若垂线与F 对应的准线相交于点P ,则直线P A ,P B 均为曲线C 的切线.证明当圆锥曲线C 为椭圆时,不妨设C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F (−c,0),A (x 0,y 0),P (−a 2c,t ),其中c =√a 2−b 2,t ∈R .由−→F A ·−→F P =0得t =b 2(x 0+c )cy 0.所以k P A =y 0−tx 0+a 2c=cy 20−b 2(x 0+c )y 0(a 2+cx 0),因为曲线C 在A 处的切线为l A :x 0x a 2+y 0yb2=1,其斜率为−b 2x 0a 2y 0.而k P A −(−b 2x 0a 2y 0)=c (a 2y 20+b 2x 20−a 2b2)a 2y 0(a 2+cx 0),又x 20a 2+y 20b 2=1,所以a 2y 20+b 2x 20−a 2b 2=0,k P A =−b 2x 0a 2y 0.所以点P 在l A 上,即直线P A 为曲线C 的切线.同理可证直线P B 也为曲线C 的切线.当圆锥曲线C 为双曲线或抛物线时,证明类似,略.逆定理2已知线段AB 为圆锥曲线C 的过焦点F 的弦,若曲线C 在A ,B 处的切线相交于点P ,则点P 必在焦点F 所对应的准线上,且P F ⊥AB .证明当圆锥曲线C 为抛物线时,不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设l AB :x =my +p 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则曲线C 在A,B 处的切线分别为l A :y 1y =p (x 1+x ),l B :y 2y =p (x 2+x )联立这两个切线方程,解得交点P 的横坐标为x P =x 1y 2−x 2y 1y 1−y 2=(my 1+p 2)y 2−(my 2+p 2)y 1y 1−y 2=−p 2,y P =p (x 1−x 2)y 1−y 2=pm .所以P 在F 所对应的准线l :x =−p 2上.6中学数学研究2020年第4期(上)当m =0时，l AB ⊥x 轴,k P F =0,P F ⊥AB ;当m =0时,k P F ·k AB =pm −0−p 2−p 2·1m =−1,P F ⊥AB .当圆锥曲线C 为椭圆或双曲线时,证明类似,略.进一步研究发现,还有以下结论成立.结论1已知抛物线C 的弦AB 过焦点F ,抛物线C 在A,B 处的切线相交于点P ,则∠AP B =90◦.证明不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设l AB :x =my +p 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (−p 2,t ),则l P A :y 1y =p (x 1+x ),l P B :y 2y =p (x 2+x ),所以k P A ·k P B =p y 1·p y 2=p 2y 1y 2.联立抛物线C 与l AB 的方程,得y 2−2pmy −p 2=0,y 1y 2=−p 2.所以k P A ·k P B =−1,∠AP B =90◦.结论2已知抛物线C 的弦AB 过焦点F ,点P 在抛物线C 的准线上,且∠AP B =90◦,则P F ⊥AB ,且直线P A,P B 均为抛物线C 的切线.证明不妨设C :y 2=2px (p >0),则F (p2,0).设P (−p 2,t ),l AB :x =my +p2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立抛物线C 与l AB 的方程,得y 2−2pmy −p 2=0,y 1+y 2=2pm,y 1y 2=−p 2,x 1+x 2=m (y 1+y 2)+p =2pm 2+p ,x 1x 2=y 212p ·y 222p =(y 1y 2)24p 2=p 24.−→P A ·−−→P B =(x 1+p 2)(x 2+p 2)+(y 1−t )(y 2−t )=x 1x 2+p2(x 1+x 2)+y 1y 2−t (y 1+y 2)+t 2=(pm −t )2.又∠AP B =90◦,所以−→P A ·−−→P B =(pm −t )2=0,t =pm ,从而k P F =t −0−p 2−p 2=−m .当m =0时,l AB不存在斜率,k P F =0,故P F ⊥AB ；当m =0时,k P F ·k AB =−m ·1m=−1,故P F ⊥AB .再根据逆定理1,可得直线P A,P B 均为抛物线C 的切线.2切线作图由性质2,可以得到圆锥曲线在任意一点A 处,或者过准线l 上任意一点P 的切线的作图方法.2.1作圆锥曲线C 在任意一点A 处的切线(设C 的一个焦点为F ,其对应的准线为l ):(1)连接AF ;(2)过F 作AF 的垂线,交l 于点P ;(3)连接P 和A ,直线P A 即为圆锥曲线C 在点A 处的切线.2.2作圆锥曲线C 的过准线l 上任意一点P 的切线(设准线l 对应的焦点为F ):(1)连接P F ;(2)过F 作P F 的垂线,作出垂线与曲线C 的交点(一个或者两个);(3)连接P 和交点,所得直线(一条或者两条)即为圆锥曲线C 过点P 的切线.3考题妙解例1(2018年高考全国卷Ⅲ理科第16题)已知点M (−1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB =90◦,则k =.分析本题主要考查直线与圆锥曲线的相交关系,考查数学结合和转化化归思想,考查直观想象和数学运算等核心素养.其基本思路是:设过A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点的直线方程为y =k (x −1),将它与抛物线方程联立、消y ,可得k 2x 2−2(k 2+2)x +k 2=0,由此表示出x 1+x 2,x 1x 2,再结合直线方程表示出y 1+y 2,y 1y 2,代入−−→MA ·−−→MB =(x 1+1)(x 2+1)+(y 1−1)(y 2−1)=0,整理可求出k .此法的计算量大而易出错.而根据结论2,设C 的焦点为F ,则MF ⊥AB .所以k ·k MF =k ·1−0−1−1=−1,轻松得解k =2.例2(2019年高考全国卷Ⅲ理科第21题第(1)问)已知曲线C :y =x 22,D 为直线y =−12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B .(1)证明：直线AB 过定点.分析由性质定理直接可知,定点为C 的焦点.证明方法既可以用上文中性质定理的证明方法,也可以直接验证C 的焦点坐标恒符合直线AB 的方程.若对性质定理中的条件进行推广,比如过与圆锥曲线C 相离的直线l 上任一点,甚至过圆锥曲线C 外任一点,引曲线C 的两条切线,又会有何规律与结论呢?可进行更深的研究.参考文献[1]王宁岚.“形”“性”而解—–浅议阿基米德三角形的应用[J].中学数学(高中版)，2013(02):31-33.[2]杨艳萍.多角度认识圆锥曲线的切线[J].中学数学研究，2018(03):28-31.。
高中数学重点题型圆锥曲线之阿基米德三角形
圆锥曲线——阿基米德三角形近几年，各地高考解析几何试题中许多试题涉及到与一个特殊的三角形——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形。
考点形式为阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，“坐标法”的解题思想和数形结合方法的优势体现得淋漓尽致，能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力，落实逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养。
因此，今天我们来学习一下阿基米德三角形。
抛物线上某一点的切线方程（1）过抛物线()220y px p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =+；（2）过抛物线()220y px p =->上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y p x x =-+；（3）过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+；（4）过抛物线()220x py p =->上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =-+．下面仅以（3）为例证明，同理可证其余三种情形。
证法1：设抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00y y k x x -=-，代入22x py =，整理得2002220x pkx py pkx --+=，由0x ∆=，得()222000044220,220,p k py pkx pk x k y +-=∴-+= 抛物线上一点处的切线唯一，∴关于k 的一元二次方程200220pk x k y -+=有两个相等的实数根，0,x k p∴=∴所求的切线方程为()000x y y x x p-=-，即2000x x x py py =+-，又2002x py =，∴过抛物线()220x py p =>上一点()00,M x y 的切线方程为：()00x x p y y =+。
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科压轴题背景探究
阿基米德三角形的性质及应用——2021年高考全国乙卷理科
压轴题背景探究
阿基米德三角形是一种具有特殊性质的三角形，它由阿基米德提出，在几何学中有着广泛的应用。
阿基米德三角形的性质有：
1、阿基米德三角形的三个内角相等，每个内角等于
$60^{\circ}$；
2、阿基米德三角形的三条边满足勾股定理，即两边之和大于
第三边；
3、阿基米德三角形的三条边满足比例关系，即两边之比等于
第三边。
阿基米德三角形的应用：
1、在建筑学中，阿基米德三角形用来构建桥梁、楼梯、屋顶
等建筑物；
2、在航海学中，阿基米德三角形用来测定船只在海上的位置；
3、在机械学中，阿基米德三角形用来设计齿轮系统、传动系
统等；
4、在几何学中，阿基米德三角形用来推导许多几何定理，如勾股定理、三角形内角和定理等。
高中数学阿基米德三角形
高中数学阿基米德三角形1.在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)作一条直线，与抛物线y=x^2相交于AB两点。
一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q。
1）若OA×OB=2，求c的值；2）若P为线段AB的中点，证明QA为此抛物线的切线；3）是否存在一个点P，使得QA为此抛物线的切线？请说明理由。
2.抛物线(p>0)，点M(x,y)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A,B（当M为原点O时，A,B重合于O）x=1/2，切线MA的斜率为-1/2.I）求p的值；II）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（当A,B重合于O时，中点为O）。
3.设抛物线方程为x^2=2py(p>0)，M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B。
Ⅰ）证明：A，M，B三点的横坐标成等差数列；Ⅱ）已知当M点的坐标为(2，-2p)时，AB=4√10.求此时抛物线的方程；Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D 在抛物线x^2=2py(p>0)上，其中，点C满足OC=OA+OB（O 为坐标原点）？若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
4.对每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线x^2=4y上的点，过焦点F的直线FAn角抛物线于另一点Bn(sn,tn)。
Ⅰ）证明：xn*sn=-4 (n≥1)；Ⅱ）取xn=2，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点。
试证：FC1+FC2+。
+FCn=2n-2-n+1+1.5.设抛物线C:y=x^2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B两点。
1）求△APB的重心G的轨迹方程；2）证明∠PFA=∠PFB。
6.已知抛物线x^2=4y的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且AF=λFB(λ>0)。
微专题 阿基米德三角形
微专题 阿基米德三角形基础回顾：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
特殊地，过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，∆MAB 为阿基米德三角形.B A ,在其准线L 的上投影分别为B A '',,则有如下结论：1. 交点M 在22=y px 准线上2. 切线交点与弦中点连线平行于对称轴3. 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点4. ⊥MA MB ，⊥MF AB5. MN 与抛物线的交点平分线段MN6. MB 平分BA B '∠, 7.MA 平分角AB A '∠8. 2MF FB FA =⋅ 9. MAB S ∆2min p = 二、典例解析题型一 两切线交点的轨迹1. 过抛物线22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，抛物线在点,A B 处的两条切线相交于点M ，则M 在22=y px 的准线上 ，且⊥MA MB ，⊥MF AB ，证明：设直线AB 的方程为2=+px my .由22,,2⎧=⎪⎨=+⎪⎩y px p x my 可得2220y pmy p --=.显然0∆> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y pm +=，212y y p =-.抛物线在,A B 两点的切线方程分别为()11y y p x x =+，()22y y p x x =+.解之得1212,2,2⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩y y x p y y y 由此求得两切线的交点坐标12(,)22+-y y P M所以M 在22=y px 的准线上.22212121⋅=⋅==--AM BMp p p p k k y y y y p,∴⊥MA MB(,)=-MF p pm ，2121(,)=--AB x x y y()()()21212121022p p MF AB p x x pm y y p my my pm y y ⎛⎫⋅=---=+----= ⎪⎝⎭∴⊥MF AB .题型二 阿基米德三角形面积的最小值2.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y 2＝4px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为_______．解：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△P AB 为直角三角型，且角P 为直角，S ＝P A •PB ≤，由于AB 是通径时，即AB ＝2p 最小，故S ≤p 2，故答案为：p 2．题型三 阿基米德三角形的形状的判断2. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上． 设抛物线y 2＝2px （p ＞0），弦AB 过焦点，△ABQ 为阿基米德三角形，则△ABQ 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．随Q 位置变化前三种情况都有可能 解：如图所示．设Q，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则，．设直线AB ：my ＝x ﹣，联立，化为y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，得到y 1+y 2＝2pm ，．设过点A 的切线为，联立，化为，∵直线是抛物线的切线，∴＝0，化为pk 1＝y 1．设过点B 的切线为，同理可得pk 2＝y 2． ∴p 2k 1k 2＝y 1y 2．∴，解得k 1k 2＝﹣1．∴．即△ABQ 是直角三角形．故选：B ．题型四 阿基米德三角形的判断.4若M 在22=y px 的准线上，且⊥MA MB ，则,MA MB 是抛物线的两条切线,∆MAB 为阿基米德三角形.证明：过22=y px 的焦点F 任作一条弦AB ，过B A ,分别作抛物线的两条切线,设它们交于点M ',则M '在22=y px 的准线上，且B M A M '⊥'，由抛物线的焦点弦的性质知，2=-px 是以AB 为直径的圆的切线，又M 在2=-px 上，且⊥MA MB ，则可得'M 与M 重合.所以,MA MB 是抛物线的两条切线.∆MAB 为阿基米德三角形.方法总结：1.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。
阿基米德三角形在高考中的应用
所以P点到直线BF的距离为：
d2
|(x12 14)x21 x41 | (x1214)2(x1)2
(x12
1)| 4
x1| 2
x1214
|
x1| 2
所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.
②y当1 4x1 x0xx0 2 0 00 1 4时(x, 直0)线即 ,A(Fx的0 2方1 4)程x：x0y1 4x00,
x - y - 2 0上 运 动 ， 过 P作 抛 物线 C
的 两 条 切 线 PA、 PB， 且 与 抛 物 线 C
分 别 相 切 于 A、 B两 点.
y
证 明:∠ PF A= ∠ PF BA.
F
B
O
x
P
分析： 设切点 A (x,x0 2)B ,(x 1,x 1 2)( x 1 (x0)
F 则 P( x x(A 0 0,2 x 0 2 x1 ,1 4 x) 0F x, 1) .(x P 0 ∴2 x 1 ,x 0 x 1 1 4 )F , ( x B 1 ,x 1 2 1 4 ).
性质1：若阿基米德三角形ABP 的边AB即弦AB过抛物线内定点C, 则另一顶点P的轨迹为一条直线.
y
C
B
A
F
x
O
P
探究3：若抛物x线 2 2py上的阿
基米德三角形的顶在 点定 P 直线
y x 1( 与x2 2py无公共点) ,
则弦AB是否过定点？
y
AF
B x 0x =p(y0+y)
O
x
P (x 0,y0)
( 1,3则 ) ,阿基米德三角点形P(x的 0,y顶 0) 的轨迹是否为一线条？y定直
探究2：若弦AB过抛
(优选)阿基米德三角形在高考中的应用ppt讲解
A
B.平行 D.无 法 判断
O
x
P
M
B
练 习 2： ( 07.江 苏) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐标
系xoy中，过y轴正方向上一点C(，0 c)
任作一直线，与抛物线y x2相交于A,B
两 点 ， 一 条 垂 直 于 x 轴的 直 线 ， 分 别 与 线
段AB和直线l: y -c交于点P,Q .
（优选）阿基米德三角形在高 考中的应用ppt讲解
回顾：过抛物线x2=2py(p>0)上的点
P(x0，y0)处的切线方程？x0x p( y0 y)
y
思考：
F
方 程x0 x
p( y0
y)还 O x 0x =p(y0+y)
可以表示什么直线？
图1
P(x 0,y0) x
结论：过抛物线x2=2py(p>0)外一点P(x0，
y
B F
O
x
P
结论：直线AB的方程为 x0x p(y0 y) ． 探究1：若弦AB过抛物线x2 2 y内一定点
(1,3),则阿基米德三角形的顶点P(x0, y0 ) 的轨 迹是 否为 一条 定直线？y
探究2：若 弦 A B 过 抛
物 线 x2 2py内 一 定
(1,3) B x0x=p(y0+y)
（1)若P为线段AB 的 中 点 ， 求 证 ：Q A
A
y
CP
B
为此抛物线的切线；
O
x
（2）试问（1）的逆命题
是否成立？说明理由。
M Q(M)
探性究质44：：在阿基米德三角形
|AFBAP，|则|F| BPF||与2 ||FPAF| ||F2B的| 关系？
2025高考数学必刷题 第80讲、阿基米德三角形(学生版)
第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示，AB 为抛物线22(0)x py p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别过,A B 作的抛物线的切线交于点P ，称PAB △为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点()00 C x y ，，则另一顶点P 的轨迹为一条直线．3、若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p ．6、点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；7、底边AB 所在的直线方程为()121220; x x x py x x +--=8、PAB △的面积为3128PAB x x S p-=．9、若点P 的坐标为()00,x y ，则底边AB 的直线方程为()000x x p y y -+=．10、如图1，若E 为抛物线弧AB 上的动点，点E 处的切线与PA ，PB 分别交于点C ，D ，则||||||||||||AC CE PD CP ED DB ==.11、若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形PAB △的边PA ，PB 分别交于点C ，D ，则2EABPCDS S = ．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．图1必考题型全归纳题型一：定点问题例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设D 为直线=2y -上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．例2．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M 恒过定点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，圆心M 到直线14y =-的距离为1,8d d MF =+．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线1y x =-上的动点Q 作C 的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，证明：直线AB 恒过定点．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知平面曲线C 满足：它上面任意一定到10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到直线32y =-的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)D 为直线12y =-上的动点，过点D 作曲线C 的两条切线，切点分别为A B ､，证明：直线AB 过定点；(3)在（2）的条件下，以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.变式1．（2024·陕西·校联考三模）已知直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，OD AB ⊥，D 为垂足，点D 的坐标为(1,1)．(1)求C 的方程；(2)若点E 是直线4y x =-上的动点，过点E 作抛物线C 的两条切线EP ，EQ ，其中P ，Q 为切点，试证明直线PQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C ：2y ax =给出如下三个条件：①焦点为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭；②准线为12y =-；③与直线210y -=相交所得弦长为2．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C 的方程；(2)已知ABQ 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q 是抛物线C 在弦AB 两端点处的两条切线的交点，若点Q 恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB 是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．变式3．（2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线2:C y ax =（a 是常数）过点(2,2)P -，动点1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)当1t =时，求直线AB 的方程；(3)证明：直线AB 过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 在x 轴及其上方，且点P 到点(0,1)F 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若点Q 是直线4y x =-上任意一点，过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ､QB ，其中A ､B 为切点，试证明直线AB 恒过一定点，并求出该点的坐标.题型二：交点的轨迹问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M 定在直线1y =-上；(3)椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证:点N 在定直线上．变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知点F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线.若圆22:(2)(3)16P x y -+-=的直径为MN .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，分别过A 、B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，证明直线1l ，2l 的交点在定直线上，并求出该直线.变式7．（2024·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．(1)圆222:O x y r +=上点()00,M x y 处的切线方程为．理由如下：．(2)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为；(3)(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB 的方程是．这是因为在()11,A x y ，()22,B x y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；(4)问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=，化简得Δ0=，得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线22(0)y px p =>上一点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上．题型三：切线垂直问题例7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若点P 坐标为()0,1-，求切线,PA PB 的方程；（2）若点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，求证：切线PA 和PB 互相垂直.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，点M 是AB 的中点.（1）求证：切线PA 和PB 互相垂直；（2）求证：直线PM 与y 轴平行；（3）求PAB 面积的最小值.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点.(1)求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；(2)设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1C 和抛物线2C 有相同的焦点()1,0，椭圆1C 过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．()1求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；()2设点P 为抛物线2C 准线上的任意一点，过点P 作抛物线2C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．①设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；②若直线AB 交椭圆1C 于C ，D 两点，PAB S ，PCD S 分别是PAB ，PCD 的面积，试问：PABPCDS S 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．变式9．（2024·全国·高三专题练习）抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.变式10．（2024·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为2．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．题型四：面积问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点Q 为直线12y =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线22x py =上一点()0,1M x 到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到原点的距离等于直线:440l x y --=的斜率.（1）求抛物线C 的方程及准线方程；（2）点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求PAB 面积的最小值.变式11．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且||2RF =，过点(4,0)P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段PA 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E （异于点A ，B ），且直线DE 交线段PB 于点H .(1)求抛物线C 的方程；(2)（i ）求证：||||AD BH +为定值；（ii ）设EAD ，EBH △的面积分别为12S S ，，求12133S S S =+的最小值.变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值．变式13．（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测）已知点()F ，平面上的动点S 到F 的距离是S 40+=的距离的2倍，记点S 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ，2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于T ，交y 轴于Q ，记PNQ V 的面积为1S ，PMT △的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值．题型五：外接圆问题例13．（2024·全国·高三专题练习）已知P 是抛物线C ：2134y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- ．（1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M 是PAB 的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．例14．（2024·高二单元测试）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.例15．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.题型六：最值问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图已知()2,P t -是直线2x =-上的动点，过点P 作抛物线24y x =的两条切线，切点分别为,A B ，与y 轴分别交于,C D.（1）求证：直线AB 过定点，并求出该定点；（2）设直线AB 与x 轴相交于点Q ，记,A B 两点到直线PQ 的距离分别为12,d d ；求当12AB d d +取最大值时PCD 的面积.例17．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xoy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，P 为直线1y x =-上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，当P 在y 轴上时，OA OB ⊥.(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.例18．（2024·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线()2:21C x py p =>，从点()4,9发出的平行于y 轴的光线照射到抛物线上的D 点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G 点射出，经过点()1,5-．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆()22:34M x y +-=，在抛物线C 上任取一点E ，过点E 向圆M 作两条切线EA 和EB ，切点分别为A 、B ，求EA EB ⋅ 的取值范围．变式14．（2024·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线()2:20C x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点D 在直线l ：=3y -上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当MN 最小时，求ABMN 的值.变式15．（2024·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（）A ．1B ．4C ．5D题型七：角度相等问题例19．设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB ．例20．（2024·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C .(1)求轨迹2C 的方程；(2)若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性.例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆22=>交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的+-=与抛物线2:2(0)C x py pG x y:(1)1直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；∠=∠．(2)若F是抛物线C的焦点，证明：PFA PFBy x=的焦点为F，动点P 变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，设抛物线C：2x y--=上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，在直线l：20求证：AFB BFP∠=∠.变式17．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.（1）求证∶点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB。
教师版高考与阿基米德三角形答案
高考与阿基米德三角形试题答案1．（2008年江西卷理科第21题）21．（本小题满分12分）1．证明：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，设切线PA 的方程为：11()y y k x x -=-由1122()1y y k x x x y -=-⎧⎨-=⎩ 得2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------=从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=,解得11x k y =因此PA 的方程为：111y y x x =- 同理PB 的方程为：221y y x x =-又0(,)P m y 在PA PB 、上，所以1011y y mx =-，2021y y mx =- 即点1122(,),(,)A x y B x y 都在直线01y y mx =-上 又1(,0)M m也在直线01y y mx =-上,所以三点A M B 、、共线 （2）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+， 由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩ 解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m --+-=即2212()39x y m --=为重心G所在曲线方程 2．（2008年山东卷理科第22题）解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(2)22x x A x B x x x M x p p p ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，．由22x py =得22x y p =，得xy p'=，所以1MA x k p =，2MB x k p=． 因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-． 所以211102()2x x p x x p p +=-，① 222202()2x x p x x p p+=-．② 由①、②得121202x x x x x +=+-， 因此1202x xx +=，即0122x x x =+． 所以A M B ，，三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=， 2222440x x p --=，所以12x x ，是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p-+===-，所以2AB k p =．由弦长公式得AB ==又AB =1p =或2p =， 因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅲ）解：设33()D x y ，，由题意得1212()C x x y y ++，， 则CD 的中点坐标为12312322x x x y y y Q ++++⎛⎫⎪⎝⎭，，设直线AB 的方程为011()x y y x x p-=-， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，也在直线AB 上， 代入得033x y x p=．若33()D x y ，在抛物线上，则2330322x py x x ==， 因此30x =或302x x =．即(00)D ，或2022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(02)M p -，适合题意．（2）当00x ≠，对于(00)D ，，此时2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，2212022CDx x pk x +=221204x x px +=，又0AB x k p =，AB CD ⊥， 所以22220121220144AB CDx x x x x k k p px p++===-，即222124x x p +=-，矛盾． 对于20022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点．综上所述，仅存在一点(02)M p -，适合题意． 3．（2007年江苏卷理科19题）解：（1）设过C 点的直线为y kx c =+，所以()20x kx c c =+>，即20x kx c --=，设A ()()1122,,,x yB x y ，OA =()11,x y ，()22,OB x y =，因为2OA OB ⋅=，所以12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，()221212122x x k x x kc x x c +-++=所以222c k c kc k c --++=，即220,c c --=所以()21c c ==-舍去（2）设过Q的切线为()111y y k x x -=-，/2y x =，所以112k x =，即2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为M 11,22x cc x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为12x x c =-,所以21c x x -=，所以M 12,,222x x k c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以点M 和点Q 重合，也就是QA 为此抛物线的切线。
从一道高考题的变迁看阿基米德三角形性质及其定理的演绎
㊀㊀㊀㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２１ １０从一道高考题的变迁看阿基米德三角形性质及其定理的演绎从一道高考题的变迁看阿基米德三角形性质及其定理的演绎Һ李㊀真㊀徐水龙㊀（浙江省衢州第三中学，浙江㊀衢州㊀３２４０２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ阿基米德三角形有着丰富的内涵㊁深刻的背景，至今依然是高考命题者的青睐，其有关性质仍是命题专家的热点素材．本文从一道２００８年山东高考题开始，探索阿基米德三角形定理的由来，演绎其性质应用．ʌ关键词ɔ阿基米德三角形定理；性质演绎阿基米德是古希腊伟大的物理学家㊁数学家㊁天文学家和机械发明家．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形，常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形以其丰富的内涵㊁深刻的背景，在数学发展的历史长河中不断发出闪耀的光芒，至今依然是高考命题者的青睐，其有关性质也成为命题专家的热点素材．下面举例说明．这是２００８年理科第２２题（部分）．如图１，设抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０），Ｍ为直线ｙ＝－２ｐ上任意一点，过Ｍ引抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ．求证：Ａ，Ｍ，Ｂ三点的横坐标成等差数列；本题涉及阿基米德三角形，考查了阿基米德三角形的有关性质．下面证明Ａ，Ｍ，Ｂ三点的横坐标成等差数列．图１证明㊀由题意，设Ａｘ１，ｘ２１２ｐæèçöø÷，Ｂｘ２，ｘ２２２ｐæèçöø÷（ｘ１＜ｘ２），Ｍ（ｘ０，－２ｐ）．ȵｘ２＝２ｐｙ，ｙ＝ｘ２２ｐ，ｙᶄ＝ｘｐ，ʑｋＭＡ＝ｘ１ｐ，ｋＭＢ＝ｘ２ｐ，ʑＭＡ：ｙ＋２ｐ＝ｘ１ｐ（ｘ－ｘ０）㊀①；ＭＢ：ｙ＋２ｐ＝ｘ２ｐ（ｘ－ｘ０），ʑｘ２１２ｐ＋２ｐ＝ｘ１ｐ（ｘ１－ｘ０），ｘ２２２ｐ＋２ｐ＝ｘ２ｐ（ｘ２－ｘ０），ʑｘ１＋ｘ２２＝ｘ１＋ｘ２－ｘ０，ʑｘ１＋ｘ２＝２ｘ０，所以Ａ，Ｍ，Ｂ三点的横坐标成等差数列．我们将ｘ０＝ｘ１＋ｘ２２代入①式，得ｙ＝ｘ１ｘ２２ｐ，由此得到Ｍ点的坐标为ｘ１＋ｘ２２，ｘ１ｘ２２ｐæèçöø÷．又ｋＡＢ＝ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１＝ｘ２＋ｘ１２ｐ，故直线ＡＢ的方程为ｙ－ｘ２１２ｐ＝ｘ２＋ｘ１２ｐ（ｘ－ｘ１），化简，得（ｘ１＋ｘ２）ｘ－２ｐｙ－ｘ１ｘ２＝０．由此我们得到阿基米德三角形的性质１．性质１㊀在阿基米德三角形中，Ｍ为抛物线外任意一点，过Ｍ引抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ，则有Ａ，Ｍ，Ｂ三点的横坐标成等差数列．取ＡＢ的中点Ｑ，连接ＭＱ，则会得到一个结论：直线ＭＱ与ｙ轴平行或重合．我们会得到几个推论．推论１㊀阿基米德三角形底边上的中线平行（重合）于抛物线的对称轴．推论２㊀弦ＡＢ所在的直线方程为（ｘ１＋ｘ２）ｘ－２ｐｙ－ｘ１ｘ２＝０．推论３㊀设点Ｍ的坐标为（ｘ０，ｙ０），则弦ＡＢ的直线方程为ｘ０ｘ－ｐ（ｙ＋ｙ０）＝０，这就是抛物线Ｍ点的极线方程．下面是２０２０年４月衢州㊁丽水㊁湖州三地市教学质量检测卷第２１题，是２００８年山东卷改编而来，同样考查阿基米德三角形的性质．如图２，设抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０），Ｍ为直线ｙ＝－２ｐ上任意一点，过Ｍ引抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ．图２. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１５３㊀数学学习与研究㊀２０２１ １０（１）求直线ＡＢ与ｙ轴的交点Ｎ的坐标；（２）若Ｅ为抛物线弧ＡＢ上的动点，抛物线在Ｅ点处的切线与әＭＡＢ的边ＭＡ，ＭＢ分别交于点Ｃ，Ｄ，记λ＝ＳәＥＡＢＳәＭＣＤ，问：λ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．问题（１）求直线ＡＢ与ｙ轴的交点坐标，由前面分析可知直线ＡＢ的方程，我们只需令ｙ＝０即可，直线ＡＢ与ｙ轴的交点坐标为Ｎ（０，２ｐ），是个定点．于是我们猜想弦ＡＢ绕着Ｎ点转动，Ｍ点的轨迹是什么？我们设Ｍ（ｘ，ｙ），有ｘ＝ｘ１＋ｘ２２，ｙ＝ｘ１ｘ２２ｐ，由Ａ，Ｎ，Ｂ三点共线，得ｙ＝－２ｐ，显然它是一条直线．我们进一步猜想弦ＡＢ绕着点Ｇ（ｘＧ，ｙＧ）转动，Ｍ点的轨迹是什么？由Ａ，Ｇ，Ｂ三点共线，得（ｘ１＋ｘ２）ｘＧ－２ｐｙＧ－ｘ１ｘ２＝０，将ｘ１＋ｘ２＝ｘ，ｘ１ｘ２＝ｙ代入，得ｘＧｘ－ｐ（ｙ＋ｙＧ）＝０，它仍然是一条直线．于是我们得到阿基米德三角形的性质２．性质２㊀若阿基米德三角形的底边ＡＢ过抛物线内定点Ｇ（ｘＧ，ｙＧ），则另一顶点Ｍ的轨迹为一条直线，其方程为ｘＧｘ－ｐ（ｙ＋ｙＧ）＝０．特别地，当定点Ｇ在ｙ轴上时，性质２还有以下推论．推论㊀设Ｇ（０，ｍ），则另一顶点Ｍ的轨迹为ｙ＝－ｍ．问题（２），抛物线在Ｅ点处的切线与әＭＡＢ的边ＭＡ，ＭＢ分别交于点Ｃ，Ｄ．我们记ｘＭ＝ｘ１＋ｘ２２，同理可得ｘＣ＝ｘ１＋ｘＥ２，ｘＤ＝ｘ２＋ｘＥ２，ＡＣＣＭ＝ｘＣ－ｘ１ｘＭ－ｘＣ＝ｘ１＋ｘＥ２－ｘ１ｘ１＋ｘ２２－ｘ１＋ｘＥ２＝ｘＥ－ｘ１ｘ２－ｘＥ，ＣＥＥＤ＝ｘＥ－ｘＣｘＤ－ｘＥ＝ｘＥ－ｘ１＋ｘＥ２ｘ２＋ｘＥ２－ｘＥ＝ｘＥ－ｘ１ｘ２－ｘＥ，ʑＡＣＣＭ＝ＣＥＥＤ，同理ＭＤＤＢ＝ｘＥ－ｘ１ｘ２－ｘＥ，ʑＡＣＣＭ＝ＥＣＥＤ＝ＤＭＤＢ，于是我们又得到了阿基米德三角形的性质３．性质３㊀若Ｅ为抛物线弧ＡＢ上的动点，抛物线在Ｅ点处的切线与әＭＡＢ的边ＭＡ，ＭＢ分别交于点Ｃ，Ｄ，则有ＡＣＣＭ＝ＥＣＥＤ＝ＤＭＤＢ．我们再记ＡＣＣＭ＝ＥＣＥＤ＝ＤＭＤＢ＝ｔ，记ＳәＭＣＥ＝Ｓ，则ＳәＡＣＥ＝ｔＳ．同理，ＳәＭＤＥ＝Ｓｔ，ＳәＢＤＥ＝Ｓｔ２，ＳәＭＡＢＳәＭＣＤ＝ＭＡＭＢＭＣＭＤ＝ｔ＋１１㊃ｔ＋１ｔ＝（ｔ＋１）２ｔ，于是ＳәＭＡＢ＝（ｔ＋１）２ｔＳәＭＣＤ＝（ｔ＋１）２ｔＳ＋Ｓｔ()＝（ｔ＋１）３ｔ２Ｓ，ʑＳәＥＡＢ＝ＳәＭＡＢ－ＳәＭＣＤ－ＳәＡＣＥ－ＳәＢＤＥ＝２（ｔ＋１）ｔＳ，ＳәＭＣＤ＝ｔ＋１ｔＳ，ʑλ＝ＳәＥＡＢＳәＭＣＤ＝２．此时我们又得到了一个推论．推论３㊀若Ｅ为抛物线弧ＡＢ上的动点，抛物线在Ｅ点处的切线与әＭＡＢ的边ＭＡ，ＭＢ分别交于点Ｃ，Ｄ，则有ＳәＥＡＢＳәＭＣＤ＝２．我们再假设Ｃ为ＭＡ的中点，ＣＥ为抛物线的切线，交ＭＢ于Ｄ，由性质３可知，｜ＣＥ｜＝｜ＥＤ｜，｜ＭＤ｜＝｜ＤＢ｜，设Ｑ为ＡＢ中点，很容易得到Ｍ，Ｅ，Ｑ三点共线，且｜ＭＥ｜＝｜ＱＥ｜，这里我们又得到了一个推论．推论４㊀在阿基米德三角形中，与底边ＡＢ平行的抛物线的切线恰是әＭＡＢ中位线所在直线，切点就是这条切线与底边上的中线的交点，反之亦然．由推论４，可知：ＳәＡＢＥ＝１２ＳәＡＢＭ，ＳәＡＣＥ＝ＳәＭＣＥ＝１２ＳәＡＭＥ＝１４ＳәＡＢＥ＝１８ＳәＡＢＭ，同理，ＳәＤＢＥ＝１８ＳәＡＢＭ．对阿基米德三角形әＡＥＣ和әＤＥＢ，分别作与底边平行的中位线，结果与上面一样，类似地，这样无限操作下去，抛物线和弦ＡＢ围成的图形面积就等于无限多个三角形面积之和，也就是说，其面积可以分割求和得到，即阿基米德本人最早利用逼近的思想．Ｓ＝ＳәＡＢＥ＋１２ＳәＡＣＥ＋１２ＳәＤＢＥ()＋ ＝１２ＳәＡＢＭ＋１２ˑ２ˑ１８ＳәＡＢＭ＋ ＝１２ＳәＡＢＭ１＋１４＋１４２＋ æèçöø÷＝１２ＳәＡＢＭ㊃１１－１４＝２３ＳәＡＢＭ．这样我们又得到了一个定理：阿基米德三角形定理．阿基米德三角形定理㊀抛物线和它的一条弦所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．阿基米德三角形背景深刻，内涵丰富，我们从一道高考题演绎了阿基米德三角形的性质及其定理．ʌ参考文献ɔ［１］方亚斌．千年古图蕴藏题库：阿基米德三角形演绎高考题［Ｊ］．中学教研（数学），２０１７（７）：３３－３９．［２］邵志明，陈克勤．高考试题中的阿基米德三角形［Ｊ］．数学通报，２００８（９）：３９－４６．［３］刘瑞美．对一道２０１１年高考圆锥曲线问题的探究［Ｊ］．数学通迅，２０１２（５）．. All Rights Reserved.。
2023届全国新高考数学精准冲刺复习阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三 角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明 了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的
面积等于阿基米德三角形面积的2/3．
B A
称这个三角形为阿基米德三角形
P
阿基米德三角形的性质
弦与 Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边
过定点．
证明：如上图，设 l 方程为 ax by c 0 ，且 l
A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由性
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
2|
≥
y1 y2
|
+
p 2p2
=
+
p
=
p，
4p 2 4p 2
而
S
QAB
1 2
|
QM
| ( y1
y2 )
≥| QM
|
| y1y2 | ≥ p2
阿基米德三角形的性质
a3
性质 8 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
抛物线的阿基米德三角形
抛物线中的阿基米德三角形典例：已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.结论1.若),(00y x P 为准线上任一一点，则直线AB 过抛物线的焦点F .结论2.过F 的直线与抛物线交于B A ,两点，以B A ,分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点),(00y x P 的轨迹即为抛物线的准线.若),(00y x P 为准线上任一一点，则有：结论3.直线AB 的方程为)(22000y y p y y p x x +=+=.结论4.AB PF ⊥.结论5.PB AP ⊥.结论6.直线AB 的中点为M ，则PF 平行于抛物线的对称轴.结论7.ABP ∆面积最小值为2p .1．已知抛物线C ：()220x py p =>，过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，若直线AB 经过抛物线C 的焦点，则抛物线C 的方程为（）A ．28x y =B ．24x y =C ．22x y =D ．2x y=2．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（）A B ．2C ．4D ．3．已知点1F 是抛物线2:2C x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，若点A 恰好在以12,F F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A 1-B ．1-C 1D ．24.已知点)1,23(-M ，直线l 过抛物线y x C 4:2=的焦点且交抛物线于B A ,两点，且AM 恰好与抛物线C 相切，那么线段AB 的中点坐标为_______.5.已知点)1,1(-M ，直线l 过抛物线x y C 4:2=的焦点且斜率为k 并交抛物线于B A ,两点，若90=∠AMB ，则=k _______.。
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阿基米德三角形性质与
高考题
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
阿基米德三角形性质与高考题
性质1
即：)2
,2(2
1
21y y p y y Q + 19．（07年江苏卷轴正方向上一点(0)C c ，A B ，两点．一条垂直于x :l y c =-交于点P Q ，．
（1）若2=⋅OB OA ，求c （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由．（4分）
19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分．
解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+， 将该方程代入2y x =得20x kx c --=． 令2
()A a a ，，2
()B b b ，，则ab c =-．
因为22
2
2OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．
（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫
-
⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222
AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设0()Q x c -，
． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQ
a c a a
b k a x a x +-==--，所以20
2a ab
a a x -=-，
得202ax a ab =+，因0a ≠，有02
a b
x +=． 故点P 的横坐标为
2
a b
+，即P 点是线段AB 的中点． 性质2：2||||||QF BF AF =⋅
例7．（13广东）已知抛物线C
20=的距离
为
2
.设P 为直线l 上的点,. (Ⅰ) 求抛物线C (Ⅱ) 当点()00,P x y (Ⅲ) 当点P 在直线l 性质3：QFB QFA ∠=∠
22．（05江西02=-y 上运动，过P 作抛物线C B 两点.
（1）求△APB 的重心G （2）证明∠PFA=∠22．解：（1）设切点A 、B ∴切线AP 的方程为：2x 切线BP 的方程为：21x 解得P 点的坐标为：101
0,2
x x y x x x P P =+=
所以△APB 的重心G 的坐标为 P P
G x x x x x =++=
3
10，
所以2
43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：
（2）因为).4
1,(),41,2(),41,(2
111010
200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP
∴||41)1)(1(||||cos 102
010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +
=--+⋅+==∠
同理有||41)1)(1(||||cos 102
110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +
=--+⋅+==
∠ ∴∠AFP=∠PFB.
性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p
（21）（06年全国卷
F ，A 、B 是热线上的两动点，且
(0).AF FB λλ=>过M 。
（I ）证明.FM AB （II ）设ABM ∆S 的最小值。