阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形及其性质
阿基米德三角形及其性质一、阿基米德三角形的概念过圆锥曲线上任意两点作两条切线交于点Q ，则称△QAB 为阿基米德三角形．二、抛物线的阿基米德三角形的性质：（以抛物线22y px =为例） 性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．证明：设112200(,),(,)(,)A x y B x y Q x y ，，弦AB 的中点为(,)M M M x y ， 则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+， 联立两切线方程，解得1212,22y y y y x y p +==，所以1202y y y +=， 又122M y y y +=，所以0M y y =，即QM 平行于x 轴． 性质2 底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p． 证明：Q 到AB 的距离为2121212()224x x y y y y d QM p p+-≤=-=，设AB 方程为x my n =+， 则23222221211(1)()()428a a AB a m y y y y a d S ad p p ==+-⇒-≤⇒≤⇒=≤． 性质3 若阿基米德三角形底边AB 过抛物线内定点00(,)C x y ，则顶点Q 的轨迹方程为00()y y p x x =+．证明：设(,)Q x y ，则由性质1有1212,22y y y y x y p +==， 由AB AC k k =10122221210222y y y y y y y x p p p--⇒=--，化简得1201202()y y px y y y +=+， 即0000222()px px yy yy p x x +=⇒=+为Q 点的轨迹方程．推论 若阿基米德三角形底边AB 过焦点，则Q 点的轨迹为准线，且QA QB ⊥．性质4 阿基米德三角形底边的中线QM 的中点P 在抛物线上，且O 处的切线与AB 平行．证明：由性质1得12121212,,,2222y y y y x x y y Q M p p ⎛⎫+++⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，QM 中点21212(),82y y y y P p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 显然P 在抛物线上，过P 的斜率为122AB p k y y =+，故P 处的切线与AB 平行．性质5 在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠．证明：作','AA BB 垂直于准线，垂足分别为','A B ，如图，对22y px =两边求导得12'2'QA p p yy p y k y y =⇒=⇒=， 又1'FA y k p-=，所以'1'QA FA k k QA FA ⋅=-⇒⊥，又'AA AF =，设'A F 与QA 交于C ， 则'''','ACA ACF QAA QAF QAA QAF QA QF QA A QFA ∆≅∆⇒∠=∠⇒∆≅∆⇒=∠=∠， 同理可证'''90''90'QA A QA B QB A QB B QFA QFB ∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质6 在阿基米德三角形中有2AF BF QF ⋅=．证明：222221212121212()()()()2224244y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p +⋅=++=+++=++， 2221212()()222y y y y p QF p p +=-+=22221212()244y y y y p p +++，所以2AF BF QF ⋅=． 三．阿基米德焦点三角形的性质把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形．性质1 AB 过焦点F ，则PA ⊥PB ，PF ⊥AB ，△PAB 面积的最小值为2p ．性质2 P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在椭圆右准线上，且PF ⊥AB ,△PAB 面积的最小值为4b ac． 性质3 P 是双曲线22221x y a b-=过右焦点F 的弦在两端点处切线的交点，则P 在双曲线右准线上，且PF⊥AB,△PAB面积的最小值为4bac．【拓展】当阿基米德三角形的顶角为直角时，有如下性质：对于圆222x y r+=，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y r+=对于椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=+；对于双曲线22221(0)x ya ba b-=>>，其阿基米德三角形顶点Q的轨迹为2222x y a b+=-．。
圆锥曲线中的三角形
第15讲圆锥曲线中的三角形高屋建瓴1.阿基米德三角形定义圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫作阿基米德三角形，这条弦叫作阿基米德三角形的底，两切线的交点叫作阿基米德三角形的顶点.特别地，我们把底边过焦点的阿基米德三角形称为阿基米德焦点三角形.阿基米德最早利用逼近的思想证明了:抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23.以抛物线22(0)x py p =>为例，如图151-所示，抛物线上两个不同的点A ，B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，以A ，B 为切点的切线PA ，PB 相交于点P ，我们称弦AB 为阿基米德PAB ∆的底边.2.阿基米德三角形性质性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴且点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.证明:如图15-2所示，设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为()11x x p y y =+，过B 的切线方程为()22x x p y y =+，联立方程组得，()()221121122222x x p y y x x p y y x py x py ⎧=+⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩，解得两切线交点1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知//PM y 轴.性质2:PM 的中点Q 在抛物线上，且Q 处的切线与AB 平行.【证明】:如图15-3，由性质1知，1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，易得Q 点的坐标为()21212,28x x x x p ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，此点显然在抛物线上.过Q 的切线的斜率为121222x x x x x k y p +=+='=，而221212121212222AB x x y y x x p p k x x x x p --+===--，结论得证.性质3:若阿基米德三角形的底边AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点P 的轨迹一条直线.【证明】如图154-，设(),P x y ，()00,C x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由性质1，122x x x +=，122x x y p =，所以122x x x +=，122x x py =.由A ，B ，C 点共线知2222211011222x x x y p p px x x x --=--，即()0121202x x x x x py +=+，将122x x x +=，122x x py =代入得()00x x p y y =+，即为P 点的轨迹方程.推论:若阿基米德三角形的底边(即弦)AB 过抛物线内一定点()0,(0)C m m >，那么:①另一顶点P 的轨迹方程为y m =-；②2AP BP mk k p⋅=-(定值).性质4:抛物线以C 点为中点的弦平行于P 点的轨迹.证明:如图15-5，设(),P x y ，()00,C x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由性质3得P 点轨迹方程为()00x x p y y =+，它的斜率为0x p .由2112222,2,x py x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩两式相减得()2212122x x p y y -=-，即1212122x x y y p x x +-=-，有0AB x k p =.因此该弦与P 点的轨迹直线l 平行.性质5:若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上点为顶点的阿基米德三角形底边过定点.【证明】:如图15-5，设l 的方程为0ax by c ++=，且()11,A x y ，()22,B x y ，弦AB 过点()00,C x y ，由性质3可知P 点的轨迹方程()00x x p y y =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照000x x y y p -++=，0a cx y b b++=可得0ap x b =-，0c y b =，即弦AB 过定点,ap c C b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.性质6:底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p.【证明】:如图15-6所示，AB a =，设P 到AB 的距离为d ，由性质1知()2221212121212222444x x y y x x x x x x d PM p p p p-++=-=-= .设直线AB 方程为y mx n =+，则21a x =-=，所以()2221x x a - ，24a d p ，即3128a S ad p= .推论:PAB ∆的面积3128PABx x S p∆-=.【证明】:因为1212,22x x x x P p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()222121212121222424x x y y x x x x x x PM p p p p -++=-=-=，所以31212128PAB x x S PM x x p∆-=-=.性质7:(1)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点P 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点P 在准线上，则底边过焦点.（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p .【证明】:(2)若底边过焦点，则00x =，02p y =，点P 的轨迹方程为2py =-，即为准线，易验证1PA PB k k ⋅=-，即PA PB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且P 为直角顶点，所以221212224y y x x p PM p ++=+=+2122224242x x p p p p p p p +=+= .而()212121122PAB S PM x x PM x x PM p ∆=-=+- .特别地，若阿基米德三角形的弦AB 过抛物线的焦点，那么:①另一顶点P 的轨迹为准线2py =-；②PA PB ⊥；③PF AB ⊥；④PAB ∆的面积的最小值为2p .性质8:在阿基米德三角形ABP 中，若F 为抛物线的焦点，则2||PF AF BF =⋅.【证明】:()21212122224p p p p AF BF y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭22221212244x x x x p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，222222212121212||222244x x x x x x x x p p PF p p ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫=+-=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2||PF AF BF =⋅.参考答案解析试题再现1.【解析】（1）设1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，则2112x y =，由于y x '=，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t +=-，整理得112210tx y -+=.设()22,B x y ，同理可得222210tx y -+=.故直线AB 的方程为2210tx y -+=，所以直线AB 过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由21,2,2y tx x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪=⎩+=.可得2210x tx --=.于是122,x x t +=()21212121y y t x x t +=++=+，121x x =-，因此()212||21AB x t =-==+.设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积21||(32S AB t =+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥ ，而()2,2EM t t =- ，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或评注：第（1）问的背景就是阿基米德三角形性质5的应用，设01,2D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则AB 的方程可写为：012x x y =-，所以必过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.2.【解析】（1）由题意设211,2x A x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x <，)0(,2M x p -.由22x py =得22x y p =，则x y p '=，所以1MA x k p =，2MB x k p =.因此直线MA 的方程为()102x y p x x p +=-，直线MB 的方程为()202xy p x x p +=-.所以()2111022x x p x x p p +=-①，()0222222x p x x px +=-)②，由①②得121202x x x x x -=+-，因此1202x x x +=，即0122x x x =+，所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列.（2）由（1）知，当02x =时，将其代入①②并整理得2211440x x p --=，2222440x x p --=，所以1x ，2x 是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又，222112210222AB x x x x p p k x px x P -+===-所以2AB k p =由弦长公式得|AB ==又||AB =，所以1p =或2p =，因此所求抛物线方程为22x y =或24x y=（3）设()33,D x y ，由题意得()1212,C x x y y ++，则CD 的中点坐标为123123,22x x x x x x Q ++++⎛⎫⎝⎭，由阿基米德三角形性质可知直线AB 的方程为0(2)x x p y p =-，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上，代入得033x y x p =.若()33,D x y 在抛物线上，则2330322x py x x ==，因此30x =或302x x =，即(0,0)D 或20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.①当00x =时，12020x x x +==，此时，点(0,2)M p -适合题意.②当00x ≠时，对于(0,0)D ，此时221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2212221200224CDx x x x pk x px ++==，又0AB x k p =，AB CD ⊥，所以22012214AB CD x x x k k p p +⋅=⋅=-，即222124x x p +=-，矛盾.对于20022,x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为221202,2x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时直线CD 平行于y 轴，又00ABx k p =≠，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾.所以当00x ≠时，不存在符合题意的M 点.综上所述，仅存在一点(0,2)M p -适合题意.评注:第（1）问背景就是阿基米德三角形性质1的应用.3.【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =(负值舍去)，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=.所以抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即2111122x y x y x =+-.因为21114y x =，所以1112x y x y =-.因为点()00,P x y 在切线1l 上，所以10012x y x y =-①.同理，20022xy x y =-②.综合①②得，点()11,A x y ，()22,B x y 的坐标都满足方程002xy x y =-.因为经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线是唯一的，所以直线AB 的方程为002xy x y =-，即02x x y --020y =.（3）由抛物线的定义可知1||1AF y =+，2||1BF y =+，所以()()121212||||111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立2004,220,x y x x y y ⎧⎪⎨⎪=-=⎩-.消去x 得()22200020y y x y y +-+=，所以212002y y x y +=-，2120y y y =.因为0020x y --=，所以()222222000000019||||21221225222AF BF y y x y y y y y y ⎛⎫⋅=-++=-+++=++=++⎪⎝⎭因此当012y =-时，||||AF BF ⋅取得最小值92.评注：第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质5的应用，因为()00,P x y 为直线l 上的定点，所以AB 的方程为()002x x y y =+.4.【解析】（1）因为抛物线21:4C x y =上任意一点(,)x y 的切线斜率为2x y '=，且切线MA 的斜率为12-，所以A 点坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线MA 的方程为11(1)24y x =-++.因为点()01M y -在切线MA 及抛物线2C 上，于是0113(2244y -=-+=-①，20(12)32222y p p-=-=-②.由①②得2p =.（2）设(,)N x y ，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12x x ≠.由N 为线段AB 中点知122x x x +=③，22128x x y +=④，切线MA ，MB 的方程为()211124x x y x x =-+⑤，()222224x x y x x =-+⑥.由⑤⑥得MA ，MB 的交点()00,M x y 的坐标为1202x x x +=，1204x x y =.因为点()00,M x y 在2C 上，即2004x y =-，所以2212126x x x x +=-⑦.由③④⑦得243x y =，0x ≠，当12x x =时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足243x y =，因此AB 中点N 的轨迹方程为243x y =.练习巩固1.【解析】（1）设过点C 的直线方程为y kx c =+，所以2(0)x kx c c =+>，即20x kx c --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12x x k +=，12x x c =-，()11,OA x y = ，()22,OB x y = .因为2OA OB ⋅=，所以12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，)22121212(2x x k x x kc x x c ++++=，所以222c k c kc k c --+⋅+=，即220c c --=，解得2c =(舍去1c =-).（2）设过A 的切线为()111y y k x x -=-，2y x '=，所以112k x =，即2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为11,22x c M c x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,2k Q c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，为12x x c =-，所以21c x x -=.则12,,222x x k M c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点M 和点Q 重合，因此QA 为此抛物线的切线.（3）（2）的逆命题成立，因为若QA 为此抛物线的切线，则其方程为()21112y x x x x -=-，2112y x x x =-，与y c =-联立，可得点Q 横坐标为2211121211222x c x x x x x x x x -++===.由于PQ 与x 轴垂直，故点P 的横坐标也是为122x x +，即P 为线段AB 的中点.评注：第（2）问的背景就是设过点A ，B 的切线交于点M ，则ABM △为阿基米德三角形，由性质1可知点M的横坐标为122x x +，又弦AB 过定点(0,)C c ，点M 在直线y c =-上，故点M 的坐标为12,2x x c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点M 与点Q 重合，即QA 为此抛物线的切线.2.【解析】（1）设点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为1l ，2l 分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线，所以直线1l 的斜率111x x x k y p ='==，直线2l 的斜率222x x xk y p='==.因为12l l ⊥，所以121k k =-，得212x x p =-（1）.因为A ，B 是抛物线C 上的点，所以2112x y p =，2222x y p =，故直线1l 的方程为()21112x x y x x p p-=-，直线2l 的方程为()22222x x y x x p p -=-.由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎪-=⎧⎪⎪⎨=--⎪⎩-.计算得出12,2,2x x x p y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩=-.所以点D 的纵坐标为2p -.（2）因为F 为抛物线C 的焦点，所以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AF 的斜率为21221111122202AF x p p y x p p k x x px ---===-，直线BF 的斜率为22222222222202BF x p p y x p p k x x px ---===-.因为()()222222222112121212222AF BF x x p x x p x p x p k k px px px x ------=-=()()()()22212121212121212022x x x x p x x p x x p x x px x px x -+---+-===所以AF BF k k =，即A ，B ，F ，（3）不存在，证明如下.假设存在与题意相符的圆，设该圆的圆心为M ，根据题意得MA AD ⊥，MB BD ⊥，且||||MA MB =，由12l l ⊥，得AD BD ⊥，所以四边形MADB 是正方形，有||AD BD =.因为点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以12p -=-，得2p =，把点3,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l ，得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭，解得(4,4)或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可求得点B 的坐标为(4,4)或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为A ，B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(4,4)B ，则||AD =||BD =可得||||AD BD ≠，这与||||AD BD =矛盾，所以经过A ，B 两点且与1l ，2l 都相切的圆不存在.3.【解析】（1）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)N 为焦点，:2l y =-为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹是28x y =.（2）由已知(0,2)N ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由AN = NB λ，得()()1122,2,2x y x y λ--=-，故()1212 22 x x y y λλ⎧⎪⎨⎪--=-⎩=①②，将①式两边平方并把2118x y =，2228x y =代入得212y y λ=③，解②③式得12y λ=，22y λ=，且有21222816x x x y λλ=-=-=-，抛物线方程为218y x =，求导得14y x '=，所以过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是()11114y x x x y =-+，()22214y x x x y =-+，即2111148y x x x =-，2221148y x x x =-，解出两条切线的交点Q 的坐标为121212,,2282x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()()22221221212121111,4,402288x x NQ AB x x y y x x x x +⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此NQ AB ⋅ 为定值，其值为0.评注:第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质7的（2）的应用.4.【解析】（1）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ，由已知条件，(0,1)F ，所以1b =，32c a =，222a b c =+，解得2a =，1b =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意，故可设直线l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≠，与抛物线方程联立，消去y ，并整理得2440x kx --=，所以124x x =-.因为抛物线的方程为214y x =，求导得12y x '=，所以过抛物线上A ，B 两点的切线方程分别是()11112y y x x x -=-，222)1(2y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，2221124y x x x =-，解得两条切线的交点M 的坐标为12,12x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭.()2221212121,,4x x AB x x y y x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，21,22x x MF +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22222121022x x x x AB MF --⋅=-+= ，0AB MF ⋅= ，所以AB MF⊥（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1y =-上，又直线1y =-与椭圆有唯一交点，故M '的坐标为(0,1)-.设过点M '且与抛物线C 相切的直线方程为()00012y y x x x -=-，其中点()00,x y 为切点，令0x =，1y =-，得()2000111042x x x --=-，解得02x =或02x =-，故不妨取(2,1)A '-，(2,1)B '，即直线A B ''过点F .综上所述，椭圆E 上存在一点(0,1)M '-，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''，M B ''(A '，B '为切点)，能使直线A B ''过点F ，此时，两切线的方程分别为1y x =--和1y x =-.评注:第（2）问的背景就是阿基米德三角形性质7的（2）的应用.。
抛物线阿基米德三角形二级结论推广
抛物线阿基米德三角形问题是一个数学领域的经典问题，在本文中，我们将结合相关数学理论和实际运用进行深入探讨、分析及推广。
一、抛物线阿基米德三角形概念及原理抛物线阿基米德三角形是通过将一个抛物线分成若干小等分，然后将每个小等分的顶点与该小等分所在的位置上的斜率相连，将所有这些相连的线段所形成的图形，称为抛物线的阿基米德三角形。
该问题的提出是为了研究曲线上的直线与曲线的交点及其有关性质。
二、抛物线阿基米德三角形的基本性质及特点1. 抛物线的阿基米德三角形具有三条相交于一个点的特点，该点即为抛物线的焦点。
2. 抛物线的阿基米德三角形形状具有一定的规律性，不同抛物线的阿基米德三角形形状可能有所不同，但都具备三条相交于一个点的共同特点。
3. 抛物线的阿基米德三角形结构清晰简洁，可以通过数学方法进行精确的构造。
三、抛物线阿基米德三角形的实际应用1. 数学教育领域：抛物线阿基米德三角形可以作为数学教学中的经典案例，通过该案例的讲解和分析，可以帮助学生更深入地理解曲线与直线的交点问题，增强他们的数学思维和分析能力。
2. 工程设计领域：在工程设计中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以应用于某些特定的曲线结构问题的求解和设计，为工程设计师提供一种新的思路和方法。
3. 计算机图形学领域：在计算机图形学中，抛物线阿基米德三角形的相关理论可以帮助程序设计师更好地理解和处理曲线与直线的交点问题，提高程序设计的精确度和效率。
四、抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广1. 根据抛物线阿基米德三角形的相关理论，可以进行进一步的推广和拓展，将抛物线阿基米德三角形的概念和原理应用于更加复杂和多样化的曲线和图形结构中，发现新的数学规律和特点。
2. 抛物线阿基米德三角形问题的二级结论推广可以帮助人们更深入地理解曲线与直线的交点问题，并在实际问题的解决中更加灵活地运用相关数学理论和方法。
五、结语通过对抛物线阿基米德三角形问题的深入探讨、分析及推广，我们可以更好地理解曲线与直线的交点问题，并将相关数学理论和方法应用于实际问题的解决中，为促进数学理论和实际应用的结合做出更大的贡献。
阿基米德三角形性质与高考题
阿基米德三角形性质与高考题性质1即：)2,2(2121y y p y y Q +19．（07年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2=⋅，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由．（4分）19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分． 解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=． 故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点．性质2：2||||||QF BF AF =⋅例7．（13广东）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.性质3：QFB QFA ∠=∠22．（05江西）如图，设抛物线上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.22．解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p（21）（06年全国卷2）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是热线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
专题一 阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST 的垂心在上。
性质9 |AF |·|BF |=|QF |2.性质10 QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的 倍。
例1 （2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:C yx 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA =∠PFB .解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2201110(,)(,)(()x x x x x x 和，∴切线AP 的方程为：20020;x x y x 切线BP 的方程为：21120;x x yx解得P 点的坐标为：0101,2PPx x x y x x所以△APB 的重心G 的坐标为 ，222201010101014(),3333P pPGx y y y y x x x x x x x x y所以234p GG y y x ，由点P在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyx yx x 即（2）方法1：因为221000111111(,),(,),(,).4244x x FAx x FP x x FB x x 由于P 点在抛物线外，则||0.FP∴201010012220111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FA AFPFP FA FP FP x x同理有20110110122211111()()2444cos ,1||||||||()4x x x x x x x x FP FB BFPFP FB FP FP x x∴∠AFP =∠PFB . 方法2：①当1010000,,0,0,x x x x x y 时由于不妨设则所以P 点坐标为1(,0)2x ，则P 点到直线AF 的距离为：211111||14;:,24x x dBF yx x 而直线的方程即211111()0.44x x x yx所以P 点到直线BF 的距离为：221111112222211||11|()|()||42442121()()44x x x x x x d x x x所以d 1=d 2，即得∠AFP =∠PFB . ②当100x x 时，直线AF 的方程：2020011114(0),()0,4044x yx x x x yx x 即直线BF 的方程：212111111114(0),()0,444x yx x x x yx x 即所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001122220111|()()||)()||42424121()44x x x x x x x x x x x d xx x ，同理可得到P 点到直线BF 的距离102||2x x d ，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP =∠PFB例2 (2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （Ⅰ）证明FM →·AB →为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． 解：(Ⅰ)由已知条件，得F (0，1)，λ＞0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由AF →＝λFB →， 即得 (－x 1，1－y )＝λ(x 2，y 2－1)，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2y 2 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ． 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)． ……4分 所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0 所以FM →·AB →为定值，其值为0． ……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB ||FM |．|FM |＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4 ＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以 |AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是 S ＝12|AB ||FM |＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2yx 相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c 交于,P Q ，（1）若2OA OB，求c 的值；（5分） （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立说明理由。
抛物线阿基米德三角形结论证明
抛物线阿基米德三角形结论证明1. 概述抛物线作为古代数学中的重要研究对象，其性质和结论一直以来都备受学者们的关注。
其中，抛物线上的阿基米德三角形结论一直是一个备受研究的课题。
本文旨在对抛物线上的阿基米德三角形结论进行证明，并探讨其中的数学内涵。
2. 抛物线的性质2.1 抛物线的定义抛物线是平面上的一种曲线，其定义可以与焦点和直线上一点的距离比例为常数通联起来。
一般来说，抛物线是指平面上一点到定直线和定点的距离比例为常数的轨迹。
2.2 抛物线的方程一般情况下，抛物线可以用一般二次方程的形式表示为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
3. 阿基米德三角形的性质3.1 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是指一个锐角三角形，其三边长度成等比数列。
3.2 抛物线上的阿基米德三角形研究发现，在抛物线上，可以构建多个满足阿基米德三角形定义的三角形。
4. 抛物线上的阿基米德三角形结论证明4.1 抛物线的焦点性质我们需要利用抛物线的定义和性质证明其焦点的特殊性质。
根据抛物线的定义和焦点的几何性质，我们可以得出抛物线上的任意一点到焦点的距离和到定直线的距离之比是一个定值。
4.2 阿基米德三角形在抛物线上的构造进而，我们可以利用抛物线的焦点性质，构造出满足阿基米德三角形定义的三角形。
具体来说，我们可以选择抛物线上的三个或多个点，然后利用这些点到焦点和定直线的距离比例的性质，构造出符合阿基米德三角形定义的三角形。
4.3 阿基米德三角形的等比性质我们需要证明抛物线上构造出的三角形是等比数列。
在这一步中，我们需要运用一些几何和代数方法，通过计算抛物线上构造出的三角形的边长，并证明其边长满足等比数列的条件。
5. 结论通过以上的证明和分析，我们可以得出抛物线上的阿基米德三角形确实存在，并且构造出的三角形满足阿基米德三角形的定义和等比性质。
这一结论不仅对于抛物线的研究具有重要意义，同时也有助于深化对阿基米德三角形的理解，为数学研究提供了新的思路和方法。
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB ∆即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一） 图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】：如图（三）SM 是SAB ∆中AB 边上的中线，则SM 平行于x 轴（下面的性质1证明会证到），过M '作抛物线的切线，分别交SA 、SB 于,A B ''，则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形，可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线，且A C '平行于x 轴，可得点A '是SA 的中点，同理B '是SB 的中点，故M '是SM 的中点，则SA B S ''∆是M AB S '∆的12，由此可知：A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12，B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q +【性质2】：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线；【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，00(,)C x y 为抛物线内的定点，弦AB 的过定点C ，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，则设另一顶点(),Q x y ''，满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+，故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ，故00()y y p x x ''=+，即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .【性质3】：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹；【证明】：由【性质2】的证明可知：点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB 的中点，故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+；而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，由【性质1】的证明可知：122y y y +'=，122y yx p'=，故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，斜率122pk y y =+，又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合，故可知两者平行. 【性质4】：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线l 方程为：0ax by c ++=，则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫− ⎪⎝⎭；【证明】：任取直线l ：0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ，则有000ax by c ++=，即00a cy x b b=−−┅①，过点Q 作抛物线22y px =的两条切线，切点分别为,A B ，则又由【性质2】的证明可知：弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+，把①式代入可得：()00a c x y p x x b b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，即0a c y p x px yb b ⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭，令0a y p b −−=且 0c px y b +=，可得：弦AB 所在的直线过定点,c bp C a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭.【性质5】：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83；【证明】：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知：22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++−≤=−=−=（直角边与斜边），设直线AB 的方程为 x my n =+，则2221(1)()a m y y =+−，所以2322121()428a a y y a d s ad p p−≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p ；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点的轨迹方程是2px =−，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=−，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。
抛物线——阿基米德三角形
解析几何——阿基米德三角形知识点：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形。
因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的2/3预备知识：1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=阿基米德三角形有一些有趣的性质：性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为22()y y p x x =+，联立方程组得1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点Q (122y y p ，122y y +)，进而可知QM ∥x 轴.性质2：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行．证明：由性质1知Q (122y y p ，122y y +)，M 1212(,22x x y y ++，易得P 点坐标为21212()(,82y y y y p ++，此点显然在抛物线上；过P 的切线的斜率为121222p p y y y y =++=ABk ，结论得证．性质3如图，连接AI 、BI ，则△ABI 的面积是△QST 面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB 、△TBI 、△SAI ；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设BI 与抛物线所围面积为1S ，AI 与抛物线所围面积为2S ，AB 与抛物线所围面积为S ，则123322ABI QAB QST S S S S S =--- =12333222QST S S S S --- =123()2QST S S S S --- =32ABI QST S S - ，∴ABI S = 2QST S ．性质4：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线证明：设Q (x ，y )，由性质1，x =122y y p ，y =122y y +，∴122y y px=由A 、B 、C 三点共线知10122221210222y y y y y y y x p p p--=--，即21121020y y y y x y x +--2102y py =-，将y =122y y +，122y y px =代入得00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程.性质5：抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．利用两式相减法易求得以C 点为中点的弦的斜率为0p y ，因此该弦与Q 点的轨迹即直线l 平行．性质6若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设l 方程为0ax by c ++=，且11(,)A x y ，22(,)B x y ，弦AB 过点C 00(,)x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一条直线，对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点C （c a ，bp a-）.性质7（1）若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q 在准线上，则底边过焦点．（2）若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为2p ．证明（2）：若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点轨迹方程为2p x =-即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA ⊥QB ，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点；∴|QM |=122x x ++2p =22124y y p++2p ≥122||4y y p +2p =224p p +2p =p ，而121||()2QAB S QM y y =- ≥12||||QM y y ⋅≥2p性质8底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．证明：|AB |=a ，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知1212||22x x y y d QM p +≤=-221212244y y y y p p +=-=212()4y y p-，设直线AB 方程为：x my n =+，则2221(1)()a m y y =+-∴221()y y -≤2a ，∴d ≤24a p ，即S =12ad ≤38a p.性质9在阿基米德三角形中，∠QFA =∠QFB ．证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接QA '、QB '、QF 、AF 、BF ，则1'FA y k p=-，显然'1FA QA k k ⋅=-，∴FA '⊥QA ，又∵|AA '|=|AF |，由三角形全等可得∠QAA '=∠QAF ，∴△QAA '≅△QAF ，∴|QA '|=|QF |，∠QA 'A =∠QFA ，同理可证|QB '|=|QF |，∠QB 'B =∠QFB ，∴|QA '|=|QB '|，即∠QA 'B '=∠QB 'A '∴∠QA 'A =∠QA 'B '+900=∠QB 'A '+900=∠QB 'B ,∴∠QFA =∠QFB ，结论得证．特别地，若阿基米德三角形的底边AB 过焦点F ，则QF ⊥AB.性质10|AF |·|BF |=|QF |2．证明：|AF |·|BF |=12(()22p p x x +⋅+=21212()24p p x x x x +++=212(2y y p +22124y y ++24p ，而|QF |2=221212()()222y y y y p p +-+=212()2y y p +22124y y ++24p =|AF |性质11在抛物线上任取一点I （不与A 、B 重合），过I 作抛物线切线交QA 、QB 于S 、T ，则△QST 的垂心在准线上．证明：设211(2,2)A pt pt 、222(2,2)B pt pt 、233(2,2)I pt pt ，易求得过B 、I 的切线交点T 2323(2,())pt t p t t +，过T 向QA 引垂线，其方程为1231232()4t x y p t t pt t t +=++，它和抛物线准线的交点纵坐标123123()4y p t t t pt t t =+++，显然这个纵坐标是关于123,,t t t 对称的，因此从S 点向QB 引垂线，从Q 点向ST 引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证．例1：（2019年台州高三期末21）设点P 为抛物线2:y x Γ=外一点，过点P 作抛物线Γ的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ．（Ⅰ）若点P 为(1,0)-，求直线AB 的方程；（Ⅱ）若点P 为圆22(2)1x y ++=上的点，记两切线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求1211||k k -的取值范围．解：（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-.由121,,x m y y x =-⎧⎨=⎩可得2110y m y -+=.因为PA 与抛物线相切，所以21=40m ∆-=，取12m =，则1A y =，1A x =.即(1,1)A .同理可得(1,1)B -.所以AB ：1x =.（Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，直线PB 方程为2200y k x k x y =-+.由11002,,y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩可得211000k y y k x y --+=.因为直线PA 与抛物线相切，所以1100=14()k k x y ∆--+20101=441=0x k y k -+.同理可得20202441=0x k y k -+,所以1k ，2k 时方程200441=0x k y k -+的两根.所以0120y k k x +=，12014k k x =.则12k k -==.又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-，所以1211||=k k -1212=k k k k-4,⎡∈⎣.P A B Oxy例2：已知点H (0,-8),点P 在x 轴上,动点F 满足PF ⊥PH ,且PF 与y 轴交于点Q ,Q 是线段PF 的中点.(1)求动点F 的轨迹E 的方程;(2)点D 是直线l :x-y-2=0上任意一点,过点D 作E 的两条切线,切点分别为A ,B ,证明:直线AB 过定点.解:(1)设F (x ,y ),y ≠0,P (m ,0),Q (0,n ),则 =(-m ,-8), =(-m ,n ),∵PF ⊥PH ,∴m 2-8n=0,即m 2=8n ,=0, ,∴ =− , = 2,代入m 2=8n ,得x 2=4y (y ≠0).故轨迹E 的方程为x 2=4y (y ≠0).(2)证明:设D (x 0,x 0-2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵直线DA 与抛物线相切,且y'= 2,∴k DA = 12,∴直线DA 的方程为y= 12x-y 1,∵点D 在DA 上,∴x 0-2= 12x 0-y 1,化简得x 0x 1-2y 1-2x 0+4=0.同理,可得B 点的坐标满足x 0x 2-2y 2-2x 0+4=0.故直线AB 的方程为x 0x-2y-2x 0+4=0,即x 0(x-2)-2(y-2)=0,∴直线AB 过定点(2,2).练习1.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM 与BM 相交于点M，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D、E，求△QDE 的面积S 的最小值．练习2．如图，点F 是抛物线τ：22x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且()2,0AF = ，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 斜率分别为1k ，2k ．（1）求抛物线τ的方程；（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ，C 处切线的交点，记BCD ∆的面积为S ，证明S 为定值．欢迎扫码关注公众号“数学HOME”，获取本文（包括练习详解）及更多资料的WORD版。
导数阿基米德三角形
导数阿基米德三角形阿基米德三角形（Archimedes' Triangle）与导数的关系可以从几何和物理两个角度进行深入探讨。
首先，从纯几何的角度来看，阿基米德三角形是一个与抛物线及其准线紧密相关的三角形。
假设我们有一个开口向上的抛物线，其方程为 y = ax² + bx + c（a > 0），其准线为y = -p（p 是一个常数）。
现在，如果我们在抛物线上取任意一点 A，并从这个点作垂线到准线，交准线于点 B，再从点 A 作水平线交准线于点 C，那么形成的三角形 ABC 就是阿基米德三角形。
这个三角形有一个有趣的性质：其面积等于点 A 到抛物线焦点的距离与点 A 到准线距离的乘积的一半。
即，面积 S = (AF × AB) / 2，其中 AF 是点 A 到抛物线焦点的距离，AB 是点 A 到准线的距离。
接下来，我们引入导数的概念。
在微积分中，导数描述了一个函数在某一点处的斜率。
对于抛物线 y = ax² + bx + c，其导数 y' = 2ax + b 描述了函数在任何点处的切线斜率。
现在，让我们回到阿基米德三角形。
如果我们考虑抛物线上一个微小的变化量Δx，那么对应的Δy 就是函数在这个变化量下的增量。
而Δy / Δx 就是这个微小变化下的平均斜率，当Δx 趋近于 0 时，这个平均斜率就变成了函数在该点的导数。
因此，我们可以说，阿基米德三角形的面积变化与抛物线的导数有着密切的关系。
当我们在抛物线上移动时，随着Δx 的变化，阿基米德三角形的面积也会发生变化，而这个变化率就是抛物线的导数。
从物理的角度来看，阿基米德三角形和导数的关系还可以通过抛体运动来体现。
假设我们有一个物体从一个点被抛出，其运动轨迹是一个抛物线。
那么，这个物体在任意时刻的速度、加速度等物理量都可以通过抛物线的导数来描述。
而物体在任意时刻的位置与抛出点的距离，以及这个距离随时间的变化率，都与阿基米德三角形的面积和面积的变化率有关。
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质 4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在上。
性质9 |AF|·|BF|=|QF|2.
性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明导言：阿基米德三角形是指在一个等边三角形内分别连接三个顶点到相对边的中点，形成的小三角形和原大三角形的比例。
这个特殊的几何形态在数学和物理学中有许多重要的应用，因此我们有必要深入研究它的性质和结论。
本文将通过多个结论的简单证明，来展示阿基米德三角形在实践中的重要性和丰富的数学内涵。
一、阿基米德三角形的定义及性质阿基米德三角形是在一个等边三角形的内部，连接三个顶点到相对边的中点，得到的三个边长相等的小三角形。
它是以古希腊数学家阿基米德的名字命名，是一种特殊的三角形形态。
阿基米德三角形有许多重要的性质，其中最重要的包括：1）它是一个等边三角形；2）它内部的三个小三角形形成的比例是1：2。
二、阿基米德三角形的常用结论1、三个小三角形的面积比例阿基米德三角形内部的三个小三角形的面积比例是1：2。
证明：设等边三角形的边长为a，那么每个小三角形的底边长为a/2，高为a乘以sin(60°)，即a*√3/2。
设三角形的底边为a，那么三个小三角形的面积可以表示为：S1 = 1/2 * (a/2) * (a*√3/2) = a^2√3/8S2 = S1 = a^2√3/8S3 = S1 = a^2√3/8所以三个小三角形的面积比例是1：1：1，即1：2：1。
2、外接圆半径与等边三角形边长的比阿基米德三角形内切于一个圆，该圆即等边三角形的外接圆。
它的半径r与等边三角形的边长a之间的比例是，r = a/√3。
证明：由于外接圆于三角形的三个顶点相切，所以三角形的高等于外接圆的半径。
因此阿基米德三角形中小三角形的高也等于外接圆的半径。
在三角形中，高等于底边长度乘以sin(60°)，即a*√3/2。
所以外接圆的半径r等于a*√3/2，即r = a/√3。
三、阿基米德三角形的应用阿基米德三角形在实际中有许多重要的应用。
其中包括：1、物体的密度计算在物理学中，我们可以利用阿基米德三角形的性质来计算物体的密度。
阿基米德三角形
.
阿基米德三角形名称的由来
抛物线的弦与过弦的端点的两条切 线所围的三角形，这个三角形又常被称 为阿基米德三角形，因为阿基米德最早 利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与 抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿 基米德三角形面积的2/3．
B A
P
.
引理
引理1：AB与CD是抛物线的两条平行弦，且AB=2CD， AB、CD的中点分别是M、N。P为抛物线的AB弧（含抛 物线顶点的部分）上一点，且P与AB的距离最远。求证： P、N、M三点共线，且PM=4PN。
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐
2
2
标为 ( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点
8p
2
显然在抛物线上；过 P 的切线的
斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，
2
结论得证．
.
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个 阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、 △SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积
| 1 t 8
(x02 4t)2 (t 1)2 x02
，
又S
QAB
1 4 (1 2
x02 ) 4
4 x02 2
S
于是
QAB
4
(x02 4)[x02 (t 1)2 ]
S PDE 1 t
(x02 4t)2
4 x04 [4 (t 1)2 ]x02 4(t 1)2
1t
x04 8tx02 16t 2
抛物线阿基米德三角形常用结论
【题目】探索抛物线阿基米德三角形常用结论一、引言抛物线阿基米德三角形是数学中一个经典且重要的概念，其常用结论在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨抛物线阿基米德三角形的常用结论，旨在帮助读者更深入地理解这一概念。
二、抛物线阿基米德三角形的定义和性质回顾抛物线阿基米德三角形是由一条抛物线和两条其切线所构成的三角形。
其性质包括边长关系、角度关系、面积计算等内容。
在具体的问题中，我们经常会用到抛物线阿基米德三角形的各种性质来解决实际问题。
三、抛物线阿基米德三角形的常用结论1. **关于边长的结论**针对抛物线阿基米德三角形，我们可以得出与边长相关的重要结论，例如三边关系、高度计算公式等。
这些结论在解题过程中起到至关重要的作用。
2. **关于角度的结论**抛物线阿基米德三角形中角度的关系也是我们经常需要用到的，例如两个对应角相等的性质等。
这些结论在解题过程中能够帮助我们更加深入地理解问题的本质。
3. **关于面积的结论**面积是解决问题中不可或缺的要素，抛物线阿基米德三角形的面积计算公式以及相关的性质是我们解题过程中的利器，通过这些结论我们可以更加方便地求解各种问题。
四、个人观点和理解抛物线阿基米德三角形的常用结论在数学和物理学中具有重要的地位，它们不仅能够帮助我们解决具体问题，还能够拓展我们的数学思维和逻辑推理能力。
在实际解题过程中，对于这些常用结论的灵活运用往往能够事半功倍。
五、总结通过本文的全面探讨，相信读者对抛物线阿基米德三角形的常用结论有了更深入的理解和认识。
在今后的学习和应用中，希望读者能够灵活运用这些结论，不断拓展自己的数学视野。
【结语】抛物线阿基米德三角形的常用结论是数学学习中的重要内容，希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
也希望读者在学习过程中保持好奇心和求知欲，不断探索数学的奥秘。
以上是根据你提供的内容、主题或概念撰写的文章，希望能够满足你的需求。
如果需要进一步修改或添加其他内容，请随时告诉我。
阿基米德三角形及其性质
1
1
2
2
3
3
易求得过 B、I 的切线交点 T (2 pt t , p(t t )) ，
23
2
3
过 T 向 QA 引垂线，其方程为
2t x y p(t t ) 4 pt t t ，
1
2
3
123
它和抛物线准线的交点纵坐标
y p(t t t ) 4 pt t t ，
123
123
显然这个纵坐标是关于 t , t , t 对称的，因此从 S 点向 Q 123
2p
2
M ( x1 x2 , y1 y2 ) ，易得 P 点坐标为
2
2
( ( y1 y2 )2 , y1 y2 ) ，此点显然在抛
8p
2
物线上；过 P 的切线的斜率为
p y1 y2
2p y1 y2
= kAB ，结论得证．
2
阿基米德三角形的性质
性质 3 如图，连接 AI、BI，则△ABI 的面积是△QST 面积的 2 倍． 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即△QAB、△TBI、△SAI； 应用阿基米德三角形的性质：
t－ 2＝8t， 2＝16t2，
B
A
OQ
E
D
F
P
解得 t＝－1，此时SS△△QPDAEB＝2， 故存在 t＝－1，使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.
阿基米德三角形的性质
性质 4 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点
Q 的轨迹为一条直线．
证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x= y1 y2 ，y= y1 y2 ，
F
（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. A
阿基米德三角形
高考解析几何热点——阿基米德三角形阿基米德三角形 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形.一条弦与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线交于Q 点，△ABQ 即为阿基米德三角形.证明以下性质所需要的结论：抛物线的切线与切点弦抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=； 抛物线)0(22>=p px y 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为 )(00x x p y y +=.抛物线)0(22>=p py x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(00y y p x x +=； 抛物线)0(22>=p py x 外一点),(00y x P 所引两条切线，切点为A 、B ，则切点弦AB 所在直线方程为：)(00y y p x x +=.性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.证明：设1122(,),(,)A x y B x y ，M 为弦AB 中点，则过A 的切线方程为11()y y p x x =+，过B 的切线方程为：22()y y p x x =+，联立方程组得：1122211222()()22y y p x x y y p x x y px y px =+⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩解得两切线交点1212,22y y y y Q p⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可知x QM //轴. 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线.证明：设(,)Q x y ，),(00y x C 由性质1得1212,22y y y y x y p +==，所以 122y y px =。
由,,A B C 三点共线知 10122221210222y y y y y y y x p p p--=-- 即 221121020102y y y y x y x y py +--=-将 1212,22y y y y y px +== 代入得 00()y y p x x =+，即为Q 点的轨迹方程. 特别地，弦AB 过抛物线的焦点)0,2(p F ，Q 点的轨迹方程为抛物线准线：2p x -=.性质3：若直线l 与抛物线没有公共点，点Q 直线l 上的动点，则切点弦AB 一定过抛物线内的某一定点.证明：设l 方程为0ax by c ++=，且1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 过点00(,)C x y ，由性质2可知Q 点的轨迹方程为00()y y p x x =+，该方程与0ax by c ++=表示同一对照可得00,c bp x y a a ==-，即弦AB 过定点,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 特别地，若点Q 是准线：2p x -=上的动点，则切点弦AB 一定过焦点)0,2(p F .l性质4：在阿基米德三角形中，QFA QFB ∠=∠.证明：如图，作AA '⊥准线，BB '⊥准线，连接,,,,AQ QB QF AF BF ''，则1FA y k p '=-， 显然1'-=⋅QA FA k k ，所以 FA QA '⊥，又因为 AA AF '=，由三角形全等可得 QAA QAF '∠=∠，所以,QAA QAF QA QF QA A QFA '''≅⇒=∠=∠ 同理可得 ,QB QF QB B QFB QA QB QA B QB A ''''''''=∠=∠⇒=⇒∠=∠ 所以 009090QA A QA B QB A QB B QFA QFB ''''''∠=∠+=∠+=∠⇒∠=∠ 性质5：2AF BF QF ⋅=证明：2121212()2224p p p p AF BF x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22221212244y y y y p p ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭而222222212121212222244y y y y y y y y p p QF AF BF p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+=++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
阿基米德三角形
（Ⅰ）证明→ FM·→ AB 为定值； （Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S＝f(λ)的表达式，并求 S 的 最小值．
阿基米德三角形的性质
性质 10 |AF|·|BF|=|QF|2．
证明：|AF|·|BF|= (x1
p 2
)
(
x2
p) 2
=
x1x2
p 2
( x1
x2 )
p2 4
= ( y1 y2 )2 + y12 y22 + p2 ，
Q 点的轨迹即直线 l 平行．
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定
点．
证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A(x1, y1) ，
l
B(x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C (x0 , y0 ) ，由
y
| MA MB | (2x)2 (2 2 y)2 ,
A
OM (OA OB) (x, y) (0, 2) 2 y
由已知得 (2x)2 (2 2y)2 2y 2 ， 化简得曲线 C 的方程： x2 4 y
OQ DF
P
B
Ex
（2）假设存在点 P（0，t）（t<0）满足条件，则直线 PA 的方程
ABI
2S
QST ．
2012年江西卷 理科第20题
已知三点 O(0, 0), A(2,1), B(2,1) ，曲线 C 上任意一点
M（x，y）满足| MA MB | OM (OA OB) 2 ．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）动点 Q(x0 , y0 ) （ 2 x0 2 ）在曲线 C 上，
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明1. 引言嘿，朋友们，今天我们来聊聊阿基米德三角形，听起来是不是有点学术？别担心，我们不会在这里搞得太复杂，咱们轻松聊聊这位古代科学家的聪明才智和他的三角形。
你要知道，阿基米德可是一位传奇人物，他的名字响亮得像是好莱坞明星一样！而他在几何学上搞出来的那些结论，更是让人拍手叫好。
你知道吗，他的三角形理论不仅仅是数学家们的“玩物”，还在我们的日常生活中有不少应用呢！今天就带你一探究竟。
2. 阿基米德三角形的基本概念2.1 什么是阿基米德三角形？首先，咱们得搞明白，什么叫阿基米德三角形。
简单来说，这种三角形的特别之处在于它的边长和角度之间有一些有趣的关系。
比如，三角形的边长是按照一定比例分配的，形成了让人意想不到的美感和和谐感。
就像做菜的时候，盐和糖的比例不对，味道就差得远了。
所以说，阿基米德三角形就像是数学中的“调味品”，它让整个几何学的味道更丰富。
2.2 阿基米德的名言阿基米德有句话说得好：“给我一个支点，我可以撬动整个地球。
”这句话不仅反映了他对物理学的理解，也可以用来形容他的三角形理论。
只要我们掌握了这些基本的关系，就能够在几何的世界里“撬动”更多的结论。
让我们一起来看看他都给我们留下了哪些“支点”吧！3. 常用结论3.1 边长比例的结论首先，阿基米德三角形的一个重要结论是关于边长的比例关系。
如果你有一个三角形，它的边长分别是a、b、c，阿基米德告诉我们，它们之间的关系是很特别的。
例如，假如a:b:c = 1:2:3，那么这个三角形就能形成一个和谐的图形。
就像是一个完美的乐队，所有乐器齐心协力地演奏出动听的旋律。
3.2 面积的秘密接下来，我们要揭开面积的秘密。
阿基米德还发现，三角形的面积和它的边长也有直接的关系。
他曾经通过简单的公式告诉我们，面积的计算方式其实很简单。
只要掌握了基本的边长，就能快速算出面积，简直是小菜一碟！就像你做一碗方便面的过程，准备好材料，简单煮一煮，美味立马到手。
阿基米德折定理
阿基米德折定理阿基米德折定理，是古希腊数学家阿基米德的著名定理，简称“阿基米德三角形定理”。
它概括了三角形的形状规律，说明条件下，三角形三边长之和总大于另外两边长，更精确地说，一个三角形任意两边之和大于第三边，即a+b>c, b+c>a, c+a>b，其中，a、b、c分别是三角形三边的长度。
阿基米德三角形定理被认为是古希腊几何学中最杰出的定理之一，是古希腊数学的精华和珍贵遗产。
阿基米德三角形定理的发现和证明为古希腊几何学的发展做出了巨大的贡献，也是阿基米德变迁和发展的标志性事件。
阿基米德在研究三角形的属性与解决日常生活中的几何问题方面做出了杰出的贡献，是古希腊几何学的创始人。
他认为，三角形三边相等，三角形的内角全都相等，所以三角形三边等腰。
但是，他不能证明三角形三边之和大于另外两边之和，直到他用逻辑推论的方式证明了三角形最大顶点与最大边的关系，也就是所谓的“阿基米德三角形定理”才有了。
阿基米德三角形定理的发现和证明，开创了古希腊几何学的先河，也是古希腊几何学研究的基础。
它不仅被广泛应用于工程学和技术学专业，而且还被应用到日常生活中。
教学中，多以不同媒介形式讲解阿基米德三角形定理，如利用图形、动画、投影等形式更好地演示和理解阿基米德三角形定理的含义，更好地使学生理解其普遍性和实用性，激发学生学习数学的兴趣和动力。
经过长期的发展和研究，在此基础上产生了更深入的三角论。
今天，在不同的数学领域，“阿基米德三角形定理”仍然是学习数学的重要课题。
毫无疑问，阿基米德三角形定理是阿基米德为人类数学文明作出的伟大贡献，它使古老的数学知识得以开花结果，这是现代数学的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阿基米德三角形的性质
阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。
阿基米德三角形的性质：
设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。
性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。
性质2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。
性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。
性质 4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。
性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。
性质7 在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。
性质8 在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在上。
性质9 |AF|·|BF|=|QF|2.
性质10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB 。
性质11 在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。